文档内容
九年级 数学
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分．考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是
符合题意．
1. 剪纸是中国独特的民间艺术，如图是我国传统文化中的“福禄寿喜”剪纸图，其中是中心对称图形的是
（ ）
A. B. C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转 180度，旋
转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，
所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，平方差公式，单项式乘以单项式，积的乘方．据此相关运算法则进行逐
项分析即可作答．
【详解】解：A、 ，故该选项不符合题意；
B、 ，故该选项不符合题意；
C、 ，故该选项不符合题意；
D、 ，故该选项符合题意；
故选：D．
3. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数
在上线21天后达到了 万．将 万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示，掌握其形式，确定 的值的方法是关键．
科学记数法的表示形式为 ，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数
变为a时，小数点向左移动位数即为n的值，当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移
动位数的相反数即为n的值，由此即可求解．
【详解】解： 万 ，
故选：C ．
4. 由几个大小相同的小正方体积木搭成的立体图形的左视图如图所示，则所搭成的立体图形不可能是（
）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查由三视图判断几何体，找到各选项中从左面看不是所给视图的立体图形即可．
【详解】A、左视图为2列，从左往右正方形的个数为2，1，不符合题意；
B、左视图为2列，从左往右正方形的个数为2，1，不符合题意；
C、左视图为2列，从左往右正方形的个数为2，1，不符合题意；
D、左视图为2列，从左往右正方形的个数为1，2，符合题意；
故选：D．
5. 下列选项中的命题是真命题的是（ ）
A. 不是方程 的解 B. 若 ，则
C. 三角形的三条高线交于三角形内一点 D. 等腰三角形的内角都相等
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程、解一元二次方程、垂心、等腰三角形的定义、真命题，熟练掌握方程的
解法和等腰三角形的定义是解题关键．根据解分式方程、解一元二次方程、垂心、等腰三角形的定义逐项
判断即可得．
【详解】解： ，
，
，
经检验， 不是分式方程的解；则选项A是真命题；
，，
或 ，
方程的解为 或 ，则选项B是假命题；
锐角三角形的三条高在其内部，三条高的交点在三角形内部；直角三角形的两条直角边互为高，三条高的
交点在直角顶点处；钝角三角形有两条高在三角形的外部，三条高的延长线的交点在三角形的外部，则选
项C是假命题；
等腰三角形的两个底角相等；则选项D是假命题；
故选：A．
6. 已知二次函数 中部分 和 的值如下表所示：
则方程 的一个较大的根的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思
想成为解题的关键．
先求得对称轴为直线 ，再根据表格数据得 的较小的根的范围为 ，最
后根据二次函数图象的对称性即可解答．
【详解】解：由表格数据可得：
∵函数 的对称轴为直线 ，
当 时， ；当 时， ；
∴ 的较小的根的范围为 ，∴ 的较大的根的范围是 ．
故选：C．
7. 2025年3月是全国第62个学习雷锋月，为进一步学习弘扬雷锋精神，学校开展一系列“学雷锋”活动．
某班级为响应学校号召，计划从“护绿植绿”、“志愿服务”、“公益环保”、“文化宣讲”4项活动中
随机选取2项进行实践，则恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．
根据题意得到共有 种等可能 的情况：护绿植绿，志愿服务；护绿植绿，公益环保；护绿植绿，文化
宣讲；志愿服务，公益环保；志愿服务，文化宣讲；公益环保，文化宣讲；恰好选中护绿植绿和文化宣讲
的有 种情况，计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意共有 种等可能的情况：护绿植绿，志愿服务；护绿植绿，公益环保；护绿植绿，
文化宣讲；志愿服务，公益环保；志愿服务，文化宣讲；公益环保，文化宣讲；恰好选中护绿植绿和文化
宣讲的有 种情况，
恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是 ，
故选：A．
8. 如图，在菱形 中， ，分别以点A和B为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相
交于点M和N，作直线 ，交 于点E，连接 ，若 ，则 的长为（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】
【分析】连接 ，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得 ，再得
，利用勾股定理即可求出 的长度．
【详解】解：连接 ，如图：
由作图痕迹可知， 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在等腰 中， ，
∴ ，
∵四边形 为菱形，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理，则
；
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键
是熟练掌握所学的知识，正确得到 ．
9. 如图，点 在双曲线 上，连接 并延长，交双曲线 于点 ，点 为轴上一点，且 ，连接 ，若 的面积是9，则 的值为（ ）
A. 9 B. 6 C. 4 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
如图：过点A作 轴，过点B作 轴，根据相似三角形的判定和性质得出 ，确定
，然后结合图形及面积求解即可．
【详解】解：如图：过点A作 轴，过点B作 轴，
∴ ，
∴ ，
∵点A在双曲线 上，点B在 ，
， ，
，，即 ，
，
∵ ， 轴，
，
，
，
，
，
，解得： ．
故选B．
10. 如图1，在矩形 中， 是 上一个动点，将 沿 折叠得到 ，记 和
矩形 重叠部分的面积为 ， 的长度为 ， 与 之间的函数关系如图2所示，则下列结论：
①矩形 的周长为12；
②矩形 的面积为8；
③ ；④ ．
其中结论正确的有（ ）A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】A
【解析】
【分析】当 时， 如图示中的位置，根据 ，可求出 的
值，当 最大时， 与 重合，即如图示 位置，此时， ，即 ，可求出周长和
面积，证明 ，得到 ，设 ，则 ，根
据勾股定理求出 ，得到 ，再求出 ，即可求解，
【详解】解：如图：
的
当 时， 如图示中 位置，
由题意和矩形及折叠的性质可得，四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
解得： ， （舍去），故③符合题意，∴ ，
当 最大时， 与 重合，即如图示 位置，
此时， ，
∴ ，
∴矩形 的周长 ，故①符合题意，
矩形 的面积 ，故②符合题意，
由折叠可知， ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
整理得： ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④符合题意，
综上，符合题意的有①②③④，共 个，
故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定
理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
11. 要使 有意义，则实数x的取值范围是________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及解不等式，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于
等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵二次根式 要有意义，
∴ ，
∴ ，
故答案为； ．
12. 因式分解： ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解，合理的选择因式分解的方法是解题的关键．利用提取公因式法和公式法
直接因式分解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
13. 如图，直线 与正六边形 的边 分别相交于点 ，则 的大小为
___________．【答案】 ##120度
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的内角和、四边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和是解题关键．先根据
正六边形的内角和可得 ，再根据四边形的内角和可得 ，然后根
据对顶角相等可得 ， ，由此即可得．
【详解】解：∵六边形 是正六边形，
∴ ，
∵在四边形 中， ，
∴ ，
由对顶角相等得： ， ，
∴ ，
故答案为： ．
14. 已知：如图1， 中， ， ．点 是边 上一点且 ，点
是边 上的动点，线段 绕点 逆时针旋转 至 ，连接 ， ．（1）如图2，当点 与点 重合时，线段 ________．
（2）点 运动过程中，线段 的最小值是________．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】（1）由直角三角形的性质可求 ， 的长，即可求解；
（2）先确定点 在过点 且垂直 的直线上运动，由矩形的性质可求解．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ， ，
∵线段 绕点 逆时针旋转 至 ，点 与点 重合，
∴ ， ，
∴ ，
∴点 在线段 上，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）如图，过点 作 于 ，过点 作 ，交 于 ，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵线段 绕点 逆时针旋转 至 ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在过点 且垂直 的直线上运动，
∴当 时， 有最小值，
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴线段 的最小值是 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判
定和性质，垂线段最短等知识，确定点 的运动轨迹是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
根据乘方运算，负整数指数幂，零指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质化简，再合并，即可求
解；
【详解】解：
．
16. 去年全国粮食产量再创新高，为推进乡村振兴奠定了坚实基础．某粮食生产专业户原计划生产水稻
吨和小麦 吨，但实际水稻超产 ，小麦超产 ，该专业户去年水稻种植面积是小麦种植面积的 倍，
且水稻亩产量比小麦多 千克，求水稻种植面积是多少亩？
【答案】水稻种植面积是 亩
【解析】
【分析】本题考查实际问题抽象出分式方程，先计算出该专业户去年实际生产水稻 吨，生产小麦 吨，设水稻种植面积是 亩，则小麦种植面积为 亩，再根据“水稻亩产量比小麦多
千克”列出分式方程求解即可．解题的关键是分析题意找出相等关系．
【详解】解：该专业户去年实际生产水稻： （吨），
生产小麦： （吨），
设水稻种植面积是 亩，则小麦种植面积为 亩，
依题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解且符合题意，
答：水稻种植面积是 亩．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后， 的顶
点均在格点上．
（1）将 绕原点 按逆时针方向旋转 得 ，请画出 ，并写出点 的坐标；
（2） 的面积为________；
（3）点 在（1）中经过的路径长为________．【答案】（1）见解析，
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了作图 旋转变换、弧长公式、三角形的面积等知识点，掌握利用关键点进
行旋转作图是解题的关键．
（1）分别将 、 、 绕点O按逆时针方向旋转 得到 、 、 ，再分别连接 ，
， 即可；
（2）根据割补法求 的面积即可
（3）可知点C到点 的路径为以O为圆心， 长为半径，圆心角为 的弧，然后根据弧长公式求解
即可．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求，
；
【小问2详解】解： 的面积为 ．
【小问3详解】
解：如图，可知点C到点 的路径为以O为圆心， 长为半径，圆心角为 的弧，
∵ ，
∴点C经过的路径长 ．
18. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前4种化合物的分子结构模型图，其
中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子，4个氢原子；第2种如图②有2个碳原
子，6个氢原子；第3种如图③有3个碳原子，8个氢原子；
（1）按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________个；第 种化合物的分子
结构模型中氢原子的个数是________个；
（2）按照这一规律，这类物质是否存在某种化合物的分子结构模型中有2031个氢原子？请说明理由．
【答案】（1） ， ；
（2）不存在，理由见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键．（1）观察前面四幅图可知氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可；
（2）根据（1）所求得到方程，解方程看方程是否有正整数解即可得到结论．
【小问1详解】
解：第1种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：
，
第2种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：
，
第3种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：
，
第4种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：
，
，
∴第 种化合物的分子模型中，氢原子的个数为 个，
当 时，
（个），
∴第 种化合物的分子模型中，氢原子的个数为 个，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解：不存在，理由如下：
令 ，
解得： ，
∵ 为正整数，
∴不存在某种化合物的分子结构模型中有2031个氢原子．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世
界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整
的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报
告：课题 测量四门塔的高度
测量工具 测角仪、无人机等
测量示意
图
如图②，测量小组使无人机在点A处以 的速度竖直上升 后，飞行
测量过程 至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为 ，然后沿水平方向向左飞行
至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为 ．
点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，
说明 ．结果精确到 ．（参考数据：
）
（1）求无人机从点B到点C处的飞行距离；
（2）求四门塔 的高度．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用 仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）根据题意求出 ，再根据等腰直角三角形的性质求出 ；
（2）延长 交 的延长线于点 ，设 ，用 表示出 、 ，根据正切的定义列出方程，
解方程得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可知： ，
在 中， ，则 ，
答：无人机从点B到点C处的飞行距离问 ；
【小问2详解】
解：如图，延长 交 的延长线于点 ，
则四边形 为矩形，
，
设 ，
则 ，
在 中， ，
则 ，
，
在 中， ，
，
，即 ，
解得： ，
答：四门塔 的高度约为 ．
20. 如图， 中，A是 的中点，以A， ， 三点作平行四边形 ，延长 交 于点 ，
连接 ．（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了圆的有关知识、平行四边形的判定与性质、切线的判定、勾股定理等知识点，熟
练运用这些性质进行推理是本题的关键．
（1）如图：连接 交 于点 ，根据题意可得 ，进而得到 ，再根据平行四边
形的性质可得 即可证明结论；
（2）如图：连接 ，由平行四边形的性质可得 、 ，进而得到 ，
根据等腰三角形的性质可得 ，再根据勾股定理可得 ，设 的半径为 ，则
，然后根据勾股定理列方程求解即可．
【小问1详解】
证明：如图：连接 交 于点 ，
∵A是 的中点，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线．
【小问2详解】
解：如图：连接 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
在 中， ，
的
设 半径为 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，解得： ，
∴ 的半径为 ．
六、（本题满分12分）
21. 某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间 小时进
行分组整理，并绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图（如图），根婚图中提供的信息，解答下列
问题：
（1）这次抽样调查的学生人数是________人；
（2）扇形统计图中“B”组对应的圆心角度数为________ ；
（3）请将顿数直方图补充完整，并在图上标出数据；
（4）若该校有2000名学生，试估计全校有多少名学生每周的课外阅读时间不少于6小时？
【答案】（1）50 （2）108
（3）见解析 （4）280人
【解析】
【分析】（1）由A时间段的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）用360°乘以B组的百分比可得；
（3）用总人数乘以B组的百分比求得其人数，再用总人数减去其他各组人数之和求得D组人数即可得；
（4）用总人数乘以样本中D、E人数之和所占比例即可得．【小问1详解】
解：这次调查的学生人数为 （人），
【小问2详解】
解：扇形统计图中“B”组对应的圆心角度数为 ，
【小问3详解】
解：B时间段的人数为 （人），
则D时间段的人数为 （人），
补全图形如下：
【小问4详解】
解： （人），
答：全校有280人每周的课外阅读时间不少于6小时．
【点睛】本题考查频率分布直方图、扇形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，
灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
七、（本题满分12分）
22. 如图1，已知矩形 对角线 和 相交于点 ，点 是边 上一点， 与 相交于点
，连接 ．（1）若点 为 的中点，则 的值为________．
（2）如图2，若点 为 中点，求证： ．
（3）如图2，若 ， ，且 ，求 的长．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和
性质；掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
（1）根据题意得 为 的中位线，进而得出 ，则 ，根据相似三角形的
性质，即可求解；
（2）过 作 交 于点 ，可得 为 的中位线，证明 ，根据全等三
角形的性质，即可求解；
（3）过 作 交 于点 ，可得 是 的中位线，证明 ，根据相似三
角形的性质，即可求解；
【小问1详解】
解：如图，∵ 为矩形对角线交点，
∴ ，
∵ 为 中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
如图，过 作 交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为 中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∵ ，则 ，
又∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，即 ；
【小问3详解】
解：如图，过 作 交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 中点， ，
∴ ，
∴ 是 中点， 是 的中位线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，∴ ，
∴
八、（本题满分14分）
23. 如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ，且 ， ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若将平面内一点 向左平移 个单位，到达图象上的 点；若将点 向右平移
个单位，则到达图象上的 点，求 点坐标．
（3）动点 在直线 上方的二次函数图像上，连接 ， 相交于 点， 的面积为 ，
的面积为 ，求 的最大值及此时点 的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3） ，
【解析】
【分析】（1）把 ， 代入抛物线 ，再建立方程组求解即可；
（2）先表示平移后 ， ，再利用对称性可得答案；（3）如图，过 作 轴交 于 ，过 作 轴交 于 ，可得 ，可
得 ，求解直线 为 ， ，可得 ，设 ，
则 ，再进一步求解即可．
【小问1详解】
解：把 ， 代入抛物线 ，
得： ，解得： ，
∴该抛物线解析式为 ；
【小问2详解】
解：∵将平面内一点 向左平移 个单位，到达图象上的 点；
∴ ，
∵将点 向右平移 个单位，则到达图象上的 点，
∴ ，
∵ ， 关于抛物线的对称轴对称，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】解：如图，过 作 轴交 于 ，过 作 轴交 于 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积为 ， 的面积为 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴直线 为 ，
∵当 ，
解得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，∴
当 时， 的最大值为 ，
此时， ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的对称性，平移的性质，相似三
角形的判定与性质，二次函数的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
