文档内容
百校联赢·2025 安徽名校大联考二
数学
（试题卷）
注意事项：
1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟.
2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上
答题是无效的.
3.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回.
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的.
1. 下列四个数 中，最小的数是（ ）
A. B. 0 C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．正数大于
0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
∴最小的数是 ．
故选D．
2. 计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法法则是解题的关键；
先计算 的值，再根据同底数幂的除法法则计算即可；【详解】解： ；
故选：A
3. 如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A B. C. D.
.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了根据三视图判断几何体．根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上
面看，所得到的图形，即可求解．
【详解】解：由于俯视图为三角形形可推测几何体是三棱柱或三棱锥，根据主视图和左视图为矩形可得此
几何体为三棱锥柱，且从主视图的正中间是虚线，
故选：B．
4. 如图， ， ，若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由平行线的性质可得 ，由 可得 ，最后根据三角
形的内角和定理求解即可．
【详解】解： ，
，
，
，
，
故选：C．
5. 估算 -2的值（ ）
A. 在1到2之间 B. 在2到3之间 C. 在3到4之间 D. 在4到5之间
【答案】B
【解析】
【详解】先估计 的整数部分，然后即可判断 -2的近似值．
解答：解：∵4＜ ＜5，
∴2＜ -2＜3．
故选B．
“点睛”此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，
“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
6. 分式方程 的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，按照解分式方程的步骤进行即可．【详解】解：方程两边同乘 ，得 ，
解得： ，
经检验得 是原方程的解；
故选：D ．
7. 某学校为重点抓好学生“防溺水”安全教育，对部分学生就安全知识的了解程度进行了随机抽样调査，
并绘制了如图所示的两幅统计图，请根据统计图中的信息，下列说法中不正确的是（ ）
A. 此次抽查的学生总数为200人
B. 这组数据的众数是80人
C. 在扇形统计图中，“非常了解”所对应的圆心角度数是
D. 若该校学生总数为1300人，则可估计该校“了解很少”安全知识的学生约有390人
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，众数的定义，用基本了
解的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数，即可判断A；求出不了解的人数，进而求出非常了解的
人数，再用360度乘以非常了解的人数即可判断C；用1300乘以样本中了解很少的人数占比即可判断D；
根据众数的定义可判断B．
【详解】解：A、 人，故此次抽查的学生总数为200人，原说法正确，不符合题意；
B、基本了解的人数最多，为80人，但是这组数据的众数不是80人，原说法错误，符合题意；
C、不了解的人数为 人，则非常了解的人数为 人，则在扇形统计
图中，“非常了解”所对应的圆心角度数是 ，原说法正确，不符合题意；D、若该校学生总数为1300人，则可估计该校“了解很少”安全知识的学生约有 人，原
说法正确，不符合题意；
故选：B．
8. 已知反比例函数 （ ）的图象与二次函数 （ ）的图象在第二象限一定有交点，
则一次函数 的图象可能为（ ）
A. B. C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，二次函数的性质，一次函数的性质，由反比例函数 （
）的图象与二次函数 （ ）的图象在第二象限一定有交点求出k和a的取值范围，然后
根据一次函数的图象与性质判断即可．
【详解】解：∵反比例函数 （ ）的图象与二次函数 （ ）的图象在第二象限一定
有交点，
∴反比例函数与二次函数的图象经过第二象限，∴ ，
∴ ，
∴一次函数 的图象经过一二四象限，
故选A．
9. 在 中， ， ，点 为 的中点，连接 并延长交 于点 ，且有
，若 ，则 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定
与性质是解题关键．先根据垂直的定义可得 ，再根据等腰三角形的性质可得
，可得 ；根据相似三角形的性质可得 ，再根据等腰三角
形的三线合一可得 ，从而可得 ，再进一步可得答案；
【详解】解：如图，过 作 于 ，，
， ，
，
，
；
点 为 的中点，
，
∵ ，
，
设 ，则 ， ，
，
，
，
又∵ ，
，
即 ；
∴ ，
∴ ；
故选：C10. 如图，矩形 的对角线 ， 交于点 ，点 在边 上，连接 ，点 是 的中点，
连接 ， ，下列结论中不正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 是等边三角形，且点 是 的中点，则
C. 若 平分 ， ，则
D. 若 ，点 是 的三等分点，则 的值为7或
【答案】D
【解析】
【分析】对于A，当 ，可知 垂直平分 ，可得 ，再结合三角形中位线及矩形的
性质即可判断；对于B，由 是等边三角形，可知 ， ，进而可知
， ，再结合结合三角形中位线即可判断；对于C，先证明 ，再结合A
选项的结论即可判断；对于D，分两种情况：当 时，当 时，结合勾股定理及斜边上中
线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，∴ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，选项A正确；
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，选项B正确；
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，由选项A知 ，∴ ，选项C正确；
当 时，如图1，
∵点 是 边的三等分点，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，如图2，
∵点 是 边的三等分点，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
综上， 的值为7或 ，选项D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查矩形 的性质，垂直平分线的性质，中位线的性质，勾股定理，等边三角形的性质，
含 的直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，理解并掌握相关图形的性质是解决
问题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. －64的立方根是_______．
【答案】-4
【解析】
【分析】直接利用立方根的意义，一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数进行求解．
【详解】解：根据立方根的意义，一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数，
可知-64的立方根为-4．
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了立方根，解题的关键是掌握一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数．
12. 为提升农民群众的获得感、幸福感、安全感，2024年度我省共评选出211个“和美乡村精品示范村”，
这里“211”用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于 10的数，科学记数法的表示形式为
的形式，其中 ，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以
及n的值．
【详解】解： ．
故答案为： ．13. 我国明朝数学著作《直指算法统宗》中有一道关于勾股定理的问题：如图，当秋千静止时，踏板 离
地的垂直高度 ，将它往前推 至 处时（即水平距离 ），踏板离地的垂直高度
，它的绳索始终拉直，则绳索 的长是________m．
【答案】3.25
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理 的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两个
直角边分别为a、b，斜边为c，那么 ，本题设 的长为 ，则 ，可得
，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：由题意可知， ， ，
，
设 的长为 ，则 ，
，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得 ，
故答案为：3.25．
14. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 （ ）的图象与边长是6的正方形 的两边， 分别相交于 ， 两点.
（1）若点 是 的中点，则 _____；
（2）已知 的面积为16，若动点 在 轴上，则 的最小值是_________.
【答案】 ①. 18 ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，正确
求出 、 的坐标是解题的关键．
（1））由正方形的边长是6和中点，得到点 的坐标为 ，利用待定系数法求解即可；
（2）由正方形的边长是6，得到点 的横坐标和点 的纵坐标为6，根据三角形的面积列方程得到两点
坐标，作 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，则 的长 的最小值，根据
勾股定理即可得到结论．
【详解】解：（1）∵正方形 的边长是6，点 是 的中点，
∴点 的坐标为 ，
∴ ，即 ；
（2）∵正方形 的边长是6，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 的面积为16，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∴ ， ，作 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，则 的长
的最小值，
∵ ，
∴ ，又 ，
∴ ，即 的最小值为 .
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来.
【答案】 ，数轴见解析
【解析】【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键在于找到不等式组中各不等式解集的公共部分．
先求得不等式组中各不等式的解集，然后找出各解集的公共部分即可．
【详解】解：
解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
∴不等式组的解集为 ，
∴不等式组的解集在数轴上表示为：
16. 解方程： .
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．先将方程化为一般式，再
利用因式分解法求解即可．
【详解】解：
或
， ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，一艘轮船沿正东方向航行，上午 在 处观察到灯塔 在其北偏东 的方向上，航行一段时间后，于上午 到达 处，在 处观察到灯塔 在其西北方向上，已知轮船航行速度为60海里/时，
求轮船在航行过程中与灯塔 的最短距离．（精确到1海里）（参考数据： ， ）
【答案】轮船在航行过程中与灯塔 的最短距离约为44海里
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点 作 于点 ， 的长为轮船在航行过程中与
灯塔 的最短距离，设 海里，在 中，求出 ，在 中，求出 ，
然后根据 列方程求解即可．
【详解】如图，过点 作 于点 ， 的长为轮船在航行过程中与灯塔 的最短距离，设
海里，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ．
答：轮船在航行过程中与灯塔 的最短距离约为44海里．
18. 在由若干个小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点 （格点是网格线
的交点）．
（1）画出 关于 轴对称的 ；
（2）将 向下平移 个单位长度得到 ，画出 ；
（3）已知 内有一点 ，则经过上述两种图形变换后的对应点 的坐标是_________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查作图平移变换、作图轴对称变换，熟练掌握关于坐标轴对称的性质、平移的性质是解答
本题的关键．
（1）根据关于坐标轴对称的性质找到对应点作图，即可得出答案；
（2）根据平移的性质找到对应点作图，即可得出答案；（3）利用关于 轴对称即横坐标变为相反数，纵坐标不变，向下平移 个单位长度即纵坐标减 ，即可解
答．
【小问1详解】
解：如图所示， 即为所求；
【小问2详解】
如图所示， 即为所求；
【小问3详解】
的坐标为 ，
故答案为： ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知图1中有1个等边三角形，记作 ；分别连接这个等边三角形三边中点得到图2，有5个等边
三角形，记作 ；再分别连接图2中间的小等边三角形三边中点得到图3，有9个等边三角形，记作
；…….按照此规律解答下列问题：（1）图4中有_______个等边三角形，记作 _________；
（2）图 中有_______个等边三角形，记作 _________；（结果用含 的代数式表示，不用说理）
的
（3）在求 值时，可令 ，则 ，∴
，∴ ，按此方法计
算 ；（结果用含 的代数式表示）
【答案】（1） ，
（2） ，
（3）
【解析】
【分析】本题考查了图形变化的一般规律问题，整式的乘法，能够通过观察，掌握其内在规律是解题的关
键．
（1）由第一个图中 个三角形，第二个图中 个三角形，第三个图中 个三角形，每次递增 个，即可得
出第 个图形中有 个三角形；
（2）根据（1）中的规律即可得出第 个图形中有 个三角形；
（3）根据题意得到 ，然后整理求解即可．
【小问1详解】
解：∵第一个图中 个三角形，
第二个图中 个三角形，
第三个图中 个三角形，每次递增 个；
∴图4中有 个三角形，记作 ；
故答案为： ，
【小问2详解】
解：由（1）可得，
图 中有 个三角形，记作 ；
故答案为： ；
【小问3详解】
解：
；
20. 如图，四边形 内接于 ， 为 的直径，点 平分 ，过点 的直线分别交 ，
的延长线于点 ， ，且 .
（1）求证： 为 的切线；
（2）若点 是 的中点，试判断四边形 的形状，并说明理由.【答案】（1）见解析 （2）四边形 是菱形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补得 ，再结合 为 的直径，得
，然后证明 ，再结合点 是 的中点，由垂径定理得 ，故
，即可作答．
（2）先通过三边相等的三角形是等边三角形，证明 是等边三角形，再结合四边形 内接于
，则 ，然后得 ，则 ，即 ，证明四边形
是平行四边形，再结合一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
的
∴ 为 切线；
【小问2详解】
解：四边形 是菱形.
理由：由（1）知 ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形.
【点睛】本题考查了垂径定理，圆内接四边形，切线的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性
质，菱形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 小明正在参加答题闯关的游戏节目，只要他再答对最后两道单选题就能顺利过关，这两道题都各有3
个选项（只有一个选项是正确的），且这两道题小明都不会．
（1）如果小明随机选择一个选项，求小明答对第一道题的概率是多少?
（2）如果小明两道题各随机选择一个选项，请用画树状图或列表法求小明能顺利过关的概率；
（3）若小明在答题过程中有一次“求助”的机会（使用“求助”可让主持人去掉其中一题的一个错误选
项）.请你分别计算小明在第一题求助和第二题求助后的概率，并比较大小．
【答案】（1）
（2）
（3）小明在第一题求助和第二题求助后的概率都为 ，小明无论在第几题使用“求助”，他过关的概率
都一样大
【解析】
【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键；
（1）根据概率公式可进行求解；
（2）设分别用A， ， 表示第一道单选题的3个选项， ， ， 表示第二道单选题的3个选项，然后
根据画树状图的方法进行求解概率；
（3）由题意可分别求出当小明在第一题求助和在第二题求助时的概率，然后问题可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：
小明答对第一道题的概率是 ；【小问2详解】
解：分别用A， ， 表示第一道单选题的3个选项， ， ， 表示第二道单选题的3个选项，画树状
图得：
∵共有9种等可能的结果，小明顺利过关的只有1种情况，
∴ （小明顺利过关）的概率 ；
【小问3详解】
解：①小明在第一题使用“求助”，分别用A， 表示第一道单选题剩下的2个选项， ， ， 表示第二
道单选题的3个选项，
画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，小明顺利过关的只有1种情况，
∴ （小明顺利过关） ；
②小明在第二题使用“求助”，分别用A， ， 表示第一道单选题的3个选项， ， 表示第二道单选
题剩下的2个选项，
画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，小明顺利过关的只有1种情况，∴ （小明顺利过关） ；
∵ ，
∴小明无论在第几题使用“求助”，他过关的概率都一样大．
七、（本题满分12分）
22. 在四边形 中， ， ，点 在边 上，连接 ， ， 交 于点 ．
（1）若 ，如图1．求证：四边形 是菱形；
（2）如图2，连接 交 于点 ，若点 是 的中点．
①求证： ；
②若 ， ， ，求 ， 的长．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② ，
【解析】
【分析】（1）证明 ，推出 ，结合 ，推出四边形
是平行四边形，由 ，得到四边形 是菱形；
（2）①证明 ，推出 ，结合 ，得到 ；
②先证明四边形 是平行四边形，再证明 ，根据相似三角形的性质列式计算即可
求解．
【小问1详解】
证明：∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形；
【小问2详解】
解：①∵ ，
∴ ， ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②由①得 ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角
形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
八、（本题满分14分）
23. 如图，抛物线 （ ）.
（1）若抛物线经过点 ，求 的值；
（2）若该抛物线与 轴交于点 ， （点 在点 的左侧），与 轴交于点 .
①若以点 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形，求 的值；
②当 时，若点 是该抛物线位于 轴上方的一点，且 ，求 的最大值.
【答案】（1）
（2）①当以点 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形时， 或 ；②当 时， 有最大值，最大值为
【解析】
【分析】（1）把点 代入解析式，解答即可.
（2）①先确定A，B，C的坐标，再根据等腰三角形的定义去分类解答即可，注意c的正数性质的应用；
②当 时，确定抛物线的解析式，根据点 是该抛物线位于 轴上方的一点，构造新二次函
数，结合 ，利用二次函数的最值，求 的最大值.
【小问1详解】
解：∵点 在抛物线 上，
∴ ，
解得 .
【小问2详解】
解：当 时， ，
∴ ，
解得 或 ，
∵点 在点 的左侧，
∴点 坐标为 ，点 坐标为 ，
∴ ；
当 时， ，
∴点 坐标为 .①∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
分两种情况：
（ⅰ）当 时，则 ，
∴ ，
解得 或 （不合题意，舍去）；
（ⅱ）当 时， ，
∴ ，
解得 或 （不合题意，舍去）；
综上，当以点 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形时， 或 ；
②当 时，抛物线的函数表达式为 ，
∵点 在该抛物线上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是该抛物线位于 轴上方的一点，
∴ ，即 ，
解得 ，∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 .
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，等腰三角形的定义，解方程，构造二次函数求最值，抛
物线与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法，构造二次函数求最值是解题的关键.
