文档内容
2024--2025 学年度九年级第二次模拟
数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求）
1. 下列各数中，为无理数 的是（ ）
A. B. 0 C. D.
2. 2025年1月29号《哪吒之魔童闹海》在我国首映，截止3月10号全球累计票房已超过149亿元，目前
位列全球影史票房第6名．其中149亿用科学计数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．如图，
这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫
法线 ）的夹角等于入射光线与法线的夹角 ．如图一个平面镜斜着放在水平面上， 形成 形状，
，在 上有一点E， 从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线 刚
好与 平行，则 的度数为（ ）A. B. C. D.
6. 一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，与 轴交于点
，则 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
7. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为3，∠C＝140°，则弧BD的长为（ ）
A. π B. π C. π D. 2π
8. 已知实数 满足： ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在正六边形 中，点 ， 分别为 ， 上的点，若 为等边三角形，满足
上述条件的 的个数为（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个
10. 如图，在菱形 中， ， ，点 从 点出发，沿 运动，过
点 作直线 的垂线，垂足为点 ，设点 运动的路程为 ， 的面积为 ，则下列图象能正确反
映 与 之间的函数关系的是（ ）
A. B. C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 代数式 有意义时， 应满足的条件是______．
12. 著名的欧拉公式 将自然常数 (又叫做欧拉数)与虚数单位 、圆周率 、自然数 和 这五
个最重要的常数联系在一起，被誉为数学中最美的公式之一，其中 ，试比较大小：
__________ (填“ ”“ ”或“ ”)．13. “四大发明”是中国古代劳动人民的重要创造，具体指印刷术、造纸术、火药和指南针四项发明．小
北从主题为《四大发明》的四段影片中随机选取两段观看，选取的两段影片恰好是“造纸术”和“印刷
术”的概率为_______．
14. 如图，两个正方形 和 的顶点A重合，点E在射线 上，连接
（1）若 （ ），则 ______（用含 的式子表示）；
（2）分别连接 ， ，M为 的中点，连接 ，若 ， ，则 的长为
_______
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式组： ．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系 ， 的顶点
均为格点（网格线的交点），A，B，C的坐标为 ， ，
（1）将 绕点O顺时针旋转 ，得到 ，画出 （其中C的对应点为 ）；
（2）在所给的网格图内将 补成一个四边形，使得四边形 为轴对称图形，画出四边形四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 2025年3月14日是第六个“国际数学日”，某校数学兴趣小组举行了一次数学知识竞赛，购买了一批
钢笔和自动铅笔作为奖品．已知每支钢笔的售价比自动铅笔贵 ，且购买10支自动铅笔和5支钢笔共
花费90元．求每支自动铅笔和钢笔的售价分别为多少元．
18. 观察以下等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
……
按照以上规律．解决下列问题：
（1）写出第5个等式：________；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，在海平面上，C和D是相距 海里的两处灯塔，灯塔C位于灯塔D 西北方向．某一时刻，
一艘渔船位于点A处，测得点A位于灯塔C 的北偏西 方向，该渔船沿着正东方向行驶一段时间到达
点B处，此时渔船位于灯塔D的北偏东 方向，灯塔C的东北方向，求该渔船行驶的距离（线段 的
长）．（结果保留整数，参考数据： ）
20. 如图，在 中，点C是直径 上方半圆上的一个点，直径 平分非直径弦 于点G，点E是上一点（不与 重合），过点E作 ，垂足分别为 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
六、（本题满分12分）
21. 为营造健康向上的校园足球文化氛围，丰富学生课余体育文化生活、激发学生对足球的兴趣，增强学
生体质，某校举行足球运动员选拔赛，报名参加选拔赛的学生需要参加 米折返跑、传准、运射、比
赛四项指标的考核，每项满分为100分，确定各项得分后再按照下面表格的比例计算出每人的总成绩．
类别 专项素质 专项技术 实战能力
米
考核指标 传准 运射 比赛
折返跑
比例
全校共有300名学生参加这次选拔赛．校学生会从中随机抽取 名学生的最终比赛成绩进行了分析，把总
成绩（满分100分，所有成绩均不低于60分）分成四个等级（D： ；C： ；B：
；A： ），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：（1）填空： ______， ______；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）参赛同学小祺四项考核指标 米折返跑、传准、运射、比赛成绩分别为90分，85分，95分，80
分，请你计算出他的总成绩；
（4）该校计划从报名的300名同学中按比赛成绩从高到低选拔48名足球运动员，请你通过计算估计小祺
能否入选．
七、（本题满分12分）
22. 【综合与实践】
在数学学习中，我们发现除了已经学过 的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，
请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究．
定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出 的对角线，把对角
分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”．
【初步探究】
（1）如图①，在“双垂四边形 ”中，若 ，则 ________， 的值为________；
（2）如图②，在“双垂四边形 ”中， ， ，E为线段 上一点，
且 ，求 的值；
【拓展应用】
（3）如图③，在“双垂四边形 ”中， ， ，E为线段 上一动点，且
的
，连接 ，将 沿 翻折，得到 （点F在 下方）．连接 ，若
，请直接写出 的面积．
八、（本题满分14分）
23. 已知抛物线 过点 ，抛物线 （其中 为常数）．（1）求 的值和 的顶点坐标．
（2）已知无论 为何值， 与 总交于一个定点，这个定点的坐标为________；
（3）当 时，平移抛物线 ，使其顶点在抛物线 上．平移后的抛物线与 轴交点记为 ，顶点为
，点 为坐标原点．当 时，求 面积的最大值．
