专题23.2 中心对称
（知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题）
知识梳理 技巧点拨......................................................................2
知识点梳理01：中心对称.............................................................2
知识点梳理02：中心对称图形.........................................................3
知识点梳理03：关于原点对称的点的坐标...............................................3
优选题型 考点讲练......................................................................4
23.2.1中心对称.........................................................................4
考点1：成中心对称..................................................................4
考点2：画已知图形关于某点对称的图形................................................6
考点3：画两个图形的对称中心........................................................8
考点4：根据中心对称的性质求面积、长度、角度.......................................12
23.2.2 中心对称图形...................................................................14
考点5：判断中心对称图形的对称中心.................................................14
考点6：判断中心对称图形的对称中心.................................................16
考点7：在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形.....................................19
考点8：中心对称图形规律问题.......................................................21
23.2.3关于原点对称的点的坐标..........................................................23
考点9：求关于原点对称的点的坐标...................................................23
考点10：已知两点关于原点对称求参数................................................26
考点11：判断两个点是否关于原点对称................................................27
考点12：说出一个图形到另一个图形的运动过程........................................28
考点13：按图形的变换要求画出另一个图形............................................29
中考真题 实战演练.....................................................................32
难度分层 拔尖冲刺.....................................................................36
基础夯实..........................................................................36
培优拔高..........................................................................44知识点梳理01：中心对称
1.中心对称的概念
把一个图形绕着某一个点旋转180°后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这个点对称也
叫做这两个图形中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
方法归纳：
１、中心对称是旋转角为180°的旋转对称；
２、寻找对称中心，只需分别联结两对对应点，所得两条直线的交点就是对称中心；
３、对称点所连线段经过对称中心，而且被对称中心平分．
A
C′
B
O B′
C
A′
2.中心对称与轴对称的区别
中心对称 轴对称
对称中心只有一个点 对称轴至少有一条直线
图形绕对称中心旋转180° 图形沿对称轴折叠
旋转180°后和另一个图形重合 折叠后与另一个图形重合
2.中心对称的性质
1.中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被称中心所平分;
2.中心对称的两个图形是全等图形
方法归纳：
(1)中心对称是一种特殊的旋转,因此,它具有旋转的一切特征
(2)中心对称的特征(性质)是画已知图形关于某点对称的图形的主要依据
(3)常常可以利用中心对称的性质来证明有关的线段相等、平行及三角形全等
3.确定对称中心的方法
方法1:连接任意一对对称点，取这条线段的中点,则该点为对称中心
方法2:连接任意两对对称点,这两条线段的交点即是对称中心
4.画已知图形关于某一点对称的图形
(1)连接:分别将原图形上的所有关键点与对称中心连接并延长;(2)截取:等长截取,在延长线上截取长度等于关键点与对称中心所连线段的长度,截取的交点就是该关
键点的对称点:
(3)顺次连接:将对称点参照原图形顺次连接起来,即可得出关于对称中心对称的图形
知识点梳理02：中心对称图形
1.中心对称图形
把一个图形绕着某一个点旋转 180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫
做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.2.中心对称图形的判定
中心对称图形必须同时满足下列三个条件:
(1)围绕某点旋转;(2)旋转180°;(3)与自身完全重合
2.中心对称图形的性质
(1)中心对称图形上的对称点的连线都经过对称中心,且被对称中心平分,即过对称中心的直线与
中心对称图形的两个对应交点是对称点
(2)过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分是全等图形(即面积和周长都分别相等)
3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：
中心对称 中心对称图形
①指一个图形本身成中心对
①指两个全等图形之间的相
称．
区
互位置关系．
别
②对称中心是图形自身或内部
②对称中心不定．
的点．
如果将中心对称的两个图形
如果把中心对称图形对称的部
联 看 成 一 个 整 体 （ 一 个 图
分看成是两个图形，那么它们
系 形），那么这个图形就是中
又是关于中心对称．
心对称图形．
知识点梳理03：关于原点对称的点的坐标
1.两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P(-x，-y)
2.关于原点对称的点的坐标特征
如果两个点关于原点对称，那么它们的横坐标纵坐标分别互为相反数：反过来，如果两个点的横坐
标、纵坐标分别互为相反数，那么这两个点关于原点对称23.2.1中心对称
考点1：成中心对称
【典例精讲】（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点坐标分
别为A(2,3)，B(3,1)，O(0,0)．
(1)将△ABO关于y轴对称，画出对称后的△A B O；
1 1
(2)以点O为对称中心，画出与△ABO成中心对称的△A B O，此时四边形ABA B 的形状是 ；
2 2 2 2
(3)在平面上是否存在点D，使得以A，B，O，D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出
符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)图见解析，平行四边形
(3)点D的坐标为(−1,2)或(1,−2)或(5,4)．
【思路引导】此题主要考查了轴对称变换、旋转变换，平行四边形的性质，正确得出对应点位置是解题关
键．
（1）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用旋转的性质结合平行四边形的判定方法得出答案；
（3）直接利用平行四边形的判定方法得出符合题意的答案．
【规范解答】（1）解：如图，△A B O即为所作．
1 1；
（2）解：如图，△A B O即为所作，四边形ABA B 是平行四边形，
2 2 2 2
故答案为：平行四边形；
（3）解：如图，四边形ABOD 、ABD O、AOBD 都是所作平行四边形，
1 2 3
其点D的坐标为(−1,2)或(1,−2)或(5,4)．
【变式训练】（21-22七年级下·河南南阳·期末）如图，已知等边△ABC和等边△BDE，其中A、B、
D三个点在同一条直线上，且AB<BD，连接AE,CD．则下列关于图形变换的说法正确的是（ ）
A．△BCD可看作是由△ABE绕点B顺时针方向旋转60°所得
B．△ABC和△BDE关于过点B且垂直于AB的直线成轴对称
C．△BDE可看作是△ABC沿AB方向平移所得
D．△ABC和△BDE关于点B成中心对称
【答案】A【思路引导】本题考查旋转的性质，轴对称的性质，平移的性质，中心对称的性质，根据通过平移，旋转，
翻折得到的图形一定是全等图形，进行判断即可．
【规范解答】解：∵等边△ABC和等边△BDE，其中A、B、D三个点在同一条直线上，
∴AB=AC,BE=BD,∠ABC=∠EBD=60°，
∴∠ABE=∠CBD，
∴△ABE≌△CBD，
∴△BCD可看作是由△ABE绕点B顺时针方向旋转60°所得；故A选项正确；
∵AB<BD，
∴△ABC，△BDE形状和大小不一样，故B，C，D选项的说法均错误；
故选:A．
考点2：画已知图形关于某点对称的图形
【典例精讲】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4)，
B(1,1)，C(4,3)．
(1)请画出△ABC关于原点对称的△A B C ，并写出A 的坐标；
1 1 1 1
(2)请画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A B C ，并写出A 的坐标．
2 2 2 2
【答案】(1)作图见解析，A (−2,−4)
1
(2)作图见解析，A (4,−2)
2
【思路引导】本题考查作图—旋转变换，中心对称，
（1）先根据中心对称的性质确定A 、B 、C ，然后顺次连接即可完成作图，再写出点A 的坐标；
1 1 1 1
（2）先确定三角形的各顶点都绕点O顺时针旋转90°后得到对应点A 、B 、C ，然后顺次连接即可完成
2 2 2
作图，再写出点A 的坐标；
2掌握旋转及中心对称的性质是解题的关键．
【规范解答】（1）解：如图，△A B C 即为所作，
1 1 1
由图可知：点A (−2,−4)；
1
（2）如图，△A B C 即为所作，
2 2 2
由图可知：点A (4,−2)．
2
【变式训练】（24-25九年级上·广东汕尾·阶段练习）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的
方格中，点A、B、C 都是格点．(1)请画出与△ABC关于点O中心对称的△A B C ；
1 1 1
(2)依次连结BC 、B C， 猜想四边形BC B C是什么特殊四边形？并说明理由．
1 1 1 1
【答案】(1)见解析
(2)四边形BC B C是平行四边形，理由见解析
1 1
【思路引导】本题主要考查了利用旋转变换作图、平行四边形的判定定理等知识点，熟练掌握网格结构、
准确找出对应点的位置是解题的关键．
（1）将点A、B、C分别绕点O按逆时针方向旋转180°得出对应点A 、B 、C ，然后顺次连接即可得出
1 1 1
△A B C ；
1 1 1
（2）如图：BC 、B C，，由（1）可得点B与B ，点C与C 分别关于点O成中心对称可得
1 1 1 1
OB=OB ，OC=OC ，证明四边形BC B C是平行四边形．
1 1 1 1
【规范解答】（1）解：如图：△A B C 为所求作的三角形．
1 1 1
（2）解：四边形BC B C是平行四边形，理由如下：
1 1
∵点B与B ，点C与C 分别关于点O成中心对称，
1 1
∴OB=OB ，OC=OC ，
1 1
∴四边形BC B C是平行四边形．
1 1
考点3：画两个图形的对称中心
【典例精讲】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．
(1)以原点O为对称中心，在图中画出△ABC关于原点O对称的△A B C ；
1 1 1
(2)请画出△ABC 绕C点顺时针旋转90°的△A B C；
2 2
(3)△A B C可以通过旋转得到△A B C ，直接写出旋转中心的坐标．
2 2 1 1 1
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)画图见解析
【思路引导】本题考查的是画旋转图形，中心对称图形，确定旋转中心，熟练的作图是解本题的关键．
（1）分别确定A,B,C关于原点O对称的点A ,B ,C ，再顺次连接即可；
1 1 1
（2）分别确定A,B,C绕C点顺时针旋转90°的对称点A ,B ,C，再顺次连接即可；
2 2
（3）确定CC ，A A 的垂直平分线的交点Q即为旋转中心，从而可得答案．
1 1 2
【规范解答】（1）解：如图，△A B C 即为所求．
1 1 1
；
（2）解：如图，△A B C即为所求；
2 2（3）解：如图，点Q即为旋转中心，
∴Q(2,2)．
【变式训练】（23-24九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格
中，建立如图所示的平面直角坐标系△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上）；
(1)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A B C ，并写出△A B C 三个顶点坐标A （_____），B
1 1 1 1 1 1 1 1
（_____），C （_____）；
1
(2)把△A B C 向上平移4个单位长度得到△A B C ，画出△A B C ．
1 1 1 2 2 2 2 2 2
(3)△A B C 与△ABC成中心对称，请直接写出对称中心的坐标（_____）．
2 2 2【答案】(1)(3,0)，(5,−3)，(1,−1)
(2)见解析
(3)(0,2)
【思路引导】此题考查中心对称图形的画法，平移图形的画法，中心对称的性质及平移的性质，对称中心
的确定方法，正确掌握中心对称的性质及平移的性质是解题的关键.
（1）根据中心对称的性质作出点A、B、C的对应点A ，B ，C ，然后顺次连接即可；
1 1 1
（2）根据平移特点先作出点A ，B ，C 平移后的对应点A ，B ，C ，然后顺次连接即可；
1 1 1 2 2 2
（3）连接两组对称点的交点即为对称中心，然后根据中点坐标公式求出此点的坐标即可．
【规范解答】（1）解：如图，△A B C 为所求作的三角形；
1 1 1
根据图可知，A (3,0)，B (5,−3)，C (1,−1)．
1 1 1
（2）解：如图，△A B C 为所求作的三角形；
2 2 2
（3）解：连接BB 、CC ，则BB 、CC 的交点即为对称中心，
2 2 2 2
∵B(−5,3)，B (5,1)，
2
(−5+5 3+1)
∴对称中心的坐标为 , ，
2 2
即对称中心的坐标为(0,2)．
故答案为：(0,2)．考点4：根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【典例精讲】．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
AB=6，AC=4，∠CAB=90°，则AE的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【思路引导】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，根据中心对称的性质，得出
△ACB≌△DCE，求出AC=CD=4，∠A=∠D=90°，AB=DE=6，求出AD=8，根据勾股定理
得出答案即可．
【规范解答】解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴△ACB≌△DCE，
∴AC=CD=4，∠A=∠D=90°，AB=DE=6，
∴AD=4+4=8，
∴AE=❑√DE2+AD2=❑√62+82=10，
故选：D．
【变式训练】（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格
点上．(1)以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△A B C ，画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
(2)作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A B C ；
2 2 2
(3)线段BC与B C 的位置关系是_______．
2 2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)BC∥B C
2 2
【思路引导】本题考查了旋转作图，中心对称作图，直线位置关系的判断．掌握旋转和中心对称的作法及
垂直的判定方法是解题的关键．
（1）根据旋转的方向及角度作图，即可求解；
（2）根据中心对称图形的作法作图，即可求解；
（3）连接OB，OB ，OC，OC ，根据中心对称的性质得到OB=OB ，OC=OC ，BC=B C ，从而
2 2 2 2 2 2
△OBC≌△△OB C (SSS)，得到∠OB C =∠OBC，即可判断BC∥B C ．
2 2 2 2 2 2
【规范解答】（1）解：如图，△AB C 即为所求图形．
1 1
（2）解：如图，△A B C 即为所求图形．
2 2 2（3）解：连接OB，OB ，OC，OC ，
2 2
∵△A B C 与△ABC关于坐标原点O成中心对称，
2 2 2
∴OB=OB ，OC=OC ，BC=B C ，
2 2 2 2
∴△OBC≌△△OB C (SSS)，
2 2
∴∠OB C =∠OBC，
2 2
∴BC∥B C ．
2 2
故答案为：BC∥B C
2 2
23.2.2 中心对称图形
考点5：判断中心对称图形的对称中心
【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中
国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年
有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【思路引导】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁
的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可．
【规范解答】解：A．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意．
故选D．
【变式训练】（24-25九年级上·河北邯郸·期末）探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等
的两部分．
我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形， 的直线将它分成面
积相等的两部分．
应用1 ：如图2，若矩形ABCD 是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为
了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井 P 相邻． 请你帮老林家设计一下，画出图形，并说明理
由．
应用2 ：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线 EF 将图3的阴影部分分成面积相
等的两部分． （不写作图过程，保留作图痕迹）
【答案】探究：经过对称中心；应用1：见详解；应用2：见详解
【思路引导】本题考查作图中心对称设计图案，中心对称图形的性质，正方形和矩形的性质等知识，解题
的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
探究：根据中心对称图形的性质解答即可；
应用1：连接AC,BD，交于点O，作直线PO即可；
应用2：连接AC,BD，交于点J，作直线JO分别交AB,CD于点E,F即可；
【规范解答】解：探究：根据图1可总结规律：一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相
等的两部分．
故答案为：经过对称中心；
应用1：如图：理由：矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点O，过O、P的直线满足把矩形面积等分，且都
与水井P相邻；
应用2：
理由：正方形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点J，过O、J的直线EF满足把正方形面积和
圆面积等分，直线 EF 将图3的阴影部分分成面积相等的两部分．
考点6：判断中心对称图形的对称中心
【典例精讲】
（24-25九年级上·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为
A(−2,3),B(−3,2),C(−1,1)．
(1)作出△ABC绕点A顺时针旋转90°后的图形△AB C ；
1 1
(2)若△A′B′C′与△ABC是中心对称图形，则对称中心的坐标为___________．
【答案】(1)见解析
(2)(1,0)
【思路引导】本题考查的是画旋转图形，中心对称的性质，坐标与图形，熟练的画图是解本题的关键；（1）分别确定A,B,C绕点A顺时针旋转90°后的对应点A,B ,C ，再顺次连接即可；
1 1
（2）由C(−1,1)，C′(3,−1)，结合△A′B′C′与△ABC是中心对称图形，可得对称中心的坐标．
【规范解答】（1）解：如图，△AB C 即为所求；
1 1
（2）解：∵△A′B′C′与△ABC是中心对称图形，C(−1,1)，C′(3,−1)，
(−1+3 1−1)
∴对称中心的坐标为 , ，即(1,0)．
2 2
【变式训练】（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，图①中过圆心的一条直线将圆分成Ⅰ，Ⅱ两
部分，图②中过平行四边形的中心（对角线交点）任作两条直线形成阴影部分Ⅰ，Ⅱ．
(1)图①②中的Ⅰ，Ⅱ两部分的面积均相等吗？
(2)工人师傅需把图③所示的一块木板分成面积相等的两部分，你认为应该怎样分？请画出示意图，并作
简要说明．
【答案】(1)相等，见解析
(2)见解析【思路引导】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、中心对称图形的性质：经过对称中心的直线将
中心对称图形分成面积相等的两部分．
（1）圆是中心对称图形，根据圆的性质，过圆心的直线可将圆分成面积相等的两部分，平行四边形为中
心对称图形，过对称中心的直线可将平行四边形分成面积相等的两部分，据此就能得出结论；
（2）根据（1）中的结论可知，过中心对称图形的对称中心的直线可将此图形分成面积相等的两部分，
将原图形进行分割或补全，将其变成两个中心对称图形．本题中可将木板分成左右两个矩形，连接两个矩
形的对称中心即可，注意答案不唯一．
【规范解答】（1）解：图①②中的Ⅰ、Ⅱ两部分的面积相等．
理由：∵圆是轴对称图形，
∴过圆心的直线把圆分成面积相等的两部分，
∴图①中的Ⅰ、Ⅱ两部分的面积相等．
图②：
∵过平行四边形中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，
∴Ⅰ+B=A+Ⅱ，Ⅰ+A=B+Ⅱ，
两式相加即可得到面积Ⅰ与面积Ⅱ相等．
（2）解：
答案不唯一，如图③，将木板分成左右两个矩形，过两个矩形的对称中心的直线，把此图形分成面积相等
的两部分．
理由：过矩形对称中心的直线可将矩形分成面积相等的两部分．考点7：在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形
【典例精讲】（24-25九年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐
标为(2,2)，请解答下列问题：
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A B C ，并写出A 的坐标；
1 1 1 1
(2)画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A BC ，并写出A 的坐标；
2 2 2
(3)画出△A BC 绕点O旋转180°后得到的△A B C ，并写出A 的坐标．
2 2 3 3 3 3
【答案】(1)图见解析，A (−2,2)
1
(2)图见解析，A (4,0)
2
(3)图见解析，A (−4,0)
3
【思路引导】本题考查作图−轴对称变换、旋转变换，熟练掌握轴对称、旋转和中心对称的性质是解答本
题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图，可得出答案．
（2）根据旋转的性质作图，可得出答案．
（3）根据中心对称的性质作图，可得出答案．
【规范解答】（1）解：如图所示，△A B C 即为所求，A (−2,2)．
1 1 1 1（2）解：如图所示，△A BC 即为所求，A (4,0)．
2 2 2
（3）解：如图所示，△A B C 即为所求，A (−4,0)．
3 3 3 3
【变式训练】（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段
AB的端点分别在格点上，O为格点．
(1)将线段AB向右平移3个单位，再向上平移2个单位，请在网格内画出平移后的线段A B ．
1 1
(2)以点O为中心，在网格画出线段AB的中心对称线段A B ，并直接写出∠OB A 的度数．
2 2 2 2
【答案】(1)见解析
(2)见解析，∠OB A =45°
2 2
【思路引导】本题考查了平移作图和中心对称作图、勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握平移的性质和中心对称的性质是解题的关键；
（1）根据平移的性质画出点A、B平移后的对应点A ,B ，再连接即可；
1 1
（2）根据中心对称的性质即可完成作图，根据勾股定理及其逆定理即可判断△OA B 是等腰直角三角形，
2 2
进而可得∠OB A =45°．
2 2
【规范解答】（1）解：线段A B 如图所示：
1 1
（2）解：线段A B 如图所示；
2 2
∵OA 2=12+42=17,A B 2=12+42=17,OB 2=32+52=34，
2 2 2 2
∴OA 2+A B 2=OB 2,OA =A B ，
2 2 2 2 2 2 2
∴△OA B 是等腰直角三角形，
2 2
∴∠OB A =45°．
2 2
考点8：中心对称图形规律问题
【典例精讲】（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，一段抛物线y=−x(x−1)(0≤x≤1)记为m ，它
1
与x轴的交点为O，A ，顶点为P ；将m 绕点A 旋转180°得m ，交x轴于点A ，顶点为P ；将m 绕点
1 1 1 1 2 2 2 2
A 旋转180°得m ，交x轴于点A ，顶点为P ，…，如此进行下去，直至得到m ．当n为偶数时，抛物线
2 3 3 3 n
m 的表达式为 ．
n【答案】y=(x−n+1)(x−n)(n−1≤x≤n)
【思路引导】本题主要考查二次函数的图象及其性质，中心对称的性质，先求出抛物线m 与x轴的交点的
1
坐标及两交点的距离，再根据轴对称和中心对称找顶点坐标的规律，得到抛物线m 与x轴的交点的坐标及
n
开口方向，即可得到答案；
【规范解答】解：当y=0时，−x(x−1)=0，
解得：x =0，x =1，
1 2
∴抛物线m 与x轴的交点的坐标为(0,0)和(1,0)，且开口方向向下，且抛物线m 与x轴两交点的距离为：
1 1
x −x =1；
2 1
∵将m 绕点A 旋转180°得m ，将m 绕点A 旋转180°得m ，
1 1 2 2 2 3
∴抛物线m 与x轴的交点的坐标为(1,0)和(2,0)，且开口方向向上；
2
∴抛物线m 与x轴的交点的坐标为(2,0)和(3,0)，且开口方向向下；
3
同理：当n为偶数时，抛物线m 与x轴的交点的坐标为(n−1,0)和(n,0)，且开口方向向上；
n
∴抛物线m 的表达式为：y=(x−n+1)(x−n)
n
故答案为：y=(x−n+1)(x−n)(n−1≤x≤n)．
【变式训练】（23-24九年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别
为(2,0)，(0,2)，(−2,0)．一个电动玩具从原点O出发，第一次跳跃到点P ，使得点P 与点O关于点A成中
1 1
心对称；第二次跳跃到点P ，使得点P 与点P 关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P ，使得点P 与点
2 2 1 3 3
P 关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P ，使得点P 与点P 关于点A成中心对称；…．电动玩具照此
2 4 4 3
规律跳下去，则点P 的坐标是（ ）.
2023A．(−4,0) B．(4,0) C．(4,4) D．(0,−4)
【答案】B
【思路引导】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律．根据题意，先求出前几次跳跃后P 、P 、P 、
1 2 3
P 、P 、P 、P 的坐标，可得出规律，继而可求点P 的坐标．
4 5 6 7 2023
【规范解答】解：由题意得：点P (4,0)、P (−4,4)、P (0,−4)、P (4,4)、P (−4,0)、P (0,0)、
1 2 3 4 5 6
P (4,0)，
7
∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环，
∵2023÷6=337...1，
∴点P 的坐标是(4,0)．
2023
故选：B．
23.2.3关于原点对称的点的坐标
考点9：求关于原点对称的点的坐标
【典例精讲】（24-25 九年级上·贵州遵义·期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是
A(−1, 2)，B(−3, −1)，C(−2, −2)．
(1)将△ABC绕点C顺时针旋转90°得△A B C，画出△A B C；
1 1 1 1
(2)画出△ABC关于原点对称的△A B C ；
2 2 2
(3)求以C、A 、C 、A为顶点的四边形面积．
2 2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)12
【思路引导】本题主要考查了旋转作图、关于原点对称作图、平行四边形的面积等知识点，正确画出图形
是解题的关键．（1）先根据旋转的性质确定A、B的对应点A 、B ，然后顺次连接即可解答；
1 1
（2）先根据关于原点对称的性质确定A、B、C的对应点A 、B 、C ，然后顺次连接即可解答；
2 2 2
（3）如图：连接AC ,C A 得到平行四边形AC A C ，，然后运用平行四边形的面积公式求解即可．
2 2 2 2
【规范解答】（1）解：如图：△A B C即为所求；
1 1
（2）解：如图：△A B C 即为所求；
2 2 2
（3）解：如图：连接AC ,C A 得到平行四边形AC A C ，
2 2 2 2
所以C、A 、C 、A为顶点的四边形面积为3×4=12．
2 2
【变式训练】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个
顶点分别为A(−3,4),B(−5,1),C(−1,2)．(1)把△ABC向右平移6个单位长度后得到△A B C ，画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
(2)画出△ABC关于原点对称的△A B C ；
2 2 2
(3)△A B C 与△A B C 是否成中心对称，若是，请直接写出对称中心的坐标，若不是，请说明理由．
1 1 1 2 2 2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)△A B C 与△A B C 是中心对称，对称中心的坐标为(3,0)
1 1 1 2 2 2
【思路引导】本题主要考查中心对称和平移：
（1）根据平移的规律得到点A,B,C的对应点A ,B ,C ，再依次连接即可；
1 1 1
（2）根据关于原点对称的特得到点A ,B ,C ，再依次连接即可；
2 2 2
（3）利用中心对称图形的定义即可判断，再连接B B ，C C ，交点即为△A B C 与△A B C 的对
1 2 1 2 1 1 1 2 2 2
称中心．
【规范解答】（1）解：如图所示，△A B C 为所求：
1 1 1
（2）解：如图所示，△A B C 为所求：
2 2 2（3）解：△A B C 与△A B C 是中心对称，对称中心的坐标为(3,0)．
1 1 1 2 2 2
考点10：已知两点关于原点对称求参数
【典例精讲】（24-25九年级上·陕西延安·期末）已知点P(6x,y2+25)与Q(x2+9,−10 y)关于原点对
称，求x+ y的值．
【答案】2
【思路引导】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，解一元二次方程，代数式的值，根据关于原点对
称的点横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数可得6x+x2+9=0，y2+25−10 y=0，解方程可得x、y的
值，再代入代数式计算即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
【规范解答】解：∵点P(6x,y2+25)与Q(x2+9,−10 y)关于原点对称，
∴6x+x2+9=0，y2+25−10 y=0，
∴(x+3) 2=0，(y−5) 2=0，
解得x=−3，y=5，
∴x+ y=−3+5=2．【变式训练】（24-25九年级上·青海海西·期中）平面直角坐标系第二象限内的点P(x2−5x+1,3)与另
一点Q(4x−1,y)关于原点对称，试求x−y的值．
【答案】4
【思路引导】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，解一元二次方程，平面直角坐标系内点的符号特征．
掌握关于原点对称的点的横、纵坐标都是原数的相反数是解题关键．根据关于原点对称的点的坐标特征可
得出x2−5x+1=−(4x−1)；3=−y，再结合点P在第二象限，即可求出x和y的值，最后相减即可．
【规范解答】解：∵点P(x2−5x+1,3)与点Q(4x−1,y)关于原点对称，
∴x2−5x+1=−(4x−1)；3=−y，
解得：x =0，x =1；y=−3．
1 2
∵点P在第二象限，
∴x <0，即x2−5x+1<0，
P
∴x=1，
∴x−y=1−(−3)=4．
考点11：判断两个点是否关于原点对称
【典例精讲】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，AB∥CD∥x轴，且AB=CD=3，点A的坐
标为(−1,1)，点C的坐标为(1,−1)．
(1)写出点B，D的坐标；
(2)你发现点A，B，C，D的坐标之间有何特征？
【答案】(1)B(2,1),D(−2,−1)
(2)见解析
【思路引导】本题主要考查平行于x轴的直线的特点，熟练掌握平行于x轴的直线的特点是解题的关键．
（1）根据平行于x轴的直线的特点以及AB=CD=3得出B、D坐标；（2）对比A，B，C，D的坐标即可发现之间的关系．
【规范解答】（1）解：∵ AB∥CD∥x轴，A(−1,1)，C(−1,1)，
∴点B，D的纵坐标分别是1，−1．
∵AB=CD=3，
∴B(2,1),D(−2,−1)．
（2）解：∵ A(−1,1)，C(−1,1)的横、纵坐标互为相反数，
∴A、C关于原点对称．
同理，B、D关于原点对称．
√ 2
【变式训练】（21-22九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数：y=−❑ x3− ，则下列关于此函数
x
的图象与性质描述正确的是（ ）
A．图象与x轴有两个交点，与y轴有一个交点
B．图象关于原点中心对称
C．图象不经过第一象限
D．x＞0时，y随x的增大而减小
【答案】C
【思路引导】根据函数的自变量取值范围及函数取值范围依次进行判断即可得出结果．
【规范解答】解：A、因为x≠0，所以与y轴无交点，故A不符合题意；
B、y≤0，不可能关于原点中心对称，故B不符合题意；
C、由y≤0，可知图象不经过第一、二象限，故C符合题意；
D、当0＜x≤1时，函数无意义；原说法错误，故D不符合题意．
故选：C．
【考点剖析】本题考查了函数式的意义，中心对称的定义，坐标系与函数图象等，理解题意，根据函数解
析式确定函数自变量与函数值对应点的坐标的位置关系是解题关键．
考点12：说出一个图形到另一个图形的运动过程
【典例精讲】（2024八年级下·全国·专题练习）以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为
“基本图形”，分别经历如下变换能得到图（2）的有 （只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给
分）．
①只要向右平移1个单位；
②先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；
③先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位；④绕着OB的中点旋转180°即可．
【答案】②③④
【思路引导】本题考查了几何变换的类型，根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的定义结合图形解答即
可．
【规范解答】解：由图可知，图（1）先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位，
或先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位，
或绕着OB的中点旋转180°即可得到图（2）．
故答案为：②③④．
【变式训练】不同的“基本图形”的旋转可能具有相同的旋转效果．如图，点O是六个正三角形的公共顶
点，这个图案可以看作是哪个“基本图形”以点O为旋转中心经过怎样旋转组合得到的？
【答案】答案不唯一，可以是一个正三角形绕O顺时针旋转60°，5次后即可得到．
【思路引导】根据旋转的性质以及正六边形的性质可得出旋转方法．
【规范解答】答案不唯一，可以是一个正三角形绕O顺时针旋转60°，5次后即可得到．
【考点剖析】此题主要考查了旋转的性质以及利用旋转设计图案，根据已知图形利用旋转性质得出是解题
关键．
考点13：按图形的变换要求画出另一个图形
【典例精讲】（22-23九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐
标分别为A(0,3)，B(3,4)，C(2,2)．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）(1)作出△ABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到的△A B C ；
1 1 1
(2)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A B C ．
2 2 2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【思路引导】本题考查中心对称和性质作图，抓住中心对称和旋转的性质是关键．
（1）分别找到点A、B、C关于原点对称的点A 、B 、C ，连接三个点即可；
1 1 1
（2）分别作线段OA、OB、OC绕原点顺时针旋转90°得到三个短点A 、B 、C ，连接三个点即可．
2 2 2
【规范解答】（1）解：分别找到点A、B、C关于原点对称的点A 、B 、C ，连接三个点即可；
1 1 1
如图所示，△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）分别作线段OA、OB、OC绕原点顺时针旋转90°得到三个短点A 、B 、C ，连接三个点所得
2 2 2
△A B C 即为所求．
2 2 2【变式训练】（23-24九年级上·湖北荆州·期中）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A B C ，作出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
(2)△ABC的中心对称图形为△A B C ，其中点C 的坐标为(1,−1)，作出△A B C ．
2 2 2 2 2 2 2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【思路引导】题考查作图−旋转变换，中心对称等知识；
（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A ，B ，C 即可；
1 1 1
（2）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A ，B ，C 即可．
2 2 2
【规范解答】（1）如图，△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）如图，△A B C 即为所求．
2 2 21．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将△ABC关于
y轴的对称图形绕原点O旋转180°，得到△A B C ，则点A的对应点A 的坐标是（ ）
1 1 1 1
A．(−1,−2) B．(1,2) C．(2,1) D．(−2,−1)
【答案】A
【思路引导】本题考查了平面直角坐标系中点的变换，熟练掌握点的对称与旋转是解决本题的关键．
先根据图中△ABC的位置求出点A的坐标，再根据关于y轴的对称可求解点A ，再根据绕原点O旋转
2
180°即可求解点A 的坐标．
1
【规范解答】解：在平面直角坐标系中，点A(−1,2)，
∴点A关于y轴对称的点A (1,2)，
2
将点A (1,2)绕原点O旋转180°，
2∴如图，点A (−1,−2)．
1
故选：A．
2．（2025·山东青岛·中考真题）围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴
对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路引导】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对
各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那
么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图
形叫做轴对称图形．
【规范解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意；
故选：D．
3．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一点，△≝¿和
△ABC关于点O对称，连接AF, CD．(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)已知AC=4, BC=3，求四边形ACDF是菱形时AO的长．
【答案】(1)见解析
16
(2)
5
【思路引导】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活
运用所学知识解决问题．
（1）由中心对称的性质证明DF=AC，DF∥AC即可证明；
（2）利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出OC，利用勾股定理求AO即可．
【规范解答】（1）证明：∵△≝¿和△ABC关于点O对称，
∴△ABC≌△≝¿
∴∠BAC=∠EDF，DF=AC，
∴DF∥AC，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）解：连接CF，
∵△≝¿和△ABC关于点O对称，四边形ACDF是平行四边形；
∴F,O,C三点共线，
∵∠ACB=90°, AC=4, BC=3，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√42+32=5，
∵四边形ACDF是菱形，
∴CF⊥AD，
1 1
∵ AC⋅CB= AB⋅CO，
2 212
∴CO= ，
5
∴AO=❑√AC2−OC2=❑
√
42−
(12) 2
=
16
．
5 5
4．（2023·浙江温州·中考真题）如图，在2×4的方格纸ABCD中，每个小方格的边长为1．已知格点
P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．
(1)在图中画一个等腰三角形PEF，使底边长为❑√2，点E在BC上，点F在AD上，再画出该三角形绕矩形
ABCD的中心旋转180°后的图形．
(2)在图中画一个Rt△PQR，使∠P=45°，点Q在BC上，点R在AD上，再画出该三角形向右平移1个
单位后的图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【思路引导】（1）底边长为❑√2即底边为小方格的对角线，根据要求画出底边，再在其底边的垂直平分线
找到在格点上的顶点即可得到等腰△PEF，然后根据中心旋转性质作出绕矩形ABCD的中心旋转180°后
的图形．
（2）根据网格特点，按要求构造等腰直角三角形，然后按平移的规律作出平移后图形即可．
【规范解答】（1）（1）画法不唯一，如图1（ PF=❑√2，PE=EF=❑√5），或图2（PE=❑√2
PF=EF=❑√5）．
（2）画法不唯一，如图3或图4．【考点剖析】本题主要考查了格点作图，解题关键是掌握网格的特点，灵活画出相等的线段和互相垂直或
平行的线段．
5．（2025·江西·中考真题）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成
以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A′B′C′；
（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△A′B′C′．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【思路引导】（1）分别作出A，B，C三点关于O点对称的点A′，B′，C′，然后顺次连接即可得△A′B′C′；
（2）计算得出AB=2❑√5，AC=5，再根据旋转作图即可．
【规范解答】（1）如图1所示；
（2）根据勾股定理可计算出AB=2❑√5，AC=5，再作图，如图2所示．
【考点剖析】本题考查复杂-应用与设计，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决
问题．基础夯实
1．（24-25九年级上·吉林·期末）第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月26日在巴黎成功举办．以
下是部分运动项目的图标，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路引导】本题考查了中心对称图形的识别，熟知中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如
果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可．
【规范解答】解：C项中的图形能够找到一点，使图形绕着该点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图
形重合，所以是中心对称图形；
A、B、D选项中的图形都找不到一点，使图形绕着该点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合，
所以都不是中心对称图形，
故选：C．
2．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）下列英文字母中，既属于轴对称图形，也属于中心对称图形
的是（ ）
A．A B．C C．Z D．X
【答案】D
【思路引导】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对
折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋
转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可求解．
【规范解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D
3．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．正六边形 D．正五角星
【答案】C
【思路引导】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，对每个选项进行逐一判断．本题主要考查了轴对称
图形和中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形是沿对称轴折叠后两边能完全重合，中心对称图形是绕
某点旋转180°后与原图重合是解题的关键．
【规范解答】A. 等边三角形是轴对称图形（3条对称轴），但旋转180°后无法与原图重合，不是中心对
称图形．
B. 平行四边形是中心对称图形（绕对角线交点旋转180°重合），但非特殊平行四边形无对称轴，不是轴
对称图形．
C. 正六边形是轴对称图形（6条对称轴），且绕中心旋转180°后与原图重合，是中心对称图形．
D. 正五角星是轴对称图形（5条对称轴），但旋转180°后无法与原图重合，不是中心对称图形．
综上，选项C同时满足条件．
故选：C
4．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，已知点A的坐标为(−2❑√3,2)，点B的坐标为
(−1,−❑√3)，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O． 则点C的坐标 ．
【答案】(2❑√3,−2)
【思路引导】本题考查了菱形的性质，求关于原点对称的点的坐标，掌握菱形的性质是解题的关键．由菱
形的性质可知点A和点C关于原点对称，结合题意即可求出结果．
【规范解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵点O为坐标原点，
∴点A和点C关于原点对称，∵点A的坐标为(−2❑√3,2)，
∴C点坐标为(2❑√3,−2)，
故答案为：(2❑√3,−2)．
5．（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）已知点A(a−4k,4)与点B(−3,b+2k)关于原点对称，则
a+2b的值等于 ．
【答案】−5
【思路引导】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点的横，纵坐标
都互为相反数．
根据关于原点对称的点的坐标特征列出关于a，b，k的方程组，进而求出a+2b的值．
【规范解答】∵点A(a−4k,4)与点B(−3,b+2k)关于原点对称，
{a−4k=−(−3))
∴ ，
b+2k=−4
由b+2k=−4，得2k=−4−b，
将其代入a−4k=−(−3)，得a−2×(−4−b)=3，
整理得a+8+2b=3，
∴a+2b=3−8=−5，
故答案为：−5．
6．（24-25九年级上·广东江门·期中）二次函数y=2x2−4x+5的图象关于原点对称后的图象的解析式
为 ．
【答案】y=−2x2−4x−5
【思路引导】本题考查了根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，正确记忆基本变换性质是解题关
键．先把原二次函数解析式化为顶点式，得到顶点坐标和开口方向，再根据关于原点对称的两点横坐标，
纵坐标互为相反数得到对称后二次函数图象的顶点坐标，结合开口方向即可得答案．
【规范解答】解：二次函数y=2x2−4x+5=2(x−1) 2+3图象的顶点坐标为(1,3)，开口向上，
∵点(1,3)关于原点对称的点的坐标为(−1,−3)，
∴关于原点对称后二次函数图象的顶点坐标为(−1,−3)，开口向下，
∴关于原点对称后二次函数图象的解析式为y=−2(x+1) 2−3=−2x2−4x−5．
故答案为：y=−2x2−4x−5．7．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AB=3，
AE=5，∠BAD=90°，则点A到BE的距离是 ．
6❑√13
【答案】
13
【思路引导】本题考查了中心对称图形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握中心对称图形的性质是解题关
键．过点A作AF⊥BE于点F，先根据中心对称图形的性质可得DE=AB=3，AC=DC，
∠D=∠BAD=90°，利用勾股定理可得AD=4，从而可得AC=2，再利用勾股定理可得BC=❑√13，然
后利用三角形的面积公式求解即可得．
【规范解答】解：如图，过点A作AF⊥BE于点F，
∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AB=3，∠BAD=90°，
∴DE=AB=3，AC=DC，∠D=∠BAD=90°，
∵AE=5，
∴AD=❑√AE2−DE2=4，
∴AC=DC=2，
∴BC=❑√AB2+AC2=❑√13，
1 1
∵S = AF⋅BC= AB⋅AC，
△ABC 2 2
AB⋅AC 3×2 6❑√13
∴AF= = = ，
BC ❑√13 13
6❑√13
即点A到BE的距离是 ，
13
6❑√13
故答案为： ．
138．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，有△ABC．
(1)画出△ABC关于原点对称的△A B C ．并写出△A B C 的顶点坐标．
1 1 1 1 1 1
(2)画出△ABC绕原点顺时针旋转90°后得到的△A′B′C′．
【答案】(1)见详解；A (2,2),B (4,1),C (4，4)
1 1 1
(2)见详解
【思路引导】本题主要考查了画关于原点对称的图形以及画旋转图形.
（1）先求出△ABC关于原点对称的点的坐标A (2,2),B (4,1),C(4，4)，然后顺次连接即可.
1 1
（2）根据旋转的性质作图即可.
【规范解答】（1）解：根据坐标系可知：A(−2,−2),B(−4,−1),C(−4，−4),
关于原点对称的点的坐标分别为: A (2,2),B (4,1),C (4，4)
1 1 1
则△A B C 如下图所示：
1 1 1
（2）解：△A′B′C′如下图所示：9．（24-25九年级上·广东东莞·期末）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为
A(5，4)，B(0，3)，C(2，1)．
(1)画出△ABC关于原点对称的△A B C ，并写出点C 的坐标；
1 1 1 1
(2)画出将△ABC绕点B按顺时针旋转90°所得的△A B C ．
2 2 2
【答案】(1)作图见解析过程；点C 坐标为(−2，−1)；
1
(2)作图见解析过程．
【思路引导】此题主要考查了作图——旋转变换，中心对称，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；然后根据点C 位置写出坐标即可；
1
（2）分别作出点A、C绕点B按顺时针旋转90°所得的对应点，再顺次连接即可得．
【规范解答】（1）解：如图1，△A B C 即为所求，点C 坐标为(−2，−1)；
1 1 1 1（2）解：如图2，△A B C 即为所求．
2 2 2
10．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为
A(−2,4)，B(−4,2)，C(−1,1)．
(1)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A B C （点A，B，C的对应点分别为A ，B ，C ）；
1 1 1 1 1 1
(2)将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A B C （点A，B，C的对应点分别为A ，
2 2 2 2
B ，C ），并直接写出点A 的坐标．
2 2 2【答案】(1)见解析
(2)见解析，A (4,2)
2
【思路引导】本题考查作图-旋转变换、中心对称，
（1）根据中心对称的性质作图即可；
（2）根据旋转的性质作图，并写出点A 的坐标即可．
2
【规范解答】（1）解：△A B C 即为所作；
1 1 1
（2）解：如图，△A B C 即为所作；
2 2 2
点A 的坐标为(4,2)．
2
培优拔高
11．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列
结论不成立的是（ ）
A．点A与点A'是对称点 B．BO=B'OC．∠ABC=∠C A'B' D．AB∥A'B'
【答案】C
【思路引导】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转
180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称
中心”，是求解本题的关键．利用中心对称的定义和性质求解即可．
【规范解答】A、∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，
∴点A与A'是一组对称点，故A正确，不符合题意；
B、由中心对称的性质可知：对应点到对称中心的距离相等，
∴BO=B'O，故B正确，不符合题意；
C、∵∠ABC与∠C A'B'不是对应角，
∴∠ABC=∠C A'B'不成立，故C错误，符合题意；
D、∵AB与A'B'是对应线段，
∴AB∥A'B'，故D正确，不符合题意．
故选：C．
12．（22-23九年级上·四川广安·期中）如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列
结论成立的是（ ）
①点A与点A′关于点O对称；②BO=B′O；③AC ∥ A′C′；④∠ABC=∠C′ A′B′．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】A
【思路引导】本题考查了中心对称的性质，掌握中心对称的性质是解题的关键．由中心对称的性质可得
OB=OB′ ，OC=OC′，点A与点A′关于点O对称，AC∥A′C′，即可求解．
【规范解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴OB=OB′ ，OC=OC′，点A与点A′关于点O对称，
∠ABC=∠A′B′C′ ，∠ACB=∠A′C′B′ ，AC∥A′C′，
∴①②③正确，④错误，
故选：A13．（2025·上海普陀·二模）有若干个全等三角形，如果这些全等三角形恰好能拼成一个正多边形，且
这个正多边形不是中心对称图形，那么下列三角形中，符合条件的是（ ）
A．顶角是48°的等腰三角形 B．顶角是45°的等腰三角形
C．有一个锐角是24°的直角三角形 D．有一个锐角是54°的直角三角形
【答案】D
【思路引导】本题考查了正多边形的性质，中心对称图形的定义，三角形的内角和定理，解题的关键是掌
握相关知识．由题意可得：拼成的正多边形的边数为奇数，分别求出每个选项中各个三角形的内角，进而
得到组成的正多边形的内角，再根据正多边形的内角和公式判断出正多边形的边数，即可求解．
【规范解答】解：∵这些全等三角形恰好能拼成一个正多边形，且这个正多边形不是中心对称图形，
∴拼成的正多边形的边数为奇数，
180°−48°
A、顶角是48°的等腰三角形，则底角为 =66°，
2
∴可能拼成的正多边形的内角为66°或66°+48°=114°，但无法对应奇数边正多边形的内角，故该选项
不符合题意；
B、顶角是45°的等腰三角形，可拼成正方形，但正方形是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C、有一个锐角是24°的直角三角形，则另一个锐角为90°−24°=66°，可能拼成的正多边形的内角需为
24°、66°或90°的组合，但无法匹配奇数边的正多边形内角，故该选项不符合题意；
D、有一个锐角是54°的直角三角形，则另一个锐角为90°−54°=36°，正五边形的内角为108°，可由两
个54°角组成，正五边形边数为奇数，且不是中心对称图形，故该选项符合题意；
故选：D．
14．（24-25九年级上·山西长治·期末）在平面直角坐标系中，点(−3,b)关于原点的对称点为(a,4)，
则ab=（ ）
A．12 B．−12 C．1 D．−1
【答案】B
【思路引导】本题考查的是关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数是解
题的关键．
利用关于原点对称点的性质，即它们的坐标互为相反数，得到a，b的值，再利用有理数的乘方法则计算得
到答案．
【规范解答】解：∵点(−3,b)关于原点的对称点为(a,4)，
∴a=3,b=−4，
∴ab=3×(−4)=−12，
故选：B．15．（24-25九年级上·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，点P(1，5) 与点P′(2a+b,a+2b) 关
于原点对称，则a−b的值为 ．
【答案】4
【思路引导】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟知坐标关于原点对称的坐标特点是解题的关键．
先根据坐标与原点对称得到横纵坐标互为相反数列出方程求得a、b的值，然后代入计算即可．
【规范解答】解：∵点P(1,5)与点P′(2a+b,a+2b)关于原点对称，
{2a+b=−1) { a=1 )
∴ ，解得： ，
a+2b=−5 b=−3
∴a−b=1−(−3)=1+3=4．
故答案为4．
16．（21-22八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心
对称，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D．若OB=4，OD=3，则阴影部分的面积之和为 ．
【答案】12
【思路引导】此题考查了中心对称的性质、长方形的面积等知识，由曲线C关于点O成中心对称，点A的
对称点是点A′，A′D⊥b于点D，OD=3，则AB=3，图形①与图形②面积相等，即可得到答案．
【规范解答】解：如图，
∵直线a、b垂直相交于点O，点A的对称点是点A′，A′D⊥b于点D，OD=3，
∴AB=3，
∴图形①与图形②面积相等，∴阴影部分的面积之和=长方形ABOE的面积=3×4=12．
故答案为：12．
17．（24-25九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系xOy中，点A(0,2)，点B(2,0)，点C(0,−2)，
点D(−2,0)，M为四边形ABCD边上一点．对于点P(6,0)给出如下定义：若∠PM P =90°，
1
PM=P M，点P 在x轴下方，点P 关于原点的对称点为Q，我们称点Q为点P关于点M为直角顶点的
1 1 1
“变换点”；则P关于点B为直角顶点的“变换点”坐标为 ；若直线y=kx+3k（k≠0）上存在
点P关于点M为直角顶点的“变换点”，则k的取值范围为 ．
4
【答案】 (−2,4) ≤k≤8
5
【思路引导】根据定义即可求出P关于点B为直角顶点的“变换点”R坐标，求得P关于点A为直角顶点的
“变换点”坐标为G(2,4)，同理，点P关于点D为直角顶点的“变换点”坐标为F(2,8)，点P关于点C为
直角顶点的“变换点”坐标为H(−2,8)，点P关于点M为直角顶点的“变换点”的轨迹为正方形RGFH，
可求直线y=kx+3k经过定点(−3,0)，使直线y=kx+3k与正方形RGFH的边有交点，即可求解．
【规范解答】解：如图，P(6,0)，B(2,0)，∠PBT=90°，
∴PB=6−2=4，
∵∠PBT=90°，PB=TB，
∴T(2,−4)，
∴R，T关于原点对称，
∴R(−2,4)，
∴P关于点B为直角顶点的“变换点”坐标为R(−2,4)；
如图，∠PAK=90°，AK=PA，过点K作KE⊥y轴于点E，
∴∠AEK=∠POA=90°，
∴ ∠APO+∠OAP=90°，∵∠PAK=90°，
∴ ∠KAE+∠OAP=90°，
∴∠KAE=∠APO，
在△AEK和△POA中
{∠KAE=∠APO
)
∠AEK=∠POA ，
AK=PA
∴ △AEK≌△POA（AAS），
∴ KE=OA=2，AE=PO=6，
∴OE=6−2=4，
∴ K(−2,−4)，
∵点K关于原点的对称点为G，
∴ G(2,4)，即：P关于点A为直角顶点的“变换点”坐标为G(2,4)，
同理，点P关于点D为直角顶点的“变换点”坐标为F(2,8)，
点P关于点C为直角顶点的“变换点”坐标为H(−2,8)，
如图，点P关于点M为直角顶点的“变换点”的轨迹为正方形RGFH，
∵直线y=kx+3k上存在点P关于点M为直角顶点的“变换点”，
∴直线y=kx+3k与正方形RGFH的边有交点，
∵当y=0时，kx+3k=0，
解得：x=−3，
∴直线y=kx+3k(k≠0)经过定点(−3,0)，
（ⅰ）当直线经过H(−2,8)时，∴ −2k+3k=8，
解得：k=8；
（ⅱ）当直线经过G(2,4)时，
∴ 2k+3k=4，
4
解得：k= ；
5
4
综上所述： ≤k≤8．
5
4
故答案为：(−2,4)， ≤k≤8．
5
【考点剖析】本题考查一次函数的综合应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解点P关于点M的
直角顶点“变换点”的定义．
18．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2,0)，B(1,1)，
C(4,2)．
(1)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A B C ，并写出点B的对应点B 的坐标_______；
1 1 1 1
(2)画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A B C ；
2 2 2
(3)求△ABC的面积．
【答案】(1)作图见解析，B (−1,−1)；
1
(2)见解析；
(3)2.
【思路引导】本题考查了画中心对称图形、旋转图形，解决本题的关键是根据中心对称的性质以及旋转的
性质作图．
(1)分别作出点A、B、C关于原点成中心对称的点A 、B 、C ，连接点A 、B 、C ，得到△A B C ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
借助网格写出点B 的坐标；
1
(2)分别作出点A、B、C绕原点O顺时针旋转90°的对应点A 、B 、C ，连接点A 、B 、C ，得到
2 2 2 2 2 2
△A B C 即可；
2 2 2(3)把△ABC补充成一个2×3的矩形，借助矩形的面积公式和三角形的面积公式求出△ABC的面积即可．
【规范解答】（1）解：如下图所示，分别作出点A、B、C关于原点成中心对称的点A 、B 、C ，
1 1 1
连接点A 、B 、C ，得到△A B C ，
1 1 1 1 1 1
△A B C 即为所求，
1 1 1
点B 的坐标为(−1,−1)；
1
（2）解：如下图所示，分别作出点A、B、C绕原点O顺时针旋转90°的对应点A 、B 、C ，
2 2 2
连接点A 、B 、C ，得到△A B C ，
2 2 2 2 2 2
△A B C 即为所求；
2 2 2
（3）解：如下图所示，把△ABC补充成一个2×3的矩形，
1 1 1
则S =2×3− ×1×3− ×1×1− ×2×2=2．
△ABC 2 2 2
19．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）小慧和小钰同学在学习二次函数时，在平面直角坐标系中，
画出了如下四个二次函数的图象（其中a≠0）抛物线l :y =ax2+bx+c，抛物线l :y =−ax2+bx+c，抛物线l :y =ax2−bx+c，抛物线
1 1 2 2 3 3
l :y =ax2+bx−c．发现这四条抛物线之间有丰富的平移、轴对称和中心对称关系：
4 4
(1)l 可以通过_________得到l （填平移、轴对称或中心对称）；
1 4
(2)在下面的说法中，正确的是_________（填序号）
①l 和l 关于原点(0,0)中心对称；
2 4
②l 和l 关于点(0,c)中心对称；
1 2
③l 和l 关于直线y=c轴对称，但不成中心对称．
2 3
【答案】(1)平移
(2)①②
【思路引导】本题考查二次函数图象及几何变换，涉及二次函数性质，解题的关键是会求一个点关于某点
（或直线）的对称点．
（1）观察解析式可得答案；
（2）根据一个点关于某点（或直线）的对称点坐标逐项判断即可．
【规范解答】（1）解：l 可以通过平移得到l ，
1 4
故答案为：平移；
（2）抛物线y=−ax2+bx+c关于原点(0,0)对称的抛物线解析式为−y=−a(−x) 2+b(−x)+c，即
y=ax2+bx−c，
∴l 和l 关于原点(0,0)中心对称，故①正确；
2 4
设(x,ax2+bx+c)为抛物线l 上任意一点，其关于(0,c)的对称点坐标为(−x,−ax2−bx+c)，
1
∵−ax2−bx+c=−a(−x) 2+b(−x)+c，
∴(−x,−ax2−bx+c)在抛物线y=−ax2+bx+c上，
即抛物线l 上任意一点关于(0,c)的对称点都在l 上，
1 2
∴l 和l 关于点(0,c)中心对称，故②正确；
1 2
设(x,−ax2+bx+c)为抛物线l 上任意一点，其关于直线y=c的对称点为(x,ax2−bx+c)，
2
∵(x,ax2−bx+c)在抛物线y=ax2−bx+c上，
∴l 和l 关于直线y=c轴对称，
2 3b b
(x,−ax2+bx+c)为抛物线l 上任意一点，其关于( ,c)的对称点为(−x+ ,ax2−bx+c)，
2 2a a
∵ax2−bx+c=a ( −x+ b) 2 −b ( −x+ b) +c，
a a
b
∴(−x+ ,ax2−bx+c)在抛物线y=ax2−bx+c上，
a
b
即抛物线l 上任意一点，其关于( ,c)的对称点都在抛物线l 上，
2 2a 3
b
∴抛物线l 和抛物线l 关于( ,c)对称，故③错误；
2 3 2a
∴正确的有①②，
故答案为：①②．
20．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：AB⊥AC，AB=AC，CD⊥DE，CD=DE，
P为BE中点．
(1)如图1，点C在BE上，作△EPM，使△EPM与△BPA关于点P成中心对称，并证明
△DEM≌△DCA；
1
(2)如图2，点C不在BE上，H为AD中点，求证PH⊥AD，PH= AD；
2
(3)如图3，点N为△ABC内一点，∠ANC=135°，若AN+CN=6，且AN不小于3，则BN的最小值
=__________．
【答案】(1)作图见解析；证明见解析
(2)见解析
(3)3❑√3
【思路引导】（1）延长AP到M，使PM=AP，连接EM，由P是BE的中点知，△EPM与△BPA关于
点P成中心对称；由对称知，△EPM≌△BPA，则有EM=AB，∠MEP=∠B=45°，从而有
EM=AC，∠DEM=∠DEC+∠MEP=90°，则可证明△DEM≌△DCA；
（2）连接AP并延长到M，使PM=AP，连接EM，则可证明△EPM≌△BPA，则有
EM=AB，∠MEP=∠ABP，从而有EM=AC，∠DEM=270°−∠BCE=∠DCA，则可证明△DEM≌△DCA，AD=DM，∠ADC=∠MDE，易得∠ADM=90°，则DP⊥AM；再由H为
AD中点，即可证得结论；
（3）过A作AN的垂线，交CN的延长线于F，连接BF；则可得△ANF是等腰直角三角形，AN=AF；
再证明△ANC≌△AFB，则得∠NFB=90°；设AN=AF=x，则FN=❑√2x，BF=6−x；由勾股定
理得BN2=3(x−2) 2+24，由x≥3，可求得BN2的最小值，从而求得BN的最小值．
【规范解答】（1）解：如图，延长AP到M，使PM=AP，连接EM,DM，则△EPM与△BPA关于点P
成中心对称；
证明如下：
∵AB⊥AC，AB=AC，CD⊥DE，CD=DE，
∴∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°，
∴∠DCA=180°−∠DCE−∠ACB=90°；
∵△EPM与△BPA关于点P成中心对称，
∴△EPM≌△BPA，
∴EM=AB，∠MEP=∠B=45°，
∴∠DEM=∠DEC+∠MEP=90°，
∵AB=AC，
∴EM=AC，
在△DEM与△DCA中，
{
DE=DC
)
∠DCA=∠DEM=90° ，
AC=EM
∴△DEM≌△DCA；
（2）解：如图，连接AP并延长到M，使PM=AP，连接EM、CE；又∵∠APB=∠MPE，PB=PE，
∴△EPM≌△BPA，
∴EM=AB，∠MEP=∠ABP=∠MEP；
∵AB=AC，
∴EM=AC；
∵∠ABP=∠ABC+∠CBP，∠CBP+∠CEP=180°−∠BCE，
∴∠DEM=∠DEC+∠MEP+∠CEP
=∠DEC+∠ABP+∠CEP
=∠DEC+∠ABC+∠CBP+∠CEP
=45°+45°+180°−∠BCE
=270°−∠BCE；
∵∠DCA=360°−∠DCE−∠ACB−∠BCE=270°−∠BCE，
∴∠DEM=∠DCA；
又∵CD=DE，AC=EM，
∴△DEM≌△DCA，
∴AD=DM，∠ADC=∠MDE，
∴∠ADM=∠ADC+∠CDM=∠MDE+∠CDM=∠CDE=90°，
∵P是AM的中点，
1
∴DP⊥AM，AP=DP= AM；
2
∵H为AD中点，
1
∴PH⊥AD，PH= AD；
2
（3）解：如图，过A作AN的垂线，交CN的延长线于F，连接BF；∵∠ANC=135°，
∴∠ANF=45°；
∵AN⊥AF，
∴∠AFN=∠ANF=45°，
∴△ANF是等腰直角三角形，且AN=AF；
∵AC=AB，∠CAN=90°−∠NAB=∠BAF，AN=AF，
∴△ANC≌△AFB，
∴∠AFB=∠ANC=135°，BF=CN，
∴∠NFB=∠AFB−∠AFN=90°；
设AN=AF=x，则FN=❑√2x，BF=CN=6−AN=6−x；
由勾股定理得BN2=FN2+BF2
=2x2+(6−x) 2
=3(x−2) 2+24，
∵AN不小于3，即x≥3，
∴当x=3时，BN2有最小值，且最小值为27，
∴BN的最小值为3❑√3．
故答案为：3❑√3．
【考点剖析】本题是全等三角形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，
勾股定理，二次函数的图象与性质，综合性较强，构造辅助线是解题的关键．
