文档内容
来安县 2025 届九年级二模试卷
数学试题
注意事项：
1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个
选项，其中只有一个是正确的．
1. 在 ，0，2，5这四个数中，比0小的数是（ ）
A. B. 0 C. 2 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查比较有理数大小，根据正数大于0，负数小于0，进行判断即可．
【详解】解：∵ ；
∴比0小的数是 ；
故选A．
2. 2024年黄山风景区接待游客约350万人次，将350万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法： 为整数，进行表示即
可．
【详解】解：350万 ；
故选B．
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是
站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是从左向右观察到的图形，掌握三视图的定义是解
题关键，根据三视图的定义即可解题．
【详解】解：根据三视图的位置判断，只有B选项符合题意，
故选：B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，求一个数的立方根，根据合并同类项，积的乘方，立方根，同底数幂的乘
法法则，逐一进行计算判断即可．
【详解】解：A、 ，原计算错误，不符合题意；
B、 ，原计算错误，不符合题意；
C、 ，原计算错误，不符合题意；D、 ，原计算正确，符合题意；
故选D．
5. 已知反比例函数 （ ）与二次函数 的图象有一个交点的横坐标为1，则k的
值为（ ）
A. B. 1 C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与二次函数图象的交点问题，把 代入 ，求出 的值，
待定系数法求出k的值即可．
【详解】解：把 代入 ，得： ，
把 ， 代入 ，得 ；
故选B．
6. 一位射击运动员在一次训练效果测试中射击了10次，成绩如图所示，则这10次射击成绩的平均数是（
）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了折线统计图以及平均数数．根据平均数的定义，利用图中的数据，列式计算即可．
【详解】解：根据题意：
这10次射击成绩的平均数是： ，
故选：C．7. 在正五边形 中， 相交于点F，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正多边形有关的角，多边形内角求法，等腰三角形的性质，三角形内角和与外角的性质，
利用数形结合求解是解答此题的关键．首先根据正五边形的性质得到
，然后利用三角形内角和定理得
，最后利用三角形外角的性质即可得到 ．
【详解】解：∵五边形 为正五边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
8. 如图，在 中， ， ，点D在 延长线上， ，若
的
，则 的长度为（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，过点A作 于点
H，先求出 ，易得 ，根据已知得到 ，利用勾股定理求出
，由 即可求出结果．
【详解】解：过点A作 于点H，
∵在 中， ， ， ，
∴ ， 是等腰直角三角形， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故选：A．
9. 已知三个实数a，b，c满足 ， ，则（ ）
.
A ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式 的性质，等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是
解题关键．将 整理得到 ，代入 ，即可判断 ，再将
代入 即可进行解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴，
∵ ，
∴ ，
综上： ，
故选：D．
10. 如图，在正方形 中， ，点E为 中点，点F，G分别在边 上（不与端点重
合），且 ．设 （ ）， ，则y关于x的函数图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，正方形的性质，先证明
，由相似三角形的性质可得出 ，即可得到 ，即可解答．
【详解】解：在正方形 中， ，点E为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 （ ）， ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴y关于x的函数图象为开口向下，顶点坐标为 的抛物线，故选项A符合题意，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 比较大小： ________ （填“ ”或“ ”）．
【答案】
【解析】【分析】本题考查比较实数的大小，利用平方法比较大小即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
即： ；
故答案为： ．
12. 当分式 的值为0时，则实数x的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式值为零的条件，一元二次方程的解法，根据分式值为 的条件①分母不为 ，②
分子等于 计算即可．
【详解】解：由题意得 且 ，
由 解得 ；
由 ，解得 或 （舍去）
所以实数 的值为 ．
故答案为： ．
13. 如图， 是 的弦，点P在弦 上，已知 的半径为7，若 ， ，则 的长为
________．【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．过点O作 于点C，则 ， ，设
，则 ，根据勾股定理可得 ，建立方程求出x的
值，即可求解．
【详解】解：如图，过点O作 于点C，则 ， ，
∵ ， ，
设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
14. 如图，现有矩形纸片 ， ， ，将边 沿折痕 折叠，使点B落在边 上点
F处，再沿折痕 折叠，使点C落在矩形所在平面内的点 处，边 与 交于点G，然后还原．
（1） 的长为________；
（2）在边 上取点H，满足 ，沿 折叠使点C落在矩形所在平面内的点 处，作
的平分线分别交 于点P，M，则 的长为________．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质可得 ，结合
，易证四边形 都是矩形，得到 ，求出
，推出 ，易证四边形 是正方形，进而求出，设 ，则 ，证明 ，推出 ，利
用勾股定理建立方程即可求解；
（2）延长 交于点Q，由折叠的性质可得 ，结合 平分 ，得到
，求出 ，进而证明 ，利用正切的定义结合结合
，求出 ，证明 ，求出 ，进而求出 ，证明
，推出 ，再利用勾股定理求出 ，即可求解．
【详解】解：（1）由折叠的性质可得 ，
∵ 是矩形， ， ，
∴ ，
∴四边形 都是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，由折叠的性质得： ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，则 ，
故答案为： ；
（2）延长 交于点Q，
由折叠的性质可得 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查的是矩形的判定性质、折叠的性质、正方形的判定与性质，相似三角形判定与性质，全
等三角形的判定与性质，勾股定理和锐角三角函数，掌握矩形的性质、折叠的性质、用勾股定理和锐角三
角函数解直角三角形是解决此题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，移项后，利用因式分解法解方程即可．熟练掌握解一元二次方程的方
法，是解题的关键．
【详解】解：
∴ 或 ，
∴ ．
16. 观察以下等式：
第1个等式： ；第2个等式： ；
第3个等式： ；第4个等式： ；…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第7个等式：_______________；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】（1）（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查数字的变化类、列代数式，积的乘方运算，了解等式的特点，是解题关键．
（1）根据题目中等式的特点，写出第7个等式即可；
（2）根据题目中等式的特点，写出猜想 ，再分别计算等式左边和右边，看是否相等，
即可证明猜想．
【小问1详解】
解：第1个等式： ；第2个等式： ；
第3个等式： ；第4个等式： ；
∴第7个等式： .
【小问2详解】
解：猜想： ；
证明如下：左边 ，
右边 ，
∴左边 右边，
∴ 成立.
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 水东蜜枣是安徽省宣城市宣州区特产，全国农产品地理标志．为了践行“着力抓好三农工作，深入推
进乡村全面振兴”的工作要求，小徐村的鲜枣一部分直接销售，一部分制成蜜枣销售．直接销售，每千克
的销售额为a元；每千克的鲜枣制成蜜枣后销售额比直接销售提高 ．去年该村产200000千克鲜枣，
制成蜜枣的总销售额是直接销售的 ．
（1）每千克鲜枣制成蜜枣后的销售额为________元（用a的代数式表示）；（2）求去年直接销售鲜枣多少千克？
【答案】（1）
（2）去年直接销售鲜枣 千克
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，列代数式，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
（1）根据每千克的鲜枣制成蜜枣后销售额比直接销售提高 ，列出代数式即可；
（2）设去年直接销售鲜枣 千克，根据去年该村产200000千克鲜枣，制成蜜枣的总销售额是直接销售的
，列出方程进行求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，每千克鲜枣制成蜜枣后的销售额为 元；
故答案为： ；
【小问2详解】
设去年直接销售鲜枣 千克，由题意，得：
，
解得： ；
答：去年直接销售鲜枣 千克．
18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系 ，格点（网格线的
交点）A，B，C的坐标分别为 ．（1）利用格点画出 的外接圆 ，并写出圆心P的坐标为________；
（2）画出 绕点A按顺时针方向旋转 后的 ；
（3）在（1）（2）的条件下，连接 ，请仅用无刻度直尺画出 的中点E．（保留作图痕迹，不需要
说明）
【答案】（1）见解析， （2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了旋转作图，作三角形外接圆的圆心，垂直平分线的性质，矩形的性质．熟练掌握的外
接圆的圆心是三边垂直平分线的交点是解题的关键．
（1）利用网格的特征作 的垂直平分线交于点P即可；
（2）利用旋转的性质，找到点 的对应点 ，依次连接 即可；
（3）利用矩形的性质作图即可；
【小问1详解】
解：如图所示， 为所求：
则 ；
【小问2详解】
解：如图所示，点 为所求：
【小问3详解】
解：如图所示，点E为所求：五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 在安徽巢湖附近，新修建了一条风景优美的东西向滨湖公路，路旁设有多处可用于监测的观景塔．某
周末，参加数学建模社团活动的同学们将距离公路垂直距离为200米的观景塔H作为车速检测点，在此进
行车速检测实践．一辆新能源汽车自西向东匀速行驶，同学们借助专业设备测得该车从点M行驶到点N的
时间为12秒，同时测得 ， ．已知该路段限速40千米/小时，请计算 的距
离，并判断该新能源汽车是否超速．（ 垂直公路 ，O为垂足，参考数据： ，
， ， ，结果取整数）
【答案】151米，超速
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，分别解 ，求出 的长，线段的
和差求出 的长，利用路程除以时间求出速度，判断是否超速即可．
【详解】解：由题意，得： ，
在 中， ，
∴ ，在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，40千米/小时 ， ，
∴新能源汽车超速．
20. 如图， 是 的直径，点B在 上，过点B作 的切线 交 的延长线于点E， 平
分 交 于点D．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，如图，先根据切线的性质得到 ，再根据圆周角定理得到
．则 ，然后利用 得到结论；
（2）如图，连接 ，证明 ，可得 ， ，
，求解 ，证明 ，即可得到结论.【小问1详解】
证明：连接 ，如解图所示．
是 的切线，
．
是 的直径，
．
，
即 ．
．
，
，
．
．
【小问2详解】
解：如图，连接 ，
∵ ， 平分 ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ .
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识．掌握
圆的相关性质是解决问题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 散步是一种常见的运动方式，它有利于改善身心健康、增强体质和预防疾病．很多人用微信运动小程
序来统计每天的步数，这种小程序是通过手机传感器或者智能设备感应到的震动信号来进行计数的．小戴
同学随机调查了所住小区部分居民某日散步的步数x（单位：千步），并将数据整理绘制成不完整的频数
分布直方图和扇形统计图．数据分为五组：A： ；B： ；C： ；D：
；E： ．
C组的数据：6.2，6.4，6.5，6.8，6.9，7.2，7.3，7.5，7.6，7.9，8.0，8.2，8.5，8.6，8.9．
根据统计图完成下列问题：
（1）扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为________°，补全频数分布直方图；
（2）被调查的这些居民该日散步步数的中位数是________（千步）；
（3）小戴同学了解到，步数处于E组的4人中，分别是2名男性和2名女性，若从他们4人中，任意抽取两人了解具体的散步情况，试求恰好选中一男一女的概率．
【答案】（1） ，补图见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据A组的频数及占比，即可求得调查的学生人数；再求解 组人数及扇形圆心角，再补
全图形即可求解；
（2）由排在最中间的两个数为第 ， 个数据，且 ，结合C组的数据可得中位数；
（3）利用画树状图法计算概率．
【小问1详解】
解：由题意可得： ，
∴ 组人数有 ，
∴扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为 ，
补全图形如下：
；
【小问2详解】
解：∵排在最中间的两个数为第 ， 个数据，且 ，而C组的数据：6.2，6.4，6.5，6.8，
6.9，7.2，7.3，7.5，7.6，7.9，8.0，8.2，8.5，8.6，8.9．
∴第 ， 个数据为7.3，7.5，∴中位数为 ；
【小问3详解】
解：根据题意，画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，而两个人选中一名男性和一名女性的结果有8种，
∴ ．
【点睛】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体的量、求扇形统计图中扇形圆心角，
概率的计算，画树状图，等知识，善于从两个统计图中获取信息是解题的关键．
七、（本题满分12分）
22. 在 中，点P在边 上运动．
（1）如图1，当 时，连接 ， 交于点O，求 的值；
（2）如图2，当 时，取 的中点E，连接 ，求证： ；
（3）如图3，点P运动到点A后，再沿 运动到 的延长线上，且 ，取 的中点E，连
接 ，已知 ， ， ，求 的长．【答案】（1） （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用平行四边形的性质证明 ，得到 ，即可得出结果；
（2）延长 交于点Q，证明 ，推出 ，利用平行四边形的性质易证
，则 是直角三角形，根据点E为 的中点，由直角三角形的性质可得 ，
即可得出结论；
的
（3）过点 作 垂线，垂足分别为 ，连接 ，根据平行四边形的性质结合 ，易
证 是等腰三角形，得到 ，根据已知得到 ，由点E为 的中点，
求出 ，由等腰三角形三线合一可证 ，利用勾股定理求出 ，再证明
，得到 ，进而求出 ，求出 ，利用勾
股定理即可求解．
【小问1详解】
解：在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ，则 ，
∴ ，
设 边 的高为h，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
证明：如图2，延长 交于点Q，
∵点E为 的中点，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ， ，则 ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∵点E为 的中点，
∴ ，
∴ ；
【
小问3详解】
解：如图3，过点 作 的垂线，垂足分别为 ，连接 ，
∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵点E为 的中点， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形
的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，合理作出辅助线，构造三角形全等和相似是解题的
关键．
八、（本题满分14分）
23. 抛物线 过点 ，点 ，C是抛物线的顶点，D是抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）点P在抛物线上，且位于直线 下方，过点P作 平行于x轴交直线 于点Q，求 的最大值；
（3）M为抛物线上一点，N为抛物线对称轴上一点，若 ，且 ，求点M和点N的坐
标．
【答案】（1） ；
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求解出解析式，进而出顶点坐标 ；
（2）先求出 ，再求出直线 的解析式为 ，设 ，
求出 ，再求出 ，即可求解；
（3）根据题意，当 ，且 ，以 为对边的四边形是平行四边形，设
，求出直线 的解析式为 ，进而求出
，分 为对角线和 为对角线两种情况讨论，根据平行四边形的性
质建立方程求解即可．
【小问1详解】解：根据题意： ，解得： ，
∴抛物线的表达式为 ；
∵ ，
∴抛物线的顶点C的坐标为 ；
【小问2详解】
解：如图，
将 代入 ，则 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将点 代入 ，则 ，
∴ ，∴直线 的解析式为 ，
设 ，
∵ 轴，
∴点Q的纵坐标为 ，
则 ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴当 时， 有最大值为 ；
【小问3详解】
解：∵ ，且 ，
∴ 为对边的四边形是平行四边形，
设 ，直线 的解析式为 ，
将 代入 ，
则 ，∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
∵N为抛物线对称轴上一点，抛物线对称轴为 ，
将 代入 ，
则 ，
∴ ，
∵ ， ，
当 为对角线时，
则 ，解得 ，
则 ，
∴ ；
当 为对角线时，
则 ，解得 ，
则 ，∴ ；
综上， 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及二次函数解析式，图像与性质，二次函数与线段的问题，一
次函数与几何的应用，平行四边形形的性质，灵活应用分类讨论的思想是解题的关键．
