文档内容
2024—2025 学年九年级第一次模拟
数学试卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 5的相反数是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相反数的定义解答．
【详解】解：只有符号不同的两个数称为互为相反数，
则5的相反数为-5，
故选D.
【点睛】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
2. 2025年春节期间，国产大模型 凭借颠覆性技术与高性价比成为现象级 产品，在其发
布18天内，下载量突破1600万次，遥遥领先竞争对手，其中1600万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 ，其中 ，确定 与
的值是解题的关键．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ， 为整数，且 比原来的整数位数
少1，据此判断即可．【详解】解：1600万
，
故选：C．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据积的乘方，幂的乘方，单项式的除法，完全平方公式即可求解．
【详解】解：A选项， 与 不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B选项， ，故本选项不符合题意；
C选项， ，故本选项不符合题意；
D选项， ，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算，掌握积的乘方，幂的乘方，单项式的除法，完全平方公式的运用
是解题的关键．
4. 《多收了三五斗》是我国著名作家叶圣陶创作的短篇小说，文中的“斗”是我国古代称量粮食的器具．
如图 是一个口大底小无盖方形的“斗”，将它按图 方式摆放后的俯视图为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟知俯视图是从上面看到的图形是解题的关键．
根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形，即看到的图形
如图所示：
，
故选A．
.
5 如图，已知 ，过 边上一点O作直线 ，经测量 ，要使 ，
直线 绕点O按逆时针方向至少旋转（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转角以及平行线的判定和性质的运用，令 ，然后根据平行线的性质，可
以求得 的度数，再根据 的度数，即可求得 的度数．
【详解】解：令 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
即直线 绕点O按逆时针方向至少旋转 ，
故选：B．
6. 将不等式组 的解集表示在同一条数轴上，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别解出两个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可．
【详解】解： ，
解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
∴不等式组的解集为 ，
数轴表示如下：
故选： ．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求出每一个不等式解集
是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7. 已知点 ， ， 在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）A. B. C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象、一次函数、反比例函数的图象，熟练掌握函数图象的性质是解题的关
键．
根据点B、C，可得该函数图象关于y轴对称，再由点A，B，可得在y轴的右侧y随x的增大而减小，即可
求解；
【详解】解： 点 ， ，在同一个函数图象上，点 与点 关于 轴对称；
故函数图象关于 轴对称，故A、C选项不符合题意，
， ，在同一个函数图象上， ， ，
当 时， 随 的增大而减小，故B选项符合题意，D选项不符合题意．
故选：B．
8. 如图，边长为 的正六边形螺帽，中心为点 ， 垂直平分边 ，垂足为B， ，
用扳手拧动螺帽旋转 ，则点A在该过程中所经过的路径长为（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，弧长公式，利用正六边
形的性质和勾股定理求出 的长度，进而得到 的长度，最后根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：如图所示，连接 ．
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点A在该过程中所经过的路径长 ．
故选：C．
9. 已知二次函数 图象的一部分如图所示，该函数图象经过点 ，对称轴为直线 ．对于下列结论：① ；② ；③多项式 可因式分解为 ；
④当 时，关于 的方程 无实数根．其中正确的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握
二次函数图象与系数的关系是解题的关键．①根据图像分别判断 ， ， 的符号即可；②将点 代入
函数即可得到答案；③根据题意可得该函数与 轴的另一个交点的横坐标为 5，即可得到
；④由 ， 得到 ， ，将 代入函数得
，从而推出当 时，该抛物线与直线 的图象无交点，即可判断．
【详解】解：由题图可知 ， ，
，故①正确；
当 时， ，即 ，故②正确；
二次函数与 轴的一个交点的横坐标为 ，对称轴为直线 ，
二次函数与 轴的另一个交点的横坐标为5，
多项式 ，故③错误；当 时， 有最大值，即 ，
当 时，抛物线 与直线 的图象无交点，
即关于x的方程 无实数根，故④正确．
综上，①②④正确．
故选：C．
10. 如图，在 中， ， ， ，点P为 边上一动点， 于点E，
于点F，连接 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键．
连接 ，取 的中点 ，连接 ， ，先证明 为等腰直角三角形，得出 ，然
后得出当 时， 取最小值，则 也取最小值，最后直角三角形的性质和勾股定理求出 的
值即可．
【详解】解：如图，连接 ，取 的中点 ，连接 ， ，， ，
，
，
， ，
，
，
为等腰直角三角形，
，
当 时， 取最小值，此时 的值也最小，
，
，
，
∴ ，
的最小值为 ，
此时， 的最小值为 ．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11. 已知a，b是两个连续的正整数， ，则 的值为_____________．
【答案】7
【解析】
【分析】估算出 ，得到 ，即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：7
【点睛】此题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键．
12. 分解因式： _____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解，先提公因式 ，然后再用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
．
故答案为： ．
13. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，
二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、
小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、
大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为______．【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率公式．根据概率公式直接得出答案．
【详解】解：二十四个节气中选一个节气，抽到 的节气在夏季的有六个，
则抽到的节气在夏季的概率为 ，
故答案为： ．
14. 如图，一次函数与反比例函数 在第一象限内交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交
于点D，点A的横坐标为1，点B的横坐标为3．
（1）写出反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围________；
（2）用含k的代数式表示 的面积：________．
【答案】 ①. 或 ； ②.
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，一次函数解析式．
（1）根据图象找到反比例函数在一次函数上方部分，可得答案；
（2）由题意知， ， ，设直线 的解析式为 ，将 ， 代入，
得直线 的解析式为 ，分别令 ， 即可得 ， ，再根据三角形
面积公式即可得解．
【详解】解：（1）由图象可知，写出反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围为： 或；
故答案为： 或 ；
（2）由题意知， ， ，
由图象可知， ，
设直线 的解析式为 ，将 ， 代入，
得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
令 得， ，即 ，
令 得， ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】【解析】
【分析】根据实数的混合运算法则即可求解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
16. 清朝数学家梅文鼎的《方程论》中有这样一题：山田三亩，场地六亩，共折实田四亩七分；又山田五
亩，场地三亩，共折实田五亩五分，问每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？译文为：若有山田3
亩，场地6亩，其产粮相当于实田 亩；若有山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田 亩，问每亩山
田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？
【答案】每亩山田相当于实田 亩，每亩场地相当于实田 亩
【解析】
【分析】设每亩山田产粮相当于实田x亩，每亩场地产粮相当于实田y亩，根据“若有山田3亩，场地6
亩，其产粮相当于实田 亩；若有山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田 亩”列出方程组，求解即
可．
【详解】解：设每亩山田产粮相当于实田x亩，每亩场地产粮相当于实田y亩，
可列方程组为 ，
解得 ，
答：每亩山田相当于实田 亩，每亩场地相当于实田 亩．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准数量关系是解题关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点的坐标分别为 ， ， 均在小正方形
网格的格点上．（1）画出 关于 轴的对称图形 （点A，B，C的对应点分别为点 ， ， ），并直接
写出 的面积；
（2）在第三象限内的格点上找点D，连接 ， ，使得 ，并写出点D的坐标．
【答案】（1）图见解析，4
（2）图见解析，
【解析】
【分析】本题考查了坐标系中作图，对称作图，作已知角等于定角．
（1）根据 ， ， ，得到关于x轴对称的 的三个顶点坐标分别为 ，
， ，画图即可，再利用割补法求 的面积；
（2）把线段 绕 顺时针旋转 即为所求．
【小问1详解】
解：根据 ， ， ，得到关于x轴对称的 的三个顶点坐标分别为 ，
， ，
如图所示：
则 即为所求，
，
即 的面积为4；【小问2详解】
解：根据题意，画图如下：
则点D即为所求， ．
18. 如图，用 个实心圆圈， 个圆圈相间组成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列差律组成圆环
串； 相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以实心圆圈和空心圆圈相间排列．
圆环串中圆环 的个数
实心圆圈和空心圆圈的总个数
（1）把表格补充完整：
（2）设圆环串由 个圆环组成，请你直接写出组成这圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数______个(用含 的代数式表示)；
（3）如果圆环串由这样的圆环 个组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个? 有多少个空心圆圈?
【答案】（1）表格补充完整见解析；
（2） ；
（3）实心圆圈和空心圆圈的总数有 个，空心圆圈有 个．
【解析】
【分析】（ ）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出 个，由此规律得出答案即可；
（ ）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出 个，由此规律得出答案即可；
（ ）因为围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多 个，由（ ）得出的规律，直接算出总数，进
而即可求出空心圆圈数；
本题考查了图形类变化规律，根据图形，找到数字间 的运算规律是解题的关键．
【小问1详解】
解：表格补充完整如下：
圆环串中圆环的个数
实心圆圈和空心圆圈的总个数
【小问2详解】
解：∵每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出 个，
∴当圆环串由 个圆环组成，组成圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为 个，
故答案为： ；
【小问3详解】
解：当 时，实心圆圈和空心圆圈的总数有 个，
∵围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多 个，
∴空心圆圈有 个．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高 为 ， ，支架 为 ，面板长 为 ，
为 ．（厚度忽略不计）
（1）求支点C离桌面 的高度；（结果保留根号）
（2）当面板 绕点C转动时，面板与桌面的夹角 满足 时，保护视力的效果较好．当
从 变化到 的过程中，面板上端E离桌面 的高度增加还是减少？面板上端E离桌面 的高度增加
或减少了多少？（结果精确到 ，参考数据： ， ， ）
【答案】（1）
（2）高度是增加了，增加了约
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此
题的关键．
（1）过点C作 于点F，过点B作 于点M，则四边形 为矩形，可得
， ．求出 ，解直角三角形求出 的长，即可得解；
（2）过点C作 ，过点E作 于点H，分别求出从 变化到 的过程中 的值，即
可得解．
【小问1详解】解：过点C作 于点F，过点B作 于点M，
∴ ．
由题意得， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
答：支点C离桌面 的高度为 ．
【小问2详解】
解：过点C作 ，过点E作 于点H，∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
当 时， ；
当 时， ；
∴
∴当 从 变化到 的过程中，面板上端E离桌面 的高度是增加了，增加了约 ．
20. 如图， 是半圆 的直径， 是半圆上不同于 的一点， 是 的内心， 的延长线交半
圆 于点 ，连结 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角三角性的判定和性质，三角形的内心等知识：（ 1 ） 根 据 是 半 圆 的 直 径 ， 可 得 ， 从 而 得 到
，进而得到 ，即可求证；
（2）过点O作 于点E，可得 ，从而得到 ，进而得到
，可得到 ， ，再证得 是等腰直角三角形，可得 ，
即可求解．
【小问1详解】
证明：∵ 是 的内心，
∴ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ 是半圆 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：如图，过点O作 于点E，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
六、（本题满分12分）
21. 非物质文化遗产（简称“非遗”）进校园是对文化传承的担当，是对文化自信的增强，为了了解学生
对“非遗”知识的认知情况，我校举行有关“非遗”的知识测试活动，现从七、八年级中各随机抽取20名
学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的测试成绩为：
7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示：七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如下表所示：
平均 众 中位
年级
数 数 数
七年
7.5 7
级
八年
8
级
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）上表中 _______， _______， _______；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“非遗”知识的认知情况较好？请说明理
由（写出一条理由即可）；
（3）我校七、八年级共220名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多
少？
【答案】（1）7.5；7；7.5
（2）八年级的学生对“非遗”知识的认知情况较好，理由见解析
（3）198人
【解析】
【分析】本题考查条形统计图、中位数、众数、平均数的意义．
（1）根据中位数、众数、平均数的计算方法求解即可得出a、b、c的值；
（2）从中位数、众数的角度调查结论即可；
（3）用总人数乘以七、八年级的总体合格率即可．
【小问1详解】
解： ，
七年级学生成绩出现次数最多的是7分，共出现6次，则 ，，
故答案为：7.5；7；7.5；
【小问2详解】
解：八年级的学生对“非遗”知识的认知情况较好，理由如下：
八年级的学生成绩的中位数、众数都比七年级学生的高；
【小问3详解】
解： （人），
答：估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是198人．
七、（本题满分12分）
22. 如图①，已知正方形 和等腰直角 ， ，连接 ， ．
（1）【问题发现】
如图①，线段 与 的数量关系为______，位置关系为______；
（2）【问题探究】
如图②，将 绕点A旋转，再将 绕点F顺时针方向旋转 至 ，连接 ，探究线段
与线段 的数量及位置关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
将 绕点A旋转至 ，延长 交直线 于 、交 于 ，若 ， ，求
出 的长．
【答案】（1） ， ；
（2） ， ，理由见解析；
（3）3或15．
【解析】【 分 析 】 （ 1 ） 延 长 交 于 点 ， 证 明 ， ，
， ，进而即可作答；
（2）延长 交 于 ，交 于 ，推出 是等腰直角三角形， ，
， ， ， ，则 ，推出四边
形 为平行四边形，即可作答；
（3）分两种情况讨论，分别作答即可．
【小问1详解】
解：延长 交 于点 ，
为等腰直角三角形，四边形 为正方形，
， ， ，
，
， ，
，
，
，
，
即 ，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解： ， ，理由如下：
如图，延长 交 于 ，交 于 ，四边形 是正方形，
， ，
是等腰直角三角形， ，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
， ，
，
四边形 为平行四边形，
， ；
【小问3详解】
解：分两种情况，情况一：如图，
， ，
，由（1）得 ，
四边形 为正方形，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
；
情况二：如图，
同理得 ， ，
，
综上所述： 的长为3或15．
【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，
三角形相似的判定与性质，解题的关键是分类讨论画出相应的图形解决问题．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与y轴的交点坐标为 ，图象的顶点为M．矩形 的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为 ．
（1）求c的值及顶点M的坐标，
（2）如图2，将矩形 沿x轴正方向平移t个单位 得到对应的矩形 ．已知边
， 分别与函数 的图象交于点P，Q，连接 ，过点P作 于点G．
①当 时，求 的长；
②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得 的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不
存在，请说明理由．
【答案】（1） ，顶点M的坐标是
（2）①1；②存在， 或
【解析】
【分析】（1）把 代入抛物线 的解析式即可求出c，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；
（2）①先判断当 时， ， 的坐标分别是 ， ，再求出 ， 时点Q的纵坐标与
点P的纵坐标，进而求解；
②先求出 ，易得P，Q的坐标分别是 ， ，然后分点G在点Q的上
方与点G在点Q的下方两种情况，结合函数图象求解即可．
【小问1详解】
∵二次函数 的图象与y轴的交点坐标为 ，∴ ，
∴ ，
∴顶点M的坐标是 ．
【小问2详解】
①∵A在x轴上，B的坐标为 ，
∴点A的坐标是 ．
当 时， ， 的坐标分别是 ， ．
当 时， ，即点Q的纵坐标是2，
当 时， ，即点P的纵坐标是1．
∵ ，
∴点G的纵坐标是1，
∴ ．
②存在．理由如下：
∵ 的面积为1， ，
∴ ．
根据题意，得P，Q的坐标分别是 ， ．
如图1，当点G在点Q的上方时， ，
此时 （在 的范围内），如图2，当点G在点Q的下方时， ，
此时 （在 的范围内）．
∴ 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次
函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
