文档内容
2024—2025 学年九年级第一次模拟
数学试卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 5的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 2025年春节期间，国产大模型 凭借颠覆性技术与高性价比成为现象级 产品，在其发
布18天内，下载量突破1600万次，遥遥领先竞争对手，其中1600万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 《多收了三五斗》是我国著名作家叶圣陶创作的短篇小说，文中的“斗”是我国古代称量粮食的器具．
如图 是一个口大底小无盖方形的“斗”，将它按图 方式摆放后的俯视图为（ ）．
A. B. C. D.
5. 如图，已知 ，过 边上一点O作直线 ，经测量 ，要使 ，直线绕点O按逆时针方向至少旋转（ ）
A. B. C. D.
6. 将不等式组 的解集表示在同一条数轴上，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知点 ， ， 在同一个函数图象上，则这个函数图象可能 是（ ）
A. B. C.
D.
8. 如图，边长为 的正六边形螺帽，中心为点 ， 垂直平分边 ，垂足为B， ，
用扳手拧动螺帽旋转 ，则点A在该过程中所经过的路径长为（ ）A. B. C. D.
9. 已知二次函数 图象 的一部分如图所示，该函数图象经过点 ，对称轴
为直线 ．对于下列结论：① ；② ；③多项式 可因式分解为
；④当 时，关于 的方程 无实数根．其中正确的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 如图，在 中， ， ， ，点P为 边上一动点， 于点E，
于点F，连接 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. 3 D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知a，b是两个连续的正整数， ，则 的值为_____________．12. 分解因式： _____________．
13. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，
二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、
小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、
大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为______．
14. 如图，一次函数与反比例函数 在第一象限内交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交
于点D，点A的横坐标为1，点B的横坐标为3．
（1）写出反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围________；
（2）用含k的代数式表示 的面积：________．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
16. 清朝数学家梅文鼎的《方程论》中有这样一题：山田三亩，场地六亩，共折实田四亩七分；又山田五
亩，场地三亩，共折实田五亩五分，问每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？译文为：若有山田3
亩，场地6亩，其产粮相当于实田 亩；若有山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田 亩，问每亩山
田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点的坐标分别为 ， ， 均在小正方形
网格的格点上．的
（1）画出 关于 轴 对称图形 （点A，B，C的对应点分别为点 ， ， ），并
直接写出 的面积；
（2）在第三象限内的格点上找点D，连接 ， ，使得 ，并写出点D的坐标．
18. 如图，用 个实心圆圈， 个圆圈相间组成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列差律组成圆环
串； 相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以实心圆圈和空心圆圈相间排列．
圆环串中圆环的个数
实心圆圈和空心圆圈的总个数
（1）把表格补充完整：
（2）设圆环串由 个圆环组成，请你直接写出组成这圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数______个(用
含 的代数式表示)；
（3）如果圆环串由这样的圆环 个组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个? 有多少个空心圆圈?
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意
图（如图2），测得底座高 为 ， ，支架 为 ，面板长 为 ，
为 ．（厚度忽略不计）（1）求支点C离桌面 的高度；（结果保留根号）
（2）当面板 绕点C转动时，面板与桌面的夹角 满足 时，保护视力的效果较好．当
从 变化到 的过程中，面板上端E离桌面 的高度增加还是减少？面板上端E离桌面 的高度增加
或减少了多少？（结果精确到 ，参考数据： ， ， ）
20. 如图， 是半圆 的直径， 是半圆上不同于 的一点， 是 的内心， 的延长线交半
圆 于点 ，连结 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
六、（本题满分12分）
21. 非物质文化遗产（简称“非遗”）进校园是对文化传承的担当，是对文化自信的增强，为了了解学生
对“非遗”知识的认知情况，我校举行有关“非遗”的知识测试活动，现从七、八年级中各随机抽取20名
学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
的
七年级20名学生 测试成绩为：
7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示：七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如下表所示：
平均 众 中位
年级
数 数 数
七年
7.5 7
级
八年
8
级
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）上表中 _______， _______， _______；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“非遗”知识的认知情况较好？请说明理
由（写出一条理由即可）；
的
（3）我校七、八年级共220名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格 学生人数
是多少？
七、（本题满分12分）
22. 如图①，已知正方形 和等腰直角 ， ，连接 ， ．
（1）【问题发现】
如图①，线段 与 的数量关系为______，位置关系为______；
（2）【问题探究】
如图②，将 绕点A旋转，再将 绕点F顺时针方向旋转 至 ，连接 ，探究线段与线段 的数量及位置关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
将 绕点A旋转至 ，延长 交直线 于 、交 于 ，若 ， ，求
出 的长．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与y轴的交点坐标为 ，图象
的顶点为M．矩形 的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为 ．
（1）求c的值及顶点M的坐标，
（2）如图2，将矩形 沿x轴正方向平移t个单位 得到对应的矩形 ．已知边
， 分别与函数 的图象交于点P，Q，连接 ，过点P作 于点G．
①当 时，求 的长；
②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得 的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不
存在，请说明理由．
