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2024--2025 学年度九年级第二次模拟
数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求）
1. 下列各数中，为无理数的是（ ）
A. B. 0 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；
以及像0.1010010001…，等数．由此即可判定选择项．
【详解】解： ，0， 都是有理数，
是无理数，
故选：C．
2. 2025年1月29号《哪吒之魔童闹海》在我国首映，截止3月10号全球累计票房已超过149亿元，目前
位列全球影史票房第6名．其中149亿用科学计数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数即可求解，解题的关键要正确确定 的值以及 的值．
【详解】解： 亿 ，
，
故选： ．
3. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．如图，
这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为（ ）A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了判断几何体的三视图（判断简单组合体的三视图），熟练掌握简单组合体的三视图是
解题的关键．画出题中“月壤砖”的俯视图，与各选项中的视图进行对比即可得出答案．
【详解】解：根据题中“月壤砖”的示意图，可知其俯视图为
故选： ．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查积的乘方，二次根式的化简，合并同类项，负整数指数幂，熟练掌握以上知识点是
解题的关键．对每个选项进行计算，逐一判断即可．
【详解】解：A、 ，故原式错误，不符合题意；
B、 ，故原式错误，不符合题意；
C、 ，故原式错误，不符合题意；
D、 ，故原式正确，符合题意；
故选：D．
5. 光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫
法线 ）的夹角等于入射光线与法线的夹角 ．如图一个平面镜斜着放在水平面上， 形成 形状，，在 上有一点E， 从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线 刚
好与 平行，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
的
【分析】本题考查了平行线 性质和三角形的内角和定理，过点D作 交 于点F，根据
题意可得 ， ，因此 ，最后由三角形的内角和定理求
得 的度数．
【详解】过点D作 交 于点F，
入射角等于反射角，
，
，
，
，
在 中， ， ，
，
在 中， ，故选：B．
6. 一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，与 轴交于点
，则 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
用待定系数法求出一次函数 的解析式 ，求出 ，得到 ，得到 ，
即可得到答案．
【详解】解：一次函数 的图象与 轴交于点 ，
，
，
一次函数的解析式为 ，
把 代入上式，得 ，
，
，
把 代入 得 ，
，
故选：B．
7. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为3，∠C＝140°，则弧BD的长为（ ）A. π B. π C. π D. 2π
【答案】B
【解析】
【分析】连接OB、OC，根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理求出∠BOD的度数，
利用弧长公式计算即可．
【详解】解：连接OB、OC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝40°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝80°，
∴弧BD的长＝ ＝ π，
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理以及弧长的计算，掌握圆内接四边形的对角互补、
弧长公式是解题的关键．
8. 已知实数 满足： ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关
键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故 错误；
∵ ，
∴ ，
∴ ，故 错误；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故 错误；
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，∴ ，故 正确；
故选： ．
9. 如图，在正六边形 中，点 ， 分别为 ， 上的点，若 为等边三角形，满足
上述条件的 的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正六边形的性质，中心角的计算，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性
质等知识点，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
连接 ，记对角线交点为点 ，将 绕点 顺时针旋转 交 于点 ，证明
，即可得到 为等边三角形，故有无数个．
【详解】解：如图，连接 ，记对角线交点为点 ，
∴半径 ， ，
∴ 为等边三角形，∴ ， ，
将 绕点 顺时针旋转 交 于点 ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴当点H在移动时，有无数个等边 ，
故选：D．
10. 如图，在菱形 中， ， ，点 从 点出发，沿 运动，过
点 作直线 的垂线，垂足为点 ，设点 运动的路程为 ， 的面积为 ，则下列图象能正确反
映 与 之间的函数关系的是（ ）
A. B. C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了函数的图象，菱形的性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，掌握知识点的应用和
分类讨论的数学思想是解题的关键．
根据点 的运动位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用锐角三角函数求出 和 ，即可求出 与
的函数关系式，即可判断出各种情况下的图象．
【详解】解：∵四边形 是菱形， ， ，
∴ ， ，
∴当点 到点 时， ；当 到点 时， ；当 到点 时， ，
当点 在 上，即 时，如下图所示
此时 ，
∴ ， ，
∴ ，此时图象为开口上的抛物线的一部分；
在
当点 上，即 时，如下图所示，过点 作 于 ，此时 ， ，
∴四边形 为矩形，
在 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，此时图象为逐渐上升的一条线段；
当点 在 上，即 时，如下图所示，
此时 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，此时图象为开口上的抛物线的一部分；
综上：符合题意的图象为 ，
故选： ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11. 代数式 有意义时， 应满足的条件是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查分式有意义的条件．根据分式有意义时分母不为零可求解x的取值范围．
【详解】解：由题意得 ，
解得： ．
故答案为： ．
12. 著名的欧拉公式 将自然常数 (又叫做欧拉数)与虚数单位 、圆周率 、自然数 和 这五
个最重要的常数联系在一起，被誉为数学中最美的公式之一，其中 ，试比较大小：
__________ (填“ ”“ ”或“ ”)．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了无理数的大小比较，根据 ，即可求解．
【详解】解：∵
∴
故答案为： ．
13. “四大发明”是中国古代劳动人民的重要创造，具体指印刷术、造纸术、火药和指南针四项发明．小
北从主题为《四大发明》的四段影片中随机选取两段观看，选取的两段影片恰好是“造纸术”和“印刷
术”的概率为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了画树状图或列表求概率，熟练掌握画出树状图或列表是解题关键．
设以印刷术、造纸术、火药和指南针为主题四段影片分别用 表示，画出树状图，利用概率
公式计算即可．【详解】解：设以印刷术、造纸术、火药和指南针为主题四段影片分别用 表示，
根据题意画树状图如下：
共有 种等可能的结果，选取的两段影片是“造纸术”和“印刷术”即为 和 的结果数有 种，
∴选取的两段影片恰好是“造纸术”和“印刷术”的概率为 ，
故答案为： ．
14. 如图，两个正方形 和 的顶点A重合，点E在射线 上，连接
的
（1）若 （ ），则 ______（用含 式子表示）；
（2）分别连接 ， ，M为 的中点，连接 ，若 ， ，则 的长为
_______
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根据正方形性质可得 、 ，再根据角的和差即可解答；
（2）如图：连接 ，设 与 的交点为P，连接 、 ，过点M作 的垂线，垂足为N，则由有正方形的性质以及勾股定理可得 、 ；再证明 可得
；然后运用勾股定理可得、 ；再说明 为 的中位线可得 、
；然后证明四边形 为矩形可得 、 、
，最后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）∵正方形 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵正方形 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
（2）如图：连接 ，设 与 的交点为P，连接 、 ，过点M作 的垂线，垂足为N，则
，由（1）可得： ，
在正方形 中， ，
在正方形 中， ，
∵在正方形 中， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 中， ，即 ，解得： ；
在 中， ，
∴ ，即点P为 的中点，∵ 为 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线等知识点，
正确作出辅助线、构造出直角三角形成为解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式组： ．
【答案】 ．
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组．先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据确定不等式组解集的方法“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”得出答案．
【详解】解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
原不等式组的解集是 ．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系 ， 的顶点
均为格点（网格线的交点），A，B，C的坐标为 ， ，
（1）将 绕点O顺时针旋转 ，得到 ，画出 （其中C的对应点为 ）；
（2）在所给的网格图内将 补成一个四边形，使得四边形 为轴对称图形，画出四边形
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图-旋转变换，轴对称变换．
（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点 ， ， 即可；
（2）根据轴对称图形的定义画出图形即可．
【小问1详解】
解：如图： 即为所求．【小问2详解】
解：如图：四边形 即为所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 2025年3月14日是第六个“国际数学日”，某校数学兴趣小组举行了一次数学知识竞赛，购买了一批
钢笔和自动铅笔作为奖品．已知每支钢笔的售价比自动铅笔贵 ，且购买10支自动铅笔和5支钢笔共
花费90元．求每支自动铅笔和钢笔的售价分别为多少元．
【答案】每支自动铅笔的售价为 元，则每支钢笔的售价为 元．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设每支自动铅笔的售价为 元，则每支钢笔的售价为 元，
根据题意列一元一次方程，据此求解即可．
【详解】解：设每支自动铅笔的售价为 元，则每支钢笔的售价为 元，
根据题意得
，
解得 ，
，
答：每支自动铅笔的售价为 元，则每支钢笔的售价为 元．
18. 观察以下等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，第4个等式： ，
……
按照以上规律．解决下列问题：
（1）写出第5个等式：________；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】（1）
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；
（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为 ，利
用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．
【小问1详解】
解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：
，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：第n个等式为 ，
证明如下：
等式左边： ，
等式右边：
，
故等式 成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关
键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，在海平面上，C和D是相距 海里的两处灯塔，灯塔C位于灯塔D 西北方向．某一时刻，
一艘渔船位于点A处，测得点A位于灯塔C 的北偏西 方向，该渔船沿着正东方向行驶一段时间到达
点B处，此时渔船位于灯塔D的北偏东 方向，灯塔C的东北方向，求该渔船行驶的距离（线段 的
长）．（结果保留整数，参考数据： ）
【答案】该渔船行驶的距离（线段 的长）为 海里．
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过 作 于 ，过 作 于
，由题意可得： ， ， ， ，
，可得 ， ， ，再依次解直角三角形
即可．
【详解】解：如图，过 作 于 ，过 作 于 ，
∴ ，
由题意可得： ， ， ， ，，
∴ ， ， ，
在 中， ， ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ；
∴该渔船行驶的距离（线段 的长）为 海里．
20. 如图，在 中，点C是直径 上方半圆上的一个点，直径 平分非直径弦 于点G，点E是
上一点（不与 重合），过点E作 ，垂足分别为 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查圆综合题、垂径定理、直角三角形的性质、四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常
用辅助线，利用圆的有关性质解决问题．
（1）由垂径定理可得 ，即 ，可得 ，再证明
，可得 ，再证明 ，可证得
；
（2）连接 ，先证得 四点是在以 为直径的圆上，再由 ，可得
三点是在以 为直径的圆上，再由 ，可得以 为直径的圆和以 为直径的圆
是等圆，再得 ，可得结论．
【小问1详解】
解： 直径 平分非直径弦 ，
，即 ．
，
即 ，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，连接 ，，
即 ，
四点是在以 为直径的圆上，
，
三点是在以 为直径的圆上，
，
以 为直径的圆和以 为直径的圆是等圆，
，即 ，
．
六、（本题满分12分）
21. 为营造健康向上的校园足球文化氛围，丰富学生课余体育文化生活、激发学生对足球的兴趣，增强学
生体质，某校举行足球运动员选拔赛，报名参加选拔赛的学生需要参加 米折返跑、传准、运射、比
赛四项指标的考核，每项满分为100分，确定各项得分后再按照下面表格的比例计算出每人的总成绩．
类别 专项素质 专项技术 实战能力
米
考核指标 传准 运射 比赛
折返跑
比例
全校共有300名学生参加这次选拔赛．校学生会从中随机抽取 名学生的最终比赛成绩进行了分析，把总
成绩（满分100分，所有成绩均不低于60分）分成四个等级（D： ；C： ；B：
；A： ），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ______， ______；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）参赛同学小祺四项考核指标 米折返跑、传准、运射、比赛成绩分别为90分，85分，95分，80
分，请你计算出他的总成绩；
（4）该校计划从报名的300名同学中按比赛成绩从高到低选拔48名足球运动员，请你通过计算估计小祺
能否入选．
【答案】（1）150；36
（2）见解析 （3）小祺同学的总成绩是86分；
（4）小祺同学不能入选．
【解析】
【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、用样本评估总体：
（1）根据B等级的人数和占比，可求得样本容量，再根据C等级的人数即可求得 的值；
（2）求得A等级的人数，可补全频数分布直方图；
（3）利用加权平均数的计算方法即可求解；
（3）利用样本估计总体即可求解．
【小问1详解】
解： （人），
，
∴ ，
为
故答案 ：150；36；
【小问2详解】
解：A等级的人数有 （人），补全频数分布直方图如图所示；
【小问3详解】
解：小祺同学的总成绩是 （分）；
【小问4详解】
解：在 分的人数有： （人），
答：小祺同学86分的总成绩不能入选．
七、（本题满分12分）
22. 【综合与实践】
在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结
合已有经验，对下列特殊四边形进行研究．
定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成
的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”．
【初步探究】
（1）如图①，在“双垂四边形 ”中，若 ，则 ________， 的值为________；
（2）如图②，在“双垂四边形 ”中， ， ，E为线段 上一点，
且 ，求 的值；
【拓展应用】
（3）如图③，在“双垂四边形 ”中， ， ，E为线段 上一动点，且
，连接 ，将 沿 翻折，得到 （点F在 的下方）．连接 ，若
，请直接写出 的面积．【答案】（1） ； ；（2） ；（3）12
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，
正方形的判定和性质，正确画出图形，添加辅助线解答是解题的关键．
（ 1 ） 由 直 角 三 角 形 两 锐 角 互 余 可 得 ， ， 进 而 可 得
，即可求解；
（2）根据等腰直角三角形的性质可证 ，得到 ，即可求解；
（3）如图，过点 作 于点 ，由（2）知， ， ，即得
， ，进而由折叠可得四边形 为正方形，连接 ，则
， ，证明 ，可求得 ，即可求解．
【详解】解：（1） ， ，
，
，
， ，
，故答案为： ， ；
（2） ， ，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，过点 作 于点 ，
由（2）知， ，
，
，
，
同理（2）可得， ，
，
由折叠的性质可知 ，
四边形 为正方形，如图，连接 ，则 ， ，
，即 ，
，
，
，
，
，
，
．
八、（本题满分14分）
23. 已知抛物线 过点 ，抛物线 （其中 为常数）．
（1）求 的值和 的顶点坐标．
（2）已知无论 为何值， 与 总交于一个定点，这个定点的坐标为________；
（3）当 时，平移抛物线 ，使其顶点在抛物线 上．平移后的抛物线与 轴交点记为 ，顶点为
，点 为坐标原点．当 时，求 面积的最大值．
【答案】（1） ，顶点坐标为（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式及顶点坐标，二次函数的性质，二次函数的
平移，以及利用二次函数解决几何面积最值问题，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）解析式联立利用根的判别式确定交点的个数，整理解析式即可求解；
（3）根据题意画出图形，利用函数解析式表示出顶点纵坐标，利用三角形面积公式列出关于 的二次函
数，根据顶点坐标求最值即可．
【小问1详解】
解：将 代入 得： ，
解得 ，
，
顶点坐标为 ；
【小问2详解】
解：联立 得，
整理得
∴两个图形一定有交点，
整理得∴当 时，无论 取何值 ，
由（1）得， 的顶点坐标为 ，
∴ 与 总交于一个定点的坐标为 ，
故答案为： ；
【小问3详解】
解：
如图所示，
当 时，抛物线 ，
平移之后顶点坐标为 ，即
∴平移之后
，此二次函数抛物线开口向下，
可求顶点横坐标为 ， ，
∴顶点纵坐标为最大值
当 时，代入二次函数得 ，∴ 面积的最大值
