文档内容
2024-2025 学年度第二学期九年级第二次质量检测
数学（试题卷）
注意事项：
1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请
务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1. 的相反数是（ ）
A. 6 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要查了相反数．根据相反数的定义解答即可．
【详解】解： 的相反数是 ．
故选：D
2. 2025年1~2月，安徽省汽车产量为44.48万辆，首次反超广东，登顶中国第一汽车产量大省．数据
“44.48万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为 的形式，其中
，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小
数点移动的位数相同．【详解】解：数据“44.48万”用科学记数法表示为 ．
故选：C．
3. 黄山毛峰是中国十大名茶之一．如图是某品牌黄山毛峰茶叶的包装盒，它是一个上、下底面均为正六边
形的六棱柱，它的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，熟练掌握三视图的特点是解题的关键．根据俯视图的定
义，即可求解．
【详解】解：正六棱柱的俯视图（从上往下看的视图）是正六边形，
故选：D．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的除法，完全平方公式，幂的乘方，合并同类项，根据以上运算法则进行计算
即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. 与 不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；故选：C．
5. 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．如图是一段弯形管道，其中
，中心线所在扇形的半径是 ，则这段弯形管道的展直长度，即 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了弧长的计算公式，根据弧长公式进行计算即可．弧长公式： （弧长为
l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．
【详解】解： 的长为 ．
故选：D．
6. 如图，直线 与 轴交于点 ，与双曲线 交于点 ，过点 作 轴于点 ，
且 ，则 的值为（ ）
A. 10 B. 12 C. 16 D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，根据题意求得点 P坐标，再利用待定系数法求
解k值即可．【详解】解：∵ 轴于点 ，且 ，
∴点P的纵坐标为4，
∵直线 与双曲线 交于点 ，
∴将 代入 中，得 ，解得 ，
∴点P坐标为 ，
将 代入 中，得 ，
故选：C．
7. 如图，在等腰三角形 中， ， 为边 的延长线上一点，连接 ，点 为 的中
点，连接 ．若 ， ，则 的面积为（ ）
A. B. C. 8 D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的中位线的应用．先利用等腰三角形的性质作高，再证
明出 为 的中点，得到 为 的中位线，从而能求出 的长，最后利用三角形的面积公式求
出面积即可．
【详解】解：过点A作 于点F，，
，
∵ ，
，
为 的中点，
为 的中点，
为 的中位线．
， ，
，
．
故选：B．
8. 已知非零实数 ， ， 满足： ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查不等式．根据不等式性质进行变形即可得出结论．
【详解】解：由 ，可得 ．代入 中，可得： ，无法判断 与 的大小关系，故A选项不符合题意；
由 ，得 ．代入 中，
得 ， ，则 ，故B选项符合题意；
由于 ，则 ，故C选项不符合题意；
由于 ，则 ，故D选项不符合题意；
故选：B．
9. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形 与四边形 都是正方形，连接
并延长，交 于点 ．若 是 的中点， ，则 的长为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了“赵爽弦图”，正方形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，一组平行线中对应
线段成比例，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
延长 交 于点 ，利用平行线的性质证出点 为线段 中点，得出 ，再利用线段的垂直
平分线得出相等的角，得出 ，依据直角三角形的性质得出 即可求出结果．
【详解】解：如图，延长 交 于点 ，由图的结构可知，点 是 的中点，
∴点 是 的中点，
∵ ，
，
点 为线段 中点，
，
∵点 是 的中点，
∴ 垂直平分线段 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故选：A．
10. 如图，抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴的正半轴交于点 ，
连接 ，则下列结论错误的是（ ）
.
A
B. 若 ，则 的值为
C. 若 和 是关于 的一元二次方程 的两个根，则
D. 若抛物线上有两点 ， ，且 ，则 的取值范围是
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理，解决本题的关键
是利用一元二次程根与系数的关系求出 的值，再根据二次函数的图象与性质得到不等式
，解不等式求出 的取值范围．
【详解】解： 抛物线 与 轴交于点 ，
，
又 抛物线与 轴的交点在 轴的正半轴，
当 时， ，，
故A选项正确；
点 ， ，
， ，
，
，
点 的坐标是 ，
设抛物线的解析式是 ，
把点 的坐标 代入解析式，
可得： ，
解得： ，
故B选项错误；
抛物线 的解析式是 ，
整理得： ，
是
一元二次方程 ，
， ，
，
故C选项正确；
抛物线 与 轴交于点 ， ，抛物线的对称轴是 ，
抛物线开口向下，
离对称轴越远的点对应的 轴越小，
，
，
，
故D选项正确．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若分式 有意义，则 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于0．根据分式
有意义的条件：分母不等于0进行求解即可．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为： ．
.
12 比较大小： ____
【答案】>
【解析】【分析】先估算出 ，从而得出 ，再利用不等式性质得到 即可得
出答案．
【详解】解：∵4<5<9，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
故答案为：>．
【点睛】本题考查实数的大小比较，估算无理数．熟练掌握会估算无理数的大小是解题的关键．
13. 非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．安徽省非物质文化遗产有黄梅戏、徽剧、凤阳花鼓、淮
北梆子戏等．小聪和小颖商定从“黄梅戏”“徽剧”“凤阳花鼓”“淮北梆子戏”四种中，各随机选择一
种用于宣传安徽的非物质文化遗产，则两人恰好选中同一种的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了画树状图法求概率．画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【详解】解：根据题意，“黄梅戏”“徽剧”“凤阳花鼓”“淮北梆子戏”四种非物质文化遗产分别记为
， ， ， ，
画出树状图如下：
一共有16种等可能的情况，两人恰好选中同一种的情况有4种，
（两人恰好选中同一种） ．故答案为： ．
14. 如图，正方形 的边长为 ，点 ， 分别在 ， 上．将该正方形沿 折叠，使点 落
在 边上的点 处，连接 ，与折痕 交于点 ．
（1）若 是 的中点，则 的长为______；
（2）若 为 的中点，随着折痕 位置的变化， 的最小值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质以及直角三角形斜边中线的性
质，解题的关键是取 中点，利用轴对称的性质求解；
（1）设 ，则 ，根据折叠的性质得出 ，在 中，
，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解；
（2）取 的中点 ，连接 ，根据折叠的性质可得 ，根据直角三角形中斜边
上的中线等于斜边的一半，可得 ，进而可得 的最小值为 的长，勾股定
理，即可求解．
【详解】解：（1）正方形 的边长为 ，
∴ ，当 是 的中点，则 ，
设 ，则
∵折叠，
∴ ，
在 中，
∴
解得； ；
故答案为： ．
（2）如图，取 的中点 ，连接
∵折叠，
∴
∵ 是 的中点，
∴
∴
当 在 上时， 取得最小值，最小值为
故答案为： ．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握分解因式法解一元二次方程的方法是关键；
利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：原方程可变形为： ，
∴ 或 ，
解得： ．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）请画出将 绕点 顺时针旋转 得到的 ；
（2）请用无刻度直尺作出 的平分线 ．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图——旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
（1）根据旋转的性质找到对应点 、 、 ，顺次连接即可求解；
（2）根据勾股定可得： ，在射线 上取格点 ，使得 ，连接 ，
取 的中点 ，作射线 即可求解．
【小问1详解】解：如图， 即为所求；
【小问2详解】
如图，射线 即为所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 乡村振兴，科技助农．某农户用甲、乙两种原料配制植物生长肥料，已知每克甲原料含0.5单位氮和
0.4单位磷，每克乙原料含1单位氮和0.6单位磷．若一种植物每天需要40单位氮和26单位磷，则每天配
制的植物生长肥料中含甲、乙两种原料各多少克恰好能满足需要？
【答案】每天需甲种原料20克，乙种原料30克．
【解析】
【分析】本题通过建立二元一次方程组解决实际问题，关键步骤是根据氮和磷的单位含量分别列方程，解
方程组后需验证结果是否符合实际需求．设每天需甲原料 克，乙原料 克，根据每克甲原料和乙原料的
氮、磷含量，结合植物每天所需的氮和磷总量，可以列出二元一次方程组，通过解方程组即可得到甲、乙
原料的用量．
【详解】解：设每天需甲原料 克，乙原料 克．
根据题意，氮的总量为40单位，磷的总量为26单位，
可得： ，
解得： ．
答：每天需甲原料20克，乙原料30克．
18. 阅读材料，解决下列问题：
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第 行有个点，…．
（1）探索：三角点阵中前6行的点数之和为______，前9行的点数之和为______；
（2）总结：前 行的点数之和为______（用含 的式子表示， 为正整数）；
（3）运用：某商场举办促销活动，计划用气球装饰中庭，其中一种装饰方案需要悬挂650个气球．按照第
一串挂2个，第二串挂4个，第三串挂6个，…，第 串挂2n个的规律排列，求这种装饰方案一共需要悬
挂多少串气球？
【答案】（1）21；45
（2）
（3）要悬挂25串气球
【解析】
【分析】本题考查了有理数的图形类规律，解一元二次方程的应用．
（1）直接把前面6行、9行点分别相加即可求解；
（2）把前n行点数相加即可；
（3）根据题意列出方程，利用（2）的结论解一元二次方程即可求解．
【小问1详解】
解：前6行点数和为： ；
前9行点数和为： ；
故答案为：21；45；
【小问2详解】
解：前n行点数和为： ；
故答案为： ；
【小问3详解】解：由题意得： ，
即
∴ ，
整理得： ，
解得： （舍去），
答：这种装饰方案一共需要悬挂25串气球．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 圭表（如图1）是中国古代的一种天文仪器，由直立的标杆（表）和南北方向水平放置的与标杆垂直
的长尺（圭）组成，用于测定正午的日影长度，进而推算节气等．当正午太阳照射在表上时，日影便会投
影在圭面上，将圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根
据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表 垂直于圭 ，已知该市冬至正午太阳高度角（即
）为 ，夏至正午太阳高度角（即 ）为 ，表 的长为4.75米，求圭面上冬至线与
夏至线之间的距离（即 的长）．（结果精确到0.1米，参考数据： ， ，
， ）
【答案】5.1米
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，根据题意可得： ，然后在 中，
利用锐角三角函数的定义求出 的长，再在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，最
后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得： ，
在 中， ， 米， ，
∴ （米），
在 中， ， ，
∴ （米），
∴ （米），
∴圭面上冬至线与夏至线之间 的长约为5.1米．
20. 如图，在 中， 是直径， 是弦，且 ，垂足为 ， ， ，在 的
延长线上取一点 ，连接 ，使 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、切线的判定以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握
相关图形的判定和性质是解题的关键；
（1）连接 ，如图，由圆周角定理可得 ，结合已知可得 ，根据
得到 ，进而得到 ，即 ，即可得
到结论；
（2）根据垂径定理可求出 ，勾股定理求出 ，接着证明 ，然后利用相似三角形
的性质即可求出答案．
【小问1详解】
证明：连接 ，如图：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ 为圆的半径，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】∵ 是直径， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ．
六、（本题满分12分）
21. 综合与实践
【问题情境】生物课上，老师带领同学们开展“利用花瓣的特征对花卉进行分类”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集玫瑰、向日葵的花瓣各10片，通过测量得到这些花瓣的长 （单位： ），
宽 （单位： ）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
玫瑰花瓣的长宽比 4.5 4.3 4.0 4.4 4.6 4.1 4.5 4.6 4.2 4.6
向日葵花瓣的长宽比 1.5 1.6 1.2 1.5 1.7 1.3 1.5 1.4 1.8 1.6
【实践探究】分析数据如下：
平均数 中位数 众数 方差
玫瑰花瓣的长宽比 4.38 4.6 0.0436
向日葵花瓣的长宽比 1.51 1.5 0.0289
【问题解决】
（1）填空： ______， ______；
（2）通过数据，同学们总结出了一些结论：
①A同学说：“从花瓣的长宽比的方差来看，玫瑰花瓣的形状差别比向日葵______”；（填“小”或
“大”）
②B同学说：“从花瓣的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现向日葵花瓣的长约为宽的______倍”；
（3）现有一片长 ，宽 的花瓣，请判断这片花瓣更可能来自于玫瑰、向日葵中的哪种花？并给
出你的理由．
【答案】（1） ， ；
（2）①大；②
（3）这片花瓣更可能来自于向日葵，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了众数，中位数，平均数和方差，掌握相关定义是解题关键．
（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）①根据方差的意义作答即可；②根据向日葵花瓣的长宽比的平均数、中位数和众数分析即可；
（3）根据花瓣的长宽比判断即可．
【小问1详解】
解： 10片玫瑰花瓣的长宽比从小到大排列为：4.0、4.1、4.2、4.3、4.4、4.5、4.5、4.6、4.6、4.6，
中位数 ，
10片向日葵花瓣的长宽比中， 出现了3次，此时最多，
众数 ，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解：① ，
从花瓣的长宽比的方差来看，玫瑰花瓣的形状差别比向日葵大，
故答案为：大；
② 向日葵花瓣的长宽比的平均数为 ，中位数为 ，众数为 ，
从花瓣的长宽比的平均数、中位数和众数来看，向日葵花瓣的长约为宽的 倍，
故答案为： ；
【小问3详解】
解：这片花瓣更可能来自于向日葵，理由如下：
一片长 ，宽 的花瓣，它的长宽比为 ，接近
这片花瓣更可能来自于向日葵．七、（本题满分12分）
22. 在 中， ， ， ，点 是 上一点，将 沿着 折叠，
点 恰好落在 上，对应点为点 ，连接 ．
（1）如图1，求 的长；
（2）点 是 上一点，连接 ，交 于点 ．
如图2，当 时，求 的值；
如图3，当点 是 的中点时，求 的值．
【答案】（1）
（2） 3；
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，正
确作出辅助线，构造直角三角形，利用相似三角形的判定和性质求线段比值是解题的关键．
（1）由 ， ， ，根据勾股定理求得 ，由折叠利用勾股定理列方程即可
解答；
（2） 由 可得 ，即求得出 即可；
作 交 的延长线于点 ，证明 ，可得 ，再利用相似三角
形的性质即可解答．
【小问1详解】
解： ， ， ，，
由折叠得 ， ， ，
， ，
，且 ，
，
解得 ，
的长是 ；
【小问2详解】
解：① ,
,
，
由（1）得 ， ，
；
②如图，作 交 的延长线于点 ，
，
点 是 的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
．
八、（本题满分14分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线 交于 ， 两点，
点 的横坐标为1．
（1）求直线 和抛物线的解析式；
（2）点 是直线 下方的抛物线上的一动点（不与点 ， 重合），过点 作 轴的平行线，与直线
交于点 ，连接 ．设点 的横坐标为 ．
当点 在 轴上方， 为何值时， 是等腰三角形；
当点 在 轴下方， 为何值时， 的周长最大，最大值是多少？
【答案】（1） ；
（2）①当 时， 是等腰三角形；②当 时， 的周长最大，最大值为【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）①当 是等腰三角形时，判断出只有 ，设出点M的坐标，用 建立方程
组求解即可；
②先表示出 ，然后建立 的周长关于 的函数关系式，确定出最大值即可．
【小问1详解】
解：将点 代入 ，得 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ；
当 时， ，
∴ ，
将点 ， 代入 ，得
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
【小问2详解】解：①设 ，则 ，当点M在x轴上方时， ， ， 是钝角，
∵过点M作x轴的平行线，与直线 交于点N，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 是等腰三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
∴当 时， 是等腰三角形；
②设 ，则 ，当点M在 轴下方时， ， ，
∵过点M作x轴的平行线，与直线 交于点N，
∴ ，∴ ， ，
，
∴
，
∵ ，
∴当 时， 最大，最大值为 ．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平面内两点之间的距离公式，等腰三角形的性
质，三角形的周长，极值的确定，解本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
