文档内容
2025 年中考模拟考试九年级数学试卷
注意事项：
1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷
上的答案无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 实数 的绝对值是（ ）
A. B. C. 0 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查绝对值运算，熟记绝对值代数意义是解决问题的关键
【详解】解：实数 的绝对值是 ，
故选：D．
2. 下面计算的结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查整式的加减、单项式的乘法、积的乘方以及单项式的除法运算，解题的关键是熟练掌握
相应的运算法则．
分别对每个选项按照对应的运算法则进行计算，判断其正确性．
【详解】A、 ，A错误；
B、 ，B错误；
C、 ，C正确；
D、 ，D错误．
故选：C．3. 2024年12月29日，合肥市官方发布2024年合肥新能源汽车产量突破130万辆．数据130万可用科学
记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法的形式 （其中
为整数）以及 的确定方法．
先将130万转化为具体数字，再根据科学记数法的规则确定 和 的值．
【详解】因为1万 ，所以130万 ，
所以1300000用科学记数法表示为 ，
故选C．
4. 如图所示的几何体是正方体切去一个三棱锥剩余的部分，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，根据主视图是从几何体的正面看到的图形，进行作答即可．
【详解】解：依题意，正方体切去一个三棱锥剩余的部分的主视图是 ，
故选：C
5. 一等腰三角板和一直尺如图放置，若 ，则 的度数是（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查求角度，涉及三角形内角和定理、等腰直角三角形性质、平行线性质及邻补角定义等知
识，熟练掌握相关几何性质，数形结合是解决问题的关键．
结合等腰直角三角形性质，先由三角形内角和定理求出 ，再由平行线性质及邻补角定义，数形结合即
可得到答案．
【详解】解：如图所示：
由三角形内角和定理可知 ，
由平行线性质可知 ，
，
故选：A．
6. 学生食品安全引起各级政府的关注，师生在同一地点吃同样食物的政策在美安学校实行．学校食堂中午
开设了四个取餐窗口，在校就餐时小明和小红被随机分到同一窗口的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解是解题的关键；由题意可根据列表法进行求解概率．
【详解】解：设学校食堂开设的四个窗口分别为1、2、3、4，由题意可得表格如下：小红
1 2 3 4
小明
1
2
3
4
由表可知：一共有16种可能性，其中小明和小红被随机分到同一窗口的有4种可能性，所以在校就餐时小
明和小红被随机分到同一窗口的概率是 ；
故选C．
7. 如图，四边形 的对角线 平分 ， ， ，若 ，
则 的长度是（ ）
A. B. 6 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质
与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键；过点 作 平分 交 于点 ，由题意易得
，则有 ，然后可得 ，进而根据全等三角形的性质及相似三角形
可进行求解．
【详解】解：过点 作 平分 交 于点 ，如图．， ，
，
，
，
，
， ， ，
，
，
，
， ，
．
，
，即 ，
；
故选A．
8. 已知一次函数 与正比例函数 的图象的交点在第四象限，且横坐标是1，则下列判断正
确的是（ ）
A. 且 B. 且C. 且 D. 且 的符号不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了函数图象的交点，完全平方式，能将化成完全平方式是解题的关键．
由交点在第四象限，横坐标是1，得 ，由 可判断 ，
可得 ，即可求解．
【详解】解析：解法一：由题意得， ，即 ．
，
， ，
即 ，
故选B．
解法二：由题意得， ，
， 抛物线 与 轴至少有一个交点，为 ，
，
故选B．
9. 如图，在矩形 中， ， ，点 是射线 上一动点，将 绕点 顺时针旋转
得到线段 ，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，旋转性质，先根据矩形的性质，
旋转性质得出 ， ，再证明 ，则作 关于 的对称点 ，连
接 ， ，当 ， ， 共线时， 最小，最小值为线段 的长，运用勾股定理进行
列式计算，即可作答．
【详解】解：过点 作 于点 ，如图，
∵将 绕点 顺时针旋转 得到线段
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
点 在过点 的 的垂线上，
∵ ， ，
∴ ，
作 关于 的对称点 ，连接 ， ，
，
，当 ， ， 共线时， 最小，最小值为线段 的长，
的最小值为 ．
故选：C
10. 已知四边形 是菱形，点 从 出发沿边 运动，点 同时从 出发沿边
运动，两点相遇时，运动停止（点 的速度大于点 的速度）， 的面积 与点 运
动的路程 之间的函数关系的图象如图所示．根据图象，下列结论错误的是（ ）
A. 菱形的边长是6 B. 点 的速度是点 的2倍
C. 菱形的高是4 D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查实际问题与二次函数，一次函数与菱形的综合问题．
当 时，点 在 上，点 在 上；当 时， 与 之间是一次函数的关系，且 随
的增大而增大，点 在 上，点 在 上；当 时， 与 之间是一次函数的关系，且 随
的增大而减小，点 ， 都在 上．分类讨论，再结合函数图象，即可解答．
【详解】解：由题意和图象可知，当 时，点 在 上，点 在 上，
又 图象过点 ，
此时点 在 上， ， 与 重合．菱形的高 ，
如图1．故选项C的结论正确，
当 时， 与 之间是一次函数的关系，且 随 的增大而增大，
点 在 上，点 在 上，此时， 的边 的高不变，
如图2．当 时， 与 之间是一次函数的关系，且 随 的增大而减小，
点 ， 都在 上，
如图3．综上，菱形的边长为6，点 到达点 时，点 正好到达点 ，即点 的速度是点 的2倍，
选项A，B的结论正确．
，当 时，点 ， 相遇，
，解得 ，
选项D是错误的．
故选D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 关于 的不等式 的解集是________
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次不等式 的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键；因此
此题可根据一元一次不等式的解法进行求解即可．
【详解】解：；
故答案为 ．
12. “如果a＞0，b＞0，那么ab＞0”的逆命题是_____．
【答案】如果ab＞0，那么a＞0，b＞0
【解析】
【分析】根据互逆命题的定义，把原命题的题设和结论交换即可．
【详解】解：“如果a＞0，b＞0，那么ab＞0”的逆命题为“如果ab＞0，那么a＞0，b＞0”．
故答案为如果ab＞0，那么a＞0，b＞0．
【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一
个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆
命题．
13. 如图， 内接于 ， ， 分别是 ， 的中点， ， 的度数是________
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形中位线定理，连接 ，则可推出 是 的中位线，
则 ，进而可证明 ，即 ，再由圆周角定理可得答案．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ ， 分别是 ， 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，∴ ，即 ，
，
故答案为： ．
14. 如图，在 中， ， ，点 ， 是 上的点，沿 ， 将 折
叠，使 ， 叠合到 处．
（1）用 的代数式表示 ，则 ________；
（2）若 ， ，则 的值是________
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的性质与判定，等边对等角，折叠的性质等等，熟知折叠
的性质和相似三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）根据等边对等角和三角形内角和定理得到 ，由翻折可知， ，
，据此由角的和差关系可得答案；
（2）设 ， ，根据（1）所求可得 ，则由折叠的性质和勾股定理可得
，再证明 ，求出 ．同理， ，据此可得答案．
【详解】解析：（1） ， ，
．由翻折可知， ， ，
；
故答案为： ；
（2）设 ， ，
，
，
由翻折可知， ， ，
，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
，
，即
．
同理， ，
，
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
【答案】【解析】
【分析】本题考查实数的运算，涉及绝对值、负整数指数幂和立方根的运算．关键步骤是：正确计算各单
项的值，注意负号和运算顺序．首先分别计算绝对值、负整数指数幂和立方根，然后按照运算顺序进行减
法运算即可得出结果．
【详解】解：
．
16. 如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点 和 的顶点均在格点（网格线的交
点）上．
（1）将 先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，得到 ，在网格中画出 （
， ， 分别是 ， ， 的对应点）；
（2）以 为位似中心，将 放大2倍，得到 ，在网格中画出 （ ， ， 分别
是 ， ， 的对应点），求 与 的关系．
【答案】（1）图见解析
（2） ， ，图见解析
【解析】【分析】本题考查了作图-平移作图，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先将A、B、C右平移3个单位，再向下平移4个单位后的对应点描出来，再顺次连接各对应点即可；
（2）根据位似比作图即可，然后根据网格的特点和勾股定理即可得出 与 的关系．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求，
【小问2详解】
解：如图， 即为所求，
， ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 一电线杆 用拉绳 固定，点 在斜坡 的顶端，斜坡 ，坡比为 ，测得拉绳
与水平线 的夹角 ，求拉绳 的长和电线杆 的高．（参考数据： ，， ，结果保留 ）
【答案】拉绳 的长约是 ，电线杆 的高约是
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边
角关系求解．
过点 作 于点 ， 于点 ，由坡比可得 ，设 ， ，在
中，由勾股定理可求 的值，继而可得 ， ， 的长，在 中，利用解直角三角
形 ， ，即可解答．
【详解】解：过点 作 于点 ， 于点 ，如图．
斜坡 的坡比为 ，
．
设 ， ，
，解得 ，
， ．
在 中， ， ，
， ．
．
答：拉绳 的长约是 ，电线杆 的高约是 ．
18. 独具徽味特色的合肥卤菜深受全国吃货们的喜爱．“徽徽卤味食品”的老板将本店的卤肉技术处理后
销往外地，外地的食客需付费用（包含卤肉费和快递费），其中卤肉每千克 元．若购买卤肉数量在
及以内（包含 ）一次性支付快递费30元；若超出 ，超出的部分每千克支付 元．外地某食客两
次购买卤肉 、 ，分别支付各种费用265元和435元．根据以上条件求 ， 的值．
【答案】 ， 的值分别是75和10．
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据不同购买量对应的费用情况列出方程组．
根据两次购买卤肉的重量和支付费用列出关于 、 的二元一次方程组，然后求解方程组得到 、 的值．
【详解】解：由题意得， ，
解得 ，
， 的值分别是75和10．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19. 如图，点 是 斜边 上的点，以 为直径的 与 相切于 ，交 于点 ，连
接 ， ， ．
（1）求证： 平分 ；
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 交 于点 ，根据切线性质得出 ，证明 ，得出
，根据等腰三角形的性质得出 ，即可证明结论；
（2）证明四边形 是矩形，得出 ， ，根据勾股定理得出
，设 的半径为 ，根据勾股定理得出 ，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：连接 交 于点 ，如图．
与 相切于点 ，
，
，，
．
，
，
，
即 平分 ．
【小问2详解】
解： 是 的直径，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
∴ ，
∴ ，
，
，
．
设 的半径为 ，
，
，
解得 ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，
平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
20. 小明用一些边长为1的小正方形按一定规律摆放得到创意广告墙图案．图 图 图 图 ．．
图形
1 2 3 4 ．
小正方形 的．．
6 12 20
个数 ．
（1）观察以上图形，完成表格；
（2）将图 如图放置到平面直角坐标系 中，则点 的坐标是________；
（3）不难发现点 ， ， ， ， ， 在同一直线上，连接 ，利用面积法求图 需要小正方
形的个数．
【答案】（1）30 （2）
（3）图 需要小正方形的个数为 个．
【解析】
【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现小正方形个数变化的规律是解题的关键．
（1）观察前三个图，找到规律，即可求解；
（2）观察前三个点的坐标，找到规律，即可求解；
（3）根据图形，找到规律，即可求解．
【小问1详解】
解：图1，小正方体的 个，图2，小正方体的 个，
图3，小正方体的 个，
图4，小正方体的 个，
故答案为：30；
【小问2详解】
解： ， ， ，
观察得到规律：每个点的横坐标是其角标的2倍，横坐标是其角标加2，
∴ ；
故答案为： ；
【小问3详解】
解：如图，
图1，小正方体的面积 ，小正方体的个数6个，
图2，小正方体的面积 ，小正方体的个数12个，
图3，小正方体的面积 ，小正方体的个数20个，
图4，小正方体的面积 ，小正方体的个数30个，
图4，小正方体的面积 ，小正方体的个数 个，答：图 需要小正方形的个数为 个．
六、（本题满分12分）
.
21 综合与实践保护妇女儿童权益
【调查背景】根据《中华人民共和国宪法》和国家有关法律、法规，地方各级政府一直都重视保护妇女儿
童权益，保障儿童身心健康，发挥妇女在社会主义物质文明和精神文明建设中的作用．在“三八”妇女节
期间，为了加强同学们对妇女儿童权益的认识，某校举行了“保护妇女儿童权益”的知识竞赛．
【数据的收集、整理】学校抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为“优秀”“良好”“及格”和“不及
格”四个等级进行分析．
1．根据收集的数据，小明绘制了成绩等级的条形和扇形统计图，如下：
2．小明发现样本中成绩等级达到“优秀”的14名同学中恰好7男7女，他们的得分如下：
男生：90 94 95 95 96 97 98
女生：92 93 94 94 96 97 99
【数据的处理和应用】根据以上信息，回答下列问题：
性 平均 中位 众 方
别 数 数 数 差
男 95 95 95
女 95 94
（1）本次抽取了________名学生的成绩，扇形统计图中“优秀”部分的圆心角是________ ，补全条形统
计图；
（2）补全成绩等级达到“优秀”的同学分数的统计表：
（3）该校参加竞赛的学生共有750人，请你估计成绩等级达到良好及良好以上的约有多少人．
【答案】（1）50，100.8，补全统计图见解析（2） ，94
（3）570人
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图、中位数、众数、平均数、方差以及利用样本估计总体等知
识，熟练掌握统计的相关知识是解题的关键．
（1）根据良好的人数及其占比即可求出本次抽取的学生人数，用“优秀”部分的占比乘以360度即可得到
圆心角的度数，进一步求出及格和不及格的人数，即可补全统计图；
（2）根据方差和中位数的定义即可补全统计表；
（3）利用样本估计总体的思路求解即可．
【小问1详解】
解：本次抽取的学生人数是： 人；
扇形统计图中“优秀”部分的圆心角是： ；
故答案为：50，100.8；
及格人数为 人，
不及格的人数为 人，
补全统计图如图：
【小问2详解】
解：7名男同学的方差是
；
成绩等级达到“优秀”的7名女同学的成绩按照从小到大排列后，排在第4位的成绩是94分，
所以女生成绩等级达到“优秀”的中位数是94分；故答案为： ，94；
【小问3详解】
解：估计成绩等级达到良好及良好以上的约有 人．
七、（本题满分12分）
22. 春节临近，苹苹果业给顾客提供 ， 两种水果礼盒． 种礼盒每盒利润30元，每天能卖120盒；
种礼盒每盒利润20元，每天能卖160盒．若 种礼盒价格提高1元，则每天少卖出3盒； 种礼盒价格提
高1元，则每天少卖出4盒．（注：两种水果礼盒的成本不变）
（1）若每份礼盒价格提高了 元，销售 ， 两种礼盒每天的利润分别为 元、 元，请求出 、
与 之间的函数关系式；
（2）物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为8元，那么 种礼盒的价格提高多少元时，这两种水果礼
盒每天售出的利润之和最大？
【答案】（1） ，
（2）当 种礼盒的价格提高1元时，这两种水果礼盒每天售出的利润之和最大
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的应用，设出未知数，根据题意列出等式，找到量之间的关系是解题关键；
（1）由题意可知，每份礼盒价格提高了 元， 种礼盒每天卖出 盒， 种礼盒每天卖出
盒，根据利润=每份利润 份数即可求得函数关系式；
（2）设 种礼盒的价格提高 元， 种礼盒的价格提高 元，结合两个函数关系可得两种每天利润
之和 ，即可求得结果．
【小问1详解】
解： ，
．
【小问2详解】解：设 种礼盒的价格提高 元， 种礼盒的价格提高 元，由题意得，
，
当 时， 的值最大．
答：当 种礼盒的价格提高1元时，这两种水果礼盒每天售出的利润之和最大．
八、（本题满分14分）
23. 已知点 是矩形 的边 上一点，连接 ，将矩形沿 翻折，使点 ， 分别落在 ，
处．
（1）如图1，连接 ， 为 的中点， ，求证： ；
（2）如图2，点 ， ， 共线， ， 的延长线相交于点 ，连接 ，
①若 ，求 的值；
②点 ， 分别是 ， 延长线上的点， ，连接 ， ，若 ，求证：
平分 ．
【答案】（1）见解析 （2）① ，②见解析
【解析】【分析】（1）根据折叠证明 为等边三角形，则 ，那么 ，在矩形
中， ，得到 ，然后证明 为等边三角形即可；
（2）①先证明 ，则 ，可得点 ， ， 在同一条直线上，然后由
平行得到 ，则 ；
②过点 作 于点 ，先证明 ，则 ， ，
．再证明 ，则 ， ，最后证明
即可．
【小问1详解】
证明：∵矩形 ，
∴ ，
由翻折可知， ， ， ， ，
的
为 中点， ，
，
，
∴ 为等边三角形，
，
．在矩形 中， ，
，
，
，
为等边三角形，
．
【小问2详解】
①解：∵矩形 ，
∴ ， ， ，
由翻折可知， ， ， ，
，
，
，
，
，
点 ， ， 在同一条直线上，
，
．
，
∴ ，
；
②证明：过点 作 于点 ，
，，
， ，
，
， ， ．
∵
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
平分 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的综合问题，线段垂直平分线的性质，等边三
角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等知识点，难度较大，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
