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专题 23.2 中心对称
1. 掌握中心对称的定义与性质，能够根据定义熟练的找出对称中心，能够根据性质熟
教学目标 练的解决相关题目。
2. 掌握中心对称作图的步骤，并能够熟练的进行中心对称作图。
1. 重点
（1）中心对称的定义与性质；
（2）中心对称的作图；
教学重难点
2. 难点
（1）利用中心对称的性质进行角度或线段长度的计算；
（2）确定中心对称的对称中心。知识点01 中心对称的定义
1. 中心对称的定义：
如图，把一个图形绕着某个点旋转 180 ° ，如果它能够与另一个图
形 完全 重合 ，那么就说这两个图形关于这个点 对称或中心对称 ，
这个点叫做 对称中心 ，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心
的 对称点 。
即：△ABC绕点O旋转180°与△A'B'C'完全重合，则△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，点O是
对称中心，A与A' ，B与B' ，C与C' 都是对称点，
中心对称指的是两个全等的图形的位置关系。
2. 中心对称的性质：
①关于中心对称的两个图形能够 完全重合 ；即 。
②关于中心对称的两个图形，它们的对应点的连线都经过 对称中心 ，并且被对称中心 平分 。
即： 。
③中心对称的两个图形对应边 平行或共线 。
3. 对称中心的确定：
连接任意两组 对称点 得到两条线段，这两条线段的 交点 就是对称中心。
【即学即练1】
1．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】C
【解答】解：根据中心对称的概念，知（2）（3）（4）都是中心对称．
故选：C．
【即学即练2】
2．如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点A'是对称点 B．BO＝B'OC．AB＝A'B' D．∠ACB＝∠C'A'B'
【答案】D
【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，
∴点A与点A'是对称点，BO＝B'O，AB＝A'B'，
∴A，B，C正确，
故选：D．
【即学即练3】
3．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为（ ）
❑√3 2❑√3 4❑√3
A．4 B． C． D．
3 3 3
【答案】A
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝1，
∴AB＝2AC＝2，
∴BB′＝2AB＝4．
故选：A．
【即学即练4】
4．如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（3，3）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐
标为（ ）
A．（﹣3，﹣3） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣2，﹣4）
【答案】B
【解答】解：∵B（5，1）、D（﹣3，﹣1）关于点P对称，
5−3 1−1
=1， =0，
2 2
∴点P的坐标为（1，0）．
设点C（x，y），
∵A（3，3），
3+x y+3
∴ =1， =0，
2 2∴x＝﹣1，y＝﹣3．
∴C（﹣1，﹣3）．
故选：B．
【即学即练5】
5．如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，M，N是网格线交点，△ABC与△DEF关于某
点对称，则其对称中心是（ ）
A．点G B．点H C．点M D．点N
【答案】C
【解答】解：AD、CF、BE相交于点M，
∴点M是△ABC与△DEF的对称中心，
故选：C．
知识点02 中心对称作图
1. 中心对称作图的基本步骤：
步骤：①确定图形的 关键点 与 对称中心 。
②连接关键点与对称中心并延长，使延长的距离与关键点到对称中心的距离 相等 。
得到 对称点 。
③按照原图形连接各对称点。
【即学即练1】
6．如图所示，三角形ABC和三角形A′B′C′关于某一点成中心对称，一同学不小心把墨水泼在纸上，只能
看到三角形ABC和线段BC的对应线段B′C′，请你帮该同学找到对称中心O，且补全三角形A′B′C′．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，△A′B′C′即为所求；【即学即练2】
7．如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，但点O不慎被涂掉了，请你帮排版工人找到对称中心
O的位置．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①连接CC′，取线段CC′的中点，即为对称中心O．
②连接BB′、CC′，两线段相交于O点，则O点即为对称中心．
题型01 中心对称的判断
【典例1】图中是第二届数字中国建设峰会吉祥物——“数娃”，它头顶蓝色榕树叶、脚踩数字浪潮，看
起来“萌萌哒”．结合你所学知识，从下列四个选项中选出能够和如图成中心对称的是（ ）
A．. B．
C． D．
【答案】B【解答】解：A．不成中心对称，故此选项不符合题意；
B．成中心对称，故此选符合题意；
C．不成中心对称，故此选项不符合题意；
D．不成中心对称，故此选项不符合题意．
故选：B．
【变式1】下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关
于点O对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：由题可知，A、B、D不是中心对称图形，C是中心对称图形图形．
故选：C．
【变式2】下列各图中，四边形ABCD是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：根据中心对称的定义可知，选项A中阴影部分两个三角形成中心对称．
故选：A．
题型02 确定中心对称的对称中心
【典例1】如图，△ABE与△DCF成中心对称则对称中心是（ ）A．M点 B．P点 C．Q点 D．N点
【答案】A
【解答】解：连接BC，发现BC经过点M，且被点M平分，
故对称中心为M点．
故选：A．
【变式1】如图，在12×6的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，以某个格点为旋转中心，△ABC
旋转180°后得到△A′B′C′，则旋转中心是（ ）
A．点P B．点C′ C．点O D．点R
【答案】C
【解答】解：如图所示，连接AA′，BB′，CC′，
则AA′，BB′，CC′的交点为O，∴旋转中心是O．
故选：C．
【变式2】如图，已知△ABC与△A'B'C'成中心对称，则对称中心是点P ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接BB′、CC′，交点为对称中心点P．
如图所示：
故答案为：P．
【变式3】如图所示的两个图形成中心对称，请找出它的对称中心．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接CC′，BB′，两条线段相交于当O，
则点O即为对称中心．
题型03 熟悉中心对称的性质
【典例1】如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，点A、B、C的对称点分别为D、E、F．下列结论不一定正确的是（ ）
A．AD⊥BE B．AO＝DO C．AB∥DE D．△ABC≌△DEF
【答案】A
【解答】解：∵△ABC与△DEF关于点O成中心对称，
∴AO＝DO，BO＝EO，△ABC与△DEF关于点O成中心对称．
故B，D选项正确，不符合题意；
∵∠AOB＝∠DOE，
∴△AOB≌△DOE（SAS），
∴∠BAO＝∠EDO，
∴AB∥DE，
故C选项正确，不符合题意；
根据已知条件不能得出AD⊥BE，
故A选项不正确，符合题意．
故选：A．
【变式1】如图，已知△ABC和△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ABC＝∠A′B′C′ B．∠AOC＝∠A′OC′
C．AB＝A′B′ D．OA＝OB′
【答案】D
【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠ABC＝∠A′B′C′，AB＝A′B′，OA＝OA′，
故选项A，C正确，
∵∠AOC＝∠A′OC′，故选项B正确．
故选：D．
【变式2】如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论成立的是（ ）
①点A与点A′关于点O对称；
②BO＝B′O；③AC∥A′C′；
④∠ABC＝∠C′A′B′．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】A
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴由中心对称的性质可得，OB＝OB′，OC＝OC′，点A与点A′关于点O对称，∠ABC＝∠A′B′C′，
∠ACB＝∠A′C′B′，AC∥A′C′，
∴①②③正确，④错误，
综上所述，只有选项A正确，符合题意，
故选：A．
题型04 利用中心对称的性质计算
【典例1】如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12，AC＝16，△A'B'C'与△ABC关于点O中心对称，
则B'C′的长度为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．25
【答案】C
【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12，AC＝16，
∴BC=❑√AB2+AC2=❑√122+162=20，
∵△A'B'C'与△ABC关于点O中心对称，
∴B'C′＝BC＝20．
故选：C．
【变式1】如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是
（ ）A．1 B．❑√2 C．2 D．2❑√2
【答案】D
【解答】解：由中心对称图形可知△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，∠D＝∠BAC＝90°，
∴AD＝2，
∵∠D＝90°，
∴AE=❑√AD2+DE2=❑√22+22=2❑√2，
故选：D．
【变式2】如图，△A B C 与△ABC关于点O成中心对称，已知AA ＝8cm，BO＝6cm，A B ＝5cm，则
1 1 1 1 1 1
△OAB的周长为（ ）
A．12cm B．15cm C．16cm D．19cm
【答案】B
【解答】解：由条件可知AO＝4cm，AB＝A B ＝5cm，
1 1
∴△OAB的周长＝AO+AB+BO＝4+5+6＝15cm，
故选：B．
【变式3】如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a
于点B，A′D⊥b于点D．若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为 1 2 ．
【答案】12．
【解答】解：如图，过点A′作A′F⊥a于点F，过点A作AE⊥b于点E，
∵A′D⊥b于点D．∠A′FO＝∠FOD＝∠A′DO＝90°，
∴四边形A′DOF是矩形，
∴A′F＝OD＝3，
同理可知，四边形ABOE是矩形，
∴AE＝OB＝4，
∵曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，
∴AE＝A′D＝OB＝4，AB＝A′F＝3，图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×4＝12．
故答案为：12．
题型02 中心对称作图
【典例1】如图，△ABC和△A'B'C'关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到
△ABC和线段BC的对应线段B'C'，请你帮该同学找到对称中心O，且补全△A'B'C'．
【答案】作图见解析部分．
【解答】解：如图所示，BB'，CC'的交点即为O，△A'B'C'即为所求．
【变式1】如图，已知△ABC和点O，请画出△ABC关于点O成中心对称的图形．
【答案】见解答．
【解答】解：如图，△DEF为所作：
【变式2】如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称．
（1）找出它们的对称中心O；
（2）若∠ABC＝35°，则∠DEF的度数为 35 ° ；（3）若AB＝8，AC＝5，BC＝7，△DEF的周长为 2 0 ．
【答案】（1）见解析；
（2）35°；
（3）20．
【解答】解：（1）连接AD，CF，交于点O，此点即为对称中心；
（2）由题意可得：∠DEF＝∠ABC＝35°；
故答案为：35°；
（3）∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称，
∴△ABC和△DEF的周长相等，
∵△ABC的周长为8+5+7＝20，
∴△DEF的周长为20；
故答案为：20．
1．如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A、选项图形绕点O旋转180°后，能够与原图形重合，是中心对称，符合题意；
B、选项图形绕点O旋转180°后，不能够与原图形重合，不是中心对称，不符合题意；
C、选项图形绕点O旋转180°后，不能够与原图形重合，不是中心对称，不符合题意；
D、选项图形绕点O旋转180°后，不能够与原图形重合，不是中心对称，不符合题意．故选：A．
2．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，下列结论中不一定成立的是（ ）
A．OB＝OB′ B．BC∥B′C′
C．点A的对称点是点A′ D．∠ACB＝∠A′B′C′
【答案】D
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′'关于O成中心对称，
∴OB＝OB′，∠ACB＝∠A′C′B′，点A的对称点是点A′，BC∥B′C′，
故A，B，C正确，D不正确．
故选：D．
3．如图，△ABC与△A′B′C′关于某个点成中心对称，则这个点是（ ）
A．点D B．点G C．点F D．点E
【答案】D
【解答】解：连接AA'，BB'，CC'，相交于点E，
则△ABC与△A′B′C'关于点E成中心对称．
故选：D．
4．某中学八年级科技社团“智慧”小组要制作一个以中心对称为主题的桥梁模型．他们设计了如图所示
的结构，其中△ABC与△DEC关于点C成中心对称，点M、N分别是AC、BC的中点，横梁MN用于支
撑桥梁．通过测量得到MN的长度为40cm，DE是模型中需要的主承重钢梁，根据以上信息模型中DE
的长是（ ）cm．A．20 B．40 C．80 D．90
【答案】C
【解答】解：∵点M、N分别是AC、BC的中点，MN的长度为40cm，
∴MN是△ABC的中位线，
∴AB＝2MN＝80cm，
又∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，
∴DE＝AB＝80cm，
故选：C．
5．如图，△ABC 与△ADE 关于点 A 成中心对称，若 AB＝2，CD＝5，∠ADE＝90°，则 BC 的长为
（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解答】解：∵△ABC与△ADE关于点A成中心对称，
∴AD＝AB＝2，∠BCD＝∠ADE＝90°，
∴BD＝AD+AB＝4，
∴BC=❑√CD2−BD2=❑√52−42=3．
故选：C．
6．如图，经过正方形ABCD对称中心O的直线分别交BA的延长线、AD、BC于点E、F、G．已知DC＝
4，DF＝3，则AE的长为（ ）
8
A．2 B． C．3 D．4
3
【答案】A
【解答】解：过点O作OH⊥AD于点H，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠EAF＝90°，AD＝CD＝4，
∵点O是正方形ABCD的中心，
1
∴AH＝DH= AD＝2，∠ODH＝45°，
2
∵∠OHD＝90°，
∴∠ODH＝∠HOD＝45°，
∴OH＝HD＝2，
∵DF＝3，
∴FH＝AF＝1，
∵∠EAF＝∠OHF＝90°，∠AFE＝∠OFH，
∴△EAF≌△OHF（ASA），
∴AE＝OH＝2，
故选：A．
7．如图，点O是菱形ABCD的对称中心，连接OA、OB，OA＝4，OB＝6，EF为过点O的一条直线，点
E、F分别在AD、BC上，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．16 C．18 D．12
【答案】D
【解答】解：连接OC、OD，
，
∵点O是菱形ABCD的对称中心，
∴AC⊥BD，O是AC与BD的交点，∴CO＝AO＝4，DO＝BO＝6，
∴AC＝8，BD＝12，
∵EF为过点O的一条直线，
1
∴四边形ABFE的面积＝四边形CDEF的面积= 菱形ABCD的面积，
2
1
∵菱形ABCD的面积= ×AC×BD＝48，
2
∴四边形ABFE的面积＝24，
1
∵阴影部分的面积＝四边形ABFE的面积﹣S ，S = ×AO×BO＝12，
△ABO △ABO 2
∴阴影部分的面积＝12，
故选：D．
8．如图，△ABC中，AB=BC=❑√17，AC＝2，O是AC的中点．将△BCO绕点C旋转180°得△PCQ，连
接AP，则AP的长是（ ）
A．4❑√2 B．❑√29 C．4 D．5
【答案】D
【解答】解：∵AB＝BC=❑√17，AC＝2，O是AC的中点，
∴AO＝CO＝1，BO⊥AC，
∴BO=❑√(❑√17) 2−12=4，
∵将△BCO绕点C旋转180°得△PCQ，
∴∠Q＝∠BOC＝90°，AQ＝AC+CQ＝AC+OC＝3，PQ＝BO＝4，
∴AP=❑√AQ2+PQ2=❑√32+42=5．
故选：D．
9．如图，边长相等的两个正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转180°，两
个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积（ ）
A．不变 B．先增大再减小C．先减小再增大 D．不断增大
【答案】A
【解答】解：由条件可知∠BOC＝∠EOG＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，OB＝OC，
∴∠BOC﹣∠COM＝∠EOG﹣∠COM，
即∠BOM＝∠CON，
∵在△BOM和△CON中，
{∠BOM=∠CON
)
OB=OC ，
∠OBM=∠OCN
∴△BOM≌△CON（ASA），
∴ 两 个 正 方 形 的 重 叠 部 分 四 边 形 OMCN 的 面 积 是 ：
1
S +S =S +S =S = S ，
△COM △CNO △COM △BOM △BOC 4 正 方 形ABCD
1
即不论旋转多少度，阴影部分的面积都等于 S ，重叠部分四边形OMCN的面积不变，
4 正 方 形ABCD
故选：A．
10．将一副三角板如图放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C＝∠EFB＝90°，∠A
＝60°，∠E＝45°，现将图中的△ABC绕点G按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程
中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为（ ）
A．1秒或9秒 B．9秒或11秒
C．1秒或3秒或9秒 D．3秒或9秒或11秒
【答案】D
【解答】解：∵∠C＝∠EFB＝90°，
∴AC∥FG，
∴∠AGE＝∠FGB＝∠A＝60°，
∴∠AGF＝∠EGB＝180°﹣60°＝120°，
情况1，如图，当DE∥A'C'时，A'B'交ED于点H，∵DE∥A'C'，
∴∠EHG＝∠A'＝60°，
∴∠A'GF＝∠EGH＝180°﹣∠E﹣∠EHG＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴∠AGA'＝∠AGF﹣∠A'GF＝120°﹣75°＝45°，
45°
∴旋转时间t= =3（秒）；
15°
情况2，如图，当DE∥B'C'时，FE的延长线交B'C'于点H，
∵DE∥B'C'，
∴∠C'HE＝∠DEF＝45°，
∴∠A'GF＝∠B'GH＝∠C'HE﹣∠B'＝45°﹣30°＝15°，
∴∠AGA'＝∠AGF+∠A'GF＝120°+15°＝135°，
135°
∴旋转时间t= =9（秒）；
15°
情况3，如图，当DE∥A'B'时，
∵DE∥A'B'，
∴∠A'GF＝∠E＝45°，
∴∠AGA'＝∠AGF+∠A'GF＝120°+45°＝165°，165°
∴旋转时间t= =11（秒）；
15°
综上所述，△ABC恰有一边与DE平行的时间为3秒或9秒或11秒，
故选：D．
11．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△A′BD与△ACD关于点D成中心对称．若AB＝5，AC＝
3，则线段AD的取值范围是 1 ＜ AD ＜ 4 ．
【答案】1＜AD＜4．
【解答】解：根据题意可知，AC＝A′B＝3，AD＝A′D，
∴在△ABA′中，5﹣3＜AA′＜5+3，即2＜AA′＜8，
∴1＜AD＜4．
故答案为：1＜AD＜4．
12．如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为
（﹣5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点D的坐标为 （ 2 ， 2 ） ．
【答案】（2，2）．
【解答】解：∵点A，C的坐标分别为（﹣5，2），（5，﹣2），
∴点O是AC的中点，
∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BD经过点O，
∵B的坐标为（﹣2，﹣2），
∴D的坐标为（2，2），
故答案为：（2，2）．
13．如图，AE=❑√15，AC=❑√2，∠D＝90°，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，则AB的长是 ❑√7
．【答案】❑√7．
【解答】解：∵△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，
∴DC＝AC=❑√2，DE＝AB，
∴AD＝2❑√2，
∴在Rt△EDA中，DE=❑√AE2−AD2=❑√15−8=❑√7，
∴AB=❑√7．
故答案为：❑√7．
14．如图， ABCO与 A′B′C′O关于点O成中心对称，∠BAO的平分线交BC于点D，若BD＝3，CD＝
2，则 A′B′C′O的周长为 1 6 ．
▱ ▱
▱
【答案】16．
【解答】解：∵AO∥BC，
∴∠OAD＝∠BDA，
∵∠OAD＝∠BAD，
∴∠BDA＝∠BAD，
∴BA＝BD，
∵BD＝3，CD＝2，
∴BA＝3，BC＝BD+CD＝5，
∴ ABCO的周长为：2×（3+5）＝16，
∵ ABCO与 A′B′C′O关于点O成中心对称，
▱
∴ A′B′C′O的周长为16，
▱ ▱
故答案为：16．
▱
15．如图，在等边三角形ABC中，O为BC的中点，AB＝2，△BPQ与△BAO关于点B中心对称，连接
CP，则CP的长为 2❑√3 ．【答案】2❑√3．
【解答】解：∵三角形ABC是等边三角形，O为BC的中点，AB＝2，
∴BO＝1，∠AOB＝90°，
∴AO=❑√22−12=❑√3，
∵△BPQ与△BAO关于点B中心对称，
∴BQ＝BO＝1，PQ＝AO=❑√3，∠Q＝∠AOB＝90°，
∴CQ＝1+2＝3，
在Rt△PCQ中，根据勾股定理，
得PC=❑√CQ2+PQ2=❑√9+3=2❑√3．
故答案为：2❑√3．
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为 A（5，3）、B（1，2）、C（4，1），
△A′B′C′与△ABC关于坐标原点O成中心对称（点A′、B′、C′的对应点分别为点A、B、C）．
（1）在图中画出△A′B′C′；
（2）若△ABC内部有一点P（3，2），请写出在△A′B′C′中，与点P对应的点P′的坐标．
【答案】（1）见解析；
（2）P′（﹣3，﹣2）．
【解答】解：（1）与△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A′B′C′，如图即为所求；（2）∵△A′B′C′与△ABC关于坐标原点O成中心对称，△ABC内部有一点P（3，2），
∴在△A′B′C′中，与点P对应的点P′的坐标P′（﹣3，﹣2）．
17．如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称．
（1）找出它们的对称中心O；
（2）若AB＝7，AC＝5，BC＝6，求△DEF的周长．
【答案】（1）见解析；（2）18．
【解答】解：（1）如图所示，点O即为所求．（作法不唯一）；
（2）∵△ABC 和△DEF 关于点O成中心对称，
∴AB＝DE＝7，AC＝DF＝5，BC＝EF＝6，
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝7+5+6＝18．
答：△DEF 的周长为18．
18．已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E
成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，
∴△ABM≌△ACM，
∴AB＝AC，
又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，
∴△ABE≌△DCE，
∴AB＝CD，
∴AC＝CD；
（2）解：∠F＝∠MCD．
理由：由（1）可得∠BAE＝∠CAE＝∠CDE，∠CMA＝∠BMA，
∵∠BAC＝2∠MPC，∠BMA＝∠PMF，
∴设∠MPC＝ ，则∠BAE＝∠CAE＝∠CDE＝ ，
设∠BMA＝ ，则∠PMF＝∠CMA＝ ，
α α
∴∠F＝∠CPM﹣∠PMF＝ ﹣ ，
β β
∠MCD＝∠CDE﹣∠DMC＝ ﹣ ，
α β
∴∠F＝∠MCD．
α β
19．如图，△AOB绕点O旋转180°得到△COD，点A的对应点为点C，分别延长OB，OD至点E，F，且
BE＝DF，连结AF，FC，CE，EA．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．
（2）若OE＝CE，∠EAC＝45°，EF=2❑√10，求四边形AFCE的周长．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）6❑√2+2❑√10．
【解答】证明：（1）∵△COD由△AOB绕点O旋转180°得到，
∴AO＝CO，DO＝BO，且A，O，C三点在一条直线上，B，O，D三点在一条直线上．∵BE＝DF，
∴OB+BE＝OD+DF，
即OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
解：（2）过点E作AC的垂线，垂足为M，
∵OE＝CE，
∴OM＝CM．
又∵OA＝OC，
∴AM＝3CM．
∵∠EAC＝45°，且EM⊥AC，
∴ME＝AM＝3CM．
1
又∵OE= EF=❑√10，
2
∴CE＝OE=❑√10．
在Rt△MCE中，
MC2+ME2＝EC2，
∴MC2+（3MC）2＝（❑√10）2，
解得MC＝1，
∴AM＝ME＝3，
∴AE=❑√2AM=3❑√2，
∴FC＝AE＝3❑√2．
又∵AF＝EC=❑√10，
∴四边形AFCE的周长为：6❑√2+2❑√10．
20．（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝12，求BC边上的中线AD的取值范围，并说明理由．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋
转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，体现了转化和化归的数学思想，利用三角形
三边的关系即可判断．
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DM⊥DN于点D，DM交AB于点M，DN交AC于点N，
连接MN，求证：BM+CN＞MN．【答案】（1）2＜AD＜10，详见解析；
（2）详见解析．
【解答】（1）解：延长AD到点E使DE＝AD，连接BE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
{
CD=BD
)
在△ACD和△EBD中， ∠ADC=∠EDB ，
AD=ED
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴BE＝AC＝12，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：BE﹣AB＜AE＜BE+AB，
∴12﹣8＜AE＜12+8，即4＜2AD＜20，
∴2＜AD＜10；
（2）问题解决：
证明：延长ND至点F，使FD＝ND，连接BF，MF，如图1所示：
∵D是BC边上的中点，
∴BD＝CD，
{
BD=CD
)
在△BFD和△CND中， ∠BDF=∠CDN ，
FD=ND
∴△BFD≌△CND（SAS），
∴BF＝CN，
∵DM⊥DN，FD＝ND，∴MF＝MN，
在△BFM中，由三角形的三边关系得：BM+BF＞MF，
∴BM+CN＞MN．
