文档内容
2024~2025 学年九年级第一次模拟考试
数学
注意事项：1．本试卷满分为150分，考试时间120分钟；
2．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”答题是无效的；
3．考试结束后，请将“答题卷”交回．
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术，常制造在半导体晶圆表面上．下列关于芯
片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转 后，能够与原图形
重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、绕某一点旋转 后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两
旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意；
B、绕某一点旋转 后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分
不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意；
的
C、绕某一点旋转 后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁
部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转 后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分
不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意；故选：A．
2. 据网络平台数据，截至3月1日全球动画电影票房榜冠军电影《哪吒之魔童闹海》总票房突破143亿元，
143亿用科学记数法可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为 的形式
其中 ，n为比原数的整数位数少1的正整数，正确的确定 的值即可．
【详解】解：解：143亿 ．
故选D．
3. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视
图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．主视图：从正面看到的物
体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的
定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可．
【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，
形状如图所示：
故选：C．4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法、完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的除法法则解题．
【详解】解：A． ，选项正确；
B． ，选项错误；
C． ，选项错误；
D． ，选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法、完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的除法等知识，是重要考
点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5. 新考法与新定义结合，如果一个自然数正着读和倒着读都一样，如121，32123等，则称该数为“回文
数”．从1，1，2，2这四个数字中随机选取三个数字组成一个三位数，恰好是“回文数”的概率是（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出 ，再从中选出
符合事件A或B的结果数目 ，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．先画树状图得出所有等可
能结果数，从中找到“回文数”的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图，由图可知，所有可能组成的数有共有24种，其中恰好是“回文数”的共有8种，
∴从1，1，2，2这四个数字中随机选取三个数字组成一个三位数，恰好是“回文数”的概率是 ，
故选：B．
6. 已知非负数a，b，c满足 ，设 ，则S的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了解不等式组，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
设 ，则 ，可得 ；利用a，b，c均为非
负数，可得k的取值范围，从而求得S的最值，即可．
详解】解：设 ，则 ，
【
∴ ，
∵ ，
∴S随k的增大而减小，
∵a，b，c均为非负数，
∴ ，
解得： ，∴当 时，S取得最大值，为 ，
当 时，S取得最小值，为 ，
∴S的取值范围是 ．
故选：A
7. 如图， 是边长为 的等边三角形 的外接圆，点D是 的中点，连接 ， ．以点D
为圆心， 的长为半径在 内画弧，将阴影部分围成圆锥，则圆锥的底面圆半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了圆锥的相关知识，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的
性质， 根据等边三角形的性质得出： ， ，再根据圆内接四边形的性质
得出： ，进而可得 ．由垂径定理的推论和圆周角定理的推论可得
，进而求出 的长，最后根据圆锥侧面展开图的弧长等于其底面圆周长即可得出答案．
【详解】解：如图所示，连接 ，∵ 是等边三角形，
，
，
，
∵点 为弧 的中点，
，
∴ 垂直平分线段 ，
∴ 经过点O，
∴ ，
，
，
设圆锥底面圆半径为r，则 ，
∴ ,
故选：C．
8. 如图，在正方形 的边 上有一点 ，连接 ，把 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连
接 并延长与 的延长线交于点 ．则 的值为（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点F作 延长线的垂线，垂足为点H，则 ，证明 ，则
，设 ，得到 ，则 ，故 ，同理可求
，则 ，因此 ．
【详解】解：过点F作 延长线的垂线，垂足为点H，则 ，
由旋转得 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，设 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，而 ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理可求 ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，正确添加辅
助线，构造“一线三等角全等”是解题的关键．
9. 如图1，在 中， ，一动点 从点 出发，以每秒2个单位的速度沿着
的路径运动，过点 作 ，垂足为 ．设点 运动的路程为 ， 与 的差为 ， 与 的函数
图象如图2所示，点 ， 是线段 ， 与 轴的交点，则图2中点 对应的点 位置到点 对应
的点 位置所经历的时长为（ ）
A. 2秒 B. 4秒 C. 秒 D. 秒
【答案】C【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解直角三角形的相关计算，正确读取图中的信息是解题的关键．
先得出当 时，则 ， ，再解读当 时，且 与 的差为 ，且此时停止运动了，
说明点P与点C重合，则 ，运用 ，得 ，设
故 ，分别算出在点M时，以及在点N时的时间，再计算它们的差值，即可作答．
【详解】解：∵过点 作 ，垂足为 ，
∴ ，
当 时，则 ，
∴此时 ，
由图2得 时， ，
∵ 与 的差为 ，
∴ ，
∴ ，
当 时，且 与 的差为 ，此时停止运动了，说明点P与点C重合，
∵ ，
∴说明点P与点Q重合，
则 ，
即 ，
则 ，
由图2得，在点M时，则 ，即 ，
在 中， ，
设
则 ，
故 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵一动点 从点 出发，以每秒2个单位的速度沿着 的路径运动，
∴ （秒），
由图2得，在点N时，则 ，
即 ，
此时点P是 的中点，
∴ ，
则 （秒），
∴ （秒），
故选：C．
10. 已知二次函数 的图象经过点 、 ，图象上有三个 ， ，．若当 时，均有 ，则下列说法中正确的是（ ）
A. B. 时，y有最大值
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数 的性质，掌握二次函数图象上的y值与该点离对称轴距离与开口方
向的关系是解题的关键．由 时，均有 可知抛物线开口向上，由抛物线开
口向上，即可判定 A 选项；可知 时，y 有最小值可判定 B 选项；再结合抛物线对称轴当
有 ，可判定C选项；根据二次函数的性质可判定D选项．
【详解】解：∵已知二次函数 的图象经过点 、 ，
∴对称轴为直线 ，
当 时，均有 ，
∴越靠近对称轴的 值所对应的函数值越小，即该抛物线的开口方向向上，
∴ ，
故A选项不符合题意；
∵该抛物线的开口方向向上，对称轴为直线 ，
则当 时，y有最小值，
故B选项不符合题意；
∵该抛物线的开口方向向上，二次函数 的图象经过点 、 ，当
时，均有 ，
∴∴ ，
故C选项不符合题意；
∵二次函数 的图象经过点 、
∴
∴ 得 ，
∴
故D选项正确，符合题意；
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若代数式 有意义，则实数x的取值范围是________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的意见，分式有意义的条件，根据题意可得 ，从而可得答
案．
【详解】解：∵代数式 有意义，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：
12. 已知m，n是一元二次方程 的两个根，则 ________．
【答案】
【解析】【分析】本题考查了一元二次方程 根与系数的关系，若 ， 为方程的两个根，
则 ， 与系数的关系式： ， ． 根据根与系数的关系求出 ，
的值，然后代入 计算即可．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
13. 如图，在 中， ，点B在x轴上， 分别为 、 的中点，连接 ，E为
上任意一点，连接 、 ，反比例函数 的图象经过点A，若 的面积为6，则k
的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象、等腰三角形以及中位线的性质、三角形面积，解题的关键是灵活运
用等腰三角形的性质.
根据等腰 中位线 得出 , 应用 的几何意义求 .
【详解】如图: 连接 ,中， 在 轴上, 分别为 的中点,
∴ ,
，
，
故答案为：
14. 如图，矩形 中， ， ，点E在边 上，且 ，动点P从点A出
发，沿 运动到点B停止，过点E作 交射线 于点F，连接 ，点Q是线段 的中点，
连接 ，则
（1）当 时， _______；
（2）连接 ，则在点P运动的整个过程中，线段 长的最小值为_______．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】【分析】（1）过 作 于 ，连接 ，证明四边形 是矩形，可得 ，
，证明 ，可得 ，再进一步解答即可；
（2）如图，连接 ， ，取 的中点 ，连接 并延长与 的延长线交于点 ，连接 ，证
明 在 的垂直平分线上，可得当 为线段 的垂直平分线且 时， 最小，求解
，证明 ，可得 ，再进一步解答即可．
【详解】解：（1）过 作 于 ，连接 ，
∵矩形 中， ， ，
∴ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，而 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点Q是线段 的中点，∴ ；
为
故答案 ： ；
（2）如图，连接 ， ，取 的中点 ，连接 并延长与 的延长线交于点 ，连接 ，
∵ ，点Q是线段 的中点，
∴ ，
∴ 在 的垂直平分线上，
∴当 为线段 的垂直平分线且 时， 最小，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性
质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查立方根，绝对值，零次幂，掌握相关运算法则是解题的关键．
【详解】原式
．
16. 的顶点均在格点上，请在网格中按要求作图．（1）在图中以点B为旋转中心，作 绕点B逆时针旋转 后得到的 ；
（2）直接写出线段 与 的位置关系：______；
（3）图中用无刻度的直尺作出 的外心O．（保留作图痕迹）
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图 轴对称变换，三角形外接圆与外心，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
（1）根据旋转的性质即可在图 1 中以点 为旋转中心，作 绕点 逆时针旋转 后得到的
；
（2）结合（1）根据网格即可得线段 与 的位置关系；
（3）作 ， 的垂直平分线，两条线交于一点 ，即可得 的外心 ．
【小问1详解】
解：如图1， 即为所求；
【小问2详解】
解：根据作图可知： ；
故答案为： ；
【小问3详解】
解：如图2，点 即为所求．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售 品牌头盔，此
种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1
元/个，则月销售量将减少10个．
（1）当售价为50元/个时，月销售量为______个．
（2）为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少
元/个？
【答案】（1）500 （2）50
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，明确题意，列出一元二次方程是解题的关键；
（1）根据题意列式计算即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价为x元，则此时销量为 个，根据总利润=单个利润 数
量列方程求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，月销量为 个，
故答案为：500；
【小问2详解】
设该品牌头盔的实际售价为x元/个，
依题意得： ，
解得 ，尽可能让顾客得到实惠，
，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
18. 已知：一列数 ， ， ， ， ，则 可以用
图 表示， 可以用图2表示， 可以用图 表示， ，依此规律．
那么：
（1） _____， _____；
（2） _____， _____（用含有 的式子表示）；
（3）由（ ）的结论求 ，及 的值．
【答案】（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ．
【解析】
【分析】（ ）根据规律即可求解；
（ ）根据规律即可求解；
（ ）根据（ ）得 ， ，然后 得 ，然后代入求值即可；
本题考查了图形和数字规律，读懂题意，找出规律是解题的关键．
【小问1详解】
解：由 ， ， ，则 ， ，
∴ ， ，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解：由（ ）得： ，
，
故答案为： ， ；
【小问3详解】
解：由（ ）得 ， ，
得： ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道 进行实地测量．如图所示，他在地面
上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东 方向上，他沿西北方向前进 米后到达点D，此时测得
点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西 方向上（点A、B、C、D在同一平面内），求隧道
的长度．（参考数据： ， ， ，结果精确到个位）【答案】隧道 的长为 米．
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记特殊角的三角函数值是
解题的关键．如图，过点 D 作 于点 E，根据方位图易得 ， ，
， 再根据三角函数即可求出 的长；进而求出 的长， 的长，即可求出 的长．
【详解】解：如图
如图，过点D作 于点E，反向延长 至 ，
，
，
又 ，
，
，
∴ ．
∵ ， ．在 中，
．
在 中，
．
∴ ．
答：隧道 的长为 米．
20. 如图， 为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在 的延长线上， 与半圆相切于点C，与
的延长线相交于点D， 与 相交于点E， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等边对等角可得出 ，连接 ，利用切线的性质可得出
，利用等边对等角和对顶角的性质可得出 ，等量代换得出
，然后利用三角形内角和定理求出 ，即可得证；
（2）设 ，则可求 ， ， ， ，在中，利用勾股定理得出 ，求出x的值，利用 可求
出 ，即可求解．
【小问1详解】
证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是切线，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ， （舍去）∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理，解直角三角形的应用等知识，灵活运用
以上知识是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 近年来，由于 的横空出世，大语言模型成为人工智能领域的热门话题．有关人员开展了
A，B两款 聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析
（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意 ，比较满意 ，满意 ，非常满
意 ），下面给出了部分信息：抽取的对A款 聊天机器人的评分数据中“满意”的数据为
84，86，86，87，88，89；抽取的对B款 聊天机器人的评分数据为66，68，69，81，84，85，86，
87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对A，B款 聊天机器人的评分统计表
机 器 平 均 中 位 众 “非常满意”所占百分
人 数 数 数 比
A 88 b 96
B 88 87.5 c根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 ， ， ．
（2）根据以上数据，你认为哪款 聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）．
（3）在此次测验中，有250人对A款 聊天机器人进行评分，300人对B款 聊天机器人进行评分，请
估计此次测验中对 聊天机器人不满意的人数．
【答案】（1）15，88.5，98
（2）A款 聊天机器人更受用户喜爱，理由见解析
（3）70人
【解析】
【分析】(1)先根据A款“满意”的人数求出“满意”所占百分比，用1减去其它三个所占百分比可得a值，
根据各等级所占百分比判断中位数中“满意”组中，根据中位数的定义即可求出b值，根据众数的定义即
可得出c值；
(2)根据平均数相同，中位数大的更受用户喜爱解答即可；
(3)先求出B款中“不满意”所占百分比，再用各款总人数乘以各款“不满意”所占百分比，求和即可得答
案；
【小问1详解】
∵A款机器人的评分数据中“满意”的有6人，
“满意”所占百分比为 ，
“非常满意”所占百分比为 ，“不满意”所占百分比为 ，
“比较满意”所占百分比 为 ，，
“不满意”所占百分比为 ，“比较满意”所占百分比为 ，
“不满意”与“比较满意”共有 人，
“满意”的有6人，
中位数在“满意”这组数据中，
第10和第11个数据为88、89，
中位数为 ，
，
B款数据中，98出现4次，次数最多，
款众数为98，
，
故答案为：15，88.5，98；
【小问2详解】
A款 聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
两款的评分数据的平均数相同都是88，但A款评分数据的中位数为88.5分比B款的中位数87分高，
A款 聊天机器人更受用户喜爱．
【小问3详解】
B款中“不满意”的有3人，所占百分比为 ，
估计此次测验中对 聊天机器人不满意的共有 人；
【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数、扇形统计图、样本与总体等，解题的关键是熟知以上概念并
能灵活进行分析和计算；
七、（本题满分12分）
22. 综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片
绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质，已知三角形纸片 和 中， ，
， ．【初步感知】（1）如图1，连接 、 ，在纸片 绕点C旋转过程中，求 的值．
【尝试证明】（2）如图2，在纸片 绕点C旋转过程中，当点E恰好落在 的中线
的延长线上时，求证： ．
【深入探究】（3）如图3，在（2）的条件下，延长 交 于点F，求 ．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理可得 ，再由 ，可得 ，然后根
据 ，可得 ，即可求解；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质得到 ，得到 ，然后
结合等边对等角和全等三角形的性质得到 ，即可求证；
（3）先证明 ，可得 ，从而得到 ，进而得到 ，
再根据 ，可得 ，从而得到 ，在 中，利用锐角三角函数解答，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ 是 的中线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：由（2）得： ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，
直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 如图，已知二次函数 图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点
在该函数图象上．
（1）①当 时，求n的值．②在①的条件下，当 时，求y的最大值和最小值．
（2）当 时，若点A在第一象限内，结合图象，求当 时，自变量x的取值范围．
（3）作直线 与y轴相交于点D，当点B在x轴上方，且在线段 上时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）① ；②y的最大值为4，最小值为
（2） 或
（3） 或
【解析】
【分析】（1）①根据 得出函数解析式，求出n的值即可．
②根据二次函数性质求出 时，函数的最大值和最小值即可；
（2）先求出 ，然后二次函数的对称性求出 时， 的值，然后根据函数图象即可得出答案．
（3）由题意点 的坐标为 ，求出几个特殊位置 的值，然后数形结合即可得出答案．
【小问1详解】
解：①当 时， ，
当 时， ．
② 的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
当 时， ，
当 时， ，∴当 时，求y的最大值为4，,最小值为 ；
【小问2详解】
解：当 时，将 代入函数表达式 ，得：
，
解得： 或 （舍弃），
此时抛物线的对称轴为直线 ，
∵ ，
∴根据抛物线的对称性可知，当 时， 或5，
当 时，x的取值范围为 或 ．
【小问3详解】
解： 点A与点 不重合，
，
抛物线的顶点 的坐标是 ，
抛物线的顶点在直线 上，
当 时， ，
点 的坐标为 ，
抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置， 逐渐减小，点 沿 轴向上移动，
当点 与 重合时， ，
解得 或 ，
当点 与点 重合时，如图2，顶点 也与 ， 重合，点 到达最高点，点 ，
，
解得 ，
当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点 不在线段 上，
点在线段 上时， 的取值范围是： 或 ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，
解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题．
