文档内容
第 14 讲 三角形与全等三角形
第一部分：知识点梳理
知识点1：三角形的相关概念
1.三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形。（三角形具有稳定性）
2.三角形的三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边． 推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确
定第三边的范围；③证明线段不等关系。
3.三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和 等于 18 0 °。
推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形
的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
知识点2：三角形中的重要线段
1.三角形中的重要线段
（1）三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
（4）三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
知识点3：角平分线的性质与判定
1.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等．
如图，已知OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，，则CD = CE．
2.角平分线的判定定理：角的内部，与角两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
知识点4：全等三角形的判定与性质（☆☆☆）
1. 全等三角形的判定定理：
（1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（边边边SSS）；
（2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（边角边SAS）；
（3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（角边角ASA）；
（4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（角角边AAS）；
（5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直
角边对应相等的两个直角三角形全等（斜边直角边HL）。
2.全等三角形的性质：
第 1 页 共 17 页（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；
（2）全等三角形的周长相等，面积相等；
（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线都相等。
知识点5：全等三角形的应用
1.通过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形。
2.若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补
短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目。
3.利用全等三角形解决实际问题的方法：把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画
出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
第二部分：考点突破
考点1三角形的相关线段
1．（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位： ）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10
2．（2018·河北·中考真题）下列图形具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山东德州·中考真题）如图，在 中， 是高， 是中线， ， ，则
的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．6
4．（2025·河北·中考真题）平行四边形的一组邻边长分别为 ， ，一条对角线长为 ．若 为整数，则
的值可以为 ．（写出一个即可）
5．（2024·青海西宁·中考真题）若长度分别为3，6， 的三条线段能组成一个三角形，则整数 的值可
以是 ．（写出一个即可）
第 2 页 共 17 页6．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在 中， ，点 、 分别在边 和 上，且
， ，连接 ，点 、 分别是 、 的中点，连接 ，则 的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
7．（2025·湖南·中考真题）已知， ， ， 是 的三条边长，记 ，其中 为整数．
（1）若三角形为等边三角形，则 ；
（2）下列结论正确的是 （写出所有正确的结论）
①若 ， ，则 为直角三角形
②若 ， ， ，则
③若 ， ， ， ， 为三个连续整数，且 ，则满足条件的 的个数为7.
考点2三角形的相关角
8．（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式
摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上， ．当
时， 的大小为（ ）
第 3 页 共 17 页A． B． C． D．
9．（2025·吉林·中考真题）如图，在 中， ．尺规作图操作如下：（1）
以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 于点M，N；（2）以点C为圆心， 长为半径
画弧，交边 于点 ；再以点 为圆心， 长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角
形内部的点 ；（3）过点 画射线 交边 于点D．下列结论错误的为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·陕西·中考真题）如图，在 中， ， ， 为 边上的中线，
，则图中与 互余的角共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形 是矩形，对角线 相交于点O，点E，F分
别在边 上，连接 交对角线 于点P．若P为 的中点， ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．（2025·辽宁·中考真题）如图，点 在 的边 上， ，垂足为 ， ，若
第 4 页 共 17 页，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
13．（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若 ， ， ，
则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·四川攀枝花·中考真题）将一把直尺与一块含有 角的直角三角板按如图方式放置，若
，则 为（ ）
A． B． C． D．
15．（2024·山西·中考真题）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力 的方向竖直向下，支
持力 的方向与斜面垂直，摩擦力 的方向与斜面平行．若斜面的坡角 ，则摩擦力 与重力 方
向的夹角 的度数为（ ）
第 5 页 共 17 页A． B． C． D．
16．（2025·山东·中考真题）在 中， ， ， 的平分线 交 于
点 ．如图1．
(1)求 的度数；
(2)已知 ，分别以 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 ， ，作直线
交 于点 ，交 的延长线于点F．如图2，求 的长．
17．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在 中， ，以点C为圆心，适当长为半
径作弧，交 于点M，交 于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 的长度为半径作弧，两弧相
交于点P，作射线 交 于点D．
第 6 页 共 17 页(1)求 的度数；
(2)若 ，求 的长．
考点3角平分线
18．（2024·青海·中考真题）如图， 平分 ，点P在 上， ， ，则点P到
的距离是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
19．（2024·四川南充·中考真题）如图，在 中， ， 平分
交 于点D，点E为边 上一点，则线段 长度的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．3
20．（2024·山东德州·中考真题）如图 中， ， ，垂足为D， 平分
，分别交 ， 于点F，E．若 ，则 为（ ）
第 7 页 共 17 页A． B． C． D．
21．（2024·云南·中考真题）已知 是等腰 底边 上的高，若点 到直线 的距离为3，则点
到直线 的距离为（ ）
A． B．2 C．3 D．
22．（2025·山东东营·中考真题）如图，在 中， ， ， 的平分线交 于
点 ， 、 分别是 和 上的动点，则 的最小值是 ．
考点4垂直平分线
23．（2025·四川达州·中考真题）如图，在 中， ，线段 的垂直平分线交
于点E，交 于点D，则 的周长为（ ）
A．21 B．14 C．13 D．9
24．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在 中， ， 的垂直平分线分别交 、 于
点D、E， 的垂直平分线分别交 、 于点F、G，则 的周长为（ ）
第 8 页 共 17 页A．5 B．6 C．7 D．8
25．（2025·湖南·中考真题）如图，在四边形 中，对角线 与 互相垂直平分， ，则四边
形 的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
26．（2024·陕西·中考真题）如图，在 中， ，E是边 上一点，连接 ，在 右侧作
，且 ，连接 ．若 ， ，则四边形 的面积为 ．
27．（2025·广西·中考真题）如图，点 在 同侧， ，则
．
28．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形 中，
对角线 交于点O．下列条件中，不能判断四边形 是筝形的是（ ）
第 9 页 共 17 页A. ， B. ，
C. ， D. ，
29．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在 中， ，分别以点 和点 为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧相交于 ， 两点，作直线 交 于点 ，连接 ，若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
30．（2025·四川成都·中考真题）如图，在 中， ， ， ．以点A为圆心，
以 长为半径作弧；再以点C为圆心，以 长为半径作弧，两弧在 上方交于点D，连接 ，则
的长为 ．
31．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在 中， ，连接 ，分别以点A，C
为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线 ，交 于点M，交 于点N，若
点N恰为 的中点，则 的长为 ．
第 10 页 共 17 页32．（2025·湖南·中考真题）如图，在 中， ，点 是 的中点，分别以点 ， 为圆心，
以大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ， ，直线 交 于点 ，连接 ，则 的长是
．
考点5全等三角形
33．（2025·山西·中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条 的中点连在一起，记中点为 ，
即 ．测得 两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上
两点之间的距离．图中 与 全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
34．（2025·青海·中考真题）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图， 是一个任意角，
在边 ， 上分别取 ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 ， 重合，即
，过角尺顶点 的射线 便是 的平分线，这种做法的依据是（ ）
第 11 页 共 17 页A． B． C． D．
35．（2025·天津·中考真题）如图，在 中， ，将 绕点 顺时针旋转得到 ，
点B，C的对应点分别为 的延长线与边 相交于点 ，连接 ．若 ，则线段
的长为（ ）
A． B． C．4 D．
36．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在 中， 是角平分线， 是中线， ，且
，垂足为F，G为 的中点，连接 ， ．下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
37．（2025·四川广安·中考真题）如图，在 中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心， 的长
为半径画弧，交 于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点
第 12 页 共 17 页F；（3）画射线 交 于点E．若 ， ， ，则 的长为 ．
38．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图， 中，D是 上一点， ，D、E、F三点共线，
请添加一个条件 ，使得 ．（只添一种情况即可）
39．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在 中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的
坐标为 ，点 在第一象限（不与点 重合），且 与 全等，点 的坐标是 ．
40．（2025·福建·中考真题）如图，点E，F分别在 的延长线上， ．
求证： ．
第 13 页 共 17 页41．（2025·四川自贡·中考真题）如图， ， ．求证： ．
42．（2025·陕西·中考真题）如图，点 是 的边 延长线上一点， ， ，
．求证： ．
43．（2025·河北·中考真题）如图．四边形 的对角线 ， 相交于点 ， ，
，点 在 上， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求证： ．
第 14 页 共 17 页44．（2025·福建·中考真题）如图， 是等边三角形，D是 的中点， ，垂足为C，
是由 沿 方向平移得到的．已知 过点A， 交 于点G．
(1)求 的大小；
(2)求证： 是等边三角形．
45．（2025·吉林·中考真题）如图，在矩形 中，点E，F在边 上，连接 ，
．
(1)求证： ．
(2)当 ， 时，求 的长．
46．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，C是线段 的中点， ．
第 15 页 共 17 页(1)求证： ；
(2)连接 ，若 ，求 的长．
47．（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形 中， ．
(1)求证： ．
(2)求证： ．
48．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在 中， ， ，点 为边 的中点，
点 为边 上一动点，连接 ．将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ．
(1)线段 的长为 ；
(2)当 时，求 的长；
第 16 页 共 17 页(3)当点 在边 上时，求证： ；
(4)当点 到 的距离是点 到 距离的2倍时，直接写出 的长．
第 17 页 共 17 页
