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2024~2025 学年度九年级第一次模拟
数学试卷
考生注意：本卷八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 在实数0， ， ， 中，最小的数是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是实数的大小比较，根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，
两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴在实数0， ， ， 中，最小的数是 ．
故选：A．
2. 寿州大鼓是流行于安徽寿县、颍上、凤台、霍邱、正阳关一带的传统说唱艺术，是安徽大鼓的一个重要
流派．如图是寿州大鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）．
正面
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握主视图是从几何体的正前方看到的图形成为解题的关
键．
根据立体图形的主视图的定义即可解答．【详解】解：如图是寿州大鼓的立体图形，该立体图形的主视图是 ．
故选D．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式，积的乘方和幂的乘方计算，单项式乘以单项式，熟知相关计算法
则是解题的关键．
【详解】解：A、 ，原式计算错误，不符合题意；
B、 ，原式计算错误，不符合题意；
C、 ，原式计算正确，符合题意；
D、 ，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
4. 小华将一副三角板（ ， ， ）按如图所示的方式摆放，其中
，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出 ，然后根据三角形内角和定理求解即可．【详解】解：如图：设 交于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5. 下列函数中， 的值随 值的增大而减小的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数，二次函数增减性，掌握一次函数，二次函数图象的性质是关键．
根据一次函数，二次函数解析式，判定函数的增减性即可．
【详解】解：A、 ，当 时， 的值随 值的增大而增大；当 时， 的值随 值的增大
而减小；故原选项不符合题意；
B、 ，当 时， 的值随 值的增大而减小；当 时， 的值随 值的增大而增大；故
原选项不符合题意；
C、 ， 的值随 值的增大而增大，原选项不符合题意；
D、 ， 的值随 值的增大而减小，符合题意；
故选：D ．
6. 如图， 中， ， ， ， 的长分别为 ， ， ．则可以用含 ， ， 的
式子表示出 的内切圆直径 ，下列表达式错误的是（ ）A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作 于点 ，作 于点 ，作 于点 ，连接 、 、 ，先
证明四边形 是正方形，得到 ，根据切线长定理得到 ，
，再利用 ，得出 ；利用勾股定理得到 ，结合
，利用因式分解的知识得出 ，则有 ；利用等面积
法得到 ，代入数据得出 ，即可得出结论．
【详解】解：如图，作 于点 ，作 于点 ，作 于点 ，连接 、 、
，是 的内切圆，
， ， ， ，
，
四边形 是正方形，
，
， ，
，
，
整理得： ，故A选项表达式正确，不符合题意；
，
，
，，
，故C选项表达式正确，不符合题意；
，
，
整理得： ，故D选项表达式正确，不符合题意；
当 时，根据等腰直角三角形的性质可知 ，此时 ，故B选项表达式错误，符
合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的内切圆、切线长定理、正方形的性质与判定、因式分解、勾股定理、三
角形的面积公式，熟练掌握内切圆半径与三角形周长、面积之间的关系是解题的关键．本题属于几何综合
题，需要较强的几何知识储备，适合有能力解决几何难题的学生．
7. 一个袋子中装有红、蓝两种颜色的球，如果摸到红球的可能性是 ．那么符合情况的袋子是（
）
A. 4红10蓝 B. 8红12蓝
C. 40红100蓝 D. 3红2蓝
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查概率的认识，用百分数表示概率．袋子中装有红、蓝两种颜色的球，要使摸到红球
的可能性是 ，就得是红球个数除以红、蓝球的总个数得 ，计算选择即可．
【详解】解：A、摸到红球的可能性是 ；
B、摸到红球的可能性是 ；C、摸到红球的可能性是 ；
D、摸到红球的可能性是 ；
故选：B．
8. 如图，长方形 是由两个长为a，宽为b的长方形 和 ），两个相同的大正
方形 和 ，以及小正方形 无缝拼接组成．若阴影部分（四个直角三角形）的面积是
正方形 面积的4倍，则 的值是（ ）
A. 2 B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查整式运算的实际应用，设小正方形的边长为 ，易得 ，根据阴影部分
（四个直角三角形）的面积是正方形 面积的4倍，得到 ，进而求出 的值，根
据正方形的边长相等，得到 ，进行求解即可．
【详解】解：设小正方形的边长为 ，
由题意，得：
则： ，
∴ 阴影部分（四个直角三角形）的面积为： ，
正方形 面积的面积为 ，∴ ，
∴ ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ；
故选C．
9. 一次函数 与二次函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能
是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象的综合．本题可先由一次函数 图象得到字母系数的正负，再与二次函数 的图象相比较看是否一致即可判断．
【详解】解：A、由抛物线可知， ， ，由直线可知， ， ，即 ， ，故本
选项错误；
B、由抛物线可知， ， ，由直线可知， ， ，即 ， ，故本选项正确；
C、由抛物线可知， ， ，由直线可知， ， ，即 ， ，故本选项错误；
D、由抛物线可知， ， ，由直线可知， ， ，即 ， ，故本选项错误．
故选：B．
10. 勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公
认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小
亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接 ， ．若正方形 与 的边长之比为 ，则
等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设 的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为x，由题意得 ，解得 ，即可求解．
【详解】解：过点D作 交 的延长线于点N，
由题意可得，两个正方形之间是4个相等的三角形，
的
设 长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为x，
即 ， ， ，
由题意得， ，解得 ，
在 中， ，则 ，
，
则 ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用、正方形的性质及勾股定理，确定
a、b和x之间的关系是解题的关键．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11. 计算： ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂、开立方，掌握这两个知识点是关键；根据零指数幂、
求立方根即可完成．
【详解】解： ；
故答案为： ．
12. 我国南海海域的面积约为3600000km2，该面积用科学记数法应表示为___ km2．
【答案】3.6×106
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键
要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1
时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个
0）．3600000一共7位，从而3600000=3.6×106．
【详解】解：3600000=3.6×106．
故答案为：3.6×106
13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，将直角 向右平移到 位置，A的对应点是C，O的对应
点是E，函数 的图象经过 与 的交点 ，连接 并延长交 轴于点 ，若
的面积为3，则 的值是_______．
【答案】6
【解析】【分析】本题主要考查反比例函数函数k的几何意义，设 的长为 ，则 ，表示出
点 的 坐 标 为 ， 证 明 ， 得 ， 知
【详解】解：设 的长为 ，则
当 时，点 的坐标为 ，
∴ ，
又 是直角三角形，且
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：6
14. 如图，在矩形 中， ， ，取 上一点 ，以 为圆心 长为半径画弧交于点 ，以 、 为圆心，以分别大于 长为半径画弧交于点 ，连接 并延长至点 ，使
交 于点 ， ．分别以 ， 为圆心，大于 为半径画弧交于点 ， ．连接
交 于点 ，点 在 上，过点 作 于点 ，连接 ．
（1）如图，与 相等的线段有________；（2） 的值为________．
【答案】 ①. ； ②.
【解析】
【分析】 根据矩形的性质可知 ，由尺规作图可知 是 的平分线，根据角平分线的
性质可知 ，根据等腰三角形的性质可知 ，根据 可证
，根据全等三角形的性质可知 ， ，从而可得：
；
由尺规作图可知 是 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知 ，从而可得：
， ，利用勾股定理分别求出 和 的长度，即可求出 的值即可．【详解】 解：由作图可知 是 的平分线，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
， ，
，
故答案为： ；
解：由 可知 ，
由作图可知 是 的垂直平分线，
， ，
四边形 是矩形，
，
，
，
，，
在 中， ，
在 中， ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了尺规作图、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、勾
股定理，解决本题的关键是根据尺规作图的作法明确作出的图形与原图形之间的关系．
三、（本题每小题8分，满分16分）
15. 解方程：
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式
法、分解因式法，本题主要运用十字相乘法分解因式，把一元二次方程转化为 个一元一次方程，通过解
一元一次方程求出一元二次方程的解．
【详解】解： ，
移项得： ，
分解因式得： ，
或 ，
解得： ， ．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上（两条网格线的交
点叫格点）．（1）将 平移得到 ，使得点A和点O重合；
（2）用无刻度的直尺作出 边上一个点，使 ．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】（1）由题意得， 是向右平移6个单位长度，向上平移2个单位长度得到的 ．结
合平移的性质画图即可．
（2）结合相似三角形的判定与性质，取格点 ， ，使 ，且 ，连接 交
于点 ，则点 即为所求．
本题考查作图 平移变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握平移的性质、相似三角形的判定与性质是
解答本题的关键．
【小问1详解】
解：由题意得， 是向右平移6个单位长度，向上平移2个单位长度得到 的
如图， 即为所求．
【小问2详解】
解：如图，取格点 ， ，使 ，且 ，连接 交 于点 ，
此时 ，
则 ，
则点 即为所求．四、（本题每小题8分，满分16分）
17. 周末，明明帮妈妈去超市买菜，回家后与妈妈有一段对话：
根据上面的信息，请你列方程组求明明买了牛肉和鸡蛋各多少斤？
【答案】明明买了牛肉2斤，鸡蛋4斤
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设明明买了牛肉 斤，鸡蛋 斤，根据买了牛肉和
鸡蛋共6斤花了 元列出方程组求解即可．
【详解】解：设明明买了牛肉 斤，鸡蛋 斤，
由题意得： ，
解得： ，
答：明明买了牛肉2斤，鸡蛋4斤．
18. 有下列等式：
第1个等式： ； 第2个等式， ；第3个等式： ； 第4个等式：
；…
请你按照上面的规律解答下列问题：
（1）第5个等式是_________________________；（2）写出你猜想的第n个等式：_______________________；（用含n的等式表示），并证明其正确性．
【答案】(1) ；(2)猜想： ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知式子可得下一个： ；
（2）根据观察可得第n个等式： 根据分式运算法则，从等式的右边进行通分合并，
由右边=左边可证得；
【详解】（1）
（2）猜想：
证明：等式右边
=等式左边
故猜想成立.
【点睛】考核知识点：分式加减.观察规律，列出式子，运用分式加减法整理是关键.
五、（本题每小题10，满分20分）
19. 昌景黄高铁于2023年底通车运行，在设计线路图时，有很多地方需要打隧道．如图就是某隧道示意图，
为了测量隧道的长度，施工队用无人机在距地面高度为200米的C处测得隧道南北两端A、B的俯角
、 （已知A、B、C三点在同一平面上），求该隧道南北两端A、B的距离．
（结果保留整数，参考数据： ， ， ， ，
， ， ）【答案】隧道南北两端A、B的距离约为155米
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键，分别过 A、B两
点 作 于 E ， 于 F ， 解 直 角 三 角 形 得 出 （ 米 ） ，
（米），求出结果即可．
【详解】解：分别过A、B两点作 于E， 于F，如图所示：
在 中， ， 米，
， （米）．
在 中， ，
， （米）．
（米）．
答：隧道南北两端A、B的距离约为155米．
20. 如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 是 延长线上一点， 在 上，连
接 ，若 为 的切线．（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，利用同弧所对的圆周角相等、等腰三角形的性质及直径所对的圆周角是直角即
可得到 ，据此即可证明 ；
（2）设 交 于点 H，由 ，得到 ，根据垂径定理，设 ，则
．利用勾股定理求出 ，从而利用勾股定理求得 的长．
【小问1详解】
证明：如图1，连接 ．
是 的直径，，
，
，
．
，
∵ 为 的切线，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
【
小问2详解】
解：如图2，设 交 于点H．
，
，
， ．
，
．设 ，则 ．
， ，
，
，
解得 ，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角的有关性质，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，
灵活运用勾股定理建立方程是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 某区响应国家的号召，鼓励学生利用周末时间开展群文阅读．该区为了了解学生阅读情况，随机抽取
七八九年级 名学生调查每周用于阅读的时间：
【设计方案】
方案 调查方式
方案 在指定学校中随机抽取 名学生进行调查分析
在全区七八九年级中随机抽取 名学生进行调查分
方案
析
方案 在八年级男生中随机抽取 名学生进行调查分析
【数据分析】将抽取的 名学生每周用于课外阅读的时间 （单位：分钟）的数据，划分为四个等级：
（ ）， （ ）， （ ）， （ ），并绘制成如下不完整的统计图．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）三个方案中具有代表性的方案是 （填“ ”或“ ”或“ ”）；
（2）请补全条形统计图；
（3）在全区抽取的 等级样本中，某校有 名学生被抽中，其中 名男生和 名女生．该校计划从这 名
同学中，随机抽取 名学生进行读书分享，请用画树状图或列表法，求恰好选中 名男生和 名女生的概率．
【答案】（1） ；
（2）补全条形统计图见解析；
（3） ．
【解析】
【分析】（ ）根据题意可直接得出答案；
（ ）分别求出A，C等级的人数，补全条形统计图即可；
（ ）画出树状图，利用概率公式计算即可；
本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解
答本题的关键．
【小问1详解】
由调查方式可知，三个方案中具有代表性 的方案是 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
等级的人数为： （人），等级的人数为 （人），
补全条形统计图如图所示，
【小问3详解】
画树状图如图所示 ，
共有 种等可能的结果，其中 名男生和 名女生的可能性有 种，
∴恰好选中 名男生和 名女生的概率为 ．
七、（本题满分12分）
22. 如图1，在 中， ， ，点 是 边上的点，点 是 边上的点，
，连接 ，且 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ；（3）如图 ，连接 ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）过点 作 ，交 的延长线于点 ，证明 ，得出
，证明 ，由相似三角形的性质得出 ，则可得出结论；
（2）证明 ，由全等三角形的性质得出 ，则可得出结论；
（3）过点 作 ，交 的延长线于点 ，根据平行线分线段成比例定理得到 ，证
明 ，由全等三角形的性质得出 ，证出 ，再根据勾股定理可
得出答案．
【小问1详解】
证明：如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：过点 作 ，交 的延长线于点 ，
由（2）可知： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴在 中，
，
∴ ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定
与性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，平行线的判定等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是
解题的关键．
八．（本题满分14分）
23. 定义：在平面直角坐标系 中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标
相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
（1）如图①，矩形 的顶点坐标分别是 ， ， ， ，在点
， ， 中，是矩形 “梦之点”的是___________；
（2）点 是反比例函数 图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是___________，直线 的解析式是 ___________．当 时，x的取值范围是
___________．
（3）如图②，已知点A，B是抛物线 上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接
， ， ，判断 的形状，并说明理由．
【答案】（1） ，
（2） ， ， 或
（3） 是直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形内部或边上即可；
（2）把 代入 求出解析式，再求与 的交点即为 ，最后根据函数图象判断当
时，x的取值范围；
（3）根据“梦之点”的定义求出点A，B的坐标，再求出顶点C的坐标，最后求出 ， ， ，即
可判断 的形状．
【小问1详解】
∵矩形 的顶点坐标分别是 ， ， ， ，
∴矩形 “梦之点” 满足 ， ，
∴点 ， 是矩形 “梦之点”，点 不是矩形 “梦之点”，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
∵点 是反比例函数 图象上的一个“梦之点”，
∴把 代入 得 ，∴ ，
∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等，
∴“梦之点”都在直线 上，
联立 ，解得 或 ，
∴ ，
∴直线 的解析式是 ，
函数图象如图：
由图可得，当 时，x的取值范围是 或 ；
故答案为： ， ， 或 ；
【小问3详解】
是直角三角形，理由如下：
∵点A，B是抛物线 上的“梦之点”，
∴联立 ，解得 或 ，
∴ ， ，
∵∴顶点 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
【点睛】本题是函数的综合题，考查了一次函数、反比例函数、二次函数，理解坐标与图形性质，记住两
点间的距离公式，正确理解新定义是解决此题的关键．
