文档内容
2025 届九年级模拟检测一
数学
注意事项：
1．满分150分，答题时间为120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求）
1. ﹣3的绝对值是（ ）
A. ﹣3 B. 3 C. - D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案．
的
【详解】根据绝对值 性质得：|-3|=3．
故选B．
【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
2. 计算 的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了积的乘方计算法则：积的乘方等于积中每个因式分别乘方，熟记法则是解题的关键．
根据积的乘方计算法则计算解答．
【详解】解： ，
故选：D．
3. 某几何体的主视图和俯视图如图所示，则该几何体是（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，利用空间想象能力是解题的关键．
根据三视图并结合题意，对选项逐一分析，进行判断即可．
【详解】A、该几何体的主视图和俯视图符合题意，故此选项正确；
B、该几何体的主视图为矩形，故此选项不正确；
C、该几何体的俯视图右侧应为三角形，故此选项不正确；
D、该几何体的主视图下层为一个矩形，上层为两个矩形，故此选项不正确．
故选：A．
4. 国家电影局数据显示，2024年全年电影票房425.02亿元，观影总人次再次突破10亿．将数据“425.02
亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了
多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：425.02亿 ，
故选：C．
5. 如图，在 中， ，点 ， 分别在 ， 上，且 ，则 的长为（
）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．先证明 ，再根据三角形相似的性质解答
即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
6. 在扇形 中， 的长为 ， ，则扇形 的半径为（ ）
A. 8 B. 6 C. 5 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题涉及扇形弧长公式，通过已知的弧长和圆心角，利用弧长公式来求解半径．
将已知条件代入弧长公式，然后通过计算得出半径的值．【详解】解：由题意得： ，
，
故答案为：8．
7. 如图，在四边形 中，对角线 ， 交于点 ．若 ，则添加下列条件，仍不能得出
的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行
四边形的判定是解题的关键．由平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即
可．
【详解】解：A、由 ， ，不能证明四边形 是平行四边形，
因此不能得出 ，故该选项符合题意；
B、∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
，
故该选项不符合题意；
C、∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
；
故该选项不符合题意；
D、在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
，
故该选项不符合题意；
故选：A．
8. 已知一次函数 的图象与 轴交于点 ，与反比例函数 的图象在第一象限内交于
点 ．若 ，则 的值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 24
【答案】D【解析】
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的性质，求得点A的坐标是解题的关键．
由一次函数的解析式求得点B的坐标，得到 ，根据三角形的面积公式求得 ，将 代入
求得 ．
【详解】如图所示，
一次函数 的图象与 轴交于点 ，
令 ，则 ，
，
∴ ，
，即 ，
解得 ，
将 代入 ，
，
∴将 代入 得，
解得 ．
故选：D．9. 若 ， ，则下列判断错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质．先求得 ，得到 ，解得 ，再分别求
得 、 和 的取值范围即可得解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 ；
∴ ，则 ，
即 ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
观察四个选项，选项D符合题意，
故选：D．
10. 如图，在 中， ， ， ， 是 上的一点，且 ，
是 上的一动点， ，交线段 于点 ，连接 ．设 的长为 ， 的面积为 ，
则 关于 的函数图象为（ ）A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，勾股定理求出
，然后得到 ，求出 ，设 ，则
， ，证明出 ，得到 ，
然后代入得到 ， ，然后得到 ，进而求
解即可．
【详解】如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ．在 中， ， ，
．
，
， ．
， ，
在 中， ，
，
．
设 ，则 ， ，
∵ ， ，
∴
∴
又∵∴ ，
，即 ，
解得 ，
，
．
点 在线段 上，
，
，
故选D．
【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象与性质，勾股
定理和相似三角形的性质和判定，解直角三角形，掌握以上知识点是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）
11. 若式子 有意义，则 的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据被开方数不小于零的条件进行解题即可．
【详解】解：由题可知，
，
解得 ．
故答案为： ．
12. 已知 是一元二次方程 的两个根，则 __________．【答案】
【解析】
【分析】运用一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解： ∵ 是一元二次方程 的两个根，
根据根与系数的关系得： ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟知 是解题关键．
的
13. 如图， 是 外接圆， ， ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】连接 ， ，依据 是等腰直角三角形，即可得到
．
【详解】∵ ，
，
∵ ，是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质和判定，解直角三角形，熟知同圆或等圆中，
同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半是解题的关键．
14. 如图，这是一张矩形 纸片， 为 上的一点， ，点 在边 上，把该纸片沿
折叠，点 ， 的对应点分别为 ， ， 与 相交于点 ，且 的延长线经过点 ．
（1）若 ，则 ______．（用含 的式子表示）
（2）若 ， ，则 ______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根据题意，表示出 ，再利用 ，得 ，从而得到结果；
（2）由题意，表示出 ，利用 ，求出 ，结合勾股定理，得到结果．
【详解】解：（1）∵四边形 是矩形， ，
∴ ， ，
∴ ，∵把矩形 纸片沿 折叠，点 ， 的对应点分别为 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
故答案为： ；
（2）∵ ， ，设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵把矩形 纸片沿 折叠，点 ， 的对应点分别为 ， ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
在 中，
，即 ，解得： 或 （负值不符合题意，舍去），
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，掌握折叠的性
质、相似三角形的判定和性质是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程： ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
利用配方法求解即可．
【详解】解： ，
，
，
，
， ．
16. 如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点 ， ， ， 均在格点（网格线的
交点）上．图1 图2
（1）求 的面积．
（2）将 先向右平移 个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到 ，请在图1中画出
．
（3）将 绕点 按顺时针方向旋转 ，得到 ，请在图2中画出 ．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了网格中三角形面积的计算方法，图形的平移和旋转，熟练掌握图形平移和旋转的
性质是解题关键．
（1）通过补形法求三角形的面积即可；
（2）根据平移的性质作图即可；
（3）根据旋转的性质作图即可．
【小问1详解】
解： ，
的面积为 ．
【小问2详解】
解：如图， 为所求．
【小问3详解】
解：如图， 为所求．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 春节期间某品牌鞋专卖店为了增加销售量，对店内所有的鞋子进行打折销售．张阿姨在店中看中甲，
乙两款鞋，这两款鞋的标价和为 元，询问店员得知甲款鞋打八折，乙款鞋打七五折，打折后这两款鞋
共便宜 元，求打折后甲、乙两款鞋的售价．
【答案】打折后甲款鞋的售价为 元，乙款鞋的售价为 元
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意列出方程是解题的关键．
根据题意，列出二元一次方程组并解方程即可求解．
【详解】解：设打折前甲款鞋的标价为 元，乙款鞋的标价为 元．
根据题意，得 ，
解得 ，
∴ ， ．
答：打折后甲款鞋的售价为 元，乙款鞋的售价为 元．
18. 观察下列各式的规律．
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
……（1）根据上述规律，直接写出第4个等式：______．
（2）猜想满足上述规律的第 个等式，并证明其成立．
【答案】（1）
（2） ，见解析
【解析】
【分析】本题考查了数字类的规律以及分式的加减混合运算．
（1）模仿题意，直接写出第4个等式即可．
（2）结合（1）的结论，得 ，再把等式左边和右边进行变形整理，即可作答．
【小问1详解】
根据题意得，第4个等式： ；
【小问2详解】
猜想第 个等式为 ．
证明：等式左边 ，
等式右边 ，
左边 右边，
第 个等式为 ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 小鹏想测量学校内一棵古树的高度．如图，小鹏在B 处测得树顶A的仰角α为 ，然后他向前走了
到达C处，测得树顶A的仰角β为 ．已知 ，点B，C，O在同一条直线上，请你帮助小鹏计算出古树的高度 ．(结果精确到 ，参考数据： ， ，
， )
【答案】古树的高度 约为 ．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．设 ，在 中，求得 ，在
中，求得 ，根据 ，列式计算即可求解．
【详解】解：延长 交 于点F，则 ，
， ．
设 ，
在 中， ，∴ ，
在 中， ，
∴ ，
由题意得 ，
∴ ，即 ，
解得 ，即 ．
∴ ．
答：古树的高度 约为 ．
20. 如图，点 ， 在以 为直径的 上，且 ，经过点 的切线与 的延长线交于点 ，
与 的延长线交于点 ，连接 ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）连接 ，通过圆的切线的性质，得 ，结合 可得 ，
进而得 ∥ ，即可求解；
（2）由（1）得 ∥ ，证得 ，通过相似三角形的性质得 ，结合题意，
求得 与 的值，再通过勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：连接 ．
与 相切，
．
，
，
，
，
，
∥ ，
，
．
【小问2详解】解：由（1）得 ，
，
，
， ，
，解得 ，
．
在 中， ，
．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理和推论，平行线的判定与性质，相似三角形的判定
与性质，勾股定理，熟练掌握圆的有关性质是解题关键．
六、（本题满分12分）
21. 第九届亚洲冬季运动会于今年2月7日至 日在哈尔滨举办，本届亚冬会吸引了来自亚洲 个国家和
地区的 余名运动员参赛，创下历届参赛人数和代表团数量之最．某校为了解学生对体育运动的了解
程度，组织七、八年级全体学生进行了相关的知识竞赛．为了解竞赛成绩，抽样调查了七、八年级部分学
生的分数，过程如下，
【收集数据】从该校七、八年级学生中各随机抽取 名学生的分数，其中八年级学生的分数如下： ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
【整理、描述数据】将抽取的七、八年级学生的竞赛成绩 （分）分组整理如表所示：
分数／分
七年级人数 2 3 6 5 4八年级人数 1 3 7
【分析数据】七、八年级学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数如表所示：
平均数／ 中位数／ 众数／
年级
分 分 分
七年
级
八年
级
根据以上提供 的信息，解答下列问题．
（1）填空： ______， ______， ______．
（2）已知该校七、八年级各有 名学生，为表扬在这次竞赛中表现优异的学生，该校决定给两个年级
竞赛成绩在 分及以上的学生颁发奖状，请估计该校需要准备多少张奖状？
（3）该校决定从七、八年级竞赛获得 分的学生（其中七年级2名）中随机选取2名学生参加市级竞赛，
请用列表或画树状图的方法，求选中的两名学生恰好在同一年级的概率．
【答案】（1）4；5；
（2） 张
（3）
【解析】
【分析】（1）对八年级学生的分数进行分组整理即可求出a和b，根据中位数的定义即可求出c；
（2）用样本估计总体即可；
（3）先画出树状图或列表，再根据概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：根据八年级学生的分数情况，分数在 之间的人数有4人，在 之间的人数有5
人，
∴ ， ， ；故答案为：4，5， ；
【小问2详解】
（张）．
答：估计该校需要准备 张奖状．
【小问3详解】
由八年级学生的分数可知，八年级有两名学生获得 分，将七年级两名学生记为 ， ，八年级两名学
生记为 ， ，
画树状图如下：
所有等可能的结果共 种，其中选中的两名学生恰好在同一年级的结果有4种，
选中的两名学生恰好在同一年级的概率为 ．
【点睛】本题主要考查了中位数，用样本估计总体，画树状图或列表法，概率公式等知识点，熟练掌握相
关知识点是解题的关键．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在四边形 中， 是 上的一点，且 ．
（1）如图1，若 ，求证： ．
（2）如图2，若 ．①求证： ．
②若 ， ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的相关性质，正确掌握相关性质
内容是解题的关键．
（1）先得 ，再结合 ，即可证明 ，进行作答．
（2）①先得 ，再结合 ，即可证明 ，得 ，进
行整理即可作答．
②先得出 ，在 中，由勾股定理得 ．结合
，则 ，即 ， ，最后结合勾股定理列式计
算，即可得出 ．
【小问1详解】
证明：∵ ，
， ，
．
，
．
【小问2详解】
明：① ，
， ，．
，
，
，
．
②如图，过点A作 于点 ，过点 作 于点 ．
， ，
．
，
，
在 中， ．
由（2）的①，得 ，
，
即 ，
．
，，
．
在 中， ．
八、（本题满分14分）
23. 如图，抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，连接 ， ．
（1）求抛物线以及直线 的函数解析式．
（2）若 是抛物线的顶点，求点 到直线 的距离．
（3）已知 是抛物线上的一动点，是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ，
（2）
（3）存在， 或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）如图1，过点 作 轴，交 于点 ，连接 ， ，首先求出 ，然后求出，设点 到直线 的距离为 ，求出 ，进而求解即可；
（3）首先求出 ，然后分两种情况：当点 在 轴上方时，当点 在 轴下方时，然
后分别解直角三角形求解即可．
【小问1详解】
将点 ， 代入 ，
得 解得
抛物线的函数解析式为 ．
令 ，解得 ，
点 ．
设直线 的函数解析式为 ，
则 解得
直线 的函数解析式为 ；
【小问2详解】
如图1，过点 作 轴，交 于点 ，连接 ， ．
由（1），可得点 ，则点 ，，
．
设点 到直线 的距离为 ．
点 ， ，
，
．
【
小问3详解】
存在．
如图，过点 作 于点 ．
点 ， ， ，
， ， ，
，
，
，
．
设点 ，过点 作 轴于点 ．
根据题意，分两种情况：
①如图2，当点 在 轴上方时，则 ， ．，
，
解得 （舍去）， ，
点 ．
②如图3，当点 在 轴下方时，则 ， ．
，
，
解得 （舍去）， ，
点 ．综上所述，点 的坐标为 或 ．
【点睛】此题考查了二次函数和一次函数综合题，待定系数法求出二次函数解析式，解直角三角形等知识，
解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式．
