文档内容
安徽省芜湖市 2024-2025 学年度第二学期
九年级第一次模拟考试数学试卷
（答题时间120分钟，满分150分）
一、选择题：每小题给出的四个选项中，其中只有一个是正确的（每小题4分，满分40分）
1. 2025年乙巳蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，下图为春晚主标识、将两个“巳”字如图摆放
恰似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，它采用的基本数学变换是（ ）
A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 位似
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查旋转变换的性质，利用旋转变换的性质解决问题即可．
【详解】解：由图可知：春晚主标识是中心对称图形，可以由一个“巳”绕中心顺时针旋转 得到另一
个“巳”．
故选：B．
2. 若关于x的一元二次方程 的常数项为0，则a的值为（ ）
A. 2 B. -2 C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】由常数项为0，则 ，结合一元二次方程的定义，即可求出a的值．
【详解】解：根据题意，则
∵一元二次方程 的常数项为0，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握定义进行解题．
3. 图 1 是一个球形烧瓶，图 2 是这个球形烧杯下半部分的平面示意图，若 D 为 的中点，
，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟知等弧所对的圆心角相等是正确解决本题的关键．
根据 即可得出答案．
【详解】解： D为 的中点，
，
，
，
，
故答案为：C．
4. 一张标准对数视力表由一些形状相同但大小不一定相同的符号“E”组成的，我们可以借助平面直角坐
标系中的位似变换来对符号“E”进行放大或缩小．如图，两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似．若点 ，点 ，点 ，则点D的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，
那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 ．利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征得到相似比为
，然后把C点的横纵坐标都乘以 得到其对应点D的坐标．
【详解】解：∵两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似，
而点 ，点 ，
∴相似比为 ，
∴点 的对应点D的坐标是 ，即 ．
故选：C．
5. 据国家统计局公布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》，我国原油产量从 2021
年到2023年增长了 ，设这两年的平均增长率为x，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．利用2023年原油产量 年原油产量 这两年的平均增长率 ，即可列出关于x的一元二次方
程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：
即
故选：
6. 如图，已知 ，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据题意可先证明 ，再根据相似三角
形的判定定理逐一判断即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
添加条件 ，结合条件 ，可以根据两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个
三角形相似证明 ，故A不符合题意；
添加条件 ，结合条件 ，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故B不符合题意；
添加条件 ，结合条件 ，不可以证明 ，故C符合题意；
添加条件 ，结合条件 ，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明
，故D不符合题意；
故选：C．
7. 如图，工人师傅用活口扳手拧六角螺丝，六角螺丝为正六边形，边长为 ，扳手每次旋转一个六角
螺丝中心角的度数，旋转四次后，点 经过的弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正多边形与圆综合，求弧长，先求出正六边形的中心角是 ，结合旋转四次，即点
经过的弧长所对应的圆心角是 ，然后根据弧长公式进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵工人师傅用活口扳手拧六角螺丝，六角螺丝为正六边形，
∴ ，
即正六边形 的中心角是 ，
∵旋转四次，
∴ ，
即点 经过的弧长所对应的圆心角是 ，
∴ ，即点 经过的弧长为 ，
故选：C．
8. 定义：如果一元二次方程 满足 ，那么我们称这个方程为“完美”
方程，已知 是“完美”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查定义新运算，根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．
根据“完美”方程的定义，方程有两个相等的实数根即根的判别式等于零，由此即可求解．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 （ ）是“完美”方程，
∴ ，
∴ ，
∵方程有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选A．
9. 小华同学根据函数的学习经验，用描点法画出了函数 的图象．由图象可知，方程
的实数根有（ ）．A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象和性质，根据图象信息解决问题是解题的关键．
根据图象可知，函数图象与直线 有 个交点，可得到方程 的实数根有 个，即可得到答
案．
【详解】解：根据图象可知，函数图象与直线 有 个交点，
方程 的实数根有 个，
故选：D．
10. 如 图 ， 将 与 正 方 形 按 如 图 所 示 的 方 式 摆 放 ， 边 在 直 线 上 ，
， 以 的速度沿着 方向运动，初始时点G
与点B重合，当点F与点C重合时停止运动．在运动过程中， 与正方形重叠部分面积 与
运动时间 之间的函数关系图象大致是（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查动点函数图象问题，分3种情况，分别求出函数解析式，进行判断即可．
【详解】解：由题意，当点 与 点重合时： ，当点 与点 重合时： ，当点
与点 重合时： ，
∴当 时，如图，重叠部分为梯形 ，
由题意，得： 是等腰直角三角形，
∴ ，
则： ， ，
∴ ；
此时函数图象为开口向下的抛物线的一部分；
当 时，如图，重叠部分为 ，∴ ，
此时图象为平行于 轴的直线的一部分；
当 时，如图，重合部分为 的面积，
此时 ，
∴ ，
此时图象为开口向上的抛物线的一部分；
综上，符合题意的只有选项A；
故选A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 请写出一个以 轴为对称轴的二次函数解析式______________．
【答案】 （答案不唯一，符合要求即可）
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．直接根据二次函数的
顶点式即可得出结论．
【详解】解：写出一个以 轴为对称轴的二次函数解析式 ，故答案为： （答案不唯一）
12. 物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为 ，蜡烛 与凸透镜的距离 为
，蜡烛的像 与凸透镜的距离 为 ，则像 的高为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决
实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问
题转化为数学问题．
根据相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解： ，
，
，
,
的高为 , 为 , 为 ,
，
故答案为：13. 如图，点 均在反比例函数 图象上，横轴上垂足分别为 ，若 、 是 的
三等分点，则图中阴影部分的面积为______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是能设出点 的坐标，然后根据 、 是
的三等分点设出 、 的坐标．
由题意，设 ，因为 、 是 的三等分点，所以 ， ，再根据
，计算即可得出答案．
【详解】解：由题意，设 ，
、 是 的三等分点，
， ，
，
故答案为： ．
14. 在矩形 中， ，点 分别在边 上， ，垂足为点 ．（1） 的值为______________；
（2）当 时， 的长为______________．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，数形结合与分类讨论
数学思想的运用等知识与方法．
（1）先由矩形的性质证明 ，即可得 ；
（2）延长 、 交于 ，设 ，由 得 ，则 ，证明
得 ，进而得 ， ，再由 得 ，
进而可得关于x的一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：（1）在矩形 中， ，
，
，
，
，又∵ ， ，
；
故答案为： ．
（2）延长 、 交于 ，
设 ，
，
，
则 ，
， ，
，
，
， ，
，
，即 ，
∴ ，解得 ， （舍），
，
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程 ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求
解．
【详解】解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： ．
16. 我们把顶点都在格点的线段或三角形分别称为格点线段或格点三角形，在图甲的网格中已知格点线段
，图乙的网格中已知格点 ，请按如下要求作图：
（1）在图甲中作格点线段 ，使线段 与 垂直．（2）在图乙中作格点线段 ，使 被 分割出的小三角形与 的相似比为 ．
【答案】（1）作图见详解
（2）作图见详解
【解析】
【分析】（1）作已知线段的垂线，且过格点，作图见详解；
（2）根据平行线分线段成比例，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，格点线段 ，即为所求线段，
【小问2详解】
解：根据平行线分线段成比例，作 ，相似比为 ，如图所示，
格点线段 ，即为所求线段．
【点睛】本题主要考查的图形的变换，掌握图形性质，平行线分线段成比例是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象
相交于第一，三象限内的 ， 两点，与 轴交于点 ．（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；
（2）在第三象限的反比例函数图象的一点 ，使得 的面积等于18，求点 的坐标．
【答案】（1） ，
（2）点 坐标为
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数表达式，函数与三角形的面积问题；
（1）将 代入 ，即可确定 ，将点 代入 可确定点 坐标，将
， 坐标代入 ，即可确定一次函数表达式；
（2）先求出一次函数与 轴交点坐标，可以得到 的长度，通过设 点坐标为 ，再利用三角形
面积建立等量关系即可确定点 坐标；
【小问1详解】
解：将 代入 ，得： ，
∴反比例函数的表达式为 ．
将点 代入 ，可得 ，
∴ ．把 ， 代入 ，得 ，
解得：
∴一次函数的表达式为 ．
【小问2详解】
一次函数的表达式为 ，
令 ，则 ， ．
∴点 坐标为 ，
∵点 在反比例函数 的图象上，
设 点坐标为 ，
∵ ，
，
解得： 或 ，
又∵点 在第三象限，
∴点 坐标为 ．
18. 广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章．现需将一幅长为6米，宽为4米的壮
锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，如图所示．设边饰的宽度为x米．（1）请用含x的式子分别表示挂画的长和宽；
（2）若整幅挂画的面积是48平方米，求锦缎边饰的宽度．
【答案】（1） 米； 米
（2）1米
【解析】
【分析】本题主要考查代数式表示数或数量关系，一元二次方程解实际问题，理解图示，掌握一元二次方
程解实际问题的方法是解题的关键．
（1）根据图示信息用代数式表示即可；
（2）根据面积公式的计算列式，求一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：挂画的长为： 米；
挂画的宽为： 米；
【小问2详解】
解：由题意得：
，
解方程，得： ， （不合题意，舍去）．
答：锦缎边饰的宽度为1米．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图， 是 的直径，点C是 上的一点，射线 ，点P是射线 上一动点，连接
，已知 ．（1）若 ，如图1，求 的长．
（2）若 与 相切，如图2，求 的长
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，先根据圆周角定理得到 ，利用勾股定理可计算出 ，再证明
，然后利用相似比即可求出；
（2）连接 ，先证明 为 的切线，根据切线长定理得到 ，再证明 垂直
平分 ，即可判断 ，即可求出．
【小问1详解】
解：如图1，连接 ，作 ．∵ 是 的直径，
，
，
，
，
，
，
∴ ，即 ，
解得： ；
【小问2详解】
解：如图2，连接 ．，
为 的切线，
与 相切，
，
，
垂直平分 ，
， ，
，
，
，
，即
解得 ．
【点睛】本题考查了切线的性质：从圆一点引圆的切线，切线长相等，也考查了勾股定理、圆周角定理和
相似三角形的判定与性质．
20. “道路千万条，安全第一条”．刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车距离的影
响因素．
反应距离：驾驶员从开始意识危险到踩下刹车的这段时间内，机动车所行驶的距离．
材料一
制动距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止的这段时间内，机动车所行驶的距离．
汽车急刹车的停车距 为反应距离 与制动距离 之和，即 ，而反应
距离、制动距离均与汽车行驶的速度 有关，如下表是学习小组利用软件模拟出的相关
实验数据．
材料二 速度 反应距离 制动距离
10 7.5 8
.
15 10.5 16 220 15 32
25 17.5 52
30 22.9 78.1
35 27.1 108.5
40 29.2 123
……
经学习小组信息收集得知，汽车的急刹车停车距离还与汽车本身刹车系数 有关，且满足
材料三 ，其中 意义同材料二，且不同类型汽车的刹车系数 满足
．
【任务一】
①利用材料二判断最适合描述 分别与 的大致函数关系的是（ ）；
A． B． C．
②请你利用当 时的两组数据，计算 分别与 的函数关系式．
【任务二】在某条限速为 的道路上，一辆轿车为避险采取急刹车，通过交警判断该车此次急刹车
过程的制动距离为 ，请你利用任务一中的函数关系式，判断该车是否超速？
【任务三】某条新建道路要求所有类型的汽车在急刹车时的停车距离至多 ，请你利用任务一中的函数
关系式，确定汽车在该条道路的行驶速度应该限速为多少 ？（ ，结果精确到 ）
【答案】任务一：①B；② ， ；任务二：超速，理由见解析；任务三：应限速
．
【解析】
【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键：
（1）①根据给出的数据，进行分析，判断即可；②待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将 化为 ，求出 的制定距离，进行判断即可；
（3）要求所有类型汽车急刹车停车距离至多 ，取最大刹车系数为 ， ，求出时的 的值即可．
【详解】解：（1）①由材料数据可知：随着 的增大， 逐渐增大，大致呈线性变化， 越来越大，且
呈非线性变化，故B选项合适；
②设 ，将 ， 代入得 ，解得 ，
．
设 ，将 ， 代入得 ，解得 ，
故 ．
（2）超速．理由如下：
，
当 时， ，
超速．
（3）要求所有类型汽车急刹车停车距离至多 ，取最大刹车系数为 ．
由题意，列式得 ，
解得 ，
故应限速 ．
六、（本题满分12分）
21. 甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成
为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题，
（1）若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率；
（2）若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？
【答案】（1）
（2）甲
【解析】【分析】（1）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉两次所有可能出现的情况，进而求出捉2次，捉到丙
的概率；
（2）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉三次所有可能出现的情况，通过甲、乙、丙被捉到的次数得
出结论．
【小问1详解】
解：如图1，甲为开始蒙眼人，捉两次，所有可能出现的结果如下：
共有4种可能出现的结果，其中第2次捉到丙的只有1种，
所以甲为开始蒙眼人，捉两次，第二次捉到丙的概率为 ．
【小问2详解】
如图2，若甲为开始蒙眼人，捉三次，所有可能出现的结果情况如下：
共有8种可能出现的结果，其中第3次提到甲的有2种，捉到乙的有3种，捉到丙的有3种，
根据所有结果出现的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，应该甲为开始蒙眼人．
【点睛】本题考查用树状图法求随机事件发生的概率．列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在等边 中，点 分别为边 上的点，且 ．（1）连接 ．求证： ；
（2）将线段 绕点 顺时针旋转 至 ，连接 交 于点 ，求证： ．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）由等边三角形得到 ， ，然后证明出 ，得到
；
的
（2）首先求出 ，由旋转 性质可得 ， ，然后证明出
，得到 ，进而求解即可．
【小问1详解】
∵在等边 中，
∴ ，
又∵
∴
∴ ；
【小问2详解】
证明：设 交 于T由（1）可知，
∴ ，
∵
∴
∴
由旋转的性质可得 ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴
∴
∵
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，旋转的性质等知识，添加辅助线
构造全等三角形是关键．
八、（本题满分14分）
23. 已知抛物线 （ 为常数， ），抛物线与 轴交于点 与点 ，与
轴相交于点 ，顶点为 ．的
（1）求 点 坐标（用含 的式子表示）；
的
（2）连接BC，若 ，求 值；
（3）若点 在抛物线上，设点 的横坐标为 ，满足 ，且 ，过点 作
轴，垂足为 ，当 时，求此时 和 的值．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） ， ．
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性
质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
（1）根据题意得出抛物线的解析式为 先令 ，得出
，即可求解；
（2）由题意可知，抛物线的解析式为 ，用各点坐标分别求出 和 ，再代入
，解方程即可求出 的值；
（3）由抛物线解析式可求出顶点 的坐标为 ，对称轴为直线 ： ，过点
作 于点 ，则 ，证明 ，根据相似三角形的性质可得
，则 ，解得 ，当时，则 ，联立 即可求出此时 和 的值．
【小问1详解】
解：抛物线与 轴交于点 与点 ，
∴抛物线的解析式为 ，
令 ，则 ，
∴点 .
【小问2详解】
由（1）可知 ，
由 ， 可得 .
∵ ，
∴ ，解得 .
【小问3详解】
解：由（1）可知，抛物线的解析式为 ，
则点 ，其中 ，
∵ ，
∴顶点 的坐标为 ，对称轴为直线 ： .
∵
如图，过点 作 于点 ，则 ，延长 ，交 轴于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∴ .
∴ .
即： .
∵ ，
∴解得： .
∵ 轴，且 ，
∴ .
∴ .联立 ，得： ，
解得 ， .
