文档内容
安徽省芜湖市第二十八中学 2025 年九年级二模数学试卷
注意事项：
1．本试卷满分为150分．考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数求解即可．
【详解】解： 的相反数是2，
故选：D
2. 最新智能芯片的运算速度达到每秒70万亿次以上．数据“70万亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 ，其中 ， 为整数，正
确确定 的值以及 的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答．
【详解】解：70万亿 ．
故选：D．
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】本题考查了由三视图还原几何体，掌握常见几何体的三视图是解题的关键．根据几何体的三视图
即可得出答案．
【详解】解：由几何体的三视图可得，该几何体是
故选：C．
4. 下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、合并同类项，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、合并同类项的运算法则，逐项分析即可得出结论．
【详解】解：A、 ，故此选项运算不正确，不符合题意；
B、 ，故此选项运算正确，符合题意；
C、 ，故此选项运算不正确，不符合题意；
D、 ，故此选项运算不正确，不符合题意；
故选：B．
5. 如图，四边形 是 的内接四边形， ， ，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】本题考查了圆内接四边形、三角形内角和定理，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．
由四边形 是 的内接四边形，得到 ，得出 ，再在 中利
用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解： 四边形 是 的内接四边形，
，
，
，
．
故选：A．
6. 自2018年以来，国家医疗保障局会同有关部门对医保药品进行集中采购，以降低药价，解决看病贵的
问题．某药企为了适应市场需求，不断改进生产工艺，降本增效，使两年前生产的某种药品的成本由60元
降低到今年的40元．设这种药品的成本的年平均下降率为 ，根据题意，下列方程中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程 的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设这种药
品的成本的年平均下降率为 ，根据题意列出方程即可解答．
【详解】解：设这种药品的成本的年平均下降率为 ，
根据题意列出方程， ．
故选：C．
7. 数学老师准备在祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位数学家中选取2位，介绍他们在数学领域取
得的成就，则选到数学家祖冲之和秦九韶的概率是（ ）
A. B. C. D.【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了概率的计算，掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键．先根据题意列表，由表格
得出所有等可能的结果数和符合题意的情况，再利用概率的计算公式即可求解．
【详解】解：设这5位数学家分别为 ，
列表如下：
由表格可知，一共有20种等可能的结果，其中选到数学家祖冲之和秦九韶有2种情况，
选到数学家祖冲之和秦九韶的概率 ．
故选：B．
8. 如图，在 中， ， ，点 ， 分别为 ， 的中点，连接 ，
作 边上的高 ，连接 ，下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了解三角形，根据已知可得 ，根据中位线可得 ，从而求出它们的三角函数值，通过已知线段利用三角函数求出其他线段长度，从而判断结论是否正确.
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
，
∴ ，故选项B正确，不符合题意；
∴ ， ，
∴ ，故选项A正确，不符合题意；
连接 ，过点 作 ，垂足为 ，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，
∴∴ ，
，
∴ ，
，
∴ ，
∴在 中， ，故C正确，不符合题意；D错
误，符合题意.
故选D
9. 已知二次函数 的图像经过 ， 两点，则下列判断中正确的
是（ ）
A. 存在实数 ，使得 B. 存在实数 ，使得
C. 无论实数 为何值，都有 D. 无论实数 为何值，都有
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意把当 时， 时，求出 ，
，即可解题．【详解】解：当 时， ，选项AC错误，不符合题意；
当 时，二次函数 ，当 时， ，故选项B正确符合题意；选
项D错误不符合题意，
故选：B．
10. 如图，在 中， ， ， ，动点 ， 同时从 出发，点 以每秒3个
单位长度沿 向终点 运动；点 以每秒1个单位长度沿 向终点 运动，当其中
一动点运动至终点时，另一动点随之停止运动．设运动时间为 ， 的面积为 ，则 关于 的函数
关系的图像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的知识点是动点问题函数图象、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质，解题
关键是分段考虑，正确表示出 时 关于 的函数解析式．分三种情况可得该时间段内 关于 的函数解析式，结合二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质
即可判断正确图象．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴ ， ，
∴点 达到点 所需要的时间为： （秒），
点 达到点 所需要的时间为： （秒），
∴ ，故选项C、D错误；
当 时，点 在 上运动，此时 ， ，
如图，作 交 于点 ，
∴ ，
∴ ，
根据二次函数的性质可得，此时表示 与 函数关系的图象应为开口向上的抛物线，
当 ，点 在 上运动，
如图，过点 作 交 于点 ，
，∴ ；
根据一次函数的性质此时表示 与 函数关系的图象是一条斜向上的线段；
当 ，点 在 上运动，作 交 延长线于点 ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
根据二次函数的性质可得，此时表示 与 函数关系的图象应为开口向下的抛物线；
则 选项错误、 选项正确．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若代数式 有意义，则实数 的取值范围是_________．
【答案】 且
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、不等式的性质，熟练掌握二次根式、分
式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式、分式有意义的条件即可解答．
【详解】解： 代数式 有意义，且 ，
解得： 且 ，
实数 的取值范围是 且 ．
故答案为： 且 ．
12. 因式分解： ______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先提公因式，再利用十字相乘法
进行因式分解即可．
【详解】解：原式 ；
故答案为：
13. 如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图像与矩形 的边 ， 分别相交于
点 ， ，已知 ， ， 的面积为 ，则 的面积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形性质、矩形的性质、反比例图像的性质，熟练掌握矩形的性质，利用割补法
求解图形面积是解答的关键．利用矩形性质和坐标与反比例图像的性质可得 M的坐标是 ，N的坐标是 ，再根据坐标与图
形性质和矩形性质，借助割补法，根据 求解面积列方程即
可求出 ．进而求解．
【详解】∵四边形 是矩形， ， ，
∴ 轴， ， ，
∵M、 在 上，
∴M的坐标是 ，N的坐标是 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ 的面积 ，
∴ ，
解得： （负值已经舍去）
故
故答案为 ．
14. 如图1，在 中， ， ， 的垂直平分线分别交 ， 于点 ， ．（1）当 平分 时， __________．
（2）如图2，在（1）的条件下，将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ，旋转角为
，连接 ， ，则 的面积的最大值为__________．
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】（1）根据题意及垂直平分线 性质和角平分线确定 ， ，
的
，再由正切函数求解即可；
（2）取 中点 ，连接 ， ，作 于N，由旋转的性质知 ，
为 旋转 所得线段，则 ， ， ，根据点到直线的距离，垂
线段最短知 ，三角形三边关系得出 ，故当D、O、 三点共线，且点O在线
段 时， 取最大值，此时 ，最后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∵ 的垂直平分线分别交 ， 于点 ， ． ，∴ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4；
（2）解：取 中点 ，连接 ， ，作 于N，
由旋转的性质知 ， 为 旋转 所得线段，
∴ ， ， ，
根据垂线段最短知 ，
又 ，
∴当D、O、 三点共线，且点O在线段 时， 取最大值，最大值为 ，
此时 ，
∴ 面积的最大值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，含 的直角三角形的性质，解三角形，勾股定理，旋转的
性质等知识，明确题意，正确画出图形，添加辅助线是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、零指数幂和绝对值化简、有理数乘方，先分别计算零指数
幂和乘方、化简各数，再计算加减法即可．
【详解】解：
．
16. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1， 为格点三角形．
的
（1）以点 为位似中心，在第四象限内作 位似三角形，使位似比为 ．
（2）画出 绕点 按逆时针方向旋转 所得的 ，并求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，
【解析】
【分析】本题考查了画位似图形、画旋转图形、弧长公式，根据题意正确作图是解题的关键．（1）分别延长 、 至 、 ，使得 ，再连接 得到 ，则 的位
似三角形即为所求；
（2）将 绕点 按逆时针方向旋转 得到 ，利用勾股定理求出 的长，再利用弧长公
式求出 的长即可解答．
【小问1详解】
：如图所示， 的位似三角形 即为所求：
【小问2详解】
：如图所示， 即为所求：
由图可得， ，
．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 为助力乡村振兴，某村计划对村集体80公顷林地的种植项目进行调整，将其中15%的林地种植茶叶，
其余的林地种植油桃和香梨．已知油桃的种植面积比香梨的3倍少4公顷，问油桃和香梨的种植面积各多
少公顷？【答案】油桃的种植面积为50公顷，香梨的种植面积为18公顷
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设香梨的种植
面积为 公顷，则油桃的种植面积为 公顷，根据题意列出方程，解出 的值即可解答．
【详解】解：设香梨的种植面积为 公顷，则油桃的种植面积为 公顷，
由题意得， ，
解得： ，
则 ，
答：油桃的种植面积为50公顷，香梨的种植面积为18公顷．
18. 在一个平面内，3条直线两两相交，交点分别为 ， ， ，平面被分成7块，从点 出发，在
内作一条射线，则平面被分成9块．
（1）完成下表：
图形
在 内所添
0 1 2 3
加的射线条数
平面被分成的块 ②__________
7 9 ①__________
数 _
（2）观察上表，试写出 与 的关系式，并判断平面能不能被分成2025块．如果能，求出在 内所
添加的射线条数，如果不能，说明理由．
【答案】（1）11，13．
（2）能， ．
【解析】
【分析】本题考查了图形类规律探索，（1）观察图形可以得出从点 出发，在 内作一条射线，在原来的基础上增加2块，由此即可解题；
（2）根据观察的规律可得 ，然后列方程即可判断．
【小问1详解】
解：由图可知：从点 出发，在 内作一条射线，在原来的基础上增加2块，
当 时，平面被分成的块数 ，
当 时，平面被分成的块数 ，
【小问2详解】
结论：能，
由（1）得 ，
当 时，即 ，解得： ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图1所示的是水平放置的水槽截面 ， ， ，一束光线从
水槽边的 处投射到空气和液体的分界 上的中点 处，入射光线与水槽内壁 的夹角 ，
与法线 的夹角为 ，折射光线 与法线 的夹角 ．已知在光源沿 向下移动的过程中，
比值 不随 ， 的变化而变化．当入射点 位置不变，光源沿 向下移动到 点时，折射光线
通过点 ，如图2所示，求 的长．（参考数据： ）
【答案】
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．由图1可知，
，得出 ，再由图2可知， ， ，得出
，得到 ，在 中利用正弦的定义求
出 的长，再利用勾股定理求出 的长，即可求出 的长．
【详解】解：由图1可知， ，
，
由图2可知， ， ，
，
由题意得， ，
，
，
，
，
由题意得， ，
在 中， ，
，，
， ，
，即 ，
，
．
的长为 ．
20. 如图1， 是 的内接三角形， ， 为 的直径，连接 并延长交 于点
，连接 并延长交 的切线 于点 ．
（1）试判断四边形 的形状，并说明理由．
（2）如图2，连接 ，若 ， ，求 的值．
【答案】（1）四边形 是矩形，证明见解析．
（2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理、勾股定理，矩形的判定和性质，熟练运用这些
性质进行推理是本题的关键．
（1）由垂径定理可知 ，由切线的性质可得 ，由圆周角定理可得 ，根据
有三个角是直角的四边形是矩形可得结论；（2）由勾股定理和矩形性质可得 ， ， ，继而结合垂径
定理求出 ，由中位线性质可得 ，进而求出 ，由此
即可求解．
【小问1详解】
解：四边形 是矩形，
证明：∵ ， 是半径，
∴ ，
∴ ， （即 ），
∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ 是 的切线， 是半径，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
【小问2详解】
解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵在 中， ， ，
∴ ，解得： ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
六、（本题满分12分）
21. 为了了解学生的体能状况，某校对学生进行了专项体能测试．男生引体向上是必测项目之一，现随机
抽取七年级若干名男生的测试成绩，并将抽取的成绩进行整理．用引体向上个数 表示成绩，分成四组，
如下表所示：
组别 A B C D
根据抽取的男生成绩，绘制出如图所示的不完整的统计图．
抽取的七年级男生成绩条形统计图
抽取的七年级男生成绩扇形统计图
（1）求C组人数，并补全条形统计图．
（2）若七年级男生引体向上不低于4个为合格，估计该校参加测试的600名七年级男生中成绩合格的人数，
并给出一条合理建议．（3）下列结论一定正确的是_______（填序号）．
①这组数据的中位数是14；②B组数据在扇形统计图中所对应的圆心角为 ；③这组数据的众数是
21；④题目所给条件不能求出这组数据的平均数．
【答案】（1）C组人数为3人，图见解析；
（2）合格人数约为285人，建议学校加强训练，着重锻炼引体向上、跑步等项目涉及的身体素质，以提升
整体体育成绩合格率．
（3）②
【解析】
【分析】本题考查了中位数，众数，平均数、条形统计图和扇形统计图的意义和制作方法．
（1）用D组的人数除以D组的占比，可得样本容量，再用样本容量分别减去其它三组的人数，即可得出
C组的人数，进而补全条形统计图；
（2）用600乘样本中成绩不低于4个的人数所占比例即可．用 组人数所占比例乘以 即可；
（3）根据中位数，众数，平均数以及扇形圆心角求出分别求解即可判断．
【小问1详解】
解：样本容量为： ，
故C组人数为： （人），
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
解：参加测试的600名七年级男生中成绩合格的人数为： （人），
答：估计参加测试的600名七年级男生中成绩合格的人数为大约有285人．建议学校加强训练，着重锻炼
引体向上、跑步等项目涉及的身体素质，以提升整体体育成绩合格率．
【小问3详解】
解：样本容量为40， A组21人；故数据由小到大排列，第20个、21个一定在A组，故中位数一定小于4．故结论①错误，
②B组数据在扇形统计图中所对应的圆心角为 ，故结论②正确；
③21是A组数据的个数，不是这组数据的众数，故结论③错误，
④题目所给条件不能求出这组数据的平均数．故结论④正确．
综上所述：正确的结论有②．
七、（本题满分12分）
22. 在正方形 中，点 是 上一动点（不与点 ， 重合），连接 ，将 绕点 在平面内
按顺时针方向旋转 至 位置，连接 ，交 于点 ．
（1）如图1，当点 为 的中点时，若正方形的边长为4，求 的长．
（2）如图2，过点 作 于点 ，其延长线交 于点 ．
①连接 ，求证： 平分 ；
②当 时，求 的值．
【答案】（1）
（2）①见解析；② .
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转、四边形和全等三角形综合，解题关键是构造 K字形全等证明 ，.
（1）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ,构造K字形全等，可得
， ，进而可得 ，再根据点 为 的中点时，可得
，由此得出 ，进而可得 ，
由此求出 ，再根据 即可求出；
（2）①过点 作 于点 ，交 于点 ,过点 作 于点 ，由（1）可证明四边形
是正方形，再根据到角两边距离相等的点在角的平分线上即可得出结论；
②由已知可得 ，再根据 ，可得 ，由 ，即
可得出 ．
【小问1详解】
解：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，交 于点
由旋转可知： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵在正方形 中， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵当点 为 的中点时，正方形的边长为4，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】①过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ,过点 作 于点 ，
由（1）可知： ， ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴ 平分 ，
②当 时，即 ，
∴ ，
∴
∴ ，
在
∵ 正方形 中， ，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ．
八、（本题满分14分）
23. 已知抛物线 过点 和点 ，且 ，直线过点 ，交线段 于点 ．
（1）求抛物线的对称轴．
（2）已知 的周长为 ， 的周长为 ，且 ．
①求点 的坐标；
②过点 作直线 ，交抛物线于 ， 两点，求 面积的最小值及此时抛物线的解析式．
【答案】（1）
（2）① ，② 的面积最小值为 ，此时抛物线 的解析式为 ．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与周长、面积问题、二次函数与一元二次方程、待定系数法求函数解析式，
熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）利用抛物线的对称轴公式 即可求解；
（2）①由抛物线的对称轴为直线 得到 ，点 在抛物线的对称轴上，从而得出 ，
进而可得 ，设点 的坐标为 ，其中 ，解方程即可得出点B坐标；
（3）令 ，求出直线 与抛物线交点坐标，进而用含 的代数式表示 长，再利用三角形的面积
公式得出 ，再结合二次函数的性质求出 的面积最小值和此时 的值，即
可得出抛物线的解析式．
【小问1详解】
解： 抛物线 ，
抛物线的对称轴为 ，
抛物线的对称轴为直线 ．
【
小问2详解】解：① 抛物线 过点 ， ，
点 和点 关于抛物线的对称轴对称，且直线 为 ，
，即 ，
点 在线段 上，
设点 的坐标为 ，其中 ，
∴ ，
，
点 在抛物线的对称轴上，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
即： ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
②令 ，则 ，
解得： ， ，，
，
∵ ，点 到直线 的距离为 ，
，
当 时， 有最小值15，此时 有最小值 ，
此时抛物线的解析式为 ，
综上所述， 的面积最小值为 ，此时抛物线 的解析式为 ．
