文档内容
桐城二中 2024—2025 学年度第二学期第二次学情调研
九年级数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．
1. - 的倒数是（ ）
A. - B. -5 C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】倒数：乘积是1的两数互为倒数．据此可得答案．
【详解】解：- 的倒数是-5．
故选：B．
【点睛】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．
2. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗高轨道卫星高度大约是 21500000米．将数字21500000用科学记数法
表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时，n是正
数；当原数的绝对值 时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数，
表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：将21500000用科学记数法表示为： ．
故选：A．3. 如图，该几何体的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出从左面看到的图形即可．
【详解】解：该几何体的左视图是一个长方形，并且有一条隐藏的线用虚线表示，如图所示：
，
故选：D．
【点睛】本题考查三视图，具备空间想象能力是解题的关键，注意看不见的线要用虚线画出．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂 的乘方计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解
题的关键．
【详解】解：A、 ，原式计算正确，符合题意；B、 ，原式计算错误，不符合题意；
C、 ，原式计算错误，不符合题意；
D、 ，原式计算错误，不符合题意；
故选；A．
5. 如图， 内接于 ，连接 ， ．若 ， ，则图中阴影部分的面积为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查圆周角、扇形面积和三角形面积，解题的关键是熟练掌握圆周角定理、扇形面积公式和
三角形面积公式．
根据圆周角定理得到 ，利用 即可求出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积 ．
故选：C．
6. 关于函数 说法正确的是（ ）
A. 图象必过 点 B. 图象与直线 平行
C. 图象不经过第四象限 D. y随x的增大而增大
【答案】A【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质；
凡是函数图象经过的点必能满足解析式，进而得到A的正误，根据一次函数性质可判定C、D的正误；根
据两函数图象平行则k值相等可判断出B的正误，进而可得答案．
【详解】解：A、当 时，即 ，解得： ，故该选项正确；
B、∵两函数k值不相等，∴两条直线不平行，故该选项不正确；
C、 中 ，∴函数图像过一二四象限，故该选项不正确；
D、 中 ，∴y随x的增大而减小，故该选项不正确；
故选：A．
7. 如图，在正方形 中， 为线段 上一点且 ，连结 ， 交于点 ，分别作
， 的中点M，N，连结 ，若 ，则 为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了正方形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握正方形的性质，理解三角形的中
位线定理是解决问题的关键．连接 ，根据正方形的性质得 过点 ， ，进而可求出
， ，再证 为 的中位线，然后根据三角形的中位线定理可
得出 的长．
【详解】连接 ，如图所示：∵四边形 为正方形， 为对角线，点 为 的中点，
∴ 过点 ， ，
，
，
∵ 过点 ，
∴点 为 的中点，
又∵点 为 的中点，
∴ 为 的中位线，
，
故选：B．
8. P、Q、R、S四人的体重分别为p、q、r、s，他们去公园玩跷跷板，如下面示意图所示，则四人体重的
大小关系为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，由题意得： ，通过不等式的性质求解即可，掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得： ，
由③得： ④，
把④代入②中得：
，
由③得： ，
故选：A．
9. 若一个四边形有一组对边平行，且它关于经过这组对边中点的直线对称，则称这个四边形为“平称四边
形”．已知四边形 满足 ，下列条件不能满足四边形 是“平称四边形”的是（
）
.
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】该题主要考查了轴对称的定义，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性
质，等腰梯形的判定和性质，解题的关键是掌握以上知识点．
根据四边形 满足 ，结合每一个选项确定四边形的形状，判定是否满足有一组对边平行，
且它关于经过这组对边中点的直线对称，即可判断；
【
详解】由题意知，四边形 满足 ，当 时，四边形 是平行四边形或等腰梯形，当四边形 是平行四边形不满足四边形
是“平称四边形”，故A选项符合题意；
当 时，四边形 是矩形，满足四边形 是“平称四边形”，故B选项不符合题
意；
当 时，四边形 是菱形或等腰梯形，满足四边形 是“平称四边形”，故C选项不
符合题意；
当 时，四边形 是矩形或等腰梯形，满足四边形 是“平称四边形”，故D
选项不符合题意．
故选：A．
10. 如图，矩形 中，P为 边上一点（不与A，D重合），连接 ， ，过 点作 ，
垂足为 ，连接 ， ， 与 相交于点 ．则下列结论错误的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则 为等腰三角形
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ，则 最小为
【答案】C
【解析】
【分析】利用矩形的性质结合平行线的性质，可得 ，证得 ，即可判断选项A正确；若 ，根据等腰三角形的性质可得 ，利用直角三角形的性质得
，得证 ，即可判断选项B正确；过点 作 于点 ，根据矩
形的性质得 是等腰直角三角形，推出 ，即 、 、 、 四点共圆，通
过圆周角定理得出 ，利用勾股定理求出 、 的值，通过 即可判断C选项
错误；通过题意可得点 在以 中点 为圆心， 为直径的圆上，当 、 、 三点共线时， 最
小，利用勾股定理求出 ，再通过 即可判断D选项正确．
【详解】解：A、 四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
,
，
， ，
，故A选项正确；
B、如图，， ，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
， ，
．
在 和 中，
，
，
，
为等腰直角三角形，故B选项正确；
C、如图，过点 作 于点 ，四边形 是矩形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
、 、 、 四点共圆，
，
，
，
在 中， ，
，
，
，
在 中， ，
，
，故C选项错误；D、如图，
，
，
点 在以 中点 为圆心， 为直径的圆上，
，
当 、 、 三点共线时， 最小，
在 中， ，
，故D选项正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的
性质，直角三角形的性质，四点共圆的判定，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
11. 因式分解： ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，然后再应用完全平方公式即可求解，掌握相关知识是解题的
关键．
【详解】解：；
故答案为： ．
12. 若分式 有意义，则 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，直接利用分式有意义则其分母不为零，进而得出答案．
【详解】∵分式 有意义，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放
回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，
适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率
=所求情况数与总情况数之比．
列表得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的情况数，即可确定出所求的概率．
【详解】解：列表如下：
红 绿
红 （红，红） （绿，红）
绿 （红，绿） （绿，绿）
所有等可能的情况有4种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种情况，所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为 ，
故答案为： ．
14. 在平面直角坐标系中， 为抛物线 上一点， 为平面上一点，
且位于点 右侧．
（1）此抛物线的对称轴为直线______；
（2）若线段 与抛物线 有两个交点，则的 取值范围是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．
（1）由 ，求解作答即可；
（2）如图，由题意可求 ，则 关于直线 的对称点为 ， ，由图象
知当 或 时，线段 与抛物线 只有 1 个交点；当
时 ， ， 可 得 ， 则 此 时 线 段 与 抛 物 线
有2个交点，然后作答即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴此抛物线的对称轴为直线 ，
故答案为： ．
（2）解：如图，当 时， ，即 ，
∵对称轴为直线 ，
∴ 关于直线 的对称点为 ，
∴ ，
由图象知当 或 时，线段 与抛物线 只有1个交点；
当 时， ，
∴ ，
∴ ，此时线段 与抛物线 有2个交点．
综上所述， 的取值范围是 ，
故答案 为： ．
三、解答题：本题共9小题，共89分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查特殊三角函数值和实数的混合运算，解题的关键是掌握实数的混合运算法则．
先计算负整数指数幂，绝对值，二实数乘法，特殊三角函数值，再合并即可；【详解】解：原式
．
16. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，
的顶点都在格点上．
（1）将 向右平移5个单位长度得到 ，请在图中画出 ，并写出点 的对应点
的坐标；
（2）在图中画出 绕原点 逆时针旋转 得到的 ，并写出点 的对应点 的坐标．
（3）无刻度尺作图，在 上取一点 使得 （保留作图痕迹）．
【答案】（1）见详解，点 的坐标为
（2）见详解，点 的坐标为
（3）见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形、平移作图、旋转作图、平行四边形的判定与性质、平行线分线段成
比例定理等知识，熟练掌握平移的性质和旋转的性质是解题关键．（1）根据平移的性质确定点 的位置，然后顺次连接即可，并结合图形确定点 的坐标；
（2）根据旋转的性质确定点 的位置，然后顺次连接即可，并结合图形确定点 的坐标；
（3）在平面直角坐标系中确定点 ，使 ，连接 ，设 中点为 ；取点 ，使
，连接 并交 于点 ，结合 ，易知四边形 为平行四边形，所以
，由平行线分线段成比例定理可得 ，即可得解．
【小问1详解】
解：如下图， 即为所求，
由图形可知，点 的坐标为 ；
【小问2详解】
如下图， 即为所求，由图形可知，点 的坐标为 ；
【小问3详解】
如下图，点 即为所求．
17. 随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000
件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件．若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每
周投递快件多少件？
【答案】200件
【解析】
【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件 件，根据人数=投递快
递总数量÷人均投递数量结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件 件，依题意，得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
答：原来平均每人每周投递快件200件．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
18. 数学兴趣小组开展深究活动，研究“能被3整除的数”．指导老师首先提出一个猜想：如果该数的各
数位上的数的和能被3整除，那么这个数就一定能被3整除．例：∵ ，21能被3
整除，∴615 432能被3整除．
对于此规律：兴趣小组的两位成员分别针对三位数、四位数进行了证明：
（i）星星同学对三位数进行了证明：
设某个三位数上的百位、十位和个位上的数分别是a，b，c．
∵ ，
∴若 能被3整除，则该三位数能被3整除．
（ii）宁宁同学对四位数进行了证明：
设某个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字分别是a，b，c，d．
∵
，
∴若 能被3整除，则该四位数能被3整除．
（1）请写出横线上所缺内容．
（2）该兴趣小组继续探索一个四位数能被11整除的条件，证明过程如下：
……
请补充省略部分的推理过程，并写出四位数能被11整除的条件．【答案】（1）（i） ， ；（ii） ，
（2）补充证明过程见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了整式加减的应用，
(1) 仿照题干给定的方法填空即可； 仿照题干给定的方法填空即可；
(2)仿照题干给定的方法，将 表示为 的形式，
即可得证；
熟练掌握整式加减的运算法则并能灵活运用是解决此题的关键．
【小问1详解】
解： 星星同学对三位数进行了证明：
设某个三位数上的百位、十位和个位上的数分别是a，b，c，
，
若 能被3整除，则该三位数能被3整除；
故答案为： ， ；
宁宁同学对四位数讲行了证明：
设某个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字分别是 ，
∵
，
故答案为： ， ，
若 能被3整除，则该四位数能被3整除；
【小问2详解】解：补充推理讨程如下：
，
若 能被11整除，则该四位数能被11整除．
19. 如图，李华站在与通讯楼 距离 米的 处操控无人机，已知通讯楼 的高度为 米，在 处
的无人机测得点 和通讯楼顶 的俯角分别为 和 ，求此时无人机的高度．（注：点
都在同一平面上，无人机大小忽略不计．计算结果保留整数）参考数据： ，
， ，
【答案】 米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形应用 仰角俯角问题，矩形的性质，设过点 的水平线为 ，过点
分别作 ， ，垂足为 ，可得四边形 为矩形，进而得到 米，
，设 米，则 米，解 可得 米，即可得到
米，进而解 可得 ，
即可求出 ，即此时无人机的高度，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
【详解】解：设过点 的水平线为 ，过点 分别作 ， ，垂足为 ，
则 ，
∴四边形 为矩形，∴ 米， ，
设 米，则 米，
在 中， ，
即 ，
∴ 米，
∴ 米，
在 中， ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 米，
答：此时无人机的高度为 米．
20. 已知，四边形 内接于 ， 为 直径， 与 的延长线相交于点 E， 平分
． 与 相交于点F．（1）如图1，若 ，求证： ；
（2）如图2，若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、圆与三角形的综合、勾股定理，熟练掌握圆的相关知识是
解题的关键：
（1）根据直径所对的圆周角是直角得到 ，再由弧与弦之间的关系得到
，利用 证得 ，进而可求证结论；
（2）利用 先证得 ，进而可得 ， ，再利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明： 为 直径，
，
∴ ，
，
，，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
；
【小问2详解】
解： 平分 ，
，
由（1）得： ，
在 和 中，
，
，
，
，∴ ，
∴ ．
21. 为了解甲、乙两校九年级学生英语人机对话的学习情况，每个学校随机抽取20个学生进行测试，测试
后对学生的成续进行了整理和分析．
信息一：
绘制成了如下两幅统计图．（数据分组为：A组： ，B组： ，C组： ，
组： ）
信息二：甲校学生的测试成绩在C组的是：80， ， ，85， ，89， ， ，85．
信息三：甲、乙两校成绩的平均数，中位数，众数如表：
平均 中位 众
数 数 数
甲
a
校
乙
81 80
校
根据以上信息，回答下列问题：
（1）扇形统计图中D组所在的圆心角度数为______ ，乙校学生的测试成绩位于D组的人数为______人，
表格中 ______，在此次测试中，甲校小明和乙校小华的成绩均为82分，则两位同学谁在各自学校测试
成绩中的排名更靠前？并说明理由；
（2）假设甲校学生共有800人参加此次测试，估计甲校成绩超过86分的人数．
【答案】（1） ； ； ；小华的成绩更靠前，理由见解析；
（2）估计甲校成绩超过86分的人数有 人．【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，掌握相关知识是解题的关键．
（1）用 乘以D组所占的百分比即可求出圆心角的度数，用 乘以D组所占的百分比可得D组人数，
将甲校的 名学生的成绩从小到大排列处在中间的两个数为： ，可求出 ，根据两人的成绩与所
在学校的中位数比较可得答案；
（2）用总人数乘以超过86分的人数所占的百分比即可．
【小问1详解】
解：D组所在的圆心角度数为： ，
乙校学生的测试成绩位于D组的人数为： （人），
将甲校的 名学生的成绩从小到大排列处在中间的两个数为： ，
∴中位数 ，
小华的成绩更靠前，理由如下：
小明的成绩为 分，在甲校中位数 分以下，而小华的成绩 分，在乙校中位数 分之上，因此小
华的成绩排名在前，
故答案为： ， ， ；
【小问2详解】
解： （人），
∴估计甲校成绩超过86分的人数有 人．
22. 如图，已知 是等边三角形，点D、E分别在 、 上，且 ， 与 相交于点
P．（1）求证： ；
（2）如图2，将 沿直线 翻折得到对应的 ，过C作 ，交射线 于点G，
与 相交于点F，连接 ．
①试判断四边形 的形状，并说明理由；
②若四边形 的面积为 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）①四边形 是菱形，理由见解析；② ．
【解析】
【分析】（1）根据 证明 ；
（2）①根据（1）中： ，得 ，则 ，证明
，可得 ，则四边形 是菱形；
②作高 ，设菱形 的边长为 ，根据菱形的面积列式为 ，即 ，
可得 的值，证明 ，列比例式可得 的长．
【小问1详解】
证明：∵ 是等边三角形，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ；
【小问2详解】
解：①四边形 为菱形，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由翻折得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 是菱形；
②过 作 于 ，设菱形 的边长为 ，如图：
∵ 是等边三角形，
，
，
∵菱形 的面积为 ，
，即 ，
（负值已舍去），
，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，，即 ，
， ，
，
解得： 或 （舍去），
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、平行四边
形与菱形的判定和性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 、B两点，直线 是抛物线的对
称轴，且与抛物线交于点C，与x轴交于点P，动点D在B、C之间的抛物线上（与B、C不重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接 、 ，当 时，求点D的坐标；
（3）如图2，设直线 交抛物线对称轴于点E，连接 、 ，求 面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3） 最大为2【解析】
【分析】本题考查二次函数几何最值、定值、动点问题，熟练掌握并利用待定系数法求二次函数的解析式，
对于动点问题能够“化动为定”利用题意提供的信息列出等量关系是解题的关键，（1）利用待定系数法，
将点 和对称轴代入即可求得抛物线的解析式；（2）过点D作 ，垂足为H，由（1）可得抛物
线顶点 的坐标，得 ， 的长，设点D的横坐标为t，则 ，易证 ，可得
，进而得到 ， ，故点 D 的纵坐标为 ，利用
，解得 ，即可得点D坐标；（3）过点D作 ，垂足为Q，设 ，
则得到 ， 的长，由于 ，可得 ，故 ，可得 ，
则 ，故当 时， 最大．
【小问1详解】
解：点 在抛物线 上，直线 是抛物线的对称轴，
∴
解得 ， ，
∴ ，
【小问2详解】
解：过点D作 ，垂足为H，由抛物线 可知顶点 ，
∴ ， ，
设点D的横坐标为t，则 ，
∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴点D的纵坐标为 ，
∴ ，
解得 或 （舍），
即点D的坐标为 ，
【小问3详解】解：过点D作 ，垂足为Q，设 ，
则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
∴当 时， 最大为2，
