文档内容
2024-2025 学年度（下）天长市实验中学教育集团
九年级课程质量检测
数学试卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出 四个选
项，其中只有一个是符合题目要求的．
的
1. 抛物线 顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了抛物线顶点坐标的求解，解题的关键是掌握抛物线 形式的顶点坐
标公式．根据抛物线 的顶点坐标为 ，可知抛物线 的顶点坐标是
．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标是 ．
故选：B．
2. 已知 的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与 的位置关系是（ ）
A. 点P在 外 B. 点P在 上 C. 点P在 内 D. 无法确定
【答案】A
【解析】【分析】根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系．
【详解】解： 的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，
，
点P与 的位置关系是：点在圆外．
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系．注意若半径为 ，点到圆心的距离为 ，则有：当 时，点
在圆外；当 时，点在圆上，当 时，点在圆内．
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了根据三视图还原几何体，解题的关键是熟练掌握三视图的定义，主视图是在物体
正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在
物体正面从左向右观察到的图形.根据三视图得到该几何体是四棱柱，即可解题．
【详解】解：由几何体的三视图可知，该几何体为 ，故选：A．
4. 如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A， B，
C都在横格线上．若线段 ， 则线段 长为（ ）
A. 24 B. 32 C. 36 D. 48
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例得到 求解即可．
【详解】解：如图，过 作 交格线于 ，则 于 ，
由题意， ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．5. 反比例函数 的图象与函数 的图象没有交点，若点 在这个
反比例函数 的图象上，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查的是反比例函数的图象与性质、正比例函数的性质，判断出 解题的关键．先
判断k的正负，然后根据反比例函数的增减性解答即可．
【详解】解： 函数 的图象经过一，三象限，且反比例函数 的图象与函数 的图象没
有交点，
反比例函数 的图象经过二，四象限，
，
点 在 的图象上，
点 在第四象限， 在第二象限，
在第四象限内，反比例函数 随 的增大而增大，
且 ，
，
在第二象限，
，
，
故选：B．6. 如图， 是 上直径 两侧的两点，设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理的推论．根据直径所对的圆周角为直角得到 ，得到
，再根据同弧所对的圆周角相等即可得到 ．
【详解】解：∵ 是 上直径 两侧的两点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
故选：C
7. 如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点 都在格点上（网格线的交点），
则 的值为（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，求角的正弦值，取格点 ，连接 ，由网格线的特征易得 共
线，根据勾股定理得到 ，然后利用勾股定理求出 ，
，然后利用 代入求解即可．解题的关键是正确作出辅助线．
【详解】解：如图所示，连接 ，
由网格线的特征得 共线，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
故选：A．
8. 如图，已知 ，补充下列条件仍不能判断 与 相似的是（ ）A. 平分 B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题关键．A选项：由角平分线
的定义得出 ，即可由两角分别相等的两个三角形相似判定；B选项：可证 ，得出
，即可由两角分别相等的两个三角形相似判定；C选项：不能证明 与 相似；
D选项：可得出 ，即可由两个直角三角形的斜边与一条直角边对应成比例的两个三角形相似判
定．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，故A选项不符合题意；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，故B选项不符合题意；由 ，结合 ，不能证明 与 相似，故C选项符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ ，故D选项不符合题意．
故选C．
9. 如图，在 中， ，将 绕着点A逆时针旋转 得到
，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形面积计算，勾股定理，先利用勾股定理求出 的长，再根据
进行求解即可．
【详解】解：∵在 中， ，
∴ ，
由旋转的性质可得∴
，
故选：C．
10. 抛物线 过 两点，点 到抛物线对称轴的距离记为 ，满足
，则实数 的取值范围是（ ）
A. 2 B. 或 C. 3 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，解一元一次不等式，
将 代入抛物线 中得 ，根据 ，且点 到抛物线对
称轴的距离记为 ，满足 可得 进而得出 或 ，然后将 代入
中，得 可得 ，接下来得出不等式，求出解集即可．
【详解】解：将 代入抛物线 中，
得 ，即 ．
对称轴 ，且点 到抛物线对称轴的距离记为 ，满足
或 ．
将 代入 中，得
，
即 ，
或
或 ．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11. 若 ，则 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的求值，先根据 ，整理得 ，再代入 进行化简，即可作答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
则 ，
故答案 为： ．
12. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么两辆
汽车经过这个十字路口时，第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中第一辆车向左转，第二辆车向右转的结果有1种，再由
概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中一辆车向右转，一辆车向左转的结果有2种，∴一辆向右转，一辆向左转的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合两步或两
步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率 所求情况数
与总情况数之比．
13. 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形 为菱形，边 在 轴上，点 在反比例函数
的图象上，点 坐标为 ，连接 ，则 的面积是______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、反比例函数 的几何意义、勾股定理，由反比例函数 的几何意义得出
，求出 ，结合菱形的性质可得 ，由勾股定理得出 ，即可得解，
熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵点 坐标为 ，
∴ ，
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵四边形 为菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
14. 如图， ， ， ， ，点 在线段 上运动，
当点 从点 运动到点 时．
（1）当 时，则 ______；
（2）设 为线段 的中点，在点 的运动过程中， 的最小值是______．
【答案】 ①. ## ②. 4
【解析】
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
即 ，∵ ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵P为线段 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，，
∴ 的值最小时， 的值最小，此时 的值最小，
∵ ， ， ，
∴ ，
根据垂线段最短可知，当 时，此时 ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理等知识，
掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
【答案】0
【解析】
【分析】此题考查的是含特殊角的锐角三角函数的混合运算，熟练掌握30°的正弦值、45°的余弦值和60°
的正切值是解决此题的关键．
根据30°的正弦值、45°的余弦值和60°的正切值计算即可．
【详解】解：
．16. 已知 ， 和 的周长分别为 和 ，且 ，
，求 和 的长．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是理解相似三角形的性质．
先根据相似三角形的性质列出比例式，转化为待求线段的方程求解．
【详解】解： ，
，
，
， ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图， 三个顶点的坐标分别为 ．
（1）请画出与 关于原点 成中心对称的 ，并写出点 的坐标；
的
（2）若 以点 为旋转中心按逆时针旋转 后得到 对应点为 的对应点为
，在网格中画出旋转后的图形．【答案】（1）图见解析；
（2）图见解析
【解析】
【分析】本题考查了作关于原点对称的图形，作旋转图形，理解旋转图形的作法是解答关键．
（1）根据关于原点对称的点的坐标得到 ， ， 的坐标，顺次连接求解；
（2）根据旋转 的性质分别求出 ， 的坐标，顺次连接各点即可．
【小问1详解】
解：如图所示， 为求，由图可知 ．
【小问2详解】
解：由题意，画图如下， 为所求作的图形．
18. 如图，某男生推铅球，铅球出手（点 处）的高度是 ，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行
到最高 时，水平距离 ．求出这条抛物线所表示的函数解析式．
【答案】这条抛物线所表示的函数解析式为 ．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．由题意得，点 ，顶点坐标为 ，设这条抛物线所表示的函数解析式为 ，
把点 代入解析式求出 的值即可．
【详解】解：由题意得，点 ，顶点坐标为 ，
∴设这条抛物线所表示的函数解析式为 ，
把点 代入 得，
，
解得： ，
∴这条抛物线所表示的函数解析式为 ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. “手臂机器人”大家可能听说过，如图1所示的“手臂机器人”的手臂与人体上肢类似，这种机器人
一般由大、小臂组成，立柱与大臂间形成肘关节，可使大臂作回转运动和俯仰运动，小臂作俯仰摆动，如
图2，这是处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图， 是垂直于工作台的移动基座， 分别
为机器人的大，小臂，其中小臂 米，大臂 米，移动基座 米，当 ，
时，求点C到工作台的距离 的长．（参考数据： ， ，
）．
【答案】 米【解析】
【分析】本题考查解直角三角形．根据题意过点B作 ，交 的延长线于点E，延长 交
的延长线于点F，利用三角形函数求出 和
，继而得到本题答案．
【详解】解：过点B作 ，交 的延长线于点E，延长 交 的延长线于点F，
，
由题意得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， 米，
∴ （米），
∵ 米，
∴ （米），
在 中， 米，
∴ （米），
∴ （米），∴点C到工作台的距离 的长约为 米．
20. 如图，AB是⊙的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，过点A作
AD⊥PC于点D， AD与⊙O交于点E．
（1）求证：AC平分∠DAP；
（2）若AB=10，sin∠CAB= ，求DE长．
【答案】（1）证明见解析；（2）1.6
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据切线的性质，得 ；结合题意，根据相似三角形性质，通过证
明 ，得 ；根据圆心角和圆周角的性质，得 ，结合
角平分线性质，即可完成证明；
（2）根据直径所对圆周角的性质，得 ，结合（1）的结论，通过证明 ，得
，结合三角函数和勾股定理，计算得 、 ；连接 ， ，结合平行线的性质，得
，通过计算即可得到答案．
【详解】（1）如图，连接∵过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P
∴ ，即
∵AD⊥PC，即
∴
∴
∵ ，即
∴
∴AC平分∠DAP；
（2）根据（1）的结论，得AC平分∠DAP
∴
∵AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点
∴
∵ ，即
∴
∴
∵AB=10，sin∠CAB=∴sin∠CAB=
∴
∴
∴
∴
如图，连接 ，
∵AB是⊙的直径
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴∴ ．
【点睛】本题考查了圆、相似三角形、平行线、勾股定理、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握切线、
圆周角、圆心角、相似三角形、勾股定理、角平分线的性质，从而完成求解．
六、（本题满分12分）
21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ，
两点，与 轴、 轴交于点 ， 两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点 是第四象限内反比例函数图象上的一点， 的面积是 的面积的 倍，求点 的坐
标．
【答案】（1） ， ．
（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据点 的坐标代入， ，求得 ，进而可得 ，待定系数法求解析
式即可求解；（2）根据一次函数解析式分别令 ，得出 ， ，根据 ，列
出方程，即可求解．
【小问1详解】
解： 点 在反比例函数 的图象上，
，
解得， ，
反比例函数的表达式为 ；
点 在反比例函数 的图象上，
，解得
，
点 ， 在一次函数 的图象上，
，
解得 ，
一次函数的表达式为：
【小问2详解】由（1）得，一次函数的解析式为 ，
令 ，则 ；
令 ，则 ， ，
，
， ，
，
，
设点
，解得 ，
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，三
角形的面积问题，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键．
七、（本题满分12分）
22. 如图， 在菱形 中， ，点 E是边 的中点， 连接 ．
（1）求 的长；（结果保留根号）（2）点F 为边 上的一点， 连接 ， 交 于点G， 连接 ， ．
①求证： ；
②求 的长．
【答案】（1）
（2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）证明 为等边三角形，利用三线合一结合勾股定理求出 的长即可；
（2）①求出 ，结合对顶角相等，以及两组对应角相等的两个三角形相似，即可得
出结论；
②作 于H，证明 ，得到 ，勾股定理求出 的长，在
中，求出 的长，勾股定理求出 的长，再利用线段的和差关系求出 的长即可．
【小问1详解】
解： 四边形 是菱形，
， ，
，
是等边三角形，
，
∵点 E是边 的中点，
， ，
．
【小问2详解】
解： 证明： ，，
，
又 ，
；
作 于H．
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，∴ ，
在 中， ，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质、直角三角形30度
角的性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题．
八、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 的对称轴为直线 ，与x轴交于
A，B两点，与y轴交于点C，已知 ．
（1）求a，b的值；
（2）已知横坐标为t的点P为对称轴左侧的抛物线上一动点，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点
M，
①若 与 的面积之和为8，求t的值；
②过点P作x轴的垂线 ，垂足为N，直线 交线段 于点D，是否存在这样的点P，使
？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）① ；②存在，且t的值为 ．
【解析】
【分析】（1）根据题意列方程组，解方程组即可得到结论；
（2）①由（1）知，抛物线的函数表达式为 ，求得点 的坐标为 ，由题意知， ， ，当 时，当 时，根据三角形的面积公式列方程即可
得到结论；
②根据待定系数法求得直线 的函数表达式为 ，由 ，得到点 为线段 的中
点，求得点 的横坐标为 ，得到 ，根据题意列方程即可得到结论．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，线段中点的定义，三角形的面积公式，正确地
求得二次函数的解析式是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意得把 代入
且结合对称轴
得 ，
解得 ；
∴ ；
【小问2详解】
解：①由（1）知，抛物线的函数表达式为 ，
点 的坐标为 ，
由题意知 ， ，
当 时， 的面积 ， 的面积 ，
此时 与 的面积之和为6，不符合题意；当 时， 的面积 ， 的面积 ；
与 的面积之和为 ，此时 ，
解得 ；
综上， 的值为 ；
②存在，点 的横坐标为 ．理由如下：
， ，
直线 的函数表达式为 ，
，
点 为线段 的中点，
点 的横坐标为 ，
点 在直线 上，
，
点 的纵坐标为5，则 ，
解得 或 （不合题意，舍去），存在， 的值为 ．
