文档内容
2025 年中考模拟考试九年级数学试卷
注意事项：
1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷
上的答案无效。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 下列实数比0小的是（ ）
A. B. 0 C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了实数比较大小，掌握实数大小的比较是关键．
根据正数大于0，0大于负数即可求解．
【详解】解：根据题意， ，
的
∴实数比0小 是 ，
故选：A ．
2. 有一个几何体如图所示，该几何体的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识，掌握“俯视图是从物体的上面看到的视图”是解本题的关键．
根据三视图进行判断即可，注意看得见的部分用实线，看不见的部分用虚线表示．
【详解】解：从上面可看，左上有一条横向的实线．∴俯视图是： ，
故选：C．
3. 据国家统计局统计表明，2024年全年粮食再获丰收，首次迈上1.4万亿斤新台阶，达到14130亿斤．数
据14130亿可以表示为 ，则 的值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 12 D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．
【详解】解：14130亿 ，
所以 的值为12，
故选：C．
4. 计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式幂的运算，根据积的乘方，幂的乘方运算法则计算即可．
【详解】解： ，
故选：B．
5. 如图，直线 ，把一块含 角的直角三角板 按如图所示的方式放置，点 在 上，点 ，
在 上， ，若 ，则 的度数为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】该题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质得出
，根据三角形内角和定理求出 ，结合平行线性质即可求解．
【详解】解： ，
， ，
．
，
，
即 ，
故选：B．
6. 在一个不透明的袋子中，装着大小、质地都相同的黑白小球若干个，从袋中任意摸出一球是白球的概率
为 ；若向袋子中再放2个同样的白球，摇匀后，从袋中摸出一球是白球的概率为 ，则袋子中黑球的个
数为（ ）
A. 5 B. 6 C. 8 D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了根据概率公式求概率，设原袋子中白球有 个，则总球数有 个．根据概率公式得
出 ，求解即可，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．【详解】解：设原袋子中白球有 个，
∵从袋中任意摸出一球是白球的概率为 ，
∴总球数有 个．
由题意得， ，
解得 ，
经检验， 是所列方程的解且符合题意，
袋子中有 个黑球，
故选：C．
7. 如图，点 在双曲线 上，连接 ，点 是 的中点，作 轴，垂足为 ，
的反向延长线交双曲线 于点 ，若 的面积是3，则 的值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数 的几何意义，中点坐标公式，设 ，根据题意表示出点 的坐
标，再利用三角形面积公式即可解答，正确表示出点 的坐标是解题关键．
【详解】如图，作 于点 ，
设点 ，则 ，点 是 的中点，
点 的坐标为 ，
，
轴，
点 的坐标为 ，即
，
的面积是3，
，
．
故选：C．
8. 如图， 的直径 ，半径 ，点 为 上一点，连接 交 于点 ，若
，则 的值为（ ）A. 50 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握它们的性质是解
题的关键；
由 推出 ， 利用 是直径得 ，结合 得
， 根据两角对应相等证明 ，得出对应边成比例 ，变
形得到 ，代入 、 的值计算出结果．
【详解】解; ，
．
为 的直径，
．
，
，
，
，
．
故选：A．
9. 如图，在 中， ， ， ，点 是线段 上的动点，点 在 上，，作 交 于点 ，设 ，四边形 的面积为 ，则 与 之间的函
数关系的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数在几何图形中的应用，解题的关键是通过相似三角形求出相关线段的长度，进
而表示出四边形的面积，得到函数关系式，再根据函数性质判断图象．
先求出 的长度，再通过 以及三角函数正切，得到 ， ，
，分别求出 、 和 的面积表达式，用 的面积减去 和
的面积得到四边形 的面积表达式，分析其函数图象．
【详解】解：如图，作 于点 ， 于点 ，
，， ， ，
， ，
， ， ，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
， ，
，其中 ，
与 之间的函数关系的大致图象为A．
故选A．
10. 在矩形 中， ， ．点 是 上一动点，连接 ，再将 沿 翻折，使点
落在点 处，连接 ， ．下列结论不正确的是（ ）A. 点 到直线 距离的最小值为2 B. 长度的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了点到圆的最值，勾股定理，解直角三角形，三角形边长关系，相似三角形的判定和性
质，运用上述性质逐一判断即可，作出正确的辅助线是解题的关键．
【详解】解：由折叠可知， ，
点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，如图，作 于点 ，
，当点 ， ， 共线时， 的值最小，
点 到直线 距离的最小值为2，选项A正确；
如图，连接 ， ，
当点 ， ， 共线时， 的值最小， 长度的最小值 ，选项B正确；
当 角度最大时， 的值最大，
当 与 相切时， 最大，
的最大值为 ，选项C正确；
如图，在 上取点 ，使 ，连接 ， ，
，
，，
，
，
，
当 ， ， 三点共线时， 的值最小，最小值为 的长，
，选项D错误．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 分解因式： ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解，解此题的关键在于熟练掌握提取公因式法与平方差公式．
先提取公因式b，再利用平方差公式因式分解即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
12. 已知 ， 为正整数，则 ________．【答案】
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，负整数指数幂，解题的关键是正确估出 ；
先估算出 的值，即可得到n的值，再根据负整数指数幂的运算法则计算即可．
【详解】解： ，
，
，
．
13. 睿明同学在学习勾股定理后深入思考发现求一个三角形面积的方法：如图， 是 的高，高
是 和 的公共直角边，由勾股定理得， ，设
，可建立关于 的方程，求得 ，进而通过计算就可求出 的面积．根
据睿明同学的方法，若 ， ， ，则 的面积为________．
【答案】84
【解析】
【
分析】本题考查了勾股定理，由题意可得 ，再由勾股定理求出 ，最
后由三角形面积公式计算即可得解．【详解】解：由题意可得 ，
，
，
故答案为： ．
14. 如图， ， ， ，点 在线段 上，连接 交 于 ．
（1） ________，
（2）已知 ，则 ________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握
以上知识是解题的关键；
（1）过点 作 于点 ， 交 于点 ，过点 作 于点 ，则四边形
是矩形，得出 ， ，进而可得 ，即可得出
；
（2）设 ， ，证明 ，可得 ， ，进而证明
，得 ，根据垂直平分线的性质可得 ，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）如图，过点 作 于点 ， 交 于点 ，过点 作 于点 ，
则四边形 是矩形，
， ， ．
， ， ， ，
，
， ．
，
，
，
；
故答案为： ．
（2）设 ， ，
，
， ， ，
，
， ，
．
， ，，
．
，
，
．
，
，
．
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式 ，并将解集在数轴上表示．
【答案】 ；见解析
【解析】
【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集，去括号，移项，合并，系数化1，求出
不等式的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可．
【详解】解：去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为1得， ；
其解集在数轴上表示为：16. 如图，在由边长为1个单位长度的正方形网格中， 的顶点为 ， ， ．
（1）将 先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到 ，画出 （
， ， 分别是 ， ， 的对应点），写出点 的坐标；
（2）画出 关于 轴对称的 ，写出点 的坐标；
（3）若点 为 内一点，按（1）中的方式平移后 的对应点为 ，点 关于 轴对称的点
为点 ，写出点 的坐标．
【答案】（1）见解析，点 的坐标为
（2）见解析，点 的坐标为
（3）点 的坐标
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称作图，平移作图，解题的关键是作出对应点平移、轴对称的对应点．
（1）根据平移的性质作图即可，再写出 的坐标即可．
（2）根据轴对称的性质作图即可，再写出 的坐标即可．
（3）先根据平移的性质写出 的坐标，再根据关于x轴对称的点的特点写出 的坐标即可．【小问1详解】
解：如下图， 就是所画的图形，点 的坐标为 ；
【小问2详解】
解：如图， 就是所画的图形，点 的坐标为 ；
【小问3详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵点 和点 关于x轴对称
∴点 的坐标 ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，一大楼的高 ，数学兴趣小组为了测量大楼的顶部广告牌的高 的长，在与点 在
同一水平线上的点 处测量得楼上点 的仰角 ，广告牌顶端 的仰角 ，
．求广告牌 的高度．（参考数据： ， ， ， ， ，
）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
在 中，解直角三角形求出 ，在 中，解直角三角形求出 ，即可求解．
【详解】解：在 中， ， ，
，
．
在 中， ， ， ，
，
，
即广告牌 的高度约为 ．
18. 在家电以旧换新的政策下，购买一台节能家电的实际费用 （商场的实际售价 旧家电的折合价）
．张强借此政策为自己的婚房添加一台节能电视机，他与销售员协商后，电视机的实际售价为
标价的九折，张强的旧电视折合200元．经计算，张强发现自己实际费用比这台电视机按标价出售便宜了
．求这台电视机的标价是多少元．
【答案】8000元
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程得应用，准确找出等量关系，列出一元一次方程是解题的关键；
根据 “购买一台节能家电的实际费用 =（商场的实际售价 - 旧家电的折合价）×(1 - 20%)”，可得出实际
费用为 元．又已知实际费用比按标价出售便宜了 ，那么实际费用也可表示为 元．根据上述两种方式表示的实际费用相等，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设这台电视机的标价为 元，由题意得，
，
解得 ．
答：这台电视机的标价是8000元．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 项目式学习：探究图式之间的内在联系
【项目任务】观察下列图形，思考图形中点的排列规律，抽象出数学等式，探究点的总个数．
【项目探究过程】下列是三位同学采用了不同方法进行探究，请你完善他们的探究过程．
（1）明明同学将这些点分为两类，一类是实心点构造了正方形点阵，一类是空心点构造了正方形点阵，
这样图1的点总数可表示为 ，图2的点总数可表示为 ，图3的点总数可表示为 ，图4
的点总数可表示为 ，…，图 的点总数可表示为________；
（2）欣欣同学用虚线将这些点进行连接，图1的点可以表示为 ，图2的点可以表示为
，图3的点可以表示为 ，图4的点可以表示为
，…，欣欣思考这种连接方式下，图 中最长虚线上共有________个点，她
结合明明的探究，猜想两种方法利用图 建立的等式：________，由此获得从1开始，连续 个奇数的和，
即 ________；（3）慧慧同学在欣欣同学方法的启发下利用这些点构造“回”字图形，结合明明同学的探究，由图1得
，由图2得 ，由图3得 ，…，由图 得________．
【答案】（1）
（ 2 ） ； ；
（3）
【解析】
【分析】本题考查图形类规律探究，根据题干抽象概括出相应的规律，是解题的关键：
（1）根据给出的表示方法，作答即可；
（2）观察可知，图1中最长虚线上共有3个点，图2中最长虚线上共有5个点，图3中最长虚线上共有7
个点，进而得到图 中最长虚线上共有 个点，结合（1）中的规律，得到图 建立的等式，再根据
等式求出 的值即可；
（3）根据已有等式，得到相应的规律即可．
【小问1详解】由图可知：图 的点总数可表示为 ；
故答案为： ；
【小问2详解】
由图可知，图1中最长虚线上共有3个点，图2中最长虚线上共有5个点，图3中最长虚线上共有7个点
，
故图 中最长虚线上共有 个点；
由（1）可知： ；
∴ ；
【小问3详解】
由图1得 ，由图2得 ，由图3得 ，…，
∴由图 得 ．
20. 如图，以 为直径的 交 于点 ， ， 为 上一点，连接 ， ， ，
．
（1）求证： 为 的切线；
（2）已知 ， ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2） ．
【解析】【分析】（1）连接 ，证明 ，即可得出结论；
（2）根据解直角三角形得到 ，则 ，
，证明 ，得到 ，再根据勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ，
为 的直径，
，
∴ ，
，
，
， ，
，
，即 ，
为 的半径，
为 的切线．
【小问2详解】
解： ，
，
，， ．
， ，
，
， ，
，
， ， ，
，
， ，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关
知识是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 综合与实践创新实验中学学生视力相关调查
【调查问卷】
调查目的
为了解创新实验中学学生的视力情况，随机选取了部分学生进行了视力检查，包括戴镜
类型调查和裸眼视力检查．
调查项目
（一）你佩戴近视眼镜的类型是（单选）
A．框架眼镜 B．隐形眼镜 C．角膜塑形镜 D．不戴
（二）你裸眼视力是
A．正常视力 B．轻度视力不良C．中度视力不良 D．重度视力不良
E．严重异常视力
注： 表示视力值．
（三）你戴镜视力检查的结果是
E．正常（5．0及5．0以上） F．异常（5．0以下）
将问卷调查表发放后让调查者填好及时收集起来．
【数据收集与整理】
数据的收集：将学生的裸眼视力从弱到好依次排序，部分数据如下：
“4.2，4.3，…，4.6，4.7，4.7，4.7，4.7，4.8，4.8，4.8，4.8，4.9，4.9，4.9，4.9，4.9，
5.0，…，5.1，5.2”数据的整理：1．将学生的戴镜类型情况进行整理，绘制出以下不完整的统计表和统
计图：
学生戴镜类型调查统计表
戴镜类型 频数 频率
．框架眼镜 6人 0.12
．隐形眼镜 人 0.20
．角膜塑形
18人
镜
．不戴镜 人
被调查同学裸眼视力直方图
【数据分析与运用】
（1）本次调查了________人， ________；
（2）被调查同学视力的中位数是________，补全学生裸眼视力频数直方图；
（3）该校共有1200名学生，求该校轻度视力不良及以上的学生共有多少人．
【答案】（1）50；16
.
（2）4 65，见解析（3）504人
【解析】
【分析】本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是数形结合．
（1）用“ 框架眼镜”中的频数除以频率，求出本次调查人数，再求出m的值，即可求出n；
（2）根据偶数的中位数是中间两个数的平均数，即可解答；
（3）求出被调查的同学轻度视力不良及以上的所占比，即可解答；
【小问1详解】
解： （人），
（人），
（人）．
故答案为50，16；
【小问2详解】
由学生的裸眼视力数据可知B轻度视力不良有9人， （人），
被调查同学视力的中位数是 ，
补全学生裸眼视力频数直方图如图：
故答案为：4.65；
【小问3详解】
（人），
答：该校轻度视力不良及以上的学生共504人．
七、（本题满分12分）
22. 已知 ， ， ， 与 相交于点 ．
（1）如图1，求证： ；（2）如图2，点 ， ， 在同一条直线上， 是 的中点， ．
①求 的值；
②点 ， 分别是 ， 的中点， ， 的延长线相交于点 ，连接 ， ，求证：
是等腰直角三角形．
【答案】（1）见解析 （2）① ；②见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，中位线的性质与判定，求正切，等腰三角形的性质与判定，
熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）根据 证明 ，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）①根据（1）中 可得 ，进而证明
，根据等腰三角形的性质以及中位线的性质得出 进而得出
，根据等腰直角三角形的性质可得 ，同理可证， ，
．进而得出 ，然后根据正切的定义，即可求解；
②连接 ，由①知， ，根据垂直平分线的性质得出 ，进而根据等腰三角形的意思三角形的内角和定理证明 ，即可．
【小问1详解】
证明： ，
，
．
， ，
，
．
【小问2详解】
解：如图，①取 的中点 ，连接 ，
由（1）可知， ，
．
，
，
．
， ，
．
，
，
，
．
同理可证， ， ．
， ， ，
，
，，
在 中， ；
②连接 ，由①知， ．
点 ， 分别是 ， 的中点，
， ，
， ，
，
， ．
，
．
，
是等腰直角三角形．
八、（本题满分14分）
23. 已知抛物线 经过点 ，点 是抛物线 上的任意一点，则点
在抛物线 上．（1）求抛物线 的解析式；
（2）点 在抛物线 上，点 在抛物线 上．
①已知 ， ，求 的值；
②已知 ，求 的最大值．
【答案】（1）
（2）①5；②12
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次
函数的性质，是解题的关键：
（1）待定系数法求出 的解析式，平移求出抛物线 的解析式即可；
（2）①根据点在抛物线上，得到 ， ，把 代入，
求解即可；②将 代入 ，转化为二次函数求最值即可．
【小问1详解】
解： 抛物线 经过点 ，
，解得 ，
抛物线 ；
由题意知，抛物线 是由抛物线 向右平移3个单位长度得到的，
抛物线 的解析式为 ．
【
小问2详解】
点 在抛物线 上，
，即 ．
点 在抛物线 上，，
，化简得，
．
① ，
，
，
，
，
．
，
，
．
② ，
．
，
的最大值为12．
