文档内容
2024-2025 学年第二学期教学质量检测（一）
九年级数学 试题卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 有理数 的相反数是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可．
【详解】解：有理数 的相反数是2．
故选A．
2. 据报道，最新的人工智能助手DeepSeek在其发布后的前18天内下载量达到1600万次，数据1600万用
科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为 的形式，
其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值
与小数点移动的位数相同，据此求解即可．
【详解】数据1600万用科学记数法表示为 ．
故选：B．
3. 如图所示的几何体的俯视图为（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图．熟练掌握三视图的定义是解题的关键．当我们从某一方向
观察物体时，所看到的平面图形，叫做物体的一个视图．在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做
主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的
视图叫做左视图．
根据三视图定义逐一判断，可得答案．
【详解】A. ，是该几何体 主视图或左视图；
的
B. ，不是该几何体视图；
C. ，是该几何体的俯视图；
D. ，不是该几何体视图．
故选：C．
4. 下列算式中，结果等于 的是（ ）．
.
A B. C. D.【答案】D
【解析】
【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的运算法则．根据合并同类项法则，同底数幂的乘法、除法法则，
幂的乘方法则处理．
【详解】解：A、 和 不是同类项，不能合并，本选项不合题意；
B、 ，本选项不合题意；
C、 ，本选项不合题意；
D、 ，本选项符合题意；
故选：D．
5. 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的值可能是（
）
A. B. C. 0 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式计算即可．
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【详解】解：∵方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，即 ，解得 ，
∴m的值可能是 ，
故选：D．
6. 如图，以 ， 为圆心， 为半径的两个圆相交于点 ， ， 为 的直径，若 ，
则 的长为（ ）A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，弧长公式．证明 和 都是等边三角形，求
得 ，再利用弧长公式即可求解．
【详解】解：由题意得 ，
∴ 和 都是等边三角形，
∴ ， ，
∴ 的长为 ，
故选：C．
7. 如图，在 中， ， ， ，点 是 的中点，连接 并延长至 ，
使 ，作 交 的延长线于点 ，则 的长为（ ）A. 8 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算．利用勾股定理求得
的长，证明 ，求得 ， ，在 和 中，
利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
故选：B．
8. 生活中的很多变化都是物理变化或化学变化．下面的五张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．从中随机抽取两张卡片，卡片内容均为化学变化的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式．列表可得出所有等可能的结果数以及抽取两张卡片均属
于化学变化的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：五张卡片分别为：A．铁钉生锈、B．滴水成冰、C．矿石粉碎、D．牛奶变质、E．火柴燃烧，
其中，A、D、E为化学变化，
列表如下：
A B C D E
（A， （A， （A， （A，
A
B） C） D） E）
（B， （B， （B， （B，
B
A） C） D） E）
（C， （C， （C， （C，
C
A） B） D） E）
（D， （D， （D， （D，
D
A） B） C） E）
（E， （E， （E， （E，
E
A） B） C） D）
共有20种等可能的结果，从中抽取两张卡片均属于化学变化的结果有6种，
∴从中抽取两张卡片均属于化学变化的概率为 ．
故选：C．
9. 已知 ，下列结论不正确的是（ ）
A. B.C. 若 ， 同号，则 D. 若 ， 异号，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了等式的性质、非负数的性质、不等式的性质、根的判别式等知识点，灵活运用相
关运算法则成为解题的关键．
根据等式的性质、非负数的性质、不等式的性质、根的判别式逐项判断即可．
【详解】解：A．∵ ，∴ ，即 ，故A选项正确，不符合题意；
B．∵ ，故B选项
正确，不符合题意；
C． 当 ， 同号，则 ，由不等式的性质可得 ，即 ，解得： ，，故
C选项正确，不符合题意；
D． 当 ， 异号，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
由题意可得： 存在根，
∴ ，解得： 或 ，
∵ ，
∴ ，而不是 ，故D选项错误，符合题意．
故选D．
10. 如图，在 中， ， ， ，点 ， 分别在 ， 边上，将沿 翻折得到 ， 与 相交于点 ， ．若 与 面积相等，
的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质
与判定，过点E作 于H，设 ，由折叠的性质可得 ，
，则可证明 是等腰直角三角形，得到 ；解直角三角形得到 ，
，则 ，证明 ，得到 ，
则 ，则 ， ，可得方程 ，解
方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点E作 于H，设 ，∵ ，
∴ ，
∴由折叠的性质可得 ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 与 面积相等，
∴ ，
解得 或 （舍去），∴
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算： ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了立方根、零次幂，先化简立方根、零次幂，再运算加法，即可作答．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12. 如图，两个三角板如图放置，其中 ， ， ，若 ，
则 的度数为________．
【答案】 ##15度
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点．
如图所示，设 与 交于点F，由平行线的性质求出 ，然后利用三角形内角和定
理求出 ，进而求解即可．
【详解】如图所示，设 与 交于点F∵
∴
∴
∴ ．
故答案为： ．
13. 如图，在 中， ，反比例函数 的图象交 ， 于点 ， ， ，
连接 ，若 的面积为 ，则 的值是________．
【答案】6
【解析】
【分析】如图所示，过点C作 ，证明出 ，得到 ，设
，表示出 ， ，然后根据 的面积为 列方程求解即可．
【详解】如图所示，过点C作
∵
∴
∴
∴
∵反比例函数 的图象交 ， 于点 ， ，
∴设
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ 的面积为∴
∴
解得 ．
故答案为：6．
【点睛】此题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形 的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以
上知识点．
14. 已知抛物线 ．
（1）当 时，抛物线的顶点坐标为________；
（2）点 ， 为抛物线上两点，若 ，总有 ，则 的取值范围是________．
【答案】 ①. ②. 或
【解析】
【分析】（1）配方成顶点式求解即可；
（2）首先求出对称轴为直线 ，然后分两种情况讨论：当 时，当 时，然后根据
二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）当 时，
∴抛物线的顶点坐标为
故答案为： ；
（2）∵抛物线
∴对称轴为直线
当 时，抛物线开口向上
∴ 时，y随x的增大而增大∵点 ， 为抛物线上两点，若 ，总有 ，
∴
∴ ；
当 时，抛物线开口向下
∴ 时，y随x的增大而增大； 时，y随x的增大而减小；
∵点 ， 为抛物线上两点，若 ，总有 ，
∴
∴
综上所述， 的取值范围是 或 ．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，将一般式配方成顶点式，解题的关键是掌握二次函数的图象
和性质．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式．去括号，移项，合并同类项；化系数为1；依此计算即可求解．
【详解】解：去括号得 ，
移项，合并得 ，
系数化为1得： ．
16. 欣欣农贸公司将收购的农产品加工成甲、乙两种礼盒进行销售，每件农产品的单价和体积如下表所示：
品种 每件的单价（单位：元） 每件的体积（单位：立方米）
甲 80 0.075
乙 60 0.06
经营户张老板有一辆车箱体积为13.2立方米的箱式小货车，用13600元购进甲、乙两种礼盒正好堆满了车箱．求他购进的两种礼盒各多少件？
【答案】他购进的甲礼盒80件，乙礼盒100件．
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键的读懂题意，正确二元一次方程组．
设他购进的甲礼盒x件，乙礼盒y件，根据题意列出方程组求解即可．
【详解】设他购进的甲礼盒x件，乙礼盒y件，
根据题意得，
解得
∴他购进的甲礼盒80件，乙礼盒100件．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点 （顶点均为网格线的交
点）和格点 ．
（1）以点 为位似中心将 在网格中放大2倍得到 ，请画出 ；
（2）以点 为旋转中心，将 按顺时针方向旋转 ，得到 ，请画出 ；
（3）尺规作图：在 上求作点 ，使 ．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图-位似变换、作图-旋转变换，尺规作图．
（1）根据位似的性质作图，即可得出答案；（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案；
（3）利用尺规作图作出 的垂直平分线交 于点 ，即可．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求．
；
【小问2详解】
解：如图， 即为所求．
【小问3详解】
解：如图，点 即为所求．
18. 马鞍山长江公铁大桥是巢马城际铁路控制性工程，主桥采用主跨三塔钢桁梁斜拉桥，总长3248米，为世界上首座双主跨超千米的三塔斜拉桥，图1是正在建设中的边塔．如图2，为了测量边塔上的点 到
的高度 ，数学测绘社团在与塔底 同一平面上选取两个测量点 ， ，使得点 ， ， 在同一条
直线上，测得点 的仰角 ， ，用米尺测得 ， 之间的距离为160米，求
的高．（参考数据： ， ， ． ，
， ．）
【答案】 的高为210米．
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用．设 的高度为x米，在 中可得出 ，
在 求得 ，根据 米，列式可求出x的值．
【详解】解：设建筑物 的高度为x米，
在 中， ， ， ，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∵ 米，∴ ，即 ，
解得 ，
答： 的高为210米．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
.
19 观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
……
根据上面等式的规律，回答下列问题：
（1）写出第6个等式：________；
（2）写出你猜想的第 个等式（用含 的式子表示），并证明．
【答案】（1）
（2） ；证明见解析
【解析】
【分析】本题考查数字的变化、列代数式，整式的运算，明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等
式是解答本题的关键．
（1）根据题目中等式的特点，可以写出第6个等式；
（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等即可证明猜想．
【小问1详解】
解：第6个等式： ；
故答案为： ．
【小问2详解】解：第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
……
∴第 个等式： ；
左边
右边．
20. 如图， 是 的外接圆，且 ，作 ，交 于点 ，交 延长线于点 ，
过点 作 的切线交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 的半径为13， ．求 的长．
【答案】（1）见解析 （2） ．
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求得 是 的直径， ，求得
，再根据切线的性质求得 ，推出 ，即可证明 ；
（2）作 于点 ，连接 ，利用垂径定理结合勾股定理求得 ，再求得
，利用 ，列式求得 ，据此计算即可求解．
【小问1详解】
证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的直径，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；【小问2详解】
解：作 于点 ，连接 ，
∵ ，
∴点 在 上， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，勾股定理，垂径定理，解直角三角形．正确引出辅助线解
决问题是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 综合与实践 关注民营企业 认识经济结构
【活动背景】2月17日，习近平总书记在京出席民营企业座谈会时指出：“新时代新征程民营经济发展前
景广阔、大有可为，广大民营企业和民营企业家大显身手正当其时．”为了了解现行我国的经济结构，我
们就要关注民营企业在经济社会中的地位作用．雄智中学对全体八、九年级的学生进行有关民营企业的知
识竞赛．
【数据 的收集和整理】学校从两个年级抽取数量相同的学生成绩进行分析，并将学生测试成绩（得分
为 ）分成四个等级，A： ；B： ；C： ；D： ，获得以下信
息．信息一：绘制九年级测试成绩条形统计图；
信息二：绘制两个年级抽查测试成绩扇形统计图；
信息三：两个年级被抽查的同学中满分100分的共有2人，本次达到 组成绩的有10人，其中八年级的D
等级的成绩各不相同，九年级测试成绩 等级的全部成绩如下：91，92，93，93，93，94，100．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
（1）本次共抽取________人的成绩，两个年级中D组成绩的众数是________；
（2）慧慧发现自己的分数正好是她所在年级抽查学生成绩的中位数，明明看了这个分数后说：“慧慧的
成绩在我们年级的成绩是中上等水平”，请你根据这些信息，判断慧慧是哪个年级的学生，并说明理由；
（3）学校决定给竞赛成绩达到D等级的同学给予表彰，已知该校八年级800人，九年级750人，请你估
计这两个年级获得表彰共有多少人？
【答案】（1）100；93
（2）慧慧是九年级学生，理由见详解
（3）208
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图、条形统计图、中位数的应用、利用样本估计总体等知识，理解题意，
结合扇形统计图和条形统计图获得所需信息是解题关键．
（1）利用“本次达到 组成绩的学生人数 其占比”，即可求得本次共抽取学生人数；根据众数的定义，
即可确定两个年级中D组成绩的众数；
（2）分析八年级和九年级学生成绩中位数的范围，结合题意即可获得答案；
（3）利用“八、九年级学生总数 样本中成绩达到D组的人数占比”，再求和即可．
【小问1详解】
解：本次共抽取学生人数为 （人），
根据题意，本次达到 组成绩的有10人，其中八年级的D等级的成绩各不相同，九年级测试成绩 等级的全部成绩如下：91，92，93，93，93，94，100，且两个年级被抽查的同学中满分100分的共有2人，
∴出现次数最多的是93，即两个年级中D组成绩的众数是93．
故答案为：100；93；
【小问2详解】
慧慧是九年级学生，理由如下：
根据条形统计图可知，九年级A组学生6人，B组学生0人，C组学生19人，D组学生7人，共计
人，
将九年级学生成绩按照从小到大的顺序排列，其中排在第16和17位的学生均在C组，
所以九年级学生成绩的中位数的取值范围为 ，
由（1）可知，本次共抽取学生100人，
∴此次抽取的八年级学生人数为 人，
其中达到D组成绩的有 （人），达到C组成绩的有 （人），
∴八年级学生成绩在A、B两组的人数为 人，
将八年级学生成绩按照从小到大的顺序排列，其中排在第34和35位的学生均在C组以下，
所以八年级学生成绩的中位数的取值范围为 ，
若慧慧的分数正好是她所在年级抽查学生成绩的中位数，且在明明所在年级的成绩为中上等水平，则慧慧
是九年级学生；
【小问3详解】
（人），
即估计这两个年级获得表彰共有208人．
七、（本题满分12分）
22. 如图，矩形 中 为对角线 上一动点，过 点作 交 于点 ，作 交
于点 ，连接 、 ．（1）若 ，
①求证： 平分 ；
②求证： ；
（2）已知 ，且 为 的中点，求矩形 的周长．
【答案】（1）①见解析；②见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）①由矩形得到 ，然后根据等边对等角和平行线得到 ，等量代换得到
，然后结合 即可求解；
②证明出 ，得到 ，然后等量代换即可证明；
（2）如图所示，过点D作 ，由相似得到 ，代数求出 ，利用三线合一求出
，然后利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
①∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴整理得， ；
【小问2详解】
如图所示，过点D作 ，∵ ，且 为 的中点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴矩形 的周长 ．
【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，三线合一性质等知识，解题的关
键是掌握以上知识点．
八、（本题满分14分）
23. 如图，抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ， ．（1）求抛物线的对称轴；
（2）点 是抛物线上一个动点，连接 ， ， 交 轴交于点 ，作 轴于点
．
①若点 是 的中点，求 的面积；
②若以点 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形，求 的值．
【答案】（1）抛物线的对称轴为直线 ；
（2）① ；② 的值为 或 ．
【解析】
【分析】（1）根据题意求得 ， ，再根据抛物线的对称性质求解即可；
（2）①先利用待定系数法求得抛物线的解析式，求得点 ，再求得直线 的解析式，求得
，再利用三角形的面积公式求解即可；
②分当点 在原点上方和下方两种情况讨论，根据 ，列式计算即可求解．
【小问1详解】
解：令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴抛物线的对称轴为直线 ；
【小问2详解】
解：①将 ， 代入 ，得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
∵点 是 的中点，
∴点 ，
当 时， ，
则点 ，
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
∴ ，
∴ ；
②∵点 是抛物线上一个动点，∴ ，则 ，
当点 在原点上方时，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵以点 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ ；
当点 在原点下方时，∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵以点 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ ；
综上， 的值为 或 ．
【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次
函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，两点之间的距离公式和平行四边
形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论．
