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2024~2025 学年度九年级第一次模拟
数学试卷
考生注意：本卷八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 在实数0， ， ， 中，最小的数是（ ）
A. B. C. D. 0
2. 寿州大鼓是流行于安徽寿县、颍上、凤台、霍邱、正阳关一带的传统说唱艺术，是安徽大鼓的一个重要
流派．如图是寿州大鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）．
正面
.
A B.
C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
的
4. 小华将一副三角板（ ， ， ）按如图所示 方式摆放，其中
，则 的度数为（ ）A. B. C. D.
5. 下列函数中， 的值随 值的增大而减小的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图， 中， ， ， ， 的长分别为 ， ， ．则可以用含 ， ， 的
式子表示出 的内切圆直径 ，下列表达式错误的是（ ）
A. B.
C. D.
的
7. 一个袋子中装有红、蓝两种颜色 球，如果摸到红球的可能性是 ．那么符合情况的袋子是（
）
A. 4红10蓝 B. 8红12蓝
C. 40红100蓝 D. 3红2蓝
8. 如图，长方形 是由两个长为a，宽为b的长方形 和 ），两个相同的大正
方形 和 ，以及小正方形 无缝拼接组成．若阴影部分（四个直角三角形）的面积是
正方形 面积的4倍，则 的值是（ ）A. 2 B. C. D. 3
9. 一次函数 与二次函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能
是（ ）
A. B.
C. D.
10. 勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公
认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小
亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接 ， ．若正方形 与 的边长之比为 ，则
等于（ ）A. B. C. D.
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算： ___________．
12. 我国南海海域的面积约为3600000km2，该面积用科学记数法应表示为___ km2．
13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，将直角 向右平移到 位置，A的对应点是C，O的对应
点是E，函数 的图象经过 与 的交点 ，连接 并延长交 轴于点 ，若
的面积为3，则 的值是_______．
14. 如图，在矩形 中， ， ，取 上一点 ，以 为圆心 长为半径画弧交
于点 ，以 、 为圆心，以分别大于 长为半径画弧交于点 ，连接 并延长至点 ，使
交 于点 ， ．分别以 ， 为圆心，大于 为半径画弧交于点 ， ．连接
交 于点 ，点 在 上，过点 作 于点 ，连接 ．（1）如图，与 相等的线段有________；（2） 的值为________．
三、（本题每小题8分，满分16分）
15. 解方程：
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上（两条网格线的交
点叫格点）．
（1）将 平移得到 ，使得点A和点O重合；
（2）用无刻度的直尺作出 边上一个点，使 ．
四、（本题每小题8分，满分16分）
17. 周末，明明帮妈妈去超市买菜，回家后与妈妈有一段对话：
根据上面的信息，请你列方程组求明明买了牛肉和鸡蛋各多少斤？
18. 有下列等式：
第1个等式： ； 第2个等式， ；第3个等式： ； 第4个等式：；…
请你按照上面的规律解答下列问题：
（1）第5个等式是_________________________；
（2）写出你猜想的第n个等式：_______________________；（用含n的等式表示），并证明其正确性．
五、（本题每小题10，满分20分）
19. 昌景黄高铁于2023年底通车运行，在设计线路图时，有很多地方需要打隧道．如图就是某隧道示意图，
为了测量隧道的长度，施工队用无人机在距地面高度为200米的C处测得隧道南北两端A、B的俯角
、 （已知A、B、C三点在同一平面上），求该隧道南北两端A、B的距离．
（结果保留整数，参考数据： ， ， ， ，
， ， ）
的
20. 如图， 是 外接圆， 是 的直径， 是 延长线上一点， 在 上，
连接 ，若 为 的切线．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
六、（本题满分12分）
21. 某区响应国家的号召，鼓励学生利用周末时间开展群文阅读．该区为了了解学生阅读情况，随机抽取
七八九年级 名学生调查每周用于阅读的时间：【设计方案】
方案 调查方式
方案 在指定学校中随机抽取 名学生进行调查分析
在全区七八九年级中随机抽取 名学生进行调查分
方案
析
方案 在八年级男生中随机抽取 名学生进行调查分析
【数据分析】将抽取的 名学生每周用于课外阅读的时间 （单位：分钟）的数据，划分为四个等级：
（ ）， （ ）， （ ）， （ ），并绘制成如下
不完整的统计图．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）三个方案中具有代表性的方案是 （填“ ”或“ ”或“ ”）；
（2）请补全条形统计图；
（3）在全区抽取的 等级样本中，某校有 名学生被抽中，其中 名男生和 名女生．该校计划从这 名
同学中，随机抽取 名学生进行读书分享，请用画树状图或列表法，求恰好选中 名男生和 名女生的概率．
七、（本题满分12分）
22. 如图1，在 中， ， ，点 是 边上的点，点 是 边上的点，
，连接 ，且 ．（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）如图 ，连接 ，求 的值．
八．（本题满分14分）
23. 定义：在平面直角坐标系 中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标
相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
（1）如图①，矩形 的顶点坐标分别是 ， ， ， ，在点
， ， 中，是矩形 “梦之点”的是___________；
（2）点 是反比例函数 图象上 的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之
点”H的坐标是___________，直线 的解析式是 ___________．当 时，x的取值范围是
___________．
（3）如图②，已知点A，B是抛物线 上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接
， ， ，判断 的形状，并说明理由．
