文档内容
2025 年九年级学业水平测试模拟卷二
数学试卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列各数是 的绝对值的是（ ）
A. B. C. 2025 D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的定义，根据绝对值的定义进行求解即可．
【详解】解： 的绝对值的是2025，
故选：C．
2. 下图是一个组合几何体的三视图，则组成该几何体的是（ ）
A. 正方体和长方体 B. 长方体和球 C. 圆柱和球 D. 长方体和圆柱
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了组合几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．
根据组合几何体的三视图分析即可得到答案．
【详解】解： 组合几何体的三视图为组成该几何体的是长方体和圆柱，
故选：D．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方，求算术平方根，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题
的关键．
根据合并同类项、幂的乘方，求算术平方根，同底数幂的除法的运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A. 不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B. ，故该选项符合题意；
C. ，故该选项不符合题意；
D. ，故该选项不符合题意；
故选：B．
4. 不等式 的解集在数轴上表示为（ ）
.
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤
是解题的关键．对不等式去分母、移项、合并同类项，求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示即可．
【详解】解： ，
去分母，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，不等式的解集在数轴上表示为：
故选：D．
5. 如图，正五边形 内接于 ，连接 ， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角；
连接 ，先求出 的度数，然后在等腰 中，根据三角形内角和求出 的度数．
【详解】解：连接 ，
∵四边形 为正五边形，
∴ ，
而 为外接圆圆心，
∴有 ，在四边形 中， ，
即 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故选： ．
6. 已知一次函数 的图象经过点 和 ，其中 ，则下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，不等式的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
将 和 代入 得到 ，求出 ，由 得到
，推出 ，即可得到答案．
【详解】解：将 和 代入 得 ，
解得 ，
，
，
，故选：D．
7. 我们把十位上的数字比个位、百位上的数字都要大的三位数叫做“凸数”，如：571就是一个“凸数”．
若十位上的数字为4，则从2，3，5，6 中任取两个不同的数，能与4组成“凸数”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查运用列举法求概率，直接列出所有的可能结果，得到符合要求的数量，利用概率公式计
算即可．
【详解】解：本题考查古典概型.由题意，从 中任取两个不同的数，有
，共 种情况，其中能与 组成“凸数”的有 ，共 种情况，
所以所求概率为 ，
故选A．
8. 如图，在正方形 中， ，延长 至点E，使 ．连接 平分 交
于点F，则 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质与判定、相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、勾股定理，作
， 构造正方形 ，设 ，易证 ，由此列出比例式可求解a的值，然后在 中，利用勾股定理即可求得 的长度．
【详解】解：过点F作 于点M，作 于点N，如图所示．
∵四边形 为正方形， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为矩形．
∵ 平分 ，
∴ ．
∴四边形 为正方形．
∴ ，
设 ，则
∵ ，
∴ ，
，
，
，
，即 ，
解得：
在 中，由勾股定理得 ，
故选：C．9. 抛物线 （m为常数）的顶点为C，经过探究发现，随着m的变化，点C始终
在某一抛物线H上，若将抛物线Q向右平移 个单位，所得抛物线顶点D仍在抛物线H上，则下
列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先把抛物线Q的解析式解析式化为顶点式得到点C的
坐标，进而可确定抛物线H的解析式，根据平移方式得到点D的坐标，进而得到点D和点Q关于抛物线
H的对称轴对称，据此求解即可．
【详解】解：∵抛物线Q的解析式为
，
∴抛物线Q的顶点的横坐标为 ，纵坐标为 ，
∴顶点C在抛物线 上，
∴抛物线H 的解析式为 ，
∵将抛物线Q向右平移 个单位，所得抛物线的顶点为D，
∴点D的横坐标为 ，纵坐标为 ，
∵点D在抛物线H上，且点D和点Q的纵坐标相同，
∴点D和点Q关于抛物线H的对称轴对称，即关于直线 对称，
∴ ，
∴ ，
故选：B．10. 在 中， ，点D是 的中点，连接 ，过点A作 交
分别于P、E两点．则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的相关知识，熟练掌握各知识点
并灵活运用是解题的关键．
过点 作 交 延长线于点 ，过点 作 交 于点 ，过点 作 于点
，设 ，则 ，则 ，同上由勾股定理得：
，那么 ，则 ，故D正确；根
据互余得到 ，则 ，故C正确；可证明 ，
则 ，由 ，得到 ，故A错误；由
，可得 ，由 ，可得 ，即 ，故B正确．
【详解】解：过点 作 交 延长线于点 ，过点 作 交 于点 ，过点 作
于点 ，∵ ，
∴ 为等腰直角三角形， ，
设 ，
∴ ，
∵点D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴同上由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ，故D正确，不符合题意；
∵ ， ，
∴ ，∴ ，故C正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，故A错误，符合题意；
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，故B正确，不符合题意；
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算： ____________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根和绝对值，先根据算术平方根的定义和绝对值的性质计算，再算减法即可．
【详解】解： ，
故答案为：2．
12. 截至2025年3月15日，影片《哪吒之魔童闹海》累计票房（含港澳台、海外及预售票房）已超过
亿元．成功超越《星球大战：原力觉醒》的票房成绩，挺进全球影史票房榜第五．其中数据
亿用科学记数法表示为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整
数，正确确定 以及 的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答．
【详解】解： 亿 ．
故答案为： ．
13. 《梦溪笔谈》是北宋的沈括所著的笔记体综合性科学著作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，
如图，弧 是以点 为圆心， 为半径的圆弧， 是弦 的中点，且 ．“会圆术”给出弧的弧长的近似值 的计算公式： ．当 ， 时， _____．
【答案】3
【解析】
【分析】连接 ，根据 计算 ，证明O、C、D三点共线，结合等腰直角三角形的性质，
得 ，代入计算即可．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ ， ， 是弦 的中点，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴O、C、D三点共线，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握圆的性质，勾股定理是解题的关键．
14. 如图， 和 都是等腰直角三角形， ，点 是 正半轴上一点，点是反比例函数 的图象上一点，点 是AB上一点，OA与该反比例函数的图象交于点 ．
（1）点 的坐标为_______；
（2） 与 的面积之差 ________．
【答案】 ①. ②. 8
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，求正比例函数解析式，坐标与图形，
数形结合，熟练掌握待定系数法求出正比例函数解析式，是解题的关键．
（1）设点A的坐标为 ，设直线 的解析式为： ，把 代入得： ，求出
，得出直线 的解析式为： ，令 ，求出 ，得出点E的坐标为 ；
（2）设点 ，则 ，得出 ， ，根据 得出m、n的关
系，得出 ，表示出 ，
，再求出结果即可．
【详解】解：（1）∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ， ，∵ ，
∴ 轴， ，
∴点A的横纵坐标相同，
设点A的坐标为 ，设直线 的解析式为： ，
把 代入得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
令 ，
解得： ，
∵点E在第一象限，
∴ 舍去，
∴点E的坐标为 ；
故答案为： ；
（2）设点 ，则 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，∴ ，
∵ ，
，
∴
．
故答案为：8．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握分式的性质是解题的关键．
首先将分式的分母进行因式分解，再进行分式的约分，可求得分式的化简结果，最后代值计算即可．
【详解】解： ，
，
原式 ．16. 在边长为1个单位长度的小正方形组成的 网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段
．按下列要求在网格中画图，不写画法．
（1）以A为旋转中心，将线段 逆时针旋转 ，画出线段 ；
（2）连接 ，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画出线段 的垂直平分线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图-旋转变换，无刻度直尺作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解
题的关键．
（1）取格点 ，连接 ，线段 即为所求；
（2）取格点 ，连接 ， 即为所求．
【小问1详解】
解：如图，取格点 ，连接 ，线段 即为所求；
小问2详解】
【
解：如图，取格点 ，连接 ，
，
垂直平分 ，
即为所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17. “道路千万条，安全第一条”，公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规；某
安全头盔经销商统计了某品牌头盔6月份到8月份的销量，该品牌头盔6月份销售500个，8月份销售845
个，且从6月份到8月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该品
牌头盔销售量的月增长率为x，利用该品牌头盔8月份的销售量=该品牌头盔6月份的销售量 （1+该品牌
头盔销售量的月增长率） ，可列出关于x的一元二次方程，求解出增长率，即可得出结论．
【详解】解：设该品牌头盔销售量 的月增长率为 ，
由题意得： ，
解得： ， （不符合题意，舍）；
答：该品牌头盔销售量的月增长率为 ．
18. 观察以下等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
按照以上规律，解决下列问题．
（1）写出第6个等式：______．
（2）写出第 个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】（1）
（2） ，见解析
【解析】
【分析】（1）根据等式的计算规律填空即可；（2）利用等式的计算得出规律，再证明左边等于右边即可．
本题主要考查了整式的运算---整式规律，解题的关键是：通过观察发现式子变化的特点，写出相应的等式
和猜想，并证明．
【小问1详解】
解： ，
故答案为： ，
【小问2详解】
解：猜想第 个等式为： ，
证明：
，
故答案为： ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 数学实践小组想利用镜子的反射测量旗杆的高度．如图，点 E是镜子的位置，旗杆 到镜子的距离
是 ，小明站在C处，眼睛到地面的距离 ，小明到镜子的距离是 ， ，点C、
E、B在同一直线上，小明在镜子中刚好看见旗杆的顶点 A．现有条件①： ；条件②：从D处看
旗杆顶部A的仰角α为 ．请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆 的高度．
（注：两个条件同时作答，按第一个解答计分）参考数据 ， ，．
【答案】若选择条件①：旗杆 的高度为 ；或若选择条件②：旗杆 的高度约为
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及解直角三角形，若选择条件①：由题意可证得
，得到 ，求解即可；若选择条件②：过点 D作 ，垂足为F，则
， ，设 ，可求得 ，在 中， ，则
，根据题意得 ，有 ，求得 ，即可求得 ．
【详解】解：若选择条件①：由题意得： ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴旗杆 的高度为 ；
若选择条件②：过点D作 ，垂足为F，由题意得： ， ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
由题意得： ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，∴ ．
∴旗杆 的高度约为 ．
20. 如图， 都是 的半径， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 ．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）利用圆周角定理即可证明；
（2）作 于点 ，作 于点 ，利用三线合一性质得到 ，
， 得 到 ， 利 用 全 等 三 角 形 的 判 定 证 出 ， 得 到
，再利用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明： ， ，
，
又 ，
；
【小问2详解】
解：如图，作 于点 ，作 于点 ，， ，
， ， ，
由（1）得， ，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
．
六、（本题满分12分）
21. 为了响应“全民全运，同心同行”的号召，某学校要求学生积极参与体育运动，为了解学生身体素质，
某班对20名女生一分钟跳绳个数进行了统计和分析：
数据收集（单位：个）：
150，199，160，152，182，162，176，194，182，178，151，175，161，163，167，179，182，185，
192，198．
数据整理：数量/个
频数 3 a 4 4 4
数据分析：
平均数 众数 中位数
b c
问题解决：
（1） ____________， ____________， ____________；
（2）根据安徽中考体育细则规定，女生跳绳每分钟不低于172个为满分，若该校九年级毕业生中女生有
300人，请估计该校九年级毕业生中女生跳绳满分的人数；
（3）体育老师考虑到学生考场心态等问题，最终确定一半女生本次成绩为“稳满分”，敏敏同学跳了175
个，她认为自己的成绩高于平均数，所以她应该也是“稳满分”，敏敏同学说法是否正确，请说明理由．
【答案】（1）5；182；177
（2）180人 （3）不正确，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了频数分布表、求中位数、求众数、用样本估计总体，掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据频数分布表得到 ，再根据众数、中位数的定义即可得到 ；
（2）先求出20名女生一分钟跳绳个数中不低于172个的人数占比，再乘以300即可求解；
（3）一半女生确定为“稳满分”，则“稳满分”学生的成绩应该大于或等于中位数，再比较敏敏同学的
成绩和中位数的大小即可得出结论．
【小问1详解】
解：由数据可得， ，
20名女生一分钟跳绳个数中，出现最多的是182，共3次，
，
将20名女生一分钟跳绳个数从小到大顺序排列，中位数为第10位和第11位的平均数，
，
故答案为：5；182；177．
【小问2详解】
解：由题意得，20名女生一分钟跳绳个数中，不低于172个的有12人，（人），
答：估计该校九年级毕业生中女生跳绳满分的人数为180人．
【小问3详解】
解：敏敏同学说法不正确，理由如下：
一半女生本次成绩为“稳满分”，则“稳满分”学生的成绩应该大于或等于中位数，
因为敏敏同学的成绩高于平均数，但还是低于中位数，
所以敏敏同学的成绩不是“稳满分”，
故敏敏同学说法不正确．
七、（本题满分12分）
22. 在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 ，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线 下方抛物线上一点，过点P作 轴于点D，交 于点E，作 于点
F．
（i）是否存点P，使得 ．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（ii）求 周长的最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1）
（2）（i）不存在，理由见解析；（ii） 周长的最大值为 ， ．
【解析】
【分析】（1）根据题意设抛物线为 ，可得 ，再进一步求
解即可；
（2）（i）如图，求解 ，证明 ， ，结合 ，可得
，求解直线 为 ，设 ，则 ，可得 ，，再建立方程求解即可；
（ii）由（i）得： ， ，可得 周长
，再利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线 与x轴交于点 ，
∴设抛物线为 ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线为： ．
【小问2详解】
解：（i）如图，
∵抛物线为： ，
∴当 ，则 ，即 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
设直线 为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 为 ，
设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
此时 重合，不符合题意；
∴不存点P，使得 ．（ii）由（i）得： ， ，
∴ 周长 ，
∵ ，
∴当 时， 周长最大，
最大值 为 ，
此时 ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，一元二次
方程的解法，二次函数的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
八、（本题满分14分）
23. 如图1， 分别为 的高，且 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）如图2，F为 上一点，连接 并延长交 的延长线于点G，且 ．若
，求 的长．【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理；
（1）证明 ，即可得到 ；
（2）由 得到 ，再根据
，得到 ，整理即可得到
；
（3）由（1）（2）结论，结合 可得 ， ，则 ，
连接 ，证明 得到 ，求出 ，根据直角三角形斜边
中线得到 ， ，再证明 ，得到 ，代入求
出 ，在 中，求出 ，在 中，
，最后根据 代入计算即可．
【小问1详解】
证明：∵ 分别为 的高，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
整理得 ；
【小问3详解】
解：由（2）可得 ，
∵ ，
∴ ，
由（1）可得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ 中， ，
∵ 中， ，
∴ ．
