文档内容
三县四校九年级教学质量检测
数 学
注意事项：
1．本试卷共八大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A,B,C,D四个选项，
其中只有一个是符合题目要求的．
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的知识点是相反数的定义，解题关键是熟练掌握相反数的定义．
根据相反数的定义即可得解．
【详解】解：根据相反数的定义可得， 的相反数是 ．
故选： ．
2. 自《哪吒之魔童闹海》（简称《哪吒 》）在海外陆续上映后，在全球范围内掀起观影和讨论热潮．截
至 年 月 日，总票房突破 亿元．其中“ 亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的知识点是用科学记数法表示较大的数，解题关键是熟练掌握科学记数法的表示方法．
根据科学记数法的表示方法即可得解．
【详解】解：根据科学记数法表示方法可得， 亿 ．
故选： ．
3. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项，熟练掌握幂的运算法则及合并同类项法则是解题的关键．根
据幂的运算法则及合并同类项法则，即可判断答案．
【详解】A、 与 不是同类项，不能合并，所以选项A错误，不符合题意；
B、 ，所以选项B正确，符合题意；
C、 ，所以选项C错误，不符合题意；
D、 ，所以选项D错误，不符合题意．
故选：B．
4. 某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了由三视图还原几何体，正确理解三视图与几何体之间的关系是解题的关键．根据三视
图的形状特征，即可判断答案．
【详解】解：根据主视图和左视图为长方形，可判断出是柱体，根据俯视图是三角形，可判断出这个几何
体是三棱柱．
故选：D．
5. 如图， ， 与 ， 分别交于点H，F， ，垂足为H．若 ，
则 的度数为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，求出 的度数，垂直得到 的度数，再
根据角的和差关系进行计算即可．熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
6. 如图，在 中， ， 垂直平分 ， 平分 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据 ， 垂直平分 ， 平分 推得，代入 即可得到 ．
【详解】解： ，
，
垂直平分 ，
，
，
平分 ，
，
，
中， ，
，
解得 ．
故选： ．
【点睛】本题考查的知识点是等边对等角、垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，解
题关键是熟练掌握三角形内角和定理．
7. 若点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】本题考查的知识点是比较反比例函数值或自变量的大小，解题关键是熟练掌握比较反比例函数值
或自变量的大小方法．
将函数值代入求出对应的自变量 ，比较大小即可．
【详解】解： 点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，
， ， ，
， ， ，
．
故选： ．
8. 已知四边形 的对角线 与 交于点 ， ．添加下列选项中的条件，仍不能判定四
边形 是菱形的是（ ）
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
根据菱形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：A． 由 和 ，不能判定四边形 是平行四边形，所以由 ，
不能判定四边形 是菱形，符合题意；
B． 由 和 可知四边形 是平行四边形，再由 可判定四边形 是
菱形，故不符合题意；
C． 由 和 可知四边形 是平行四边形，由 可知 ，
即可判定四边形 是菱形，故不符合题意；
D． 由 和 可知四边形 是平行四边形，再由 可判定四边形 是菱形，故不符合题意；
故选：A．
9. 已知实数a，b满足 ， ，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．由 得
，代入 ，即可求得 ，同理可求得 ，再根据不等式的基本
性质，可逐步求得 ， 的取值范围，即可判断答案．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
，
选项A错误；
，
，
，
，
，
，选项B错误；
， ，
，
，
，
选项C正确；
， ，
，
，
，
选项D错误．
故选：C．
10. 如图，四边形 是矩形，过点C的直线分别与 的延长线交于点E，F，且 ．点
G，H分别在 上，且 ，连接 ，则下列结论不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点依次判断即可得出结果．根据矩形的性质、平行线分线
段成比例及相似三角形的判定和性质即可判断A、B，过点E作 ，交 的延长线于点P，连
接 ，利用全等三角形的判定和性质，勾股定理即可判断C、D．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴选项A，B都是正确的，不符合题意；
如图，过点E作 ，交 的延长线于点P，连接 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ．
∵ ，
∴ ．
在 中，根据勾股定理，得 ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴选项C正确，不符合题意．
∵由所给条件无法证明． ，
∴选项D不正确，符合题意；
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 因式分解： ______．
【答案】【解析】
【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式 ，然后根据平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解∶原式
，
故答案为： ．
12. 合肥的旅游景点丰富多样，涵盖了历史文化、自然风光和现代娱乐等多个方面，其中“三河古镇”
“包公园”“安徽博物院新馆”及“合肥融创乐园”等都是合肥的旅游胜地．若从上述四个景点中随机选
两个景点旅游，则恰好选中“三河古镇”和“包公园”的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的知识点是列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率，解题关键是熟练掌握用
列表法或树状图法求概率．
运用列表或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可求解．
【详解】解：分别记“三河古镇”“包公园”“安徽博物院新馆”“合肥融创乐园”为 、 、 、 ，
画树状图如下：
一共有 种等可能的情况，其中恰好选中“三河古镇”和“包公园”的情况有 种，
恰好选中“三河古镇”和“包公园”的概率是 ．
故答案为： ．
13. 如图，点A，B在反比例函数 的图象上，过点A作 轴，垂足为D，过点B作
轴，垂足为C．若 ，且 的面积为15，则 ______．【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了根据图形面积求反比例函数的比例系数，熟练掌握根据图形面积求反比例函数的比例
系数是解题的关键．过点A作 轴，垂足为E，先求出 ， ，再结合
，求得 ，由此列方程求解即可．
【详解】解：过点A作 轴，垂足为E，
，
，
令 ，则 ，
解得 ，
令 ，则 ，
， ，
， ， ，由题意得 ，
则 ，
，
解得 ，
，
．
故答案为：8．
14. 如图，等边 的边长为 ， 是边 上的一动点，作 ，垂足为 ，作 ，
垂足为 ，连接 ．
（1） ______．
（2） 的最大值为______．
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】（1）结合等边三角形的性质、特殊角的三角函数值、解直角三角形的相关计算推得即可得解；
（2）过点 作 ，交 的延长线于点 ，推得 ，令 ，则 ，
推 得 ， ， ， 则
，结合二次函数的最值计算方法即可
得 的最大值．
【详解】解：（1） 等边 中， ，
和 中， ，
同理可得 ，
．
（2）如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
，
，
令 ，则 ，由（1）得 ， ，
中， ，
在
，
， ，
当 时， 有最大值，最大值为 ．
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的性质、特殊角的三角函数值、解直角三角形的相关计算、二次
函数的最值，解题关键是熟练掌握解直角三角形的相关计算．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15. 解不等式组： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再取它们解集的公共部分即可
得到不等式组的解．
【详解】解：
解不等式①，得 ．
解不等式②，得 ，
原不等式组的解集为 ．16. 如图，这是由小正方形组成 的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点． 的三个顶点
都是格点，格点 在直线 上，按要求完成以下作图．
（1）若 与 关于直线 成轴对称，作出 ．
（2）作线段 关于点 对称的线段 ．
为
（3）将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，并以线段 一条对角线，作正方形
．
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】本题考查的知识点是画轴对称图形、画已知图形关于某点对称的图形、画旋转图形，解题关键是
熟练掌握相关图形的画法．
（1）根据轴对称的性质确定 、 、 的对应点，顺次连线即可；
（2）先找到 、 关于点 对称的对应点，连线即可；
（3）找到 、 绕点 顺时针旋转 后的对应点，连线后即可作正方形 ．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求．【小问2详解】
解：如图，线段 即为所求．
【小问3详解】
解：如图，线段 及正方形 即为所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 先化简，再求值： ，其中 ．【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键．先算小括号内的分式加减
运算，然后对分式的分子、分母因式分解，再约分得到化简结果，最后将 代入计算即可．
【详解】解：原式
，
当 时，原式 ．
18. 观察下列等式：
第 个等式： ．
第 个等式： ．
第 个等式： ．
第 个等式： ．
……
按照以上规律，解决下列问题．（1）写出第 个等式：______．
（2）写出你猜想的第 （ 为正整数）个等式（用含 的式子表示），并证明．
【答案】（1）
（2） ，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据前 个等式所总结的规律即可写出第 个等式；
（2）根据规律猜想出第 个等式，证明方法：计算出左边的结果看是否等于 ，即是否左、右相等．
【小问1详解】
解： 第 个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
故答案为： ．
【小问2详解】
解：猜想第 个等式为 ，
证明： 左边 ，
又 右边 ，
左边 右边，
即 ．
【点睛】本题考查的知识点是数字类规律探索、整式四则混合运算、完全平方公式，解题关键是能正确总
结概括出规律．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19. 黄山迎客松是黄山的标志性景观，它位于黄山风景区玉屏楼的青狮石旁．如图，某直升飞机于空中 M
处探测到迎客松，此时直升飞机的飞行高度 为 1703 米，从直升飞机上看迎客松顶端 A 的俯角
，看迎客松根部B的俯角 ．已知迎客松所处位置的海拔高度 为1670米，
求迎客松的高度 （结果精确到 0.1m）．（参考数据： ， ，
）
【答案】迎客松的高度约为9.9米
【解析】
【分析】本题考查了有关仰俯角的解直角三角形的应用，正确构造直角三角形是解题的关键．
延长 ，交 于点C，过点B作 于点E，则由题意得 米， ，
,则 ，可得 为等腰直角三角形，求出 ，再
解 ，最后由 即可求解．
【详解】解：如图，延长 ，交 于点 C，过点 B 作 于点 E，则由题意得：
米， ， ．∵ 米， 米，
∴ （米）．
在 中， ，
∴ ，
∴ 米．
在 中， ，
∴ （米），
∴ （米），
答：迎客松的高度约为9.9米．
20. 如图，四边形 内接于 ， ， ， ．
（1）求证： ．
（2）求证： 是 的切线．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）由 推得 ，再由圆周角定理得 ，结合平行线的判定
与性质即可得证；（2）结合利用弧、弦、圆心角的关系、垂径定理推得 ，再由圆周角定理、等边对等角证明
，再由平行线性质即可得 ，即 是 的切线．
【小问1详解】
解： ，
，
，
，
．
【小问2详解】
解：（证明方法不唯一）如图，连接 ，交 于点 ，
，
．
，
，
，
，即 ，
， ，
，，
，
，
，
，
是 的半径，
是 的切线．
【点睛】本题考查的知识点是圆周角定理、平行线的判定与性质、利用弧、弦、圆心角的关系求证、等边
对等角、垂径定理、证明某直线是圆的切线，解题关键是熟练掌握圆的相关定理．
六、(本题满分12分)
21. 综合与实践：为了提高学生的防溺水意识，某校举行了“珍爱生命，远离溺水”安全知识竞赛，并对
收集到的数据进行了整理、描述和分析．
【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩（满分 分，所有竞赛成绩均不低于 分）组成一个样本．
【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成 ， ， ， 四组进行整理，如下表．
组别
成绩 /分
人数
【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图．
其中 组具体成绩的样本数据分别为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．【分析数据】根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空： ______， ______．补全条形统计图．
（2） 组成绩的样本数据的众数是______，样本数据的中位数是______．
（3）若竞赛成绩 分以上（含 分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的 名学生中成绩为优秀的人
数．
【答案】（1） ； ，图见解析．
（2） ； ．
（3）估计该校参加竞赛的 名学生中成绩为优秀的人数为 ．
【解析】
【分析】（1）由条形统计图和扇形统计图信息关联，计算出抽取的学生人数以及 、 的值；
（2）根据众数、中位数定义求解即可；
（3）根据题意，用样本估计整体进行计算即可．
【小问1详解】
解：由题意得，共抽取学生 人，
组人数为 人，
组人数为 人，
即 ， ，
补全条形统计图如下：
故答案为： ； ．
【小问2详解】解： 组数据中 出现的次数最多，
组成绩的样本数据的众数是 ，
共抽取学生 人，即样本数据共 个，取中间两个数据的平均数为这组数据的中位数，
应取样本数据从小到大排列后的第 、 个数据计算平均数，
又 组 人， 组 人， 组 人，
第 、 个数据分别是 ， ，
中位数是 ，
故答案为： ； ．
【小问3详解】
解：所抽取学生中成绩为优秀的概率是 ，
该校参加竞赛的 名学生中成绩为优秀的人数为 人．
【点睛】本题考查的知识点是条形统计图和扇形统计图信息关联、求众数、求中位数、由样本所占百分比
估计总体的数量，解题关键是熟练掌握由样本所占百分比估计总体的数量．
七、(本题满分12分)
22. 如图，四边形 的对角线 ， 交于点 ， ．
（1）如图 ，若 ，求证： ．（2）如图 ，过点 作 于点 ，作 ，交 的延长线于点 ，若 垂直平分 ，
与 交于点 ．
①求证： ．
②若 ， ，求 值．
的
【答案】（1）证明见解析；
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）由两角对应相等推得 ，由相似三角形的性质即可得证；
（2）①由垂直平分线性质得 ， ，通过“边边边”证明 ，由全等三角
形的性质推得 ，结合角平分线性质证明四边形 是正方形，推得 ，
由“角边角”证明 即可证 ；②延长 到 ，使 ，连接 ，由
等腰直角三角形的判定与性质推得 ，结合三角形内角和定理可得 ，结
合解直角三角形、勾股定理可得 ；通过“边角边”证明 ，由全等三角形的性质得
， ，结合等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形计算可得 ．
【小问1详解】
证明： ， ，
，
，．
【小问2详解】
①证明： 垂直平分 ，
， ，
在 和 中，
，
，
，
， ，
， ，
又 ，
四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，，
．
②（解法不唯一）如图，延长 到 ，使 ，连接 ，
， ，
，
， ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
在 中， ， ，
，
，，四边形 内角和为 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，即 ，
，
， ，
，
，
．
【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、
正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理，解题关键是熟练掌握全
等三角形的判定与性质．
八、（本题满分14分）
23. 如图，二次函数 的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且图象经过点 ，，连接 ．
（1）求a，b的值．
（2）P是抛物线 上的一点，且位于x轴上方，是否存在点P，使得 的面积恰好为
4？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）M（不与点A，C重合）是线段 上的一个动点，过点M作 轴，垂足为D．延长 ，
交抛物线于点E，过点E作 ，垂足为F，求 周长的最大值．
【答案】（1） ，
（2）存在．点 ，
（3） 的周长的最大值为
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的面积综合题、二次函数的周长线段综合题，数形
结合是解题的关键．
（1）把点 ， 分别代入函数解析式得到方程组，解方程组即可；
（2）设点 ，根据题意得到 ，解一元二次方程即可
得到答案；
（ 3 ） 求 直 线 的 解 析 式 为 ． 设 点 ， 则 点 ， 得 到， ， 则 的 周 长
．根据二次函数的性质即可求出答案．
【小问1详解】
∵二次函数 的图象经过点 ， ，
∴
解得
【小问2详解】
存 在．由（1），得 ， ，
∴二次函数的解析式为 ．
令 ，得 ，
解得 ， ．
∵二次函数 的图象与x轴交于点A，B，
∴点 ， ，
∴ ．
设点 ，
∴ ，
∴ ，解得 ， ，
∴点 ， ．
【小问3详解】
令 ，得 ，
∴点 ，
设直线AC的解析式为
解得
∴直线 的解析式为 ．
设点 ，则点 ，
∴ ．
∵点 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ 轴，
∴ ∥ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ 的周长
．
∵
∴当 时， 的周长有最大值，最大值为 ，
∴ 的周长的最大值为 ．
