文档内容
2025 届九年级中考一模数学试题卷
注意事项：
1．本试卷满分为150分，考试时间120分钟；
2．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”答题是无效的；
3．考试结束后，请将“答题卷”交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题都给出A，B，C，D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1. 芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术，常制造在半导体晶圆表面上．下列关于芯
片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转 后，能够与原图形
重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、绕某一点旋转 后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两
旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意；
B、绕某一点旋转 后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分
不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意；
C、绕某一点旋转 后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分
不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转 后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分
不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意；故选：A．
2. 电影《哪吒2》上映21天便登顶全球动画票房榜榜首，它的票房已超130亿，还在不断刷新着各项纪录，
其中130亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为 的形式
其中 ，n为比原数的整数位数少1的正整数，正确的确定 的值即可．
【详解】解：130亿 ．
故选D．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，算术平方根，掌握相应的运算法则是
关键．根据相关计算法则求出对应选项式子的结果即可得到答案．
【详解】解：A、 ，选项错误，不符合题意；
B、 ，选项错误，不符合题意；
C、 ，选项正确，符合题意；
D、 ，选项错误，不符合题意．
故选：C．
4. 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ）A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了几何体的俯视图，从物体的上面看得到的图形是俯视图．
根据俯视图的定义即可得到答案．
【详解】解：俯视图是：
，
故选：D．
5. 下列四个式子中能因式分解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法
有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．根据因式分解的方法逐项分析即可．
【详解】解：A． 不能因式分解，故不符合题意；
B． ，故符合题意；
C． 不能因式分解，故不符合题意；D． 不能因式分解，故不符合题意；
故选B．
6. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，
取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，在设计人体雕像时，为了增加视觉美感，将雕像 分为上下
两部分，其中 为 的黄金分割点 ，即已知 为2米，则 的长为 米，它介于
整数 和 之间，则 的值是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了黄金分割及估算无理数的大小的能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们
具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．应先找到所求的无理数在哪两个和它接
近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
故选：B．
7. 如图， 和 都是等腰直角三角形， ，点C在边DE上，
， ，则 的长为（ ）A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理；连接 ，由
是等腰直角三角形， ，得 ， ，再证明 ，最
后由解直角三角形即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ 和 都是等腰直角三角形， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故选：D．
8. 若不等式组 的解集为 ，则 的值为（ ）
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算可得
，从而可得 ， ，然后求出m，n的值，再代入式子中，进行计算即可
解答．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴原不等式组的解集为： ，
∵不等式组的解集为 ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
故选：A．
9. 已知三个不重合的点 均在抛物线 上，且，点 ， 在抛物线对称轴异侧．若 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. 或n>1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是求出对称轴，确定抛物线开口向下， ，
为抛物线的顶点．根据 ，推出抛物线的对称轴为： ，得到 ，为抛物线的顶点，
再根据 ，以及二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴抛物线的对称轴为： ，
∴ ，为抛物线的顶点，
∵ ，
∴ ，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵点 ， 在抛物线对称轴异侧，
∴ ①或 ②
解①得， ，解②得，
故选：C．
的
10. 如图，在 中， ， ， ， 是 上 一点，且 ，
是 上的一动点， ，交线段 于点 ，连接 ．设 的长为 ， 的面积为 ，
则 关于 的函数图象为（ ）A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，勾股定理求出
，然后得到 ，求出 ，设 ，则
， ，证明出 ，得到 ，
然后代入得到 ， ，然后得到 ，进而求
解即可．
【详解】如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ．在 中， ， ，
．
，
， ．
， ，
在 中， ，
，
．
设 ，则 ， ，
∵ ， ，
∴
∴
又∵
∴ ，，即 ，
解得 ，
，
．
点 在线段 上，
，
，
故选D．
【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象与性质，勾股
定理和相似三角形的性质和判定，解直角三角形，掌握以上知识点是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若分式 有意义，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件．根据分式有意义分母不等于零，得出 ，求出
即可．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．12. 计算： ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算，先利用二次根式性质化简，再进行二次根式的减法运算即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
13. 如图，矩形 ，点 在 的延长线上，连接 交 的平分线于 点，其中
， ， ，则 的长为___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】取 的中点 ，连接 交 于点 ，得出 ， 是等
腰直角三角形，证明 得出 ，证明 ，根据相似三角
形的性质，即可求解．
【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 交 于点 ，∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， 是等腰直角三角形，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵ ， 是 的角平分线，
∴
∴
∴
∴
∴ ．故答案为： ．
14. 已知抛物线 经过点 ， ，
（1）抛物线的对称轴为________；
（2）点 ， 在抛物线上，且 ，则t的取值范围是________．
【答案】 ①. 直线 ②.
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质：
（1）根据对称性求出对称轴即可；
（2）根据对称轴求出 值，求出 和 时的函数值，根据 ，进行求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线 经过点 ， ，
∴抛物线的对称轴为直线 ；
故答案为： ；
（2）∵对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 ， 在抛物线上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ；
故答案为： ．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程： ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键；
先把方程整理为 ，再利用因式分解法，求解即可．
【详解】解： ，
，
，
或 ，
解得 ， ．
16. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ，格点D在 上，
点D的坐标为 ，按要求完成下列画图，并回答相关问题．（1）将 向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到 ，请画出 ，此
时点D的对应点 的坐标_______；
（2）请用无刻度的直尺画出 的角平分线 （保留作图痕迹）．
【答案】（1）图见解析，
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平移的性质，勾股定理的逆定理，熟练画出相应的图形是解题的
关键．
（1）根据平移的性质画出图形，写出点D的对应点 的坐标即可；
（2）利用等腰直角三角形的性质，即可解答．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求，
根据 向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，
可得点D的对应点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【小问2详解】
解： ， ， ，
，
为
直角三角形， ，
如图， ， ，
，
为
等腰直角三角形，
，
为 的平分线．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 近年来安徽宿州市、涡阳县、蒙城县等许多地方大力推进“客货邮”融合发展模式助力乡村振兴，这
种模式不仅提升了工业品下乡和农产品出村的效率，还推动了农村电商和物流配送的发展．涡阳县克拉香
草种植基地计划将 的迷迭香、百里香等香草货物通过“客货邮”融合专车一次性运往县城的物流中心，
现有甲、乙两种型号的专车，其载重量和运费如下表所示：
专车 甲 乙
载重量(吨/辆)
运费(元/辆)
如果甲、乙两种专车的运输总费用恰好为 元，则安排了甲专车多少辆？
【答案】安排了甲专车 辆
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设安排
了甲专车 辆．根据题意，甲、乙两种专车的运输总费用恰好为 元，
【详解】解：设安排了甲专车 辆．
根据题意，甲、乙两种专车的运输总费用恰好为 元，
．．
解得： ．答：安排了甲专车 辆．
18. 观察下列等式：
； ； ； ；
根据以上规律，解决如下问题：
（1）请填空： ；
（2）请用含字母a，b的等式表示规律，并验证其正确性．
【答案】（1）2，6，2，6或3，5，3，5
（2） ；证明见解析
【解析】
【分析】本题考查的是分式运算的规律探究，掌握探究的方法是解本题的关键；
（1）观察对应位置上的数的特点，可得答案；
（2）根据提示直接归纳可得 ，再证明即可．
【小问1详解】
解： ；或 ；（答案不唯一）
【小问2详解】
解：∵ ； ； ； ；
归纳可得： ，
左边 右边．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 随着时代的发展和人们生活水平的提高，私家车越来越多，停车越来越难，停车场的建造就成为解决
问题的途径之一．如图是一个新建的地下停车场的设计示意图，已知坡道 的坡比 ，的长为8.4米， 的长为0.9米．按规定，停车场坡道口上方需张贴限高标
志，以便告知停车人其车辆能否安全驶入，请根据所给数据，确定该停车场入口的限高，即 的长为多
少？
【答案】2.4米
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，掌
握坡度是坡角的正切值．
延长 交 于点E，根据坡道 的坡比 ，可得 ，即可求出 米，
进而得出 米，再证明 ，则 ，设 ，
，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：延长 交 于点E，
，
，
，
，
，
．，
．
∴ ，
设 ， ，
根据勾股定理可得： ，
即 ，
解得： ，
∴ 米．
答：点D到 的距离 的长为2.4米．
20. 如图， 为 的直径，C为 延长线上一点，D为 上一点，连接 ， ，
于点E，交 于点F．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，切线的判定；
（1）连接 ，证明 ，即可得证；
（2）设 ，根据已知得出 是 的中位线，证明 ，根据相似
三角形的性质，得出 ，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ．，
．
．
，
．
，
，即 ．
是 的半径，
是 的切线．
【小问2详解】
解：设 ，
，
， ．
．
为 的直径，
．
，
．
．
， ．，
是 的中位线．
．
．
，
．
．
，
解得 ．
．
六、解答题（本题满分12分）
21. 瓜农李大爷为了解“ 品种西瓜”和“ 品种西瓜”的质量情况，从两大棚中分别随机调查 个西瓜
的质量 （单位：斤）进行整理分析（数据分为五组：A． ，B． ，C． ，
D． ，E． ），下面给出了部分信息：
“ 品种西瓜”质量统计表
质量
频数（个） 频率
（斤）“ 品种西瓜”，“ 品种西瓜”质量的平均数、中位数、众数、极差如下表：
平均 中位 众 极
品种
数 数 数 差
品种
西瓜
品种
西瓜
“ 品种西瓜”产量在 组中的数据是： ， ， ， ， ， ，其余所有数据的和为 ．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述统计图表中， ________， ________， ________，扇形统计图 组所对应扇形的圆心
角度数为________ ；
（2）根据以上数据，你认为哪种品种西瓜的质量情况更好？请说明理由；
（3）若两个大棚种植的“ 品种西瓜”有 个，“ 品种西瓜”有 个，请估计质量在“
”范围的西瓜的个数．
【答案】（1） ， ， ，
（2） 品种西瓜的质量情况更好，见解析
（3）大约有 个
【解析】
【分析】（1）用样本容量 乘 即可得 的值，根据平均数和中位数的定义可得 、 的值，用
乘以 组所占百分比可得扇形统计图 组所对应扇形的圆心角度数；
（2）根据两种西瓜的的平均数、中位数及众数即可进行判断；（3）利用样本估计总体可解．
【小问1详解】
解：由题意得， ，
，
“ 品种西瓜”共 个，根据扇形统计图可知：D、E共 个，中位数是第 、 个，即在C组最后
个，即为：
；
扇形统计图 组所对应扇形的圆心角度数为： ．
故答案为： ， ， ， ．
【小问2详解】
解： 品种西瓜的质量情况更好，理由如下：
因为样本中“ 品种西瓜”的平均数、中位数、众数均高于“ 品种西瓜”，所以“ 品种西瓜”的质量
情况更好；
【小问3详解】
解： （个），
答：估计质量在“ ”范围的西瓜大约有 个．
【点睛】本题主要考查了频数分布表，扇形统计图，中位数、众数、极差的定义，用样本估计总体，理解
并熟练掌握以上知识是解题关键．
七、解答题（本题满分12分）
22. 如图，在平行四边形 中，点E是边 上的点，且 ，连接 ，点G在 上，连
接 ，作 交 于点F， 于点H， ．（1）求证： ；
（2）若 ，求 的值；
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查 的是平行四边形的判定与性质，相似三角形判定与性质及勾股定理的应用等知识，
（1）先证四边形 是平行四边形，从而证明 ，进而证明结论；
（2）设 ，则 ，求出 ， ， ，作
于点P，结合等腰三角形性质求出结论．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：设 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，由（1）得 ， ，
∴ ， ，
∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得：
，
∴ ，
由（1）得 ，
∴点G为 斜边 的中点， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
如图，作 于点P，
∴ ， ，
∴ ．
八、解答题（本题满分14分）
23. 如图，已知抛物线L： 经过点 ， ．（1）求 的值；
（2）连接 ，交抛物线 ： 的对称轴于点 ．
①求点 的坐标；
②将抛物线 向左平移 个单位得到抛物线 ．抛物线 的对称轴交抛物线 于点 ，抛物线
的对称轴交抛物线 于点 ．当 时，求 的值．
【答案】（1） ，
（2）① ；②
【解析】
【分析】（ ）利用待定系数法解答即可；
（ ）由（ ）可得二次函数解析式，即得抛物线 的对称轴为直线 ， ，利用待定系数法求
出直线 的解析式，再把 代入计算即可求解；
（ ）根据平移可得 的解析式为 ，进而可求出点 的坐标，最后根据
列出方程解答即可求解；
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的平移，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性
质是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵抛物线L： 经过点 ， ，
∴ ，解得 ，
即 ， ；
【小问2详解】
解：①∵ ， ，
∴抛物线 的解析式为 ，
∴抛物线 的对称轴为直线 ， ，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入得，
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
把 代入 ，得 ，
∴ ；
②∵ ，∴将抛物线 向左平移 个单位得到抛物线 ， 的解析式为 ，
∴抛物线 的对称轴为直线 ，
把 代入 得， ，
∴ ，
把 代入 得， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
整理得， ，
解得 ， （不合题意，舍去），
∴ 的值为 ．
