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2025 年初三年级中考第一次模拟测试数学
（考试时间：120分钟，试卷满分：150分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 的相反数为（ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可．
【详解】解： 的相反数为 ；
故选C．
2. 在 年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到
亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，有理数的除法，熟练掌握大数的科学记数法的表示方法是解题的关键．先
求得前三日平均每天的票房为 元，再利用科学记数法表示．
【详解】解： 亿 ，
前三日平均每天的票房为 （元），
，
故选：C．
3. 某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，根据题中题干的三视图，与选项的几何体进行分析，即可作答．
【详解】解：∵俯视图的正方形在左上方，
∴只有C选项是符合的；
故选：C
4. 如图，反比例函数 与一次函数 的图象相交于点 ， ，则
的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象
上点的坐标特征，求得 、 的值是解题的关键．
把 点坐标代入反比例函数解析式可求得 ，则可求得反比例函数解析式，则可求得 点坐标，把 、
坐标代入一次函数解析式可求得 、 ，进一步求得 的值．
【详解】解： 点 在反比例函数图象上，
，反比例函数解析式为 ，
在反比例函数图象上，
∴ ，
，
，
、 在一次函数图象上，
，解得 ，
．
故选：A．
5. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方与幂的乘方法则逐项判断即可得．
【详解】解：A、 与 不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意；
B、 ，则此项错误，不符合题意；
C、 ，则此项错误，不符合题意；
D、 ，则此项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握各运
算法则是解题关键．
6. 如图．将扇形 翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与 交于点C，连接 ．若 ，则图中阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接CO，且直线l与AO交于点D，解直角三角形求出 ，即可求出扇形 的面
积，再算出 的面积，即可求出阴影部分面积．
【详解】连接CO，且直线l与AO交于点D，如图所示，
∵扇形 中， ，
∴ ，
∵点A与圆心O重合，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
由勾股定理得： ，
∵ ， ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】此题考查求不规则图形的面积，扇形面积公式，添加辅助线是本题的关键．
7. 如图，在 中， 为 上一点，若 ， ，则 的值为（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先证明 ，设 ，则 ．作 于点E，根据
列方程求解即可．
【详解】∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
设 ，则 ．
如图，作 于点E，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
解得 ， （舍去）．
故选A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，
正确作出辅助线是解答本题的关键．
8. 已知a，b，c为实数，且 ， ，则a，b，c之间的大小关系是（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
先根据已知等式求出 ，再利用完全平方公式判断出 的符号，由此即可得出答案．
【详解】解：∵ ， ，
，
，
，
，
又 ，
，
，
故选：A．
9. 在平行四边形 中，E，F是对角线 上的两点，下列条件中，不能推出 的是
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】题目主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质、平行线的性质，理解题意，作出辅
助线，综合运用这些知识点是解题关键根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质依次判断各个选
项即可．
【详解】解：A、如图，∵四边形 是平行四边形，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故不符合题意；
B、过点E作 ，过点F作 ，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故不符合题意；
C、在 上截取 ，连接 ，如图所示：
同理得 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，即点M与E重合，
∴ ，故不符合题意；
D、无条件可得出 ，故符合题意；
故选：D
10. 如图（1）所示，E为矩形 的边 上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线
运动到点C时停止，点Q沿 运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P，
Q同时出发t秒时， 的面积为 ．已知y与t的函数关系图像如图（2）（曲线 为抛物线的
一部分），则下列结论不正确的是（ ）
A. B. 当 秒时，
C. 当 时， D. 当 的面积为 时，t的值是 或
秒
【答案】C
【解析】
【分析】先由图2中的函数图像得到当 时，点Q到达点C，即 ，然后由 时，
可知 的面积是定值 、 ,当 时点P到达点D，
，可以判定A；当 时，根据得到 ，过点P作 于点H，根据
求得 ，设 ，根勾股定理计算 ，可计算 ；根据 ，
得到再运动4秒到达C点即
，确定直线 的解析式，分别计算可得到 或 秒；
当 时，故点 在 上，把 代入直线 的解析式计算 ．
【详解】解：设抛物线的解析式为 ，
当 时， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
由图2中的函数图像得当 时，点Q到达点C，即 ，
∵ 时， ，
∴ 的面积是定值 且 ,
当 时点P到达点D，
∴ ，
∴ ，
故A正确，不符合题意；
当 时，∵ ， ，
∴ ， ，
过点P作 于点H，
∴
解得 ，
设 ，则 ，
∴ ，
解得 （舍去），
∴ ，
∴ ，
故B正确，不符合题意；
根据 ，
∴再运动4秒到达C点即 ，
设直线 的解析式为 ，
根据题意，得 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ 的面积为 ，
故 或
解得 （舍去）或 ，
故D正确，不符合题意；
∵ 时，故点 在 上，
当 时， ，
解得
∴ ．
故C错误，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的图像、列二次函数关系式、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质
等，解题的关键是结合几何图形和函数图像得到有用信息．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）11. 若分式 有意义，则 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了分式有意义 的条件，直接利用分式有意义则其分母不为零，进而得出答案．
【详解】∵分式 有意义，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12. 比较大小： ______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键；根据
估算 和 的大小，推出结果．
【详解】解：因为
所以 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
13. 现有四张正面分别标有数字﹣1、0、1、2的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝
上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，再次背面朝上洗均匀，随机抽取一张记下数字，前后两次抽
取的数字分别记为m、n，则点(m，n)在抛物线y＝x2+1上的概率为_____．【答案】 ．
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果在抛物线 图像上的情
况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：根据题意，树状图如下：
∴共有16等可能的结果，前后两次抽取的数字分别记为m、n，则点(m，n)在抛物线y＝x2+1上的可能有3
种；
分别为：（ 1，2），（0，1），（1，2）；
∴概率为： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符
合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
14. 如图，在菱形 中， ， ， 是 边上的动点，N是 边上的动点，将
沿 翻折得 ， 的延长线与 的延长线交于点E．
（1）如图①，当点B落在 上时，恰好有 ，此时 _____；（2）如图②，当 时，移动点N，使点E与点D重合，此时 _____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角函数、矩形的判定与性质、相似三角形的性质以及勾股定理的
综合运用，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识是解题关键．
（1）过点C作 于点K，根据矩形的判定和性质得出四边形 是矩形，再由三角函数的出
，利用折叠的性质确定 ，即可求解；
（2）延长 交 的延长线于点P，过点 D作 交 的延长线于点Q，根据折叠的性质及
等腰三角形的判定得出 为等腰三角形，再由相似三角形的判定和性质得出 ，
，设 ，则 ，得出 ， ，结合图形，利用勾
股定理求解即可．
【详解】解：（1）过点C作 于点K，
∵ ，
∴ ，
∵菱形 ，
∴ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）延长 交 的延长线于点P，过点 D作 交 的延长线于点Q，
∵折叠，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
设 ，则 ，
∴ ， ，
同（1）得 ，
在 中， ，
∵ ，即 ，
解得： 或 （不符合题意，舍去）
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简，再求值： ，其中
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值．先计算括号内的，再计算除法，然后把 代入化简后
的结果，即可求解．
【详解】解：，
当 时，原式
16. 交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备分两次购入 、 两款
头盔，第一次购进了 、 两款头盔共 个， 款头盔进价 元，售价 元； 款头盔进价 元，售
价 元．
（1）第一次购进头盔的金额不得超过 元，则至少购进多少个 款头盔？
（2）第一批头盔销量不错，批发店准备再购进一批，第二批两款头盔的进价不变， 款头盔进货量在
（1）的最少进货量的基础上增加了 个，售价比第一次提高了 元； 款头盔售价和第一次相同，进
货量为 个，但是在运输过程中有 已经损坏，无法销售，结果第二批头盔的销售利润为 元，
求 的值．
【答案】（1） 个
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，理清题意，正确列出一元一次不等
式以及一元二次方程是解答本题的关键．
（1）根据“第一次购进头盔的金额不得超过 元”列出一元一次不等式，解之即可求解；
（2）根据“第二批头盔的销售利润为 元”列出一元二次方程，解之即可求解．
【小问1详解】
解：设第一次购进 款头盔 个，则购进 款头盔 个，
根据题意，得： ，
解得 ，
答： 款头盔至少购进 个；【小问2详解】
解：根据题意，可得 ，
整理得： ，
解得 ， （不合题意，舍去），
的值为 ．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知 三个顶点的坐标分别为 ， ，
（1）画出 关于原点 成中心对称的 ；
（2）画出 绕点 按逆时针方向旋转 所得到的 ；
（3）求（2）中点 所经过的路径长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查作图-旋转变换、中心对称、弧长公式，熟练掌握作图方法是解题关键．
（1）根据中心对称的性质找到对应点，作图即可；
（2）根据旋转的性质找到对应点，依次连接作图，即可得出答案；
（3）先求得 ， ，再利用弧长公式即可求解．
【小问1详解】解： 如图所示：
；
【小问2详解】
解： 如图所示；
【小问3详解】
解： ， ，∴线段 旋转到线段 所经过的路径长为 ．
18. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学
发现杨辉三角给出了 （ 为正整数）的展开式（按 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．
例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应 展开式中各项的系数；第
四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着 展开式中各项的系数等等．
（1）填出 展开式中共有 项，第三项是 ．
（2）直接写出 的展开式．（3）利用上面的规律计算：
．
【答案】（1）5， ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）归纳总结得到规律，即可得解；
（2）根据得出的系数规律，将原式展开即可；
（3）利用规律计算原式即可得到结果．
【详解】解：（1）由杨辉三角的系数规律可得，
，
展开式共有5项，第三项是 ．
（2） ，
当 ， 时，
原式
，
．
（3）由杨辉三角可知，原式 ．
【点睛】此题考查了完全平方公式，找出题中的规律是解本题的关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，四边形 内接于 ， 平分 ，交 于点M．（1）如图1，求证： ．
（2）如图2，若 经过圆心O，且 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由角平分线的定义可得 ，即可得出 ，结合圆周角定理推出
，由相似三角形的性质可得 ，即可得证；
（2）由圆周角定理结合角平分线的定义得出 ，从而得出 ，
推出 ，由勾股定理得出 ， ，作 于 ，求出 、 的长，
即可得解．
本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题
的关键．
【小问1详解】
证明： 平分 ，
，
，
，
，，
，
；
【小问2详解】
解： 为直径，
，
平分 ，
，
，
，
在 中， ， ，
，
在 中， ， ，
，
作 于 ，
，
在 中， ， ，，
在 中， ， ，
，
．
20. 如图 是某越野车的侧面示意图，折线段 表示车后盖，已知 ， ，
，该车的高度 ．如图 ，打开后备厢，车后盖 落在 处， 与水
平面的夹角 ．
AI
（1）求打开后备厢后，车后盖最高点 到地面 的距离；
（2）若小明爸爸的身高为 ，他从打开的车后盖C处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（结果
精确到 ，参考数据： ， ， ， ）
【答案】（1）
（2）没有碰头的危险，见解析
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义
是解题的关键．（1）过点 于 ，根据正弦 的定义求出 ，进而求出车后盖最高点B'到地面l的距离；
（2）过点 作 于点 ，根据题意求出 ，根据余弦的定义求出 ，再求出点
到地面 的距离，比较大小证明结论．
【小问1详解】
解：如图 ，过点 于 ，
在 中， ， ，
，
，
∴点 到地面 的距离为： ，
答：车后盖最高点 到地面 的距离约为 ；
【小问2详解】
没有碰头的危险，
理由如下：如图 ，过点 作 于点 ，
在 中， ，
则 ，
，
，
，
，
∴点 到地面 的距离为： ，
，
∴没有碰头的危险．六、解答题（本题满分12分）
21. 某中学积极推进校园文学创作，要求每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件，学期末，学校为
了解学生的投稿情况，随机抽取了部分学生，统计每人在本学期投稿的篇数，并绘制成如下统计图表：
投稿篇数
1 2 3 4 5
（篇）
1 1
人数 7 m 6
0 2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次所抽取的学生共有______名，表格中m的值为______，所抽取的学生在本学期投稿的篇数的中
位数是______篇；
（2）水本次所抽取的学生在本学期投稿的篇数的平均数；
（3）若该校共有1500名学生，请估计该校学生在本学期投稿的篇数为5篇的学生有多少名？
【答案】（1）50；15；3
（2）3篇 （3）180名
【解析】
【分析】本题考查了统计图表的应用，平均数，中位数的计算以及用样本估计总体，解题的关键是从图表
中获取有效信息并运用相应公式计算．
（1）先根据投4篇的人数和其所占百分比求出总人数，再根据总人数求出 的值，最后根据中位数定义
确定中位数．
（2）根据加权平均数公式计算平均数．
（3）先算出样本中投稿5篇的学生所占比例，再用总人数乘以该比例来估计全校投稿5篇的学生人数．【小问1详解】
解：已知投4篇的有12人，占比 ，
则抽取的学生总数为 （名）；
因为总人数是50名，所以 ；
将投稿篇数从小到大排列，总人数50是偶数，中间的两个数是第25，26个数，都在投稿3篇的范围内，
所以中位数是3篇；
【小问2详解】
解：平均数为：
（篇）；
【小问3详解】
解：样本中投稿5篇的学生有6名，所占比例为 ，
该校共有1500名学生，则估计投稿5篇的学生有 名）．
七、解答题（本题满分12分）
22. 在 和 中， ， ， ，旋转 ，使点 在
内．
（1）如图1，求证： ；
（2）当 时，延长 交 于点 ．
①如图2，若 ， ，求 的长；②如图3，连接 ，若点 是 的中点，判断线段 与线段 的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）① ；② ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）证明 ，再利用已知 ， ，即可证明结论；
（2）①求出 ， ．证明 ．则 ．得到
，由（1）可知， ，即可得到答案；②延长 交 于点 ．证明
四边形 是正方形．则 ， ．证明 ，得到 ．
得到 ， ．即可证明 ．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
即 ．
∵ ， ，
∴ ．
【小问2详解】
解：①∵ ，
∴ ， ．
∵ ， ，∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴
同（1）可知， ，
∴ ．
② ，理由如下：
如图3，延长 交 于点 ．
∵ ，
∴ ， ．∴ ．
∴四边形 是矩形．
∵ ，
∴四边形 是正方形．
∴ ， ．
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ， ．
∴ ．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定
和性质、正方形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解
题的关键．
八、解答题（本题满分14分）
23. 抛物线 与直线 交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．
（1）求点B和点D的坐标；（2）如图①，连接 ，P为x轴上的动点，当 时，求点P的坐标；
（3）如图②，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为 ，
连接 交直线 于点E，求 的最大值．
【答案】（1） ；顶点
（2）P点坐标 或
为
（3）
【解析】
【分析】（1）令 ，可求出点 的坐标，将函数 化为顶点式，可求出点 的坐
标；
（2）当 轴时，易得此时 ，则点P的坐标为 ；过点 作 轴
于点 ，可得 ，推出 ，由点 为 轴的负半轴上的一点，设直线
与 轴交于点 ，则 是等腰三角形，可得 ，设 ，则 ， ，根
据勾股定理求出 值，进而得到点 的坐标，利用待定系数法求出直线 的解析式，即可求解；
（3）分别过点 ， 作 轴的平行线，交直线 于点 ， ，求出 ，证明
得到 ，利用二次函数的性质可得结
论．【小问1详解】
解：令 ，
解得 或 ，
；
，
顶点 ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴当 轴时，此时有 ，
∴ ，符合题意，
∴点P的坐标为 ；
如图，当点P在x轴负半轴时，过点 作 轴于点 ，
， ，
，
，，
为 轴的负半轴上的一点，设直线 与 轴交于点 ，则 是等腰三角形，
，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
解得： ，
，
设直线 的解析式为： ，将点 、 代入得：
，
解得： ，
直线 的解析式为： ，
令 ，则 ，
解得： ，
；综上所述，点P的坐标为 或 ；
【小问3详解】
解： 点 与点 关于对称轴 对称，
，
如图，分别过点 ， 作 轴的平行线，交直线 于点 ， ，
， ，
为
点 横坐标 ，
， ，
，
∵ ，
∴ ，
，
，
当 时， 的最大值为 ．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及二次函数的性质，一次函数，解直角三角形，相似三角形
的性质与判定等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
