文档内容
2024—2025 学年度第二学期九年级第一次质量检测
数学试题
注意事项：
1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义，可得答案，解题的关键是正确理解乘积为 的两个数互为倒
数．
【详解】解： 的倒数是 ，
故选： ．
2. 人民日报评论，河南许昌商超胖东来坚持关注顾客需求、尊重员工价值，把事做到极致，春节假期仅营
业4天，市区各店客流量便达224万人次，真正赢得消费者信赖和市场认可．将数据224万用科学记数法
表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成 的形
式，其中 ， 为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】解： 万故选：D．
3. 下面计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考出了同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项，灵活运用相关运算法则成为解题的关
键．根据同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项，逐项判断即可．
【详解】解：A、 和 不是同类项，不能进行加法运算，故不符合题意；
B、 和 不是同类项，不能进行加法运算，故不符合题意；
C、 ，故符合题意；
D、 ，故不符合题意；
故选：C．
4. 中国四大白瓷系列之一的德州莹白瓷以瓷质细腻，釉面柔和，透亮晈洁，似象牙白又似羊脂玉而名闻遐
迩，被誉为瓷中珍品．下图是忂州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查简单几何体 的三视图．根据视图的意义，从正面看所得到的图形即可．【详解】解：该直口杯 的主视图为，
故选：A．
5. 下列因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，整式的乘法，熟练掌握公式法和提公因式法进行因式分解是解题的关键．
利用提公因式法、公式法以及整式的乘法逐个分解得结论．
【详解】解：A、 ，故不符合题意；
B、 ，故不符合题意；
C、 ，故符合题意；
D、 ， 故不符合题意；
故选：C．
6. 如图，在 中，弦 ， 相交于点P， ， ，那么 度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握并灵活运用圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理求出 的度数，再由三角形外角的性质求出 的度数即可．
【详解】解： ，
，
，
．
故选：D．
7. 如图，在平行四边形 中， 的平分线和 的平分线交于 上一点 ，若 ，
，则 的长为（ ）
A. B. C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握以上知识点是
解题的关键．根据角平分线可知， ， ，结合四边形 是平行四边
形 ， ， ， 从 而 得 到 ， ，
，最后在 中利用勾股定理即可求解．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
， ，
的平分线和 的平分线交于 上一点
，， ，
，
故选：B．
8. 北京时间12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，列入联合国
教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．现将四张大小相同的正方形卡片拼成如图所示的正方形靶盘
（其中两张卡片上是“春”字，另外两张上是“福”字）．现向该靶盘随机掷两次飞镖，则两次射中的卡
片上的字不相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了列表法或画树状图求随机事件的概率，清晰地列出所有可能的情况，并准确找出满足
条件的情况，是解题的关键；
首先明确靶盘的布局，然后找出所有可能的投掷结果，并确定其中两次射中卡片上的字不相同的结果数，
最后计算概率．
【详解】解：设正方形靶盘被分为四个相等的正方形区域，分别标记为“春1”，“春2”，“福1”，
“福2”．
春1 春2 福1 福2
春1 春1春1 春2春1 福1春1 福2春1
春2 春1春2 春2春2 福1春2 福2春2福1 春1福1 春2福1 福1福1 福2福1
福2 春1福2 春2福2 福1福2 福2福2
两次射中卡片的总情况有16种，即每张卡片都有可能被射中两次，形成 种组合．
射中“春”和“福”的组合有8种，即（春1，福1），（春1，福2），（春2，福1），（春2，福
2），以及反向的（福1，春1），（福1，春2），（福2，春1），（福2，春2）．这8种情况满足条件．
因此，两次射中的卡片上的字不相同的概率为 ，
故选：A．
9. 如图，直线 交反比例函数 （ ）的图象于点 和点 ，交 轴于点 ， ，
过点 作 轴于点 ，连接 并延长，交 轴于点 ，连接 ．若 的面积为 ，则 的
值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数 的几何意义，熟练掌握反比例函数系数 的几何意义是解题的关键．
根据题意得到 ， ，继而得到 ，求出 ，得到
，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接 ， ，∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
轴于点
，
，
点 在反比例函数 ，
，
∴ ．
故选D．
10. 如图，在四边形 中， ，连接 ， ， ，点 是边 上的点，连接 ， ， ，那么下列结论中：① ；② ；③
；④ ，正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，圆的相关性质，平行线的性质，解
决本题的关键是证明 ．根据相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、圆的相
关性质、平行线的性质进行逐一判断即可．
【详解】 ， ，
点 是边 上的点，
，故②错误；
， ，
，
，
， ，
， ，
，
，
，，
，
，
， 在以 为直径的圆上，
， ，故④正确；
，
，故①正确；
，
，
，故③正确．
故选C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分
11. 若 在实数范围内有意义，则 的取值范围是____________.
【答案】 且 .
【解析】
【详解】分析：根据分式有意义和二次根式有意义的条件解题.
详解：因为 在实数范围内有意义，所以x≥0且x－1≠0，则x≥0且x≠1.
故答案为x≥0且x≠1.
点睛：本题考查了分式和二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于0；二次根式
有意义的条件是被开方数是非负数，代数式既有分式又有二次根式时，分式与二次根式都要有意
义.
12. 过 边形的一个顶点可以画出5条对角线，则 的值是______．
【答案】8【解析】
【分析】本题主要考查了过多边形的一个顶点作对角线的条数，
过n边形的一个顶点可以作 条对角线，可得 ，求出答案即可．
【详解】解：根据题意，得 ，
解得 ．
故答案为：8．
13. 如图①，在一张长方形纸 中， 点在 上，并且 ，分别以 ， 为折痕进
行折叠并压平，如图②，若图②中 ，则 的度数为________．
【答案】38°
【解析】
【分析】由折叠可得BE平分∠AEA′，CE平分∠DED′，再利用角的和差得到∠DED′=180°-120°
+16°=76°，进而可得答案．
【详解】由折叠可得BE平分∠AEA′，CE平分∠DED′，
∵∠AEB=60°，
∴∠AEA′=2∠AEB=120°，
∵∠A′ED′=16°，
∴∠DED′=180°-120°+16°=76°，
∴∠CED= ×76°=38°．
故答案为：38°．
【点睛】本题考查角的计算，根据折叠的性质得到BE平分∠AEA′，CE平分∠DED′是解题关键．
14. 已知抛物线 （ ）．
（1）若抛物线经过点 ，则该抛物线的对称轴为_________；（2）若抛物线的对称轴为直线 ，点 ， 在抛物线上，则 的最大值为_________．
【答案】 ①. 直线 ②. 18
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．
（1），将 代入 ，得到a与b的关系，根据对称轴为 即可求解；
（2）根据对称轴为直线 得到 ，得到 ．将 和 分别代入，得到
， ，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）由题知，将 代入 得： ，则 ，所以抛物线的
对称轴为直线 ；
（2）因为抛物线的对称轴为直线 ，所以 ，则 ，
所以抛物线的表达式可表示为 ．
将 和 分别代入抛物线的表达式得：
， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 的最大值为18．
故答案为：直线 ，18．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，化简二次根式，掌握各知识点的运算法则是解题的关键．
先计算负整数指数幂，化简二次根式和化简绝对值，再进行加减计算．
【详解】解：
．
16. 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟
走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min．问：从小华家到学
校的平路和下坡路各有多远？
【答案】平路为300m，下坡路为400m．
【解析】
【分析】设平路有 ，下坡路有 ，根据相等关系“从家里到学校走平路和下坡路一共用10分钟，从
学校到家里走上坡路和平路一共用15分钟”，列出方程组解答即可．
【详解】解：设平路有 ，下坡路有 ，
根据题意得： ，解得： ．
答：小华家到学校的平路为300m，下坡路为400m．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，此题主要利用时间、速度、路程三者之间的关系解答，注意来
回坡路的变化是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ， ， ．
（1）在图中作出 关于y轴对称的图形 ；
（2）在y轴上找出一个点P，使得 的周长最小，在图中标出点P的位置，并直接写出点P的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）见解析；
【解析】
【分析】本题考查了画轴对称图形，根据轴对称的性质求线段和的最值问题，坐标与图象，求一次函数解
析式，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质画出 ；
（2）根据轴对称的性质，连接 ，交y轴于点P，点P即为所求，求出直线 的解析式，然后再求出
点P的坐标即可．
【
小问1详解】
如图所示， 即为所求．【小问2详解】
解：如图，点P即为所作．
连接 ，
根据轴对称可知， ，
∴ ，
∵两点之间线段最短，
∴此时 最小，即 最小，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得：
，解得： ，
的
∴直线 解析式为 ，
把 代入 得 ，
∴点P的坐标为 ．
18. 某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度（假定该塔 与地面垂直），他们在与塔底B在同一水平线
上的C处测得塔顶A的仰角为 ，然后沿斜坡 前行 到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A
的仰角为 ，已知斜坡 的斜面坡度 ，，且点A，B，C，D，E在同一平面内．
（1）求点D到直线 的距离；
（2）求古塔 的高度．
【答案】（1）点D到直线 的距离为
（2）古塔 的高度是
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造直角三角形解决问题．
（1）过点D作 于点M，解直角三角形求出 即可；
（2）证明 ，在 中，解直角三角形求出 ，再在 中求出 即可．
【小问1详解】解：过点D作 于点M，
∵斜坡 的斜面坡度 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
即点D到直线 的距离为 ；
【小问2详解】
解：由（1）知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
答：古塔 的高度是 ．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 为了减轻学生的作业负担，要求七年级学生每晚的作业总量不超过1.5小时，一个月后，（1）班学习
委员亮亮对本班每位同学晚上完成作业的时间进行了一次统计，并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整
的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）该班共有学生_____人；
（2）将图1的条形图补充完整；
（3）说明完成作业时间的中位数在哪个时间段内？
【答案】（1）40 （2）见解析
（3）完成作业时间的中位数在1~1.5小时的时间段内
【解析】
【分析】本题考查了统计图的意义，扇形统计图的计算，中位数的计算，熟练掌握条形统计图的意义，圆
心角的计算公式，中位数的计算办法是解题的关键．
（1）根据样本容量=频数÷频率计算即可．
（2）根据样本容量=频数÷频率变形计算出频数，后完善统计图即可．
（3）根据中位数的定义计算判断即可．
【小问1详解】
解： 人，
故答案为：40；
【小问2详解】
解：∵样本容量=频数+频率，∴ 的频数 （人），
条形图如图所示：【小问3详解】
解：根据题意，得完成时间为 的人数为 （人），
一共有40人，故中位数应是第20、第21个两个数据的平均数，
∵ 有12人， 有18人，且 ， ，
∴完成作业时间的中位数在1~1.5小时的时间段内．
20. 如图， 是半圆 的直径， 是 上一点，点 是 的中点，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理及平行线的判定，熟知垂径定理、圆周角定理
及平行线的判定是解题的关键．
（1）先根据点D是 的中点，结合圆周角定理得出 ，进一步得出 即可
解决问题．
（2）连接 ，交 于点M，先根据勾股定理求出 ，进而得出 的长，再利用勾股定理求出
的长，进而得出 的长，再连接 ，求出 的长，最后在 中利用勾股定理即可解决问题．
【小问1详解】
证明： 点 是 的中点，
．
．
在 中， ，
．
．
．
【小问2详解】
解：连接 交 于点 ，连接 ．
为 的直径，
．
在 中， ，
由勾股定理得， ．
点 是 的中点，
．
为 的半径，
根据圆的对称性可知， ．即 ．
在 中， ，由勾股定理得，
．
．
在 中， ，
由勾股定理得， ．
为 的直径，
．
在 中， ，由勾股定理得，
．
六、（本题满分12分）
21. 将一张等边三角形纸片剪成四个大小、形状一样的小等边三角形（如图所示），记为第一次操作，然
后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，若每次都把右下角的等边三
角形按此方法剪成四小片，如此循环进行下去．
（1）如果剪n次共能得到______个等边三角形．
（2）若原等边三角形的边长为1，设 表示第n次所剪出的小等边三角形的边长，如 ．
①试用含 的式子表示 ______；
②计算 ______；
（3）运用（2）的结论，计算 的值．【答案】（1）
（2）① ；②
（3）
【解析】
【分析】本题z主要考查图形变化的规律、数字变化规律等知识点，能根据所给图形发现三角形的个数及
边长的变化规律是解题的关键．
（1）观察发现：每剪一次，等边三角形的个数增加3，据此写出代数式即可；
（2）①依次求出等边三角形的边长，根据发现的规律即可解答；②运用①中的结论进行解答即可；
（3）先提取 ，然后运用（2）的结论进行计算即可．
【小问1详解】
解：由题意可知：
剪1次共得到的等边三角形个数为： ；
剪2次共得到的等边三角形个数为： ；
剪3次共得到的等边三角形个数为： ；
…，
所以剪n次共得到的等边三角形个数为 个．
故答案为： ．
【小问2详解】
解：①因为原等边三角形的边长为1，
所以第1次所剪出的小等边三角形的边长为： ；
第2次所剪出的小等边三角形的边长为： ；第3次所剪出的小等边三角形的边长为： ；
…，
所以第n次所剪出的小等边三角形的边长为： ，即 ，
故答案为： ；
②由①题可知：
；
令 ①，
则 ②，
②-①得： ，
即 ．
故答案为： ．
【小问3详解】
解：．
七、（本题满分12分）
22. 综合实践：投篮研究
活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级（2）班小玫发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣
小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究．
模型建立：如图2所示，以点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮
球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．
信息整理：
素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为 米，篮筐中心离地面的高度 米，篮球出手位置与
篮筐中心的水平距离 米，篮球距地面的最大高度 米，此时离篮球出手位置的水平距离
米．
素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮
筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足 时，篮
球即可命中篮筐；篮球运动轨迹由投篮方向和出手速度决定，小玫在投篮过程中始终保持投篮方向和出手
速度不变．
解决问题：在初次投篮时，小玫在点O处起跳，数学兴趣小组同学测得相关数据为： 米， 米，
米， 米．（1）计算说明小玫初次投篮时能否命中篮筐；
（2）该班数学兴趣小组同学对小玫的初次投篮数据进行研究后，让小玫同学在原来位置向前走了t米后再
次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t的值（保留根号）．
【答案】（1）小玫初次投篮时不能命中篮筐
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的应用是解题关键．
（1）先设抛物线的解析式为 ，再将点 代入求出抛物线的解析式，然后求出当
时， 的值，由此即可得；
（2）先求出向前走了 米后抛物线的表达式为 ，再将点 代入计算，结合
即可得 的值．
【小问1详解】
解：由题意得：小玫初次投篮时抛物线的顶点坐标为 ，
∴设 ，
∵这个抛物线经过点 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，
所以小玫初次投篮时不能命中篮筐．
【小问2详解】解：向前走了 米后抛物线的表达式为 ，
∵此次正好投进一个“空心球”，即此时抛物线经过点 ，
∴ ，
解得 或 ，
当 时，抛物线的顶点坐标为 ，此时 ，不符合题意，舍去，
答： 的值为 ．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，在 中， ， 分别为 ， 的中点，连接 ， ，且 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）如图2，连接 交 于点 ，交 于点 ，且 ，连接 ， ．
①求证： ；
②若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）利用四边形 是平行四边形，知道 ， ，通过 ， 分别为 ，
的中点，推出 ，得到四边形 是平行四边形，接着证明 ，得出结论；
（2）①先证明 ，然后通过 以及 ，推出 ，结合 ，得出 ，接着利用 ，和 ，推出结论；②先
证明 ，推出 ，设 ， ，那么 ， ，
通过勾股定理表示出 ，最后在 中用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
四边形 是平行四边形，
， ，
， 分别为 ， 的中点，
， ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
四边形 是菱形；
【小问2详解】
①证明： ，
，
，， ，
，
，
，
，
，
；
② ，
，
，
，
，设 ， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，（舍去负值），
．
【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，等腰三角形三线合一，三角形相似的判定与性质，
平行线分线段成比例，勾股定理，熟练掌握以上知识点并能数形结合分析是解题的关键．
