文档内容
25 届九年级一模质量监测
数学试题
注意事项：
1．满分150分，答题时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求）
1. 下列各数是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如
2π， 等；②开方开不尽的数，如 ， 等；③具有特殊结构的数，如 （两个1之间
依次增加1个0）， （两个2之间依次增加1个1）．根据无理数的定义逐项进行判断即
可．
【详解】解：A． 是整数，属于有理数，故不符合题意；
B． 是分数，属于有理数，故不符合题意；
C． 是整数，属于有理数，故不符合题意；
D．是无理数，故符合题意．
故选：D．
2. 2024年，安徽全省粮食总产量 亿斤，再创历史新高．将数据“ 亿”用科学记数法表示为（
）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ＜ ，
为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值 时， 是正整数．
【详解】解： 亿 ．
故选：B．
3. 下面四个几何体中，俯视图是四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了俯视图，从几何体上方看到的平面图形为俯视图，据此进行解答即可．
【详解】A、圆柱的俯视图是矩形，是四边形，符合题意；
B、三棱锥的俯视图是三角形，不符合题意；
C、五棱柱的俯视图是五边形，不符合题意；
D、球的俯视图是圆，不符合题意．
故选A．
4. 下列各式中计算结果为 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法原则、同底数幂的除法计算、同类项的合并原则逐一分析即可．
【详解】解：A、 中 , 不是同类项，不可以进行合并，故该选项错误；
B、 中 , 不是同类项，不可以进行合并，故该选项错误；
C、 ，故该选项错误；
D、 ，故该选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法原则、同底数幂的除法，同类项合并的原则，牢记知识点是解题的关键．
5. 已知圆锥的底面圆的半径为1，母线长为2，则该圆锥侧面展开图的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查求圆锥侧面展开图的面积．熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．
根据圆锥的侧面积公式，进行计算即可得出结论．
【详解】解：根据题意得：圆锥侧面展开图的面积为
．
故选：B
6. 不透明袋子中装有红球1个、绿球2个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再
随机摸出一个，两次都摸到颜色相同的球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用列表法或树状图法列举出所有可能出现的情况，求出两次都摸到颜色相同的球的概率，做出选
择即可．
【详解】画树状图如图：共用9种等可能性结果，两次都摸到颜色相同的球的结果有5个，
∴两次都摸到颜色相同的球的概率是 ；
故选：C．
【点睛】本题考查了树状图法与列表法求概率．解题关键是注意树状图法与列表法可以不重不漏 的表
示出所有等可能的结果．
7. 已知 ， 满足 ，则下列判断一定正确的是（ ）
.
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握实数的运算法则．
根据题意， 且 的正负不能确定，再逐项进行判断即可．
【详解】解：∵
且 的正负不能确定，
A． 的正负不能确定，故A错误．
B． 的正负不能确定，故B错误，
C． ，故选项C正确，
D. 的正负不能确定，故D错误，故选：C．
8. 已知一次函数 的图象如图所示，则二次函数 的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数和一次函数图象的综合判断，解题的关键是根据图象获得各部分系数的符号．
根据已知一次函数图象得到a，b的符号，据此判断二次函数图象即可．
【详解】解：根据 的图象可知： ， ，
∴二次函数 图象开口向上，对称轴为直线 ，
∵ ，
∴二次函数 图象过原点，
综上可知，符合要求的图象为D，
故选：D
9. 如图，在平行四边形 中，点 将对角线 分成两段，且 ，连接 ，并延长至点
，使得 ，连接 ．若 ，则 的值为（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是
解题的关键．连接 ，过点 作 交 于点G，连接 ，证明 ，
则 ，证明四边形 和 是平行四边形，可设 ，则 ，
，得到 ,即可得到答案．
【详解】解：连接 ，过点 作 交 于点G，连接 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴
∵四边形 是平行四边形，∴ ，
∴
∴ 是平行四边形，
∴
∵ ，
∴可设 ，则 ，
∴ ，
∴ ,
∴ ，
故选：A
10. 如图，在平面直角坐标系中， 的斜边 与 轴交于点 ．若点 的坐标为 ，
，则 与 的面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用．过点A作 轴于点 ，过点B作 轴于点 ，
则 ，利用解直角三角形求出 ， ，根据同高三角形面积之比等于底之比即可求出答案．
【详解】解：过点A作 轴于点 ，过点B作 轴于点 ，则
，
∵点 的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∴ ，解得 ，即 ，
∴
∴ 与 的面积之比为
故选：C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 分解因式： ______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题主要考查完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．符合完全平方公式的结构形
式，直接利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为： ．
12. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式得出 ，即 ，
然后代入 计算即可．
【详解】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，即 ，
∴ ．故答案为：1．
13. 如图，在 中， 是边 上的一点，将 沿 所在的直线折叠，使得点 落在 下
方的点 处， 与 相交于点 ．若 ， ，则 的度数为______．
【答案】 ## 度
【解析】
【分析】此题考查了折叠的性质和三角形内角和定理．根据折叠的性质得到 ，
，再由三角形内角和定理求出 ，即可
得到答案．
【详解】解：∵ ， 沿 所在的直线折叠，使得点 落在 下方的点 处，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：
14. 如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与反比例函数 的图象在第一象限交于点 ．（1） ______．
（2）若 （不与点 ， 重合）是线段 上的动点，过点 作 轴的平行线，交反比例函数 的
图象于点 ， 轴， 轴，垂足分别为 ， ，则四边形 面积的最大值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题、矩形的判定和性质、二次函数的最值等知识，准
确列出二次函数解析式是关键．
（1）求出点 和点 的坐标，利用勾股定理即可求出答案；
（2）设点 C 的坐标为 ，证明四边形 是矩形，得到 ，则
，得到四边形 的面积为 ，利用二次函数的性质
即可求出答案．
【详解】解：（1）当 时， ，解得 ，
∴点 的坐标为 ，
联立得到 ，解得 或 ，
∴ ,
∴ ，
故答案为：
（2）设点C的坐标为 ，
∵过点 作 轴的平行线，交反比例函数 的图象于点 ， 轴， 轴，垂足分别为 ，
，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的面积
当 时，四边形 的面积取得最大值 ，
故答案为：
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了负整指数幂、算术平方根和有理数的乘方的运算法则，解决本题的关键是掌握以上的
运算法则．根据负整指数幂、算术平方根和有理数的乘方进行运算，即可求解．【详解】解：
．
16. 近年来，随着新能源汽车保有量日益增多，某地大力推进公共充电桩的建设，计划今年第一季度新建
快充桩与普充桩共计 个，第二季度新建这两种充电桩的总量比第一季度增加 ，其中快充桩增加
，普充桩增加 ，该地计划在第一季度新建快充桩与普充桩各多少个？
【答案】设该地计划在第一季度新建快充桩 个，则新建普充桩 个
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该地计划在第一季度新建快充桩 个，则新建普充桩
个，第二季度新建这两种充电桩的总量为 ，根据题意列出一元一次方程，解方
程，即可求解．
【详解】解：设该地计划在第一季度新建快充桩 个，则新建普充桩 个，第二季度新建这两种充
电桩的总量为 ，根据题意得，
解得：
∴新建普充桩 （个）
答：设该地计划在第一季度新建快充桩 个，则新建普充桩 个
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段 ．（1）将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，画出线段 ．
（2）将线段 向上平移2个单位长度，得到线段 ，画出线段 ，并连接线段 ．
（3）在线段 ， 上分别找到点 ， ，使得直线 垂直平分线段 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了画旋转图形，作平移图形，垂直平分线的性质，勾股定理与网格问题；
（1）根据旋转的性质画出点 ，连接
（2）根据题意线段 向上平移2个单位长度，得到线段 ，并连接线段
（3）根据网格的特点找到 的中点 ，在 上找到点 ， ，进而可得直线 垂
直平分线段
【小问1详解】
解：如图所示， ，即为所求
【小问2详解】解：如图所示， ， ，即为所求
【小问3详解】
解：如图所示， 即为所求，
∵ ，
∴直线 垂直平分线段
18. 观察下列等式．
第1个等式： ．
第2个等式： ．
第3个等式： ．
第4个等式： ．
……
按照以上规律，解答下列问题．
（1）写出第5个等式： ．
（2）写出你猜想的第 个等式（用含 的式子表示），并证明．
【答案】（1）
（2） ，证明见解析【解析】
【分析】本题考查了数字类规律探究，多项式乘以多项式，找到规律是解题的关键；
（1）观察前几个式子得出第5个等式： ；
（2）猜想：第 个等式为 ，根据多项式乘以多项式，进行计算证明，即可求解．
【小问1详解】
解：第5个等式： ．
故答案为： ．
【小问2详解】
猜想：第 个等式为
证明：左边
右边
左边 右边
∴
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，某地规划建设一段东西走向的高速公路 ，点 周围200米范围内为居民区，在 上的点
处测得点 在点 的北偏东 方向上，从点 向东走700米到达点 处，测得点 在点 的北偏西
方向上．根据相关规定，高速公路与居民区之间的安全距离不少于30米，那么高速公路 在此处
修建是否符合规定？请通过计算说明理由．（参考数据： ， ，
）【答案】高速公路 在此处修建是符合规定．理由见解析
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，过点C作 于点 ，则 ，设
，得到 ，根据 米列方程，求出 ，
比较后即可得到结论．
【详解】解：过点C作 于点 ，则 ，设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 米，
∴
解得 ，
∵ ，
∴高速公路 在此处修建是符合规定．
20. 如图，在 中， ， 是 的平分线，点 在 上， 经过 ，
两点，交 于点 ．（1）求证： 是 的切线．
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义得出 ，进而 ，又
，即 ，得到 ，根据切线的判定方法即可得出结论；
（2）设 的半径为 ，则 在 中， ，列方
程求解即可．
本题考查切线的判定和性质，勾股定理，掌握切线的判定方法和勾股定理是正确解答的关键．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 是 的平分线，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
即
∴
∵ 是 的半径，∴ 是 的切线；
【小问2详解】
解：设 的半径为 ，则
在 中， ，
∴
解得 ，
即半径为 ．
六、（本题满分12分）
21. 综合与实践
【项目背景】
研究表明，体重在正常范围内者患各种疾病的危险性小于消瘦，超重或肥胖者．一般地，如果某人的体重
为 ，身高为 ，我们把 的值称为体重指数．下表给出了体重状况对应的体重指数的范围．
体重状况 消瘦 正常 超重 肥胖
体重指数 的范围
某校学生开展了体重指数的综合实践活动．
【数据收集与整理】
从男生与女生中各随机选取150人进行体重指数测算统计，并绘制统计图表，部分信息如下．
150名男生体重状况扇形统计图150名女生体重状况频数分布表
体重状 频
况 数
消瘦 18
正常 102
超重
肥胖 10
已知女生肥胖体重指数的全部数据如下： ， ， ， ， ， ， ， ，
， ．
请根据以上信息，解答下列问题
（1）填空： ， ．
（2）女生肥胖体重指数的中位数是 ，众数是 ．
（3）该校有750名男生与700名女生，估计该校学生中体重正常的人数．
【答案】（1） ，
（2） ，
（3）
【解析】
【分析】本题考查了扇形统计图与频数分布表，中位数与众数，样本估计总体，掌握以上知识是解题的关
键；
（1）根据扇形统计图与频数分布表，分别求得 的值，即可求解；
（2）根据中位数与众数的定义，即可求解；
（3）用样本估计总体，即可求解．
【小问1详解】
解： ，
∴ ，，
故答案为： ， ．
【小问2详解】
解：已知女生肥胖体重指数的全部数据如下： ， ， ， ， ， ， ， ，
， ．
第5和第6个数据分别为 ， ，中位数是： ，众数是 ，
故答案为： ， ．
【小问3详解】
解： ，
估计该校学生中体重正常的人数为 ．
七、（本题满分12分）
22. 如图1，在四边形 中，对角线 与 相交于点 ， 平分 ，过点 作 的垂线，
交 于点 ，且 平分 ．
的
（1）若 ，求 度数．
（2）求证： ．
（3）如图2，若 ， ，求 的值．【答案】（1） （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义可得 ，利用三角形内角和定理
求出 ，即可求出 ，进而得到
再根据垂线的定义得到 ，由三角形外角的性质即可求解；
（2）连接 ，根据 平分 ， 平分 ，可得 平分 ，结合三角形内即耦合
定理，可得 ，再根据三角形外角的性质结合直角三角形的性质可证
，再根据 ，可证 ，推出 ，结合
，即可证明 ；
（3）连接 ，由（2）知 ，求出 ，设BD=11x(x>0)，
则 ， ，利用等边对等角结合（2）中由（2）知 平分 ，
，可得 ， ， ，可证
，推出 ，结合 ，利用正弦的定义即可解答．
【小问1详解】
解：∵ 平分 ， 平分 ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的一个外角，
∴ ；
【小问2详解】
证明：连接
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：如图，连接 ，
由（2）知 ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
设BD=11x(x>0)，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（2）知 平分 ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角
的性质，正弦的定义，熟练掌握三角形内心的性质及定义是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 规定：对于二次函数 ，我们把它的图象与 轴交点的横坐标称为二次函数
的零点．已知二次函数 有两个零点 ， ．
（1）当 ， 时，求 ， 的值．
（2）请用含 ， 的代数式表示二次函数 的最小值．（3）已知二次函数 的图象经过点 ，且 ．求证： ．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、函数的最值、一元二次方程根与系数关系等知识，熟练掌握
二次函数的性质和根与系数关系是关键．
（1）根据零点的定义列方程组并解方程组即可；
（2）根据根与系数关系得到 ，求出二次函数 的最小值为
．代入即可；
（3）由题意得到 ，根与系数关系得到 ，得到 ，
则 ，由 ，得到 ，且
，得到 ，即可证明结论．
【小问1详解】
解：当 ， 时，
，
解得 ，
【小问2详解】
∵二次函数 有两个零点 ， ．∴
即 是 的两个根，
∴ ，
∵二次函数 的最小值为 ．
∴
即二次函数 的最小值为 ．
【小问3详解】
∵二次函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∵ 是 的两个根，
∴ ，
∴ ，
则 ，
∵ ，
∴ ，且 ，
∴
∴
