文档内容
专题 23.3 旋转几何模型
目 录
一．知识梳理与题型分类精析.......................................................................................................1
【模型引入】.........................................................................................................................................1
【题型1】旋转产生等腰三角形求值...................................................................................................1
【题型2】旋转产生等腰三角形证明...................................................................................................4
知识点（一）等边三角形旋转模型.....................................................................................................6
【题型3】等边三角形旋转模型求值...................................................................................................7
【题型4】等边三角形旋转模型证明.................................................................................................10
知识点（二）正方形旋转模型...........................................................................................................13
【题型5】正方形旋转模型求值........................................................................................................13
【题型6】正方形旋转模型证明........................................................................................................16
知识点（三）等腰直角三角形旋转模型...........................................................................................19
【题型7】等腰直角三角形旋转模型求值.........................................................................................19
【题型8】等腰直角三角形旋转模型证明.........................................................................................22
二. 同步练习................................................................................................................................25
【基础巩固（18题）】......................................................................................................................25
【能力提升（20题）】......................................................................................................................41
一．知识梳理与题型分类精析
【模型引入】
如图1，线段 绕点 旋转一定角度后得到线段 ，连接 、 ，由旋转性质可
以 得 到 ： 等 腰 和 等 腰 ， 这 样 我 们 就 可 以 得 到 一 个 旋 转 结 论 ：有旋转就有等腰三角形，旋转角是 产生等边三角形，旋转是 旋产生等腰直角
三角形.
【题型1】旋转产生等腰三角形求值
【例题1】（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，在 中， ， 是由 绕
点 按逆时针方向旋转得到的，连接 、 相交于点 ．求证： ．
【答案】见分析
【分析】本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的性质和判定，依据旋转的性质得到相等的边
或角是解题的关键．
由旋转的性质可得到 ， ， ，依据等式的性质可得到 ，
依据 可证明 ，依据全等三角形的性质进行证明即可．
解：证明： 是由 绕点 按逆时针方向旋转得到的，
∴ ， ， ，
∵
，
，即 ．
在 和 中，
，
，
．【变式1】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，将 绕点A逆时针旋转 得到
．当点B，C， 在同一直线上， ， （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查旋转变换的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握旋转变换
的性质是解题的关键．
根据图象旋转的性质，得 ， ，从而得 ，结合 ，
，即可求解．
解：∵将 绕点A逆时针旋转 得到 ．
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
故选：B
【变式2】（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在 中， ， ，
将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，则点 到 的距离是 ．
【答案】
【分析】本题考查了图形的旋转、直角三角形中 的锐角所对的直角边等于斜边的一半．解决本
题的关键是作辅助线构造一个含 角的直角三角形，然后再利用直角三角形中 的锐角所对的
直角边等于斜边的一半求解．
解：如下图所示连接 ，过点 作 于点 ，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
在 中， ，
点 到 的距离是 ．
故答案为： ．
【题型2】旋转产生等腰三角形证明
【例题2】（23-24九年级上·湖南长沙·期中）如图： 中， ， ，将
绕点C顺时针旋转一个角度后，点D正好落在 上，求 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转性质，易得 ， ， ，结合等边
对等角以及三角形内角和 ，得 ，即可作答．
解：由旋转可得： ，
则 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．【变式1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，将 绕点 逆时针旋转，得到 ，若
点 的对应点 恰好在线段 上，且 平分 ，记线段 与 的交点为 ．下列结论
中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角，能
够综合运用旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角是解题的关键．
根据旋转的性质，可判定A选项；
根据题意，可证 与 并不全等，可判定B选项；
根据三角形外角的性质，可判定C选项；
根据全等的性质，可判定D选项，由此即可求解．
解：A 、 点 是 旋转后点 的对应点， ，故A正确；
B、由旋转可知 ，但 与 并不全等，故B不正确；
C、由旋转可知旋转角， ， ，
又 平分 ，
，
，
， ，
故C正确；
D、由旋转可知 ，
， ，
平分 ，，
在 和 中，
，
，故D正确；
故选：B．
【变式2】（2022·天津河西·二模）如图，将 绕点B逆时针旋转60°得到 ，点A的对应
点为D， 交 于点P，连结 ， ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D． 是等边三角形
【答案】D
【分析】由题意可知，将△ABC旋转60°后得到△DBE，根据等边三角形的判定方法确定D正确，
其他三项逐项进行排除即可；
解：A、由题意可知，DE=AC不一定等于CB，故A选项错误；
B、由于D、B、C不一定在同一个直线上，故∠EBA不一定等于60°，故B选项错误；
C、由题意可知，AD≠PD，故∠CAD≠∠APD，故 ，C选项错误；
D、由旋转的性质可知，△ABD为等边三角形，故D选项正确；
故选D．
【点拨】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转60°后所形成的等边三角形是解决本题的关键．
知识点（一）等边三角形旋转模型如图1，在等边 中，点 是 内一点，将 绕点A按逆时针方向旋转 ，
使得AB与AC重合，经过这样的变化，将图 1中的PA、PB、PC三条线段集中于图2的一个
中，同时 也是一个等边三角形.这就是等边三角形旋转模型
【题型3】等边三角形旋转模型求值
【例题3】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，P是等边三角形 内一点，且
若将 绕点A逆时针旋转后，得到 ．求：
（1） 的长度；
（2） 的度数
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理逆定理，旋转前后对应边相等，对
应角相等．
（1）根据旋转的性质可得 ，然后判断出 是等边三角形，根据等边三
角形的性质可得 ；
（2）根据等边三角形的性质可得 ，利用勾股定理逆定理求出 ，然后求解即
可．
解：（1）∵ 绕点 逆时针旋转后，得到 ，
∴ 是等边三角形，
；
（2）解：∵ 绕点 逆时针旋转后，得到 ，，
∵ 是等边三角形，
，
，
，
，
∴ 是直角三角形， ，
．
【变式1】（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图所示，点 是等边三角形 内的一点，且
， ， ，若将 绕点 逆时针旋转后，得到 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和勾股定理的逆定理．先根据等边三角形的性
质得 ， ，再根据旋转的性质得 ， ， ，则
可判断 为等边三角形，得到 ， ，接着利用勾股定理的逆定理证明
为直角三角形， ，然后利用 进行计算即可．
解：连接 ，如图，
为等边三角形，
， ，绕点 逆时针旋转后，得到 ，
， ， ，
为等边三角形，
， ，
在 中，
∵ ， ， ，
，
为直角三角形， ，
．
故选：A．
【变式2】（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，点P是等边三角形 内的一点，
， ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，将
绕点 旋转 得到 ，过点 作 于点 ，可证 是等边三角形，由勾股
定理的逆定理可得 ，求得 的长，利用三角形的面积公式求解即可，添加恰当的辅助
线，构造特殊三角形是解决问题的关键．
解：将 绕点 旋转 ，根据等边三角形 中 ，故可得到 ，过点 作
于点 ，
， ， ，
是等边三角形，， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
【题型4】等边三角形旋转模型证明
【例题4】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，点 为等边三角形 内一点，连接
， ， ，将线段 绕点 顺时针旋转 到 ，连接 ， ，求证： ．
【答案】见分析
【分析】本题考查作图-旋转变换，全等三角形的判定和性质，根据 证明 可得结
论．
解：证明： 绕点 顺时针旋转 到 ，
， ，
为等边三角形，
， ，
，
，
在 和 中，，
．
【变式1】（2024·安徽·一模）如图，点D为等边△ABC的边AB上一点，且AD AB，将△ACD
绕点C逆时针旋转60°，得到△BCE，连接DE交BC于点F，则下列结论不成立的是（ ）
A．BE∥AC B．△CDE为等边三角形
C．∠BFD＝∠ADC D．DF＝4EF
【答案】D
【分析】由旋转的性质可得：∠DCE＝60°，△ACD≌△BCE，AC＝BC，AD＝BE，∠A＝∠ABE＝
60°，可证△CDE是等边三角形，BE∥AC，由外角的性质可证∠BFD＝∠ADC，即可求解．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝60°，
由旋转的性质得：∠DCE＝60°，△ACD≌△BCE，AC＝BC，AD＝BE，∠A＝∠ABE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，∠A＋∠ABE＝180°，
∴BE∥AC，故A，B结论正确，但不符合题意；
∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴∠ABC＝∠CDF＝60°，
∵∠BFD＝∠CDF＋∠DCF＝60°＋∠DCF，
∠ADC＝∠ABC＋∠DCF＝60°＋∠DCF，
∴∠BFD＝∠ADC，故C结论正确，但不符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在等边 中有一点 ，连结
，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ．给出下面四个结论：
； 是等边三角形； ； 若 ，则 ．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】
【分析】由等边三角形的性质得 ， ，由旋转的性质得 ， ，
可得 是等边三角形， ，即可证明 ，由此可判断 ；由已
知条件无法得出 ，即无法得出 ，由此可判断 ；由全等三角形的性质得
，再由勾股定理得 ，由此可判断 ．
解： 是等边三角形，
， ，
，
由旋转得： ， ，
是等边三角形， ，
，
，
故 正确；
是等边三角形，
，
由已知条件无法得出 ，
即无法得出 ，
故 不正确；
，
，
，
为直角三角形，在 中，由勾股定理得： ，
故 正确；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，
熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
知识点（二）正方形旋转模型
如图4，在正方形 中，点 是正方形 内一点，将 绕点 按逆时针方向旋转
，使得 与 重合。经过这样的旋转变化，将图4中的PA、PB、PC三条线段关系集中于
图5中 中，此时 为等腰直角三角形.
【题型5】正方形旋转模型求值
【例题5】（24-25九年级上·重庆·期末）如图，正方形 中， 为正方形内一点，连接 ，
使 ，再连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 ，由等腰三角形的性质可得 ，由旋转的性质可证明 ，即可求
解．解：连接 如图：
是正方形，
， ，
， ，
，
，
，
由 绕点 逆时针旋转 得到 ，
得 ， ，
， ，
，
，
，
．
故选：A．
【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，正方形的性质等，正确
构造全等三角形是解题的关键．
【变式1】（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图， 为正方形 内一点， ，
， ，将 绕点 按顺时针方向旋转 ，得到 ，延长 交 于点 ，连
接 ．则 的面积为（ ）A． B．3 C． D．4
【答案】A
【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、
正方形的判定与性质是解答本题的关键．
由旋转得， ，可得出四边形 为正方形，
可得 5．在 中，由勾股定理得， ，则
，即可解答．
解：由旋转得 ，
四边形 为矩形，
四边形 为正方形，
在 中，由勾股定理得， ，
∴ ．
故选A．
【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，E为正方形 内一点，将三角形
绕点B顺时针旋转至三角形 处，若 ，则 ， ．
【答案】 /90度 10
【分析】此题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
根据正方形的性质和旋转的性质即可得到答案．
解： 四边形 是正方形，
，∵ 绕点B顺时针旋转与 重合，
∴ ， ，
∴ ，
．
故答案为： ，10．
【题型6】正方形旋转模型证明
【例题6】（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，P是正方形 内一点，线段 绕着点B顺
时针旋转 至 ，连接 ， ，求证： ．
【答案】见分析
【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质和全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关图形的
性质定理是解题的关键；
根据正方形的性质和旋转的性质证明 ，即可得解．
解：证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵线段 绕着点B顺时针旋转 至 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，点 为正方形 内一点， 经逆时针
旋转后能与 重合.
（1）旋转中心是_____，旋转角度最小为_____度；
（2）判断 的形状，并说明理由；
（3）若 ，说明 .【答案】（1）点 ，90；（2）等腰直角三角形，理由见分析；（3）见分析
【分析】本题考查几何图形的旋转，熟悉“旋转的概念、性质”是解答本题的关键．
（1）根据旋转的定义结合已知条件分析解答即可；
（2）由旋转的性质可知， ， ，由此可得 是等腰直角三角形；
（3）由旋转可得 ，进而得到 ，从而证明结论．
解：（1）解：∵ 是正方形，
∴ ，
∵ 经逆时针旋转后能与 重合，
∴旋转中心是点 ，旋转角度最小为 ，
故答案为：点 ， ；
（2）解： 是等腰直角三角形，理由为
四边形 是正方形，
，
由旋转，得 ， ，
是等腰直角三角形；
（3）证明：由旋转，得 ，
，
，
．
【变式2】（23-24九年级上·广东潮州·期末）如图，已知正方形 的边长为 ，点E是对角
线 上一点，连接 ，将线段 绕点D顺时针旋转 至 的位置，连接 、 ．
（1）求证： ；
（2）当 为何值时， 的面积最大？请说明理由．【答案】（1）见分析；（2） ，理由见分析
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，二次函数的性质，利
用二次函数的最值求解是本题的关键．
（1）由旋转的性质可得 ， ，由“ ”可证 ；
（2）由全等三角形的性质可得 ， ，可得 ，由三角
形面积公式和二次函数的性质可求解．
解：（1）证明： 绕点 顺时针旋转 至 的位置，
， ，
∵正方形 ，
， ，
，
即 ，
∴在 与 中，
，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
在正方形 中， ，
由（1）知 ，
， ，
设 ，
∵正方形 的边长为 ，
∴ ，
，
，
当 ， 的面积最大，
即当 时， 的面积最大．知识点（三）等腰直角三角形旋转模型
在等腰 中， ，点 为 内一点，如图6，将 绕C点按逆时针方向旋
转 ，使得AC与BC重合。经过这样的旋转变化，线段 、 、 三边关系就转化到如
图7中的 中，同时得到 是一个等腰直角三角形.
【题型7】等腰直角三角形旋转模型求值
【例题7】（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图， 是等腰直角三角形， ，
将 绕点 逆时针旋转后，能与 重合，连接 ，如果 ，那么 的长等于（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握旋转前后对应线段相等，对应线段
的夹角等于旋转角．根据旋转的性质得出 ，再根据勾股定理即可
解答．
解：∵ 绕点 逆时针旋转后，能与 重合， ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，点P是等腰直角三角形 内的一个点，且
，若将 绕点C逆时针旋转后得到 ，则 ，
．
【答案】 /135度
【分析】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理及其逆定理等知识，
求得 ， ，进而推导出 是解题的关键．由旋转得
， ， ，求得 ， ，而
，则 ，所以 ，则 ，于是得
到问题的答案．
解： △ 是等腰直角三角形，
， ，
将△ 绕点 逆时针旋转后得到△ ，
， ， ，
， ，
，
， ，
，
是直角三角形，且 ，
，故答案为： ， ．
【变式2】（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）（1）如图1，在 中， ，
，以 为边作等边三角形 ，将斜边 绕点 按逆时针方向旋转 得到线段 ，
连接 并延长交 于点F．则 的度数为______；
（2）如果将等腰直角三角形 改为任意直角三角形 （如图2），其他条件不变，猜想
的度数，并加以证明．
【答案】（1） （2） ，证明见分析
【分析】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握手拉手模
型，是解题的关键：
（1）根据等边三角形的性质，旋转的性质，证明 ，得到 ，8字形图，得到
，即可得出结果；
（2）同法（1）即可得出结果．
解：（1）∵等边三角形 ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 交于点 ，
∵ ，∴ ；
（2） ，证明如下：
∵等边三角形 ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 交于点 ，
∵ ，
∴ ；
【题型8】等腰直角三角形旋转模型证明
【例题8】（23-24九年级上·湖北鄂州·阶段练习）如图，在 中， ， 、 是斜边
上两点，且 ，将 绕点 顺时针旋转 后，得到 ，连结 ，则下
列结论：① ；② 为等腰直角三角形；③ 平分 ；④ ．
正确的是 ．
【答案】①③④
【分析】①根据旋转的性质，可得 ，结合 ，即可判断，
③根据旋转的性质，可证 ，得到 ，即可判断，
④由 ， ，在 中，应用勾股定理，即可判断，
②根据 与 的关系，判断 与 的关系，即可判断，本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握旋转的性
质．
解：由旋转的性质可得： ， ， ，
，
，故①正确，
，
，即： 平分 ，故③正确，
，
，
在 中， ，即： ，故④正确，
与 不一定相等，
与 不一定相等，故②不正确，
综上所述，①③④正确，
故答案为：①③④．
【变式1】（24-25九年级上·天津西青·期末）如图，在等腰直角 中， ， ，
点 为斜边 上一点，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，则下列
说法错误的是（ ）
A． B． 是等腰直角三角形
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查的是旋转的性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理的应用，由
， ，可得 ，由旋转可得 ，再逐个选项判断
即可．
解：∵ ， ，
∴ ．
∵将 绕点 逆时针旋转 得到 ，∴ ， ，
∴ ， ， ，
故选项A正确，不符合题意；
∴ 是等腰直角三角形，
故B正确，不符合题意；
∴ ， ，
∴ 中， ，
∴ ，
故C错误，符合题意；
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
故D正确，不符合题意；
故选：C．
【变式2】（2023·天津河西·二模）如图，在等腰直角 中， ，点 为斜
边AB上一点，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，则下列说法错误的是（ ）
A． B． 是等腰直角三角形
C． D．
【答案】C
【分析】由 ， ，可得 ，由旋转的性质可知
， ， ，可判定A正确，B正确；根据，可得 ，即可得 ，判断C错误；
由 且对顶角相等，可判断D正确．
解： ， ，
．
由旋转的性质可知 ， ， ，
故A正确，不符合题意；
是等腰直角三角形，
故B正确，不符合题意；
， ，
，
，
，
，
故C错误，符合题意
∵ ，且对顶角相等，
∴ ，
故D正确，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题主要考查的是旋转的性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理的应用，熟练掌
握相关知识是解题的关键．
二. 同步练习
【基础巩固（18题）】
一、单选题
1．（22-23八年级上·广东河源·期末）如图， 是等腰直角三角形， 是斜边，现将 绕
点 逆时针旋转后，能与 重合，已知 ，则 的长度为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据旋转前后的图形全等，即可得出 等腰直角三角形，再根据勾股定理计算即可．
解：∵ 是由 绕点A逆时针旋转后得到的，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
又∵ ，
∴ ．
故选：A．
【点拨】此题考查了旋转的性质，勾股定理，解答本题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角
相等．
2．（24-25九年级上·重庆荣昌·期中）如图，正方形 中， 绕点A逆时针旋转到 ，旋转
角 ，连接 并延长至点F，使 ，连接 ，则 的度数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方形和旋转的性质，等腰三角形的性质，
根据正方形的性质得 ， ，再结合旋转的性质求出 ，
即可得出 ，然后根据等腰三角形的性质求出 ，即可得 ，接下来求出 ，
最后根据等腰三角形的性质得出答案.
解： 四边形 是正方形，
， ，
由旋转的性质可知， ， ，，
.
，
， ，
，
，
∴ .
故选：A．
3．（22-23八年级上·山西临汾·期中） 是等边三角形，点P在 内， ，将 绕
点A逆时针旋转得到 ，则 的长等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】A
【分析】根据等边三角形的性质推出 ， ，根据旋转的性质得出
，推出 ， ，求出 ，得出 是等边三角形，即可
求出答案；
解：∵ 是等边三角形
∵将 绕点 逆时针旋转得到即
∴ 是等边三角形
故选：A
【点拨】本题考查了等边三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，关键是得出 是等边角
形，注意“有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的对应边相等，每个角都等
于 ．
4．（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）如图， 为等边三角形，D是 内一点，将
经过旋转到 的位置，则旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质和等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得 ，由
旋转的性质可得旋转角为 ．
解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵将 经过旋转到 的位置，
∴旋转角为 ，
故选：D．
5．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，在等边三角形 中，点 在边 上，将 绕
点 顺时针旋转 后得到 ．若 ， ，则 的周长为（ ）A．10.8 B．11.4 C．11.8 D．12
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，在等边三角形
中有 ，证明 是等边三角形得到 ，再证明
，从而得到 ，继而得到 ，从而得
解，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
解：∵ 是等边三角形， ，
∴ ， ，
又∵将 绕点 顺时针旋转 后得到 ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为： ，
故选：B．
6．（24-25八年级下·陕西·期中）如图， 是等边三角形 内的一点，连接 、 、 ，且
，将 绕点 顺时针旋转 到 的位置．连接 ，则以下结论错
误的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理的应用，三角形的三边关系，熟
练掌握是解答本题的关键．
根据等边三角形性质以及勾股定理的逆定理，即可判断B；依据 是等边三角形，即可得到
，即可判断A；进而得出 ，即可判断
C；根据三角形三边关系即可判断D选项．
解： 是等边三角形，
，
将 绕点 顺时针旋转 到 的位置，
，
， ， ， ，
，
是等边三角形，
，
， ，
，
，即 是直角三角形，故B正确；
是等边三角形，
，故A正确；
，故C正确；是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
在 中， ，
即 ，故选项D错误．
故选：D．
7．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，将正方形 的边 绕点 逆时针旋转一定角度
得到 ，连接 ，再将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，若
，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图所示，连接 ，根据旋转的性质，等边对等角得到
，再证明 ，
，即可求解．
解：如图所示，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，∵边 绕点 逆时针旋转一定角度得到 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵将 绕点 顺时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
故选：A ．
【点拨】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，全等三角形的
判定和性质，掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键．
二、填空题
8．（21-22九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，平面内三点A、B、C， ， ，以
为对角线作正方形 ，连接 ，则 的最大值是 ．
【答案】 /
【分析】将 绕点 顺时针旋转 得到 ．由旋转不变性可知： ，． ，推出 是等腰直角三角形，推出 ，推出当 的值
最大时， 的值最大，利用三角形的三边关系求出 的最大值即可解决问题．
解：将 绕点 顺时针旋转 ，得 ，如图：
由旋转不变性可得： ， ，
且 ，
是等腰直角三角形，
，
最大，只需 最大，而在 中， ，
当且仅当 、 、 在一条直线上，即不能构成 时， 最大，且最大值为
，
此时 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常
用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
9．（23-24八年级上·山东东营·期末）如图，将正方形 中的 绕点 顺时针旋转到
的位置，且 ．则 ．
【答案】【分析】本题考查了旋转性质的运用，根据旋转角判断三角形的形状，根据旋转的对应边相等及勾
股定理求边长．观察图形可知，旋转中心为点 ， 点的对应点为 ， 点的对应点为 ，故旋转
角 ，根据旋转性质可知 ，可根据勾股定理求 ．
解：由旋转的性质可知，旋转角 ， ，
在 中，由勾股定理得，
．
故答案为： ．
10．（2024·云南楚雄·三模）如图，点 是正方形 内部一点，连接 ，将 绕点
旋转一定角度得到 ，当 三点共线时， 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质以及旋转性质，根据正方形的性质得 ，结合旋转性
质得出 ， ，则 为等腰直角三角形，因为点 共线，即可
列式进行计算作答．
解：∵四边形 为正方形，
∴ ，
∵ 由 旋转得到，
∴ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵点 共线，
∴ ，
．
故答案为：
11．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图， 为正方形 内一点， ，将 绕
点 逆时针旋转得到 ，则 的长是 ．【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练
掌握正方形和旋转的性质，得出三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键．根据旋转的性质，
绕点B顺时针旋转得到 ，则可知旋转角度是 ， ， 是等腰直角三角
形，由勾股定理求出 即可．
解：∵ 绕点C顺时针旋转得到 ，其旋转中心是点C，旋转角度是 ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
故答案为 ．
12．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，正方形 中，点 是 的中点， 与
关于 所在直线对称，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，
射线 交 于点 ．若 ，则线段 的长为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了旋转的性质，轴对称的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质．
由勾股定理可求 的长，由面积法可求 的长，通过证明 是等腰直角三角形，可得，即可求解．
解：如图，连接 ，
∵ ，点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 关于 所在直线对称，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵线段 绕点 顺时针旋转90°得到线段 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，点F是等边三角形 内一点， ．将
绕点B顺时针旋转 得 ，连接 ， ．【答案】3
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的性质，得到 是等边
三角形是解决问题的关键．
根据已知条件可得到 是等边三角形，从而得到 ．
解： 将 绕点 顺时针方向旋转 得到 ，
∴
∴ ，
∴
∴
是等边三角形，
，
故答案为： ．
14．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，P为等边三角形 内的一点，且P到三个顶点A，
B，C的距离分别为3，4，5，则 的面积为 ．
【答案】9
【分析】将 绕点B逆时针旋转 得 ，根据旋转的性质得 ， ，
，则 为等边三角形，得到 ， ，在 中， ，
延长 ，作 于点F， ， ，根据勾股定理的逆定理可得到 为直角三角
形，且 ，即可得到 的度数，在直角 中利用三角函数求得 的长，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：∵ 为等边三角形，
∴ ，
可将 绕点B逆时针旋转 得 ，
连 ，且延长 ，作 于点F，如图，
∴ ， ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
中， ， ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，且 ，
∴ ．
∴ ，
∴在直角 中， ， ．
∴在直角 中， ，
则 的面积是 ，
故答案为：9 ．
【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两
个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
三、解答题
15．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，P是等边三角形 内一点，将线段 绕点A顺时针旋
转 得到线段 、连接 ．若 求三角形 的面积．请将下面的证明过
程补充完整．证明：由旋转的性质可得
是等边三角形．（ ）
是等边三角形，
即
则在 和 中
∴ （ ）；
∴ ．
∴ ．
∴ 是直角三角形，且 ．
【答案】 ；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形； ； ；
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理的逆定理，旋转的性质，全等三角形
的判定，熟知等边三角形的性质与判定条件是解题的关键．先证明 是等边三角形，再由等
边三角形的性质得到 ， ，再得 ，再利用 即可证明
；再利用勾股定理的逆定理证明 ，据此利用三角形面积公式求解即可．
解：证明：由旋转的性质可得
， ，∴ 是等边三角形，（有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形）
，
，
即 ，
则在 和 中
∴ ；
∴ ．
∴ ．
∴ 是直角三角形，且 ．
16．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，在等腰直角三角形 中， ，
点 在 上，将 绕点 顺时针旋转 后得到 ． 求 的度数；
【答案】
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质的综合，掌握等腰三角
形的性质，旋转的性质是解题的关键．
根据题意， ，由旋转的性质可得 与 重合， ，
，由 即可求解．
解：∵ 是等腰直角三角形， ,，∴ ，
∵将 绕点 顺时针旋转 后得到 ，
∴ 与 重合， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数为 ．
17．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图， 是等边三角形，P为 内一点，将
绕点A逆时针旋转后，能与 重合，如果 ，求 的长．
【答案】
【分析】根据旋转的性质得出 ，再根据旋转的角度为 和等边三角形的判定得出
为等边三角形；即可根据等边三角形的性质得出结论．本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应
线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．同时考查了等边三角形的判定和性质．
解： 是等边三角形，
绕 点逆时针旋转后与 重合，
， ，
，
∴ 为等边三角形，
．
18．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知：如图，在 中， ，以 为边
向外作等边三角形 ，把 绕着点D按顺时针方向旋转 后得到 ，且 ， ，
三点共线，若 ， ，求 的度数与 的长．【答案】 ；5
【分析】本题主要考查旋转的性质以及等边三角形的性质，通过图形旋转得到等边三角形是解题的
关键．由旋转的性质可得出 ， ，进而可得出 为等边三角形以及
，可得出 ；由点 ， ， 在一条直线上可得出
，根据旋转的性质可得出 ，结合 ， 可得出 的长度，再根据
等边三角形的性质即可得出 的长度．
解： 绕着点D按顺时针方向旋转 后得到 ，
， ，
为等边三角形，
，
，
点 ， ， 在一条直线上，
，
绕着点D按顺时针方向旋转 后得到 ，
，
，
为等边三角形，
．
【能力提升（20题）】
一、单选题
1．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图， 是边长为4的等边三角形，点D在边 的延
长线上且 ，连接 ，将线段 绕点D顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，则 的
长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点 作 于点 ，根据旋转的性质推出 是等边三角形，即可求解．
解：如图，过点 作 于点 ，
是边长为4的等边三角形，
，
，
，
，
，
将线段 绕点D顺时针旋转 得到线段 ，
是等边三角形，
，
故选：A．
2．（24-25八年级下·江西上饶·期末）如图所示，点 是等边 内一点，
，将 绕点 逆时针旋转一定角度后得到 ，下列四个结论中：
① 为等边三角形；② ；③ ；④ 其中正确的结论有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角
形的性质，由旋转的性质得 ，推出 ， ，
， ，进而求出 ，推出 为等边三角形，即可判断①；
再根据已知求出 ，即可判断②；由 ，求出 ，得
到 ，利用勾股定理即可求出 ，即可判断③；取 中点Q，连接 ，则
，证明 ，易得 ，即可判断④．
解：由旋转的性质得 ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，故①正确；
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
在 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
取 中点Q，连接 ，
则 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵Q点是 中点， ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
故选：D．
3．（24-25八年级上·山东东营·期中）如图，点D是等边三角形 内一点， ， ，
， 是由 绕点A逆时针旋转得到的，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 ，由旋转的性质可证明 是等边三角形，得
，再由勾股定理的逆定理可证明 是等腰直角三角形得
出 ，进而求出 ，利用等边对等角求出 ，从而可得出结
论．
解：连接 ，如图：∵ 是等边三角形，
∴ ，
，
由旋转的性质可得 ，
∴ ，即 ，
∴ 是等边三角形，
，
，
，
，
∴ 是等腰直角三角形，
，
，
，
∴ ，
，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理逆定理，等腰直角三角
形的性质与判定，解本题的关键是判断出 是等边三角形．
4．（24-25九年级上·四川广安·期末）如图， 是等边三角形 内一点，连接 ，将线段
绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ，若 ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质以及图形的旋转等知
识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
根据等边三角形的性质，可得 ，再由旋转的性质，可得
，从而得到 ，即可证明 ，由全等三角形的性
质可知 ；再证明 为等边三角形，可得 ，然后利用两角之差即
可求解．
解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ．
故选C．
5．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图， 是等边三角形，点 在 内， ，将
绕点 逆时针旋转得到 ，则 的长等于（ ）A．2 B． C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，
根据等边三角形的性质推出 ， ，根据旋转的性质得出 ，推出
， ，从而求出 ，得到 是等边三角形，即可得到答案．
解： 是等边三角形，
， ，
将 绕点 逆时针旋转得到 ，
，
， ，
，
即 ，
是等边三角形，
，
故选： ．
6．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，点 是等边三角形 内一点， ，
， 是由 绕点 逆时针旋转得到的，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 ，由旋转的性质可证明 是等边三角形，得 ，
，再由勾股定理的逆定理可证明 是等腰直角三角形得出，进而求出 ，利用等边对等角求出 ，从而可得出结
论．
解：连接 ，如图：
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
由旋转的性质可得 ，
∴ ，即 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A.
【点拨】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理逆定理，等腰直角三角
形的性质与判定，解本题的关键是判断出 是等边三角形．
7．（2025·重庆垫江·模拟预测）如图，在正方形 中，将线段 绕点C顺时针旋转得到线段
，连接 ， ，延长 交 的平分线于一点F，O为对角线 的中点，连接 ．若， ，则 的长度为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【分析】连接 ，记 的交点为 ，设 ，证明 ，求解
，证明 ， ，可得 ，
，可得 ，再进一步求解即可.
解：连接 ，记 的交点为 ，
设 ，
∵正方形 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
由旋转可得： ，
∴ ，
∴ ，∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：A
【点拨】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形的内角和定
理的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.
8．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题：如图，点P是正
方形 内一点， ， ， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理即逆定理．
利用旋转法构造全等三角形，根据勾股定理得到 ，证明 ，即可解决问题．
解：将 绕点B逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，则 ， ， ， ，
，
根据勾股定理得， ，
，
，
又 ，
，
是直角三角形，且 ，
．
故选：A．
二、填空题
9．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）如图， 和 均为等腰直角三角形，
， ， ， 绕点 在平面内自由旋转，当 、 、 三
点共线时， 的长是 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质（三线合一、斜边与直角边的数量关系 ）以及勾股
定理．解题关键是根据题意，画出两种不同位置关系的图形（射线 在直线 上方和下方 ），
分类讨论计算 的长度．本题需分两种情况讨论：当射线 在直线 上方和下方时，通过作
构造直角三角形，利用等腰直角三角形性质和勾股定理，求出 、 、 的长度，
进而得到 的长．
解：情况一：射线 在直线 上方，作 于H，∵ 是等腰直角三角形， ， ， （等腰直角三角形三线合一），
．
根据等腰直角三角形斜边与直角边关系 ，
∴ ．
∴ ．
又∵ 是等腰直角三角形， ， ， ．
由 ，
∴ ．
在 中，根据勾股定理 ．
把 ， 代入，得 ．
∴ ．
情况二：射线 在直线 下方
同样，∵ 是等腰直角三角形，
∴ ； 是等腰直角三角形，∴ ．
在 中，由勾股定理得 （计算过程同情况一）．
∴ ．
综上， 的值为 或 ，
故答案为 或 ．
10．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，已知点P是等腰直角三角形 中一点，
连接 ；线段 绕点A逆时针旋转90°得到线段 ，连接 ；若
， ， ，则 的长是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，由旋转的性质得，
，证明 ，进而可证 ，从而
， ，求出 ，然后利用勾股定理求解即可．
解：由旋转的性质得， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴∴ ．
故答案为：3．
11．（23-24九年级上·北京·期中）如图，等腰直角三角形 中， ，绕点A逆时针旋
转 ，得到 ，连接 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的
性质是解题关键．由等腰直角三角形可得 ，由旋转的性质可得 ， ，
从而证明 是等边三角形，得到 ，即可求出 的度数．
解： 等腰直角三角形 中， ，
，
绕点A逆时针旋转 ，得到 ，
， ，
是等边三角形，
，
，
故答案为： ．
12．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图， 是等边三角形 内的一点，且 ，
， ，将 绕点 顺时针旋转 到 位置．连接 ，则 的度数为
．【答案】 / 度
【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键
是勾股定理逆定理的应用．首先证明 为等边三角形，得 ，由 可得
，在 中，已知三边，用勾股定理逆定理得出 ，可求 的度数，由
此即可解决问题．
解：连接 ，由题意可知
则 ， ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
又∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴
∴ ，
故答案为： ．
13．（24-25七年级下·上海·阶段练习）设O是等边三角形 内一点，已知 ，
，求以线段 、 、 为边构成的三角形的各角的度数分布为 ．【答案】 ， ，
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质， 可通过旋转将 旋转至 ，
则可得 是等边三角形，再根据旋转的性质得出线段 三边构成的三角形为 ，
进而求出各个角的大小即可．
解：将 逆时针旋转 ，得到 ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形．
∴
又∵
∴ ，
故以线段 三边构成的三角形为
∴
故答案为： ， ，
14．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习） 为等边三角形，D为平面内一点，连接 ，将
绕点D顺时针旋转 ，得到线段 ，连 ， ．当 ， ， 时，
．【答案】 或
【分析】本题考查了等边三角形的性质、旋转的性质、直角三角形的性质、勾股定理，分两种情况：
当 在 的左侧时；当 在 的右侧时；分别计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运
用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
解：如图，当 在 的左侧时，
由题意可得： ，
由旋转的性质可得： ， ，
∴ 为等边三角形，
延长 交 于 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由勾股定理可得： ，
∴ ，
∵ 为等边三角形， ，
∴ ，
∴ ；如图：当 在 的右侧时，
由旋转的性质可得： ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
此时 ，
∴ ；
综上所述， 或 ，
故答案为： 或 ．
15．（2025·天津·模拟预测）如图，点 是正方形 的对角线 上一动点，连接 ，将
绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，若正方形 的边长为4，取 的中点 ，连
接 ，求 的最小值 ．
【答案】2
【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，图形与坐标，解题关
键是建立平面直角坐标系．
以 为坐标原点， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴，建立直角坐标系，可得出
， ， ，先求出直线 的解析式，再设出 点的坐标为 ，然后证
明 ，从而可得出 点的坐标，再求出 点的坐标，然后利用两点间的距离求出用
表示出 ，再求出 最小值即可．解：以 为坐标原点， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴，建立直角坐标系，则
， ， ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，解得： ，
所以直线 的解析式为 ，
设 点的坐标为 ，其中 ，
∵将 绕点 顺时针旋转 得到 ，
∴ ，
过点 作 于点 ，过点 作 的延长于点 ，过点 作 ，
则四边形 是矩形， ， ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ， ，
因为四边形 是矩形，
所以 ， ，
因为四边形 是正方形， 是对角线，
所以 平分 ，
所以点 到 的距离等于它到 的距离为 ，
所以 到 轴的距离为 ，即点 的横坐标为 ，
所以 ，所以 到 的距离为 ，即点 的纵坐标
为 ，
所以点 的坐标为 ，
因为点 是 的中点，所以点 的横坐标为 ，
所以 ，当 时， 有最小值2，
故答案为：2．
16．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，点 是正方形 内的一点，连接 ， ， ，将
绕点 顺时针旋转 到 的位置．若 ， ， ，则
°．
【答案】135
【分析】本题考查旋转的基本性质和全等三角形基本性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握基本性
质是解题关键；
连接 ，先通过旋转性质 是等腰直角三角形．再通过勾股定理得到 ，进而通过勾股定
理逆定理得到 是直角三角形，进而可求出 ．
解：连接 ．
∵ 绕点 顺时针旋转 到 ，
，
是直角三角形．
∵由旋转性质可知， 与 全等，
， ．
．
∵ ， ， ，
，是直角三角形，
，
．
故答案为：135 ．
三、解答题
17．（24-25八年级下·山东东营·期中）如图，点 是正方形 内一点，连接 ，将线段 绕
点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，延长 交直线 于点 ．
（1）如图1，试猜想线段 和 有怎样的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若 是等边三角形，判断 的形状，并说明理由．
【答案】（1） ，理由见分析；（2） 为等腰直角三角形，理由见分析
【分析】（1）设 与 交于点 ，根据正方形性质得出 ，根据旋转的性
质得出 ， ，从而 ，从而利用“ ”证明 ，
根据全等得出 ，根据对顶角得出 ，从而说明 ；
（2）根据等边三角形的性质得出 ，则 ，再求出
，然后根据 得出 ，从而得出答案．
解：（1）
证明：如图，设 与 交于点 ，四边形 是正方形，
，
由旋转的性质得出 ， ，
，
，
在 和 中，
，
又 ，
，
；
（2）解： 为等腰直角三角形．
理由如下： 为等边三角形，
，
，
，
又 ，
，
∵ ，
，
为等腰直角三角形．
【点拨】本题考查旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性
质，三角形内角和定理的应用以及等腰直角三角形的判定，综合性强，较难．利用数形结合的思想
是解题关键．
18．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）（1）如图①， 是等边 内一点， ，
， ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连结线段 ， ，试判断
的形状．
（2）点 是以 为斜边的等腰直角三角形 内一点，将 绕点 顺时针旋转 得到，如图②，且 ， ， ．
①求 的度数；
②求 的面积．
【答案】（1）直角三角形；（2）①135度；②
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹
角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判
定与性质．
（1）利用旋转的性质得 ， ，则 为等边三角形，所以 ，由
已知可得 ， ，接着利用旋转的定义可把 绕点 逆时针旋转 得到
，于是得到 ，然后根据勾股定理的逆定理可判断 为直角三角形，
；
（2）①将 绕点 顺时针旋转 得到 ，如图②，根据旋转的性质得 ，
， ， ，则可判断 为等腰直角三角形，所以
， ，然后根据勾股定理的逆定理可判断 为直角三角形，
；则 ，所以 ；
②利用 为等腰直角三角形得到 ，再判断点 、 、 共线得到 为直角
三角形，然后利用 的面积 进行计算．
解：（1） 线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
， ，
为等边三角形，
，
为等边三角形，， ，
绕点 逆时针旋转 得到 ，
，
在 中， ， ， ，
而 ，
，
为直角三角形， ；
（2）①连接 ，
∵将 绕点 顺时针旋转 得到 ，如图②，
， ， ， ，
为等腰直角三角形，
， ，
在 中， ， ， ，
而 ，
，
为直角三角形， ；
，
；
② 为等腰直角三角形，
，
而 ；
，
点 、 、 共线，
为直角三角形，的面积
．
19．（24-25八年级下·山西大同·期中）综合与探究
如图1， 和 都是等边三角形，连接 ， ．
（1）求证： ．
（2）如图2，将绕点 顺时针旋转至 ， ， 三点共线， 为 的中点，连接 ， ．
① 的度数为________．
②试探究线段 与 的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见详解；（2）① ② ，理由见详解
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到 ， ， ，求得
．根据全等三角形的判定定理得到结论；
（2）①由（1）知， ，得到 ，求得 ，
②如图，延长 至点G，使得 ．由F为 的中点，得到 ，根据全等三角形的
性质得到 ， ，根据等边三角形的性质得到 ，
．根据全等三角形的性质得到 ， ，求得 ．根据全
等三角形的性质即可得到结论．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的性质，熟练
掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
解：（1）证明：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
在 和 中，∴ ；
（2）解：①与（1）同理得， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
② ，
理由：如图，延长 至点G，使得 ．
∵F为 的中点，
∴ ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
由（1），得 ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
20．（24-25八年级下·山东威海·期中）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分
散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．
【探究发现】如图①，在等边三角形 内部有一点 ， ， ， ，求 的
度数，爱动脑筋的小明发现：将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 、 ，则
，然后利用 和 形状的特殊性求出 的度数，就可以解决这道问
题．
下面是小明的部分解答过程：
解：将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 、 ，
， ， 是等边三角形，
， ．
是等边三角形， ， ，
，即 ．
（1）请你补全余下的解答过程．
【类比迁移】
（2）如图②，在正方形 内有一点 ，且 ， ， ，求 的度数．【答案】（1）见分析，（2）
【分析】（1）将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 、 ，可证 是等边
三角形，得到 ， ，证明 可得 ，
，运用勾股定理逆定理得到 ，则 ，由
，即可求解；
（2）将 绕点 顺时针旋转 至 ，连接 ， ，可证 是等腰直角三角形，得到
， ，再证 ，得到 ，运用勾股
定理逆定理可得 是直角三角形，由 ，即可求解．
解：（1）在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
；
（2）如图1，将 绕点 顺时针旋转 至 ，连接 ， ，
， ，
， ，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
．
【点拨】本题主要考查等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理及其逆定理，正方形的性
质，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
