文档内容
2025 年中考模拟考试九年级数学试卷
注意事项：
1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题，（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出ABCD四个选项，
其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列4个数中最小的是（ ）
A. 0 B. C. 4 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的
反而小；据此进行比较即可求解．掌握比较方法是解题的关键．
【详解】解： ，
最小，
故选：D．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，合并同类项，解题关键是熟悉上
述知识，并能熟练运用求解．
利用幂的乘方运算法则可以判断A；利用单项式乘以单项式计算可以判断B；利用单项式除以单项式计算
可以判断C；利用合并同类项法则可以判断D．
【详解】解： ，故A错误；，故B错误；
，故C正确；
没有同类项，不能合并，故D错误．
故选：C ．
3. 如图所示是由5个大小相同的正方体组成的几何体①和②，下列说法正确的是（ ）
A. 它们的主视图相同 B. 它们的俯视图相同
C. 它们的左视图相同 D. 它们的三视图都相同
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由小立方块搭成简单几何体的三视图，分别画出三视图对比，即可求解；能熟练画出
由小立方块搭成简单几何体的三视图是解题的关键．
【详解】解：A.①的主视图为 ②的主视图为 ，主视图不同，故不符合题意；
B.①的俯视图为 ②的主视图为 ，俯视图相同，故符合题意；
C.①的左视图为 ②的左视图为 ，左视图不同，故不符合题意；
D.由以上选项得三视图不全相同，故不符合题意；
故选：B．
4. 两个直角三角板如图摆放，其中 ， ， ，若 是 上一点
且 ，则 的大小为（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的有关计算，由 ， ，
，则 ， ，又 ，则 ，然后通过
角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
5. 反比例函数 与一次函数 的图象交于点 ，则代数式 的值是（
）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，以及分式求值．熟练掌握交点坐标同时满足反比例
函数解析式和一次函数解析式，利用整体思想，进行求值，是解题的关键．
根据反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，得到
，利用整体思想代入 ，求值即可．
【详解】解：∵反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴
；
故选：A．
6. 《周易》中 的八卦图是由8种基本图形构成，亦称八卦．八卦图的外围是由“ ”和
“ ”符号组成的，如图，八卦分“乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑”八方，每一卦由3
根线组成．如果从图中任选一卦，那么这一卦中恰好有1根“ ”的概率是（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了概率公式、古典概率问题，熟练掌握概率公式是关键．
从八卦中任选一卦，基本事件总数 ，然后得出这一卦中恰好有1根“ ” 的基本事
件个数，根据概率公式计算即可．
【
详解】解：∵八卦分“乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑”八方，每一卦由3根线组成．
∴从八卦中任选一卦，基本事件总数 ，
∵这一卦中恰好有1根“ ”的卦象有 “巽、离、兑”，共3种，即满足基本事件个数
，
∴这一卦中恰好有1根“ ”即满足条件 的情况数的概率是 ，
故选：A．
7. 如 图 ， 在 中 ， ， ， 分 别 是 斜 边 上 的 高 和 中 线 ， 已 知
，则 的长为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出 ，进而利用正切函数相解得
．再根据直角三角形斜边中线定理（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 ），可得
．最后即可求 的长度，本题主要考查直角三角形的性质（同角的余角相等、直角三角形斜边中线定理 ）、勾股定理以及锐角三角函数（正切函数 ）．解题的关键在于熟练运用勾股定理
求边长，利用角的关系建立等式求解未知边，同时要准确应用直角三角形斜边中线定理确定线段关系．
【详解】解：在 中， ．
，
，
∴ ，即 ，即 ，
解得 ．
．
．
．
故选B．
8. 已知实数x，y，z满足 且 ，则下列结论判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查等式的变形、不等式的性质以及完全平方公式的运用．解题关键在于利用已知等式
进行合理变形，将 用 、 表示后，代入不等式得出变量间的大小关系；同时，对于判断 与 的大
小关系，通过对 进行配方变形，利用完全平方的非负性来判断．本题给出了关于 、 、 的两
个等式 和 以及 的条件．首先通过 将 用 和 表示出来，
再代入 中，得到 与 的大小关系．然后根据 进一步推导 与 的大小关系，最后通过对 进行变形，判断其正负，从而确定各个选项的正误．
【详解】解：
．
又
，即 ①．
，故A错误．
，即 ．
②，故B错误．
由①②，得 ．
，
必为正数．
，故C正确．
，
，故D错误．
故选C．
9. 如图， 是菱形 的对角线且交于点 O，E，F 分别是 的中点，连接
与 交于点G．若 ，则 的长为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点 F 作 于点 M，作 于点 N，根据菱形性质得， ，
，可得 ． ，可得 ， ，根
据 ， ．根据 ，得 ， ，
即得
【详解】过点F作 于点M，作 于点N，如图．
是菱形 的对角线，
∴ ， ，
∴ ， ．
又 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
．
∴ ，
∵ ，
．
，
∴ ，
∴ ．
．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形性质，全等三角形判定和性质，三角形中位线性质，面积法求三角形高，勾股定
理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
10. 如图，在 中， ，M，N分别是BC，BA上的点且 ，将 沿着直
线MN对叠，得到 ，点B落在射线BA上，对应点为D．设 ，已知 ，
与 重叠部分的面积为S，则S与x之间的函数图象大致为（ ）A. B. C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要研究 与 重叠部分面积 和 之间的函数关系．需要分情况讨论：
当 时，重叠部分就是 ，通过相似三角形 和 的性质求出 的面积表达
式，发现是二次函数且抛物线开口向上， 随 增大而增大， 时取得最大值．当 时，重叠
部分是四边形 ，其面积通过 的面积减去 的面积得到．同样利用相似三角形
和 以及 和 的性质求出面积表达式，是二次函数且抛物线开口向下，进而确定最大
值及函数图象．本题主要考查相似三角形的判定与性质、二次函数的性质．解题关键在于根据 的取值范
围分情况讨论重叠部分的形状，利用相似三角形对应边成比例的性质求出相关线段长度，进而得到面积表
达式，再依据二次函数的系数判断开口方向、求最值，从而确定函数图象．
【详解】解：当 时， 与 重叠部分的面积为 的面积．，即 ，
解得 ．
．
，
∴抛物线开口向上．当 时，S随x的增大而增大．当 时，S有最大值，最大值为4．当
时， 与 重叠部分的面积为四边形 的面积，如图所示．由 ，则
．
，
．
，即 ，
解得 ．
．
，
∴抛物线开口向下．当 时，S有最大值．观察图象可知只有C符合题意，故选：C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算： ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了有理数减法，求一个数的绝对值，先化简绝对值，然后再算有理数减法即可，掌握知
识点的应用是解题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12. 2024年安徽夏粮总产 亿斤，居全国第3位，再创历史新高．其中数据 亿用科学记数法
表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为 ，其中 ，n可以用整数位
数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意 a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于 10
时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可．
【详解】解： 亿 ．
故答案为： ．
13. 如图，在 的圆内接正五边形 中，过点D作 交 于点F，则 的度数为
_______．【答案】 ##18度
【解析】
【分析】本题考查圆内接正多边形，三角形内角和，连接 ， ，根据圆内接正五边形 ，得
到 ， ，则 ，得到
，根据等腰三角形得到 ，再由 得到
，最后根据三角形内角和求解即可．
【详解】解：连接 ， ，
∵在 的圆内接正五边形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
14. 如图，四边形 是边长2的正方形， 是等腰直角三角形， ，E是边 上一点，
连接 ．
（1）若 时，则 _______（用含 的式子表示）
（2）当 和 的面积相等时， _______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质等；
（1）由等腰三角形的性质及正方形的性质得 ，即可求解；
（2）过点F作 交 延长线于点G，由三角形面积 ，由 可判定，由全等三角形的性质 ， ，即可求解；
掌握正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：（1） 是等腰直角三角形，
，
，
四边形 是正方形，
，
，
，
；
故答案为：
（2）如图，过点F作 交 延长线于点G，
，
，
，
，
在 和 中，
，（ ），
，
，
，
整理得： ，
解得 或 （舍去）．
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方得： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程，方程移项后运用因式分解法求解即可．
【详解】解：原方程可化为 ，
即 ，
或 ．
．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系 ， 的
顶点都在网格点上，按要求完成下列任务：（1）将 向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到 ，画出 ．
（2） 与 关于点C成中心对称，画出 ，并写出点 的坐标．
（3）找一格点P，使得射线 平分 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平移变换及中心对称变换，正确得出对应点的位置是解题的关键．
（1）直接利用平移的性质得出对应点的位置，进而得出答案；
（2）直接利用中心对称的性质得出对应点的位置，进而得出答案；
（3）利用矩形的性质找到对角线的中点，再根据三线合一，即可解答．
【小问1详解】
解：如图， 即所求．
【小问2详解】
如图， 即所求，点 的坐标为 ．【小问3详解】
由图，
有 ， ，
∴ ，
连接 交 于点E，连接 ，
∵四边形 是矩形， ， 是对角线
∴ ，
∴ 是 的平分线．
如图，P即所求．（答案不唯一）
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某养殖大户在2023年投资 万元饲养鸡，投资 万元饲养鸭，年底分别获得 和 的利润．
（1）2023年，该养殖大户总利润是_______万元．（用含 的代数式表示）
（2）2024年，该养殖大户投资120万元用于饲养鸡和鸭，已知饲养鸡和鸭的利润之和是 ．若2024年
与2023年饲养鸡和鸭的利润率相同，求2024年该养殖大户饲养鸡和鸭分别投资的金额数．【答案】（1）
（2）饲养鸡投资 万元，饲养鸭投资 万元
【解析】
【分析】本题主要考查利润的计算，一元一次方程的实际运用，理解题目中的数量关系，正确列式是关键．
（1）根据利润的计算求解即可；
（2）根据题意，设养鸡投资了 万元，则养鸭投资了 万元，由此列式求解即可．
【小问1详解】
解：2023年投资 万元饲养鸡，投资 万元饲养鸭，年底分别获得 和 的利润，
∴2023年，该养殖大户总利润是 万元
故答案为： ；
【小问2详解】
解：设养鸡投资了 万元，则养鸭投资了 万元，
∵2024年与2023年饲养鸡和鸭的利润率相同，饲养鸡和鸭的利润之和是 ，
∴ ，
整理得， ，
解得， ，则 ，
∴饲养鸡投资 万元，饲养鸭投资 万元．
18. 【预备知识】某数学兴趣小组的成员定义了一种“运算”，如下：
若整数 ， ， ， 在表格中的位置关系如图 所示，则 ．
【规律探索】
（1）如图 是 年 月的日历，将图 平移覆盖在图 中，使得 ，则 _______．（2）如图 ，将 的整数按顺序依次填入 的表格中，将图 平移覆盖在图 中，使得字母 随机
对应一个数，经过反复计算后发现 的值是定值，则这个定值为_______．
【规律证明】
（3）若将图 平移覆盖在含有 列的表格中，设 ，则 _______， ______，
∴ ．
【答案】（ ） ；（ ） ；（ ） ， ， ， ， ．
【解析】
【分析】本题考查了有理数 的减法、乘法运算，整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（ ）当 时，则 ， ， ，然后代入求值即可；
（ ）由题意得 ， ， ，然后代入，再根据整式的运算即可；
（ ）由含有 列的表格， ，则 ， ， ，然后代入，再根据整式的运
算即可．
【详解】解：（ ）当 时，则 ， ， ，
∴
，
故答案为： ；
（ ）由题意得， ， ， ，
∴，
故答案为： ；
（ ）∵含有 列的表格， ，
∴ ， ， ，
∴
，
故答案为： ， ， ， ， ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 新考法·项目式学习探究 某数学兴趣小组在“测量池塘的宽度 ”的实践活动中，设计并实施了以
下方案：
课题 测量池塘的宽度
测量方案示意图
已知，点 ， ， ， 都是池塘岸边上的点，点 位于点 正南
方向，点 位于点 南偏西 方向，点 ， 在点 的正东方
测得数据
向，点 位于点 南偏东 方向，已知 是草坪休息区
域， ．测得 米， 米．
说明 点 ， ， ， ， 位于同一平面内．
参考数据
， ．
问：池塘的宽度 的长约为多少？
【答案】 米【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确解直角三角形是解题的关键．过点 作 于点 ，
则四边形 是矩形．解 和 分别求得 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，由题意可知
四边形 是矩形．
米．
在 中， ，
（米）．
（米）．
在 中， ，
（米）．
答：池塘的宽度 的长约为 米．
20. 如图， 是 的直径，弦 于点E，F是 上一点，C是 的中点， 与 交于点
G，连接 ．（1）如图1，求证： ．
（2）如图2，若 是直径且 ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题是圆的综合题，主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的判定及性质，直角三角形的特征，
勾股定理等，掌握有关性质是解题的关键．
（1）先求得 ，可得 ，再证得 ，在 和
中， ，可得 ，从而得出 ，
即可求证；
（2）先求得 ，再求得 ，证明 是等边三角
形 ， 再 由 可 得 ， 再 由 勾 股 定 理 求 得
，再证明 是直角三角形，再求解即可．
【小问1详解】
证明： 是 的中点，
，
，
，AB是直径，
，
在 和 中， ，，
，
即 ；
【小问2详解】
解： DF是直径，由（1）知
，
又
，
又 ，
是等边三角形，
又
，
，
是直径，
，
是直角三角形，
又 G是AC的中点，
．
六、（本题满分12分）
21. 【项目背景】凌家滩遗址位于安徽省马鞍山市，是一处距今 5800~5300年的新石器时代聚落遗址．该
地区的某学校开展了“临山临水凌家滩，古风古韵古遗址”的主题活动，组织学生参观并学习凌家滩遗址与文化，并举办了相关文艺表演，并对诗歌朗诵进行观众打分（总分10分）．
【数据收集与整理】
a．诗歌朗诵后，某学校随机从小学组和初中组的诗歌朗诵打分成绩中各抽取 40份观众打分成绩，将成绩
整理并绘制成不完整的统计图（如下）．（设成绩为 x分，成绩分为4个等级：A等级（ ），
B等级（ ），C等级（ ），D等级（ ）．打分成绩达到 分及以
上的为优秀）
b．其中对小学组和初中组诗歌朗诵打分成绩为B等级的分数如下．
小学组B等级得分：9.4，9.3，9.1，9.4，9.3，9.4，9.3，9.3， 9.2，9.3，9.4，9.4．
初中组B等级得分：9.3，9.3，9.2，9.1，9.3，9.4，9.3，9.1，9.2，9.3，9.1，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4，
9.2，9.3．
c．小学组和初中组的诗歌朗诵成绩统计表：
中位 众 平均 优秀
年级
数 数 数 率
小学
x 9.4 9.2 z
组
初中
9.25 y 9.2
组
【数据分析与运用】
根据所给信息，请完成以下所有任务．
任务1 直接写出表格中的字母值： _______， _______， _______．
任务2 已知观看小学组和初中组诗歌朗诵的观众各有800人，请估计对中小学诗歌朗诵打分成绩为优秀的
观众总人数．
任务3 根据以上数据统计与整理结果，请你分析小学组和初中组的诗歌朗诵表演中，哪个组表演更好一些
说明理由．【答案】任务1：9.25，9.3， ；任务2：960人；任务3：初中组诗歌朗诵表演更好一些，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了求中位数，求众数，用样本估计总体等等，正确理解题意是解题的关键．
任务1：根据中位数和众数的定义可求出x、y的值，根据优秀率等于优秀人数除以总数即可求出z的值；
任务2：分别求出小学组和初中组的优秀人数，求和即可得到答案；
任务3：初中组的优秀率比小学组高，据此可得结论．
【详解】解：任务1：把小学组40份打分按照从低到高的顺序排列，中位数是第20名和第21名打分的平
均数，
∵ ，
∴小学组的中位数为 分，即 ；
∵初中组打分为 分的人数有9人，人数最多，
∴初中组打分的中位数为9.3分，即 ；
小学组优秀人数有 人，则 ；
任务2： 人，
∴估计对中小学诗歌朗诵打分成绩为优秀的观众总人数为960人；
任务3：初中组诗歌朗诵表演更好一些，利用如下：
小学组和初中组的平均打分相同，但是初中组的优秀率高于小学组的优秀率，故初中组诗歌朗诵表演更好
一些．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在矩形 中，E，F分别是 上的点，沿着 将四边形 折叠使得点D落
在 上， 对应线段为 与 交于点P．（1）如图1，求证： ．
（2）G是 的中点．
①如图2，若 ，求 的长．
②如图3，若点P是 的中点，连接 ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）①3；②
【解析】
【分析】（1）由矩形和折叠的性质得到由折叠可知 ．再证明
，据此可证明结论；
（2）①由矩形的性质得到 ．则 ．由折叠的性质可得
， ， 则 ， 由 勾 股 定 理 ， 得 即
．解得 ，则 ． 证明 ．解得
，据此可得答案．
② 如 图 ， 连 接 ， 延 长 交 于 点 Q ． 设 ， 则 ． 证 明．得到 ．则 ， ．由勾股定理
得 ，则可得到 ．进而可求出 ，证明
得到 ，据此可得答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
由折叠可知 ．
，
∴ ．
．
【小问2详解】
解；① 四边形 是矩形，
．
G是 的中点，
．
由折叠的性质可得 ， ，则 ，
在 中，由勾股定理，得 ，即 ．
解得 ，
∴ ．由（I）知 ，
∴ ．
，即 ，
解得 ．
．
②如图，连接 ，延长 交于点Q．
设 ，则 ．
由折叠的性质可得 ，
，
∴ ，
P是 的中点，
．
又 ，
．
∴ ．
，∴ ．
在 中， ，
∴ ．
在 中， ．
，
．
又 ，
∴ ．
，
．
【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判
定等待，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的表达式为 ．（t是常数）
（1）若该抛物线可由抛物线 向右平移1个单们长度，再向下平移2个单位长度得到，求t的值．（2）已知该抛物线经过点 ，点 抛物线上任意一点，恒有
①若该抛物线经过点 且 时，判断 和 的大小关系并说明理
由．
②若该抛物线经过点 且 ，求证： ．
【答案】（1）
（2）① ，理由见解析；②证明见解析
【解析】
【分析】本题考查二次函数的平移，二次函数的图像和性质，二次函数的最值；
（1）根据二次函数的平移得到二次函数的解析式，然后根据二次函数的对应系数相等解答即可；
（2）① 根据题意可得对称轴为直线 ，求出t值，得到抛物线的解析式，然后根据二次函数的增减
性解答即可；
②把两点代入函数解析式，求出 和 的值，然后求和化为关于s的二次函数，根据二次函数的最值解
答即可．
【小问1详解】
解：根据题意，得 ，
，解得 ．
【小问2详解】
解：根据题意可知抛物线的对称轴是直线 ，解得 ．
∴抛物线的表达式为 ．
① ，理由如下：
，
，．
，
．
∴点M到对称轴 的距离小于点N到对称轴 的距离．
又∵抛物线开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小
．
②证明： 抛物线经过点 且 ，
点 是这条抛物线上不同的两点．
， ．
．
，
，
，
．
．
