文档内容
专题 23.3 旋转几何模型
目 录
一．知识梳理与题型分类精析.........................................................................................1
【模型引入】.........................................................................................................................................1
【题型1】旋转产生等腰三角形求值...................................................................................................2
【题型2】旋转产生等腰三角形证明...................................................................................................2
知识点（一）等边三角形旋转模型.....................................................................................................3
【题型3】等边三角形旋转模型求值...................................................................................................3
【题型4】等边三角形旋转模型证明...................................................................................................4
知识点（二）正方形旋转模型.............................................................................................................5
【题型5】正方形旋转模型求值..........................................................................................................5
【题型6】正方形旋转模型证明..........................................................................................................6
知识点（三）等腰直角三角形旋转模型.............................................................................................7
【题型7】等腰直角三角形旋转模型求值...........................................................................................7
【题型8】等腰直角三角形旋转模型证明...........................................................................................8
二. 同步练习..................................................................................................................................9
【基础巩固（18题）】........................................................................................................................9
【能力提升（20题）】......................................................................................................................15
一．知识梳理与题型分类精析
【模型引入】
如图1，线段 绕点 旋转一定角度后得到线段 ，连接 、 ，由旋转性质可
以 得 到 ： 等 腰 和 等 腰 ， 这 样 我 们 就 可 以 得 到 一 个 旋 转 结 论 ：有旋转就有等腰三角形，旋转角是 产生等边三角形，旋转是 旋产生等腰直角
三角形.
【题型1】旋转产生等腰三角形求值
【例题1】（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，在 中， ， 是由 绕
点 按逆时针方向旋转得到的，连接 、 相交于点 ．求证： ．
【变式1】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，将 绕点A逆时针旋转 得到
．当点B，C， 在同一直线上， ， （ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在 中， ， ，
将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，则点 到 的距离是 ．【题型2】旋转产生等腰三角形证明
【例题2】（23-24九年级上·湖南长沙·期中）如图： 中， ， ，将
绕点C顺时针旋转一个角度后，点D正好落在 上，求 ．
【变式1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，将 绕点 逆时针旋转，得到 ，若
点 的对应点 恰好在线段 上，且 平分 ，记线段 与 的交点为 ．下列结论
中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022·天津河西·二模）如图，将 绕点B逆时针旋转60°得到 ，点A的对应
点为D， 交 于点P，连结 ， ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D． 是等边三角形
知识点（一）等边三角形旋转模型如图1，在等边 中，点 是 内一点，将 绕点A按逆时针方向旋转 ，
使得AB与AC重合，经过这样的变化，将图 1中的PA、PB、PC三条线段集中于图2的一个
中，同时 也是一个等边三角形.这就是等边三角形旋转模型
【题型3】等边三角形旋转模型求值
【例题3】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，P是等边三角形 内一点，且
若将 绕点A逆时针旋转后，得到 ．求：
（1） 的长度；
（2） 的度数
【变式1】（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图所示，点 是等边三角形 内的一点，且
， ， ，若将 绕点 逆时针旋转后，得到 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，点P是等边三角形 内的一点，
， ， ，则 ．【题型4】等边三角形旋转模型证明
【例题4】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，点 为等边三角形 内一点，连接
， ， ，将线段 绕点 顺时针旋转 到 ，连接 ， ，求证： ．
【变式1】（2024·安徽·一模）如图，点D为等边△ABC的边AB上一点，且AD AB，将△ACD
绕点C逆时针旋转60°，得到△BCE，连接DE交BC于点F，则下列结论不成立的是（ ）
A．BE∥AC B．△CDE为等边三角形
C．∠BFD＝∠ADC D．DF＝4EF
【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在等边 中有一点 ，连结
，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ．给出下面四个结论：
； 是等边三角形； ； 若 ，则 ．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ．知识点（二）正方形旋转模型
如图4，在正方形 中，点 是正方形 内一点，将 绕点 按逆时针方向旋转
，使得 与 重合。经过这样的旋转变化，将图4中的PA、PB、PC三条线段关系集中于
图5中 中，此时 为等腰直角三角形.
【题型5】正方形旋转模型求值
【例题5】（24-25九年级上·重庆·期末）如图，正方形 中， 为正方形内一点，连接 ，
使 ，再连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图， 为正方形 内一点， ，
， ，将 绕点 按顺时针方向旋转 ，得到 ，延长 交 于点 ，连
接 ．则 的面积为（ ）A． B．3 C． D．4
【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，E为正方形 内一点，将三角形
绕点B顺时针旋转至三角形 处，若 ，则 ， ．
【题型6】正方形旋转模型证明
【例题6】（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，P是正方形 内一点，线段 绕着点B顺
时针旋转 至 ，连接 ， ，求证： ．
【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，点 为正方形 内一点， 经逆时针
旋转后能与 重合.
（1）旋转中心是_____，旋转角度最小为_____度；
（2）判断 的形状，并说明理由；
（3）若 ，说明 .【变式2】（23-24九年级上·广东潮州·期末）如图，已知正方形 的边长为 ，点E是对角
线 上一点，连接 ，将线段 绕点D顺时针旋转 至 的位置，连接 、 ．
（1）求证： ；
（2）当 为何值时， 的面积最大？请说明理由．
知识点（三）等腰直角三角形旋转模型
在等腰 中， ，点 为 内一点，如图6，将 绕C点按逆时针方向旋
转 ，使得AC与BC重合。经过这样的旋转变化，线段 、 、 三边关系就转化到如
图7中的 中，同时得到 是一个等腰直角三角形.
【题型7】等腰直角三角形旋转模型求值
【例题7】（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图， 是等腰直角三角形， ，
将 绕点 逆时针旋转后，能与 重合，连接 ，如果 ，那么 的长等于（
）A． B． C． D．
【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，点P是等腰直角三角形 内的一个点，且
，若将 绕点C逆时针旋转后得到 ，则 ，
．
【变式2】（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）（1）如图1，在 中， ，
，以 为边作等边三角形 ，将斜边 绕点 按逆时针方向旋转 得到线段 ，
连接 并延长交 于点F．则 的度数为______；
（2）如果将等腰直角三角形 改为任意直角三角形 （如图2），其他条件不变，猜想
的度数，并加以证明．
【题型8】等腰直角三角形旋转模型证明
【例题8】（23-24九年级上·湖北鄂州·阶段练习）如图，在 中， ， 、 是斜边
上两点，且 ，将 绕点 顺时针旋转 后，得到 ，连结 ，则下
列结论：① ；② 为等腰直角三角形；③ 平分 ；④ ．
正确的是 ．【变式1】（24-25九年级上·天津西青·期末）如图，在等腰直角 中， ， ，
点 为斜边 上一点，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，则下列
说法错误的是（ ）
A． B． 是等腰直角三角形
C． D．
【变式2】（2023·天津河西·二模）如图，在等腰直角 中， ，点 为斜
边AB上一点，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，则下列说法错误的是（ ）
A． B． 是等腰直角三角形
C． D．
二. 同步练习
【基础巩固（18题）】
一、单选题
1．（22-23八年级上·广东河源·期末）如图， 是等腰直角三角形， 是斜边，现将 绕
点 逆时针旋转后，能与 重合，已知 ，则 的长度为（ ）A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·重庆荣昌·期中）如图，正方形 中， 绕点A逆时针旋转到 ，旋转
角 ，连接 并延长至点F，使 ，连接 ，则 的度数是（ ）
A． B．
C． D．
3．（22-23八年级上·山西临汾·期中） 是等边三角形，点P在 内， ，将 绕
点A逆时针旋转得到 ，则 的长等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
4．（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）如图， 为等边三角形，D是 内一点，将
经过旋转到 的位置，则旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，在等边三角形 中，点 在边 上，将 绕
点 顺时针旋转 后得到 ．若 ， ，则 的周长为（ ）A．10.8 B．11.4 C．11.8 D．12
6．（24-25八年级下·陕西·期中）如图， 是等边三角形 内的一点，连接 、 、 ，且
，将 绕点 顺时针旋转 到 的位置．连接 ，则以下结论错
误的是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，将正方形 的边 绕点 逆时针旋转一定角度
得到 ，连接 ，再将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，若
，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（21-22九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，平面内三点A、B、C， ， ，以
为对角线作正方形 ，连接 ，则 的最大值是 ．9．（23-24八年级上·山东东营·期末）如图，将正方形 中的 绕点 顺时针旋转到
的位置，且 ．则 ．
10．（2024·云南楚雄·三模）如图，点 是正方形 内部一点，连接 ，将 绕点
旋转一定角度得到 ，当 三点共线时， 的度数为 ．
11．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图， 为正方形 内一点， ，将 绕
点 逆时针旋转得到 ，则 的长是 ．
12．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，正方形 中，点 是 的中点， 与
关于 所在直线对称，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，
射线 交 于点 ．若 ，则线段 的长为 ．13．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，点F是等边三角形 内一点， ．将
绕点B顺时针旋转 得 ，连接 ， ．
14．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，P为等边三角形 内的一点，且P到三个顶点A，
B，C的距离分别为3，4，5，则 的面积为 ．
三、解答题
15．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，P是等边三角形 内一点，将线段 绕点A顺时针旋
转 得到线段 、连接 ．若 求三角形 的面积．请将下面的证明过
程补充完整．
证明：由旋转的性质可得
是等边三角形．（ ）是等边三角形，
即
则在 和 中
∴ （ ）；
∴ ．
∴ ．
∴ 是直角三角形，且 ．
16．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，在等腰直角三角形 中， ，
点 在 上，将 绕点 顺时针旋转 后得到 ． 求 的度数；
17．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图， 是等边三角形，P为 内一点，将
绕点A逆时针旋转后，能与 重合，如果 ，求 的长．18．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知：如图，在 中， ，以 为边
向外作等边三角形 ，把 绕着点D按顺时针方向旋转 后得到 ，且 ， ，
三点共线，若 ， ，求 的度数与 的长．
【能力提升（20题）】
一、单选题
1．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图， 是边长为4的等边三角形，点D在边 的延
长线上且 ，连接 ，将线段 绕点D顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，则 的
长为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·江西上饶·期末）如图所示，点 是等边 内一点，
，将 绕点 逆时针旋转一定角度后得到 ，下列四个结论中：
① 为等边三角形；② ；③ ；④ 其中正确的结论有
（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（24-25八年级上·山东东营·期中）如图，点D是等边三角形 内一点， ， ，
， 是由 绕点A逆时针旋转得到的，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·四川广安·期末）如图， 是等边三角形 内一点，连接 ，将线段
绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ，若 ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图， 是等边三角形，点 在 内， ，将
绕点 逆时针旋转得到 ，则 的长等于（ ）A．2 B． C． D．1
6．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，点 是等边三角形 内一点， ，
， 是由 绕点 逆时针旋转得到的，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·重庆垫江·模拟预测）如图，在正方形 中，将线段 绕点C顺时针旋转得到线段
，连接 ， ，延长 交 的平分线于一点F，O为对角线 的中点，连接 ．若
， ，则 的长度为（ ）
A．2 B． C． D．3
8．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题：如图，点P是正
方形 内一点， ， ， ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
二、填空题
9．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）如图， 和 均为等腰直角三角形，
， ， ， 绕点 在平面内自由旋转，当 、 、 三
点共线时， 的长是 ．
10．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，已知点P是等腰直角三角形 中一点，
连接 ；线段 绕点A逆时针旋转90°得到线段 ，连接 ；若
， ， ，则 的长是 ．
11．（23-24九年级上·北京·期中）如图，等腰直角三角形 中， ，绕点A逆时针旋
转 ，得到 ，连接 ，则 ．
12．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图， 是等边三角形 内的一点，且 ，， ，将 绕点 顺时针旋转 到 位置．连接 ，则 的度数为
．
13．（24-25七年级下·上海·阶段练习）设O是等边三角形 内一点，已知 ，
，求以线段 、 、 为边构成的三角形的各角的度数分布为 ．
14．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习） 为等边三角形，D为平面内一点，连接 ，将
绕点D顺时针旋转 ，得到线段 ，连 ， ．当 ， ， 时，
．
15．（2025·天津·模拟预测）如图，点 是正方形 的对角线 上一动点，连接 ，将
绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，若正方形 的边长为4，取 的中点 ，连
接 ，求 的最小值 ．16．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，点 是正方形 内的一点，连接 ， ， ，将
绕点 顺时针旋转 到 的位置．若 ， ， ，则
°．
三、解答题
17．（24-25八年级下·山东东营·期中）如图，点 是正方形 内一点，连接 ，将线段 绕
点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，延长 交直线 于点 ．
（1）如图1，试猜想线段 和 有怎样的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若 是等边三角形，判断 的形状，并说明理由．
18．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）（1）如图①， 是等边 内一点， ，
， ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连结线段 ， ，试判断
的形状．
（2）点 是以 为斜边的等腰直角三角形 内一点，将 绕点 顺时针旋转 得到
，如图②，且 ， ， ．
①求 的度数；
②求 的面积．19．（24-25八年级下·山西大同·期中）综合与探究
如图1， 和 都是等边三角形，连接 ， ．
（1）求证： ．
（2）如图2，将绕点 顺时针旋转至 ， ， 三点共线， 为 的中点，连接 ， ．
① 的度数为________．
②试探究线段 与 的数量关系，并说明理由．
20．（24-25八年级下·山东威海·期中）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分
散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．
【探究发现】如图①，在等边三角形 内部有一点 ， ， ， ，求 的
度数，爱动脑筋的小明发现：将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 、 ，则
，然后利用 和 形状的特殊性求出 的度数，就可以解决这道问
题．
下面是小明的部分解答过程：
解：将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 、 ，
， ， 是等边三角形，
， ．
是等边三角形， ， ，
，即 ．
（1）请你补全余下的解答过程．【类比迁移】
（2）如图②，在正方形 内有一点 ，且 ， ， ，求 的度数．
