文档内容
2025 年九年级中考模拟测试
数学
注意事项：
1.全卷满分150分，答题时间为120分钟．
2.请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. ﹣9的相反数是【 】
A. 9 B. ﹣9 C. D. ﹣
【答案】A
【解析】
【详解】∵相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，
0的相反数还是0．
因此﹣9的相反数是9．
故选A．
2. 电影《哪吒2》将个人命运的抗争扩展到了对社会规则的挑战，展现了宏大的叙事格局，在世界观、角
色塑造和视觉效果上反映了国产动漫的高水平发展，使国产动漫成为传播中国文化、展现中国创意的重要
载体．截至2025年2月20日，《哪吒2》票房收入已达到123亿元，登顶全球动画电影票房榜，成为
2025年春节档的最大赢家．数据“123亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为
，其中 ， 为正整数，确定a与n的值是解题的关键．
【详解】解：123亿 ，
∴数据“123亿”用科学记数法表示为 ．故选：B．
3. 下面几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从几何体的上面看到的图形，进行作答即可．
【详解】解： 的俯视图是
故选：A
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘、同底数幂相除，积的乘方，据此相关性质内容进行逐项分
析，即可作答．
【详解】解：A、 ，故该选项不符合题意；
B、 ，故该选项不符合题意；
C、 ，故该选项不符合题意；D、 ，故该选项符合题意；
故选：D
5. 将直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，与三角板有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先得 ，再运用 ，得 ，结合对顶角相等以及 ，则把
数值代入 ，进行计算，即可作答．
【详解】解：依题意，
过点 作 ，
∴
∴
即
∵ ，
∴
故选：C
6. “渡江战役”是解放战争时期中国人民解放军实施战略追击的第一个战役，也是向全国进军作战的伟大
起点．渡江战役纪念馆打算从甲、乙、丙、丁四人中随机抽取两名志愿者进行红色研学讲解，则所抽取的两人恰好是甲和乙的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了画树状图求概率，先画树状图，得到一共有 种等可能得结果，所抽取的两人恰好是
甲和乙有 种结果，然后用概率公式即可求解，掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键．
【详解】解：画树状图如图，
一共有 种等可能结果，所抽取的两人恰好是甲和乙有 种结果，
∴所抽取的两人恰好是甲和乙的概率是 ，
故选： ．
7. 如图，A，B，C是 上的三点， ， ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等边对等角、圆周角定理，连接 ，由等边对等角得出 ，
，求出 ，再由圆周角定理即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是
解此题的关键．
【详解】解：如图：连接 ，，
由题意可得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
8. 如图，E是 的边 的延长线上一点，且 ， 与 相交于点F，则 的值是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，由平行四边形的性质可得 ，
，证明 ，由相似三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是
解此题的关键．
【详解】解：∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
9. 已知 是抛物线 上的点，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据抛物线 ，得开口方向向上，对称轴为直线
，则当 ， ，当 ，则 ，据此进行逐项分析就，即可作答．
【详解】解：∵抛物线 ，且 ，
∴开口方向向上，对称轴为 ，
∴越靠近对称轴的 所对的函数值越小，
则当 ， ，故A、B选项不符合题意；
当 ，则 ，故C选项符合题意；
当 ，则 ，故D选项不符合题意；
故选：C
10. 如图， 是边长为 的正方形 的边 上的一动点， 是线段 上的一动点，且满足
，则 的最小值是（ ）A. B. 3 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，斜边上的中线，相似三角形的判定和性质，如图，连接
取 的 中 点 ， 连 接 ， 勾 股 定 理 求 出 的 长 ， 证 明 得 到
斜边上的中线得到 ，根据 ，即可得出结
果．
【详解】解：如图，连接 ，取 的中点 ，连接 ．
∵正方形 ，边长为2，
∴ ，
∴ ，
∴ ，，
∴ ，
∴当 三点共线时， 的值最小为 ．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 不等式 的解集是___．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先去分母，然后再移项，合并同类项即可．
【详解】解： ，
去分母得： ，
移项，合并同类项得： ．
故答案为： ．
12. 若x，x 是一元二次方程 的两个根，则 _______
1 2
【答案】7
【解析】
【分析】由根与系数的关系可得 ，然后把 变形为 的形式，
再整体代入计算即可．
【详解】解：∵x，x 是一元二次方程 的两个根，
1 2∴ ，
∴ ．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于常考题型，正确变形、熟练掌握根与系数的关
系是解题的关键．
13. 如图，在平面直角坐标系 中，A是反比例函数 的图象上一点， ，交反比例
函数 的图象于点 ，且满足 ，则 的值是___．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数．熟练掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数 k的几何意义，是解题
的关键．
过 点 A 作 轴 于 C ， 过 点 B 作 轴 于 点 D ， 则 ， 通 过
证得 ，得出 ，得 ，
即可解得．
【详解】解：过点A作 轴于C，过点B作 轴于点D，
则 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
14. 如图，在四边形 中， ， ．将 绕点 顺时针旋转，使得
点 与点 重合，得到 ， 分别与 ， 相交于点 ， ．
（1）如图1，当 时， ＝__．
（2）如图2，当 时，若 ， ，则线段 的长是___．【答案】 ①. ##60度 ②.
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练
掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由等边对等角结合旋转的性质可得 ，由三角形内角和定理可得
，由题意知 ，由全等三角形的性质可得 ，求出
，即可得解；
（2）连接 ．由题意知 ，由全等三角形的性质可得 ， ，
，当 时， ， ，求出
，得出 ，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】解：（1） ，
，
由题意，知 ，
，
，
，
，
故答案为： ；（2）如图，连接 ．
由题意，知 ，
， ， ，
，即
当 时， ， ，
∴ ，
，
∴ ，
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了立方根、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，先计算立方根、绝对值、特
殊角的三角函数值、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的
关键．
【详解】解：．
16. 用蒸发的方法可以提高溶液的浓度．某化学实验室里有一瓶质量为 40克的食盐水，其中含食盐4克，
蒸发掉多少克水，可把食盐水的浓度提高到原来的两倍？
【答案】蒸发掉20克水，可把食盐水的浓度提高到原来的两倍
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用，正确列出方程是解题的关键．设蒸发掉 克水，可把食盐水的浓度提
高到原来的两倍．根据前后的浓度关系列出方程求解即可，注意检验．
【详解】解：设蒸发掉 克水，可把食盐水的浓度提高到原来的两倍．
依题意，得 ，
解方程，得 ．
经检验， 是原方程的解
答：蒸发掉20克水，可把食盐水的浓度提高到原来的两倍
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1个单位长度的正方形， 的顶点都在格点(网格的交
点)上，建立如图所示的平面直角坐标系．以原点 为位似中心，将 放大，使变换后得到的
与 对应边的比为 ，且点 的对应点 在第一象限．（1）请在网格内画出 ．
（2）点 的坐标为______，点 的坐标为______．
（3） ______．
【答案】（1）详见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）延长 到 ，使得 (也可利用位似比先求出 的坐标，再描点)，同理找出 、
的位置，再连线即可；
（2）根据计算或（1）的结果直接写出坐标即可；
（3）取点过点B作 的垂线，交 的延长线于D，使得 是直角三角形的内角，分别求出 的对
边和斜边，运用正弦的定义公式求解即可．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求．
【小问2详解】
由（1）的图形可知： ，故答案为：
【
小问3详解】
过点B作 的垂线，交 的延长线于D，
结合图象可知： ， ， ，
则 ， ，
，
∴ ， ，
∴ ．
故答案是： ．
.
18 观察下列各式．
第一个等式： ；
第二个等式： ；
第三个等式： ；第四个等式： ；
…
根据以上规律，解决下列问题．
（1）第五个等式：____________________．
（2）猜想第 个等式：____________________（用含 的代数式表示），并证明．
【答案】（1）
（2） ，详见解析
【解析】
【分析】本题考查整数的运算，数字类规律探究．
（1）根据题干给定的等式，作答即可；
（2）根据给定的等式，得到规律，利用整数的运算法则进行计算，证明即可．
【小问1详解】
解：由题意，第五个等式为： ；
故答案为： ；
【小问2详解】
由题意，第 个等式为： ；
证明：∵左边 ，
右边 ，
∴左边 右边，
∴等式成立．
故答案为： ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，某一海域有4个海岛 ， ， ， ，海岛 在海岛 的正东方向．经测量，海岛 位于海岛
北偏东 方向上，海岛 位于海岛 南偏东 方向上，海岛 位于海岛 北偏东 方向上，且海
岛 位于海岛 南偏东 方向上，海岛 和海岛 之间的距离为40海里．求海岛 和海岛 之间的距离 ．(结果保留根号)
【答案】 海里
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用—方位角问题，运用数形结合思想是解题的关键．过点 B作
，垂足为E．在等腰 中，利用求出 和 ，再在含30度的 中，求出 ，
从求出 ，再证明 也是含30度的直角三角形，根据 的长度求出 即可．
【详解】解：如图，过点B作 ，垂足为E．
在 中， ， 海里，
∴ (海里)，
(海里)．
在 中， ，
∴ (海里)，∴ 海里．
由题意，得 ， ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
海里，
答：海岛 和海岛 之间的距离 为 海里．
20. 如图， 是 的直径， 是 的弦， 平分 交 于点 ，过点 作 ，
交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ．
的
（1）求证： 是 切线．
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据 平分 ，可得 ，从而得到 ，可
得 ，再由 ，即可求解；（2）由 ，可得 ，得到 ，即可求解．
【小问1详解】
解：证明：如图，连接 ．
，
．
平分 ，
，
，
；
，
．
是 的半径，
是 的切线；
【小问2详解】
解： ，
， ，
， ，
．
，，
，即 ，
，
．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，相似三角形的判
定和性质是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 为了解决家长接送难题，促进社会教育公平，国家实施初等教育阶段课后延时服务制度．某校每周三
的延时服务时间设置了数学兴趣班，并开展了丰富多彩的数学活动，其中游戏类有：
A.数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的
喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了
两幅不完整的统计图（如图）．
根据调查结果，解决下列问题．
（1）本次调查的总人数为________，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）．
（2）若该校有3000名学生，请估计该校喜爱C．魔方游戏的学生人数．
（3）为选拔学生参加市青少年魔方比赛，该校对C类游戏中排名靠前的2名学生进行5次魔方测试，成绩
（单位：分）如下：
甲同学：80，80，82，83，85．
乙同学：75，80，85，85，85．
请你选择合适的统计量说明学校应该选哪位学生参加青少年魔方比赛更合适．
【答案】（1）200，详见解析
（2）该校喜爱魔方游戏的学生人数为900（3）应该选甲同学参加比赛，详见解析
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、由样本估计总体、利用方差作决策，熟练掌握以
上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由 类人数和所占百分比即可得出本次调查的总人数，求出 类人数，即可补全条形统计图；
（2）用3000乘以喜爱C．魔方游戏的学生人数所占的比例即可得解；
（3）分别求出甲乙两名同学成绩的平均数和方差，比较即可得解．
【小问1详解】
解：本次调查的总人数为 （人）；
为
类人数 （人），
补全的条形统计图如图所示．
【小问2详解】
接： （人）．
答：该校喜爱魔方游戏的学生人数为900；
【小问3详解】
解： , ，
，
，
∵甲、乙两位同学成绩的平均数都是82分，但甲同学的方差更小，成绩更稳定，
∴应该选甲同学参加比赛．
七、（本题满分12分）22. 如图，E是正方形 的边 的延长线上一点，连接 ，过点A作 ，垂足为F，
分别与 ， 相交于点G，H，连接 ．
（1）求证： ．
（2）求证： ．
（3）若 ，求 的值．
【答案】（1）详见解析
（2）详见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰直角三角
形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）证明 ，由相似三角形的性质即可得证；
（2）在 上取一点M，使得 ，连接 ．证明 ，得出 ，
．求出 即可得出 ．即可得证；
（3）设 ，则 ， ．由勾股定理可得 ．由相似三角形
的性质求出 ．再证明 ，由相似三角形的性质即可得解．
【小问1详解】证明：∵四边形 是正方形，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
证明：如图，在 上取一点M，使得 ，连接 ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
【小问3详解】
解：设 ，则 ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴交于点 ， ，与y轴
交于点C．（1）求b，c的值．
（2）P是x轴下方该抛物线上一点．
①如图2，若点P在第三象限，且 ，求点P的坐标．
②射线 ， 分别交该抛物线的对称轴于点D，E．若点D的纵坐标为n，求点E的纵坐标(用含n的代
数式表示)．
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，求一次函数的解析式，二次
函数综合问题等知识，运用数形结合思想是解题的思想．
（1）运用待定系数法即可得解；
（2）①由（1）b、c的值得出抛物线的解析式 ，设点P的坐标是 ，
过点P作 轴于点M，推出 得到 ，从而得到关于t的方程，解出t的
值，从而得到点P的坐标；
②设点P的坐标是 ，求出对称轴解析式，用待定系数法求出 的解析式，从而
求出点D的纵坐标从而得到t与n的关系式，同理求出 的解析式，从而求出点E的纵坐标，再将t与n
的关系式代入点E的纵坐标化简即可．
【小问1详解】
解：把点 ， 代入 ，得 解得
∴ ．
【小问2详解】
①当 时， ．
设点P的坐标是 ．
如图，过点P作 轴于点M，
∴点M的坐标是 ， ， ．
令 ，得 ，
∴点C的坐标是 ， ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 (不符合题意，舍去)或 ，
∴ ，∴点P的坐标是
②设点P的坐标是 ．
的
∵抛物线 对称轴是直线 ，
∴设直线AP的解析式是 ，
则 解得
∴ ．
令 ，则 ，
∴ ．
设直线BP的解析式是 ，
则 解得
∴ ．
令 ，得 ，
∴点E的纵坐标是 ．
