文档内容
无为市 2024—2025 学年第二学期学情调研一数学（试题卷）
注意事项：
1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上
答题是无效的．
3.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 的倒数是（ ）
A. 2025 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的意义，倒数的定义，由绝对值的意义可得 ，再根据倒数的定
义即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ 的倒数是 ，
故选：C．
2. 2025年1月25日，安徽省举行“贯彻落实新春第一会精神奋力推动经济持续回升向好”新闻发布会，
会上指出2024年，安徽地区生产总值增长5.8%，增速高于全国0.8个百分点、并列全国第3位，总量突破
5万亿元、达到 万亿元．其中 万亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 ，其中 ，确定与 的值是解题的关键．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ， 为
整数，据此判断即可．
【详解】解： 万亿 ．
故选：C．
3. 如图中所示的几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三视图，根据左视图是从左边看到的图形，进行判断即可，注意存在看不见的要用虚线
进行表示．
【详解】解：由图可知，左视图为：
故选D．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方、完全平方公式，熟练掌握相关运算法则
是解题的关键．根据合并同类项、同底数幂除法、积的乘方、完全平方公式，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、 和 不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项符合题意；C、 ，故本选项不符合题意；
D、 ，故本选项不符合题意；
故选：B
5. 如图，在矩形 中， ， ，以点A为圆心， 为半径的弧交 于点E，则阴影部
分的扇形面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查扇形的面积，矩形的性质，三角函数的应用等知识，求解 ，证明
，再利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
6. 已知一次函数 与反比例函数 （ ）的图象没有交点，则k的值可以为（ ）A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，依据题意，先把两函数的解析式组成方程
组，再转化为求一元二次方程解答问题，求出 的取值范围，找出符合条件的 的值即可．根据题意把函
数的交点问题转化为求一元二次方程解的问题是解答此题的关键．
【详解】解： 反比例函数 与一次函数 的图象没有交点，
方程组 无解，即 无解．
方程 ，解得 ．
的
四个选项中只有 ，所以只有选项B符合条件．
故选：B．
7. 如图，在等腰 中， ， ， ， ，连接 交 于
点E，若 ，则 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股
定理等知识，过点 作 于 ，求出 ，则 ，证明
，可得 ，设 ，则 ，在 中，
根据勾股定理即可求解，正确作出辅助线，构建全等三角形是本题的关键．
【详解】解：如图，过点 作 于 ，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
设 ，则 ，
，在 中， ，
，
，
（负值舍去），
，
故选：B．
8. 已知点 在第一象限，且满足 ， ，设 ，若 ，则
（ ）
A. S有最大值2 B. S有最小值 C. S的值恒为1 D. S有最大值1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的性质，根据已知条件，求出 、 的值，再根据
在第一象限，得到 ， ，求出 的取值范围，根据 的取值范围和 ，求出
的取值范围，即可得出答案，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的应用．
【详解】解：由题意得 ，
由① ②得 ，
即 ，
，
由① ②得 ，
即 ，
，
，
在第一象限，， ，
，
，
且 ，
，
解得 ，
，
，
，
有最大值2．
故选：A．
9. 在凸四边形 中， ， ，点 在线段 （不与端点重合）上，且
，连接 ， ．则下列结论错误的是（ ）
A. B. 若 ，则
C. D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，根据题意添加合适的
辅助线是解题关键．
A、证得 ，可推得 ，即可求解；
B、通过题意进行等量代换即可求解；
C、延长 ，作 于点 ，证得四边形 是矩形，结合直角三角形的斜边与两条直角边的
关系即可求解；
D、结合C选项和勾股定理即可求解．
【详解】解：A、根据题意，如图所示：在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，故A选项正确，但不符合题意；
B、 ， ，
，
，
，
，故B选项正确，但不符合题意；
C、如图，延长 ，作 于点 ，
，四边形 是矩形，
，
是 的斜边，
，
，
，故C选项正确，但不符合题意；
D、由C选项得： ，
在 中， ，
无法判断 和 的大小，故D选项错误，但符合题意．
故选：D．
10. 如图，在 中， ， ， ，点D，E分别在线段 ， 上，且
是 的中位线，点P从点D出发沿 向点E运动，点Q在 上且满足 ，连接 ，
过点Q作 交 于点R，设点P运动的路程为x， 的面积为y，则y关于x的函数图象为
（ ）
A. B. C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，二次函
数的图象性质，先证明四边形 为平行四边形，所以 ，再证 ，列比例式
，得到 ， ，所以 ，再根据三角形面积公式列出
关于 的函数表达式，利用函数性质解题．，掌握以上内容是解题关键．
【详解】解： 是 的中位线，
，
，
四边形 为平行四边形，
，
，
，
，
， ，
，故 ，
所以抛物线的开口向下，顶点为 ，
自变量的取值范围为 ，
以点 和 为端点的 抛物线上的一段．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 因式分解： ______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【详解】解：原式 ，
故答案为： ．
12. 对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果 （ 且 ），那么数x叫做以
a为底N的对数，记作： ，例如：因为 ，所以 ，计算 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了新定义，负整数指数幂的含义，算术平方根的含义，根据新定义结合负整数指数幂，
算术平方根的含义计算即可．
【详解】解：由题意，得
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13. 如图，点A，B在反比例函数 （ ， ）的图象上，它们的横坐标分别为1和3，且
的面积为12，则 ______．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数 的几何意义，分别过 ， 作 轴于 ， 轴于 ，
由点 ， 在反比例函数 的图象上，它们的横坐标分别为 1和3，得到 ，
，求得 ， ，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论，正确
地作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，分别过 ， 作 轴于 ， 轴于 ，点 ， 在反比例函数 的图象上，它们的横坐标分别为1和3，
， ， ， ，
， ，
的面积 梯形 的面积 的面积 的面积 梯形 的面积，
，
解得 ．
故答案为：9．
14. 已知矩形 ，连接 ，点E是 上一点，使得 ．
（1）如图1，若 ， ，则 ____；
（2）如图2，连接 交 于点F，若 ，则 ___ ．
【答案】 ①. ②.
【解析】【分析】（1）证明 ，设 ，则 ，在 中由勾股定理建立方程求
解；
（2）由（1）知可设 ，设 ，则 ，可求
在 ， 故 ， 而 ， 则
，那么 ，设 ， ，则 ，代入求解即可．
【详解】解：（1）在矩形 中，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，∵ ，
∴ ，解得 ，
故 的长为 ，
故答案为： ；
（2）如图，由（1）知可设 ，
∵ ，
∴设 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ， ，则 ，
∴ ，
∴ ，解得 ， （舍去），
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解一元二次
方程等知识点，难度较大，解题的关键在于相似三角形的应用．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，先进行括号内同分母的减法运算，再把除法运算化为乘法运算，
则约分得到原式 ，熟练计算是解题的关键．
【详解】解：原式
，
当 时，原式 ．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， 都在格点上（网格线的交点叫做格点），点 ， ， 的
坐标分别为 ， ， ．
（1）以原点 为位似中心，在 点同侧将 放大为原来的 倍，得到 ，画出 ；（点的对应点为 ，点 的对应点为 ）
（2）若 由 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为_____；
（3）请仅用无刻度的直尺作出 的高线 ．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了位似变换的作图，画旋转图形，熟练掌握图形旋转的性质是解题关键．
（1）以原点 为位似中心，利用网格特点，根据位似的性质，找到对应点 、 、 ，连线即可；
（2）作 、 两组对称点的垂直平分线，交于点 ，点 即为旋转中心；
（3）利用网格格点特征，即可求解．
【小问1详解】
解：如图， 为所求．
【小问2详解】
解：如图，作 、 两组对称点的垂直平分线，交于点 ，点 即旋转中心．
【小问3详解】
解：如图，找格点 ，连接 ，交 于 ， 为所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“今有生丝三十斤，干之，
耗三斤十二两，今有干丝一十四斤，问生丝几何？”，其大意是：今有生丝 斤，干燥后损耗 斤 两
（我国古代 斤等于 两），今有干丝 斤，问原有生丝多少斤？【答案】原有生丝 斤
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题关键．
设原有生丝 斤，根据题意列出方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设原有生丝 斤，依题意，得：
，解得 ，
答：原有生丝 斤．
18. 问题提出：请观察下列关于正整数的平方拆分等式：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
（1）请用上面的拆分方法拆分 ；
（2）用含有字母n（n是正整数）的等式表示这一规律，并借助运算证明这个结论是正确的；
（3）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来
并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何
图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为a 的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图：这个图形的面积可
以表示成： 或 ，∴ ，这就验证了两数和的完全平方公式．类比解决：请你用图形的几何意义证明（2）中等式结论的正确性．（画出图形并标出相关数据）
【答案】（1）
（2） ．理由见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了数字规律，完全平方公式与几何图形结合，正确理解题意，熟练计算是解题的关键．
（1）根据题意即可解答；
（2）根据规律写出式子，再计算等式左右两边，比较即可；
（3）根据题意画出图形即可．
【小问1详解】
解：依据题中等式的规律可得：① ；② ；③ ；
④ ．则 ；
【小问2详解】
解：依据题中等式的规律可得：① ；② ；③ ；
④ ．
则第 个式子为 ，
理由：∵右边 ，左边 ，
∴左边 右边，
∴ 成立；
【小问3详解】
解：如图，满足要求.，
大正方形面积为等于小正方形的面积加两个矩形面积，
即 .
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 春天到了，万物复苏，小明在公园里放风筝，一开始小明站在 处，风筝在空中的 处，此时风筝线
与地平线的夹角为 ，为了保证风筝能够平稳飞行，小明走到了 外的 处，此时风筝线与地平线
的夹角为 ，而风筝的高度依然不变．求风筝的高度．（ ， ，最后结果精确到
米）
【答案】风筝的高度为
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的计算，解直角三角形的应用，根据题意作适合的辅助线以构
造直角三角形是解题关键．
过点 作 ，交 延长线于点 ，通过三角函数可得 、 ，利用
构建一元一次方程，解方程，再把 代入计算即可．
【详解】解：过点 作 ，交 延长线于点 ，如图所示：则 ， ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
，
，
解得： ，
答：风筝的高度为 ．
20. 已知点A，P，B，C在 上， ，点D在 的延长线上，连接 ．
（1）如图1，若 ，求证： 是 的切线；
（2）如图2，若 ， ， ， ，求 的长．【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，作
出正确的辅助线是解题的关键．
（1）连接 并延长交 于点 G，连接 ，可得 ，根据 得到
，利用角度转换即可解答；
（2）过点C作 交 的延长线于点Q，根据 ， 可得 ，
即可证明 ，利用相似三角形的性质可得 ，设 ，则 ，根据解
直角三角形和勾股定理列方程，再证明 ，即可解答．
【小问1详解】
证明：如图1，连接 并延长交 于点G，连接 ，
∵ 是直径，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，是半径，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
解：如图2，过点C作 交 的延长线于点Q，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴. ， ，
∴ ，由勾股定理可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，由 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
六、（本题满分12分）
21. 某校举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游
戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计
（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
选 占调查人数的百分
项 比
A
B
CD
E
解决问题：请根据图表提供的信息，完成下列任务．
（1）本次一共调查了_____名学生，统计表中， ______， _____；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校有1000名学生，请估计该校参加“数字华容道”游戏的学生人数；
（4）小军要从以上五个数学游戏中任意选两个，请用列表或画树状图的方法求小军恰好选中B和E的概
率．
【答案】（1）400，7.5，15
（2）见解析 （3）估计该校参加“数字华容道”游戏的学生人数150人
（4）小军恰好选中B和E的概率为
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、统计表、用样本估计总体、概率公式，能够读懂统计
图表，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键．
（1）用条形统计图中 的人数除以表格中 的百分比可得共调查的学生人数；用 的人数除以共调查的
学生人数再乘以 可得 ，用1分别减去 ， ， ， 的百分比可得 ，进而可得 ， 的
值．
（2）分别求出 ， 选项的人数，补全条形统计图即可．
（3）根据用样本估计总体，用1000乘以 ，即可得出答案．
（4）列表可得出所有等可能的结果数以及小军恰好选中 和 的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：本次一共调查了 （名 学生．
， ，
， ．
故答案为：400；7.5；15．
【小问2详解】
解： 选项的人数为 （人 ， 选项的人数为 （人 ，补全条形统计图如图所示．
；
【小问3详解】
解： （人 ，
估计该校参加“数字华容道”游戏的学生人数约150人．
【小问4详解】
解：列表如下：
共有20种等可能的结果，其中小军恰好选中 和 的结果有： ， ，共2种，
小军恰好选中 和 的概率为 ．
七、（本题满分12分）
22. 如图，已知在矩形 中， ， ，点 为边 上一点（不与点 ，点 重合），先
将矩形 沿 折叠，使点 落在点 处，（1）如图，设 ， ，请判断 与 的数量关系，并说明理由；
（2）若 为 中点，求 的值；
（3）若点 落在矩形的对角线上，求 的长．
【答案】（1） ，理由见解析
（2）
（3） 或
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 由 矩 形 的 性 质 得 ， 由 翻 折 的 性 质 得 ， 推 得
，将 、 代入即可求解；
（2）延长 与 延长线交于点G，证得 ，得 ，设 ，代入，
的
得 ，利用勾股定理 可求得 、 的值，通过 即可求解
．
（3）分类讨论：①利用勾股定理推得点 不会落在对角线的交点上；②当点 落在 上时，利用矩形
的性质推得 ，结合三角函数 即可求解 的值；③当点F落在上时，利用翻折的性质结合三角函数可得 ，即可求解 的值．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
由翻折的性质可知 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：如图所示，延长 与 的延长线交于点G，
故
∵E为 中点，
∴ ，设 ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
化简得 ，解得 或 （舍去），
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【小问3详解】
解：①∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
，
∴点 不会落在对角线的交点上；
②当点 落在 上时，如图所示，∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
③当点F落在 上时，如图所示，
由翻折的性质可知， 为 的垂直平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 或 ．
【点睛】本题主要考查了翻折图形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，三角函数，
线段垂直平分线的性质，熟练掌握翻折图形的各种性质是解题关键．
八、（本题满分14分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象经过坐标原点且与 x轴交于点A，若抛物线顶点坐标
．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若过点A的直线 与抛物线交于A，B两点，连接 ．
①求证： ；
②若M为x轴上方的抛物线上任意一点，判断 的面积是否有最大值？若有，请求出最大值；若没
有，请说明理由．【答案】（1）抛物线的表达式为
（2）①见解析；②当 时， 的面积有最大值，最大值为
【解析】
【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，勾股定理逆定理，三角形
的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数表示线段的
长解决问题，属于中考压轴题．
（1）根据顶点式可得该抛物线的表达式；
（2）①如图 1，过点 作 轴于 ，设直线 交 轴于 ，根据三角函数值相等可证明
，再由直角三角形的两锐角互余可得结论；
②如图 2，过点 作 轴交 于点 ，设点 的坐标为 ，则点 的坐标为
，表示 的长，根据三角形的面积 铅垂高 水平宽，并配方即可解答．
【小问1详解】
解：∵抛物线顶点坐标 ，
∴设该抛物线的表达式为 ，
∵二次函数图象经过坐标原点，
∴把 代入得 ，
解得 ，
∴抛物线的表达式为 ；
【小问2详解】
证明：①∵抛物线表达式为 ，
∴令 ，
解得 ， ，∴点A坐标为 ，
∵直线 过点A，
∴ ，
∴ ，
∴直线表达式为 ，
联立 ，
化简得 ，
解得 或 ，
把 代入 ，可得 ，
∴B点坐标为 ，
∴ ， ，
，
∵ ，
∴ 为直角三角形，
∴ ；
解：②∵M为x轴上方的抛物线上任意一点，如图，连接 ， ，作 轴，与直线 交于点N，
∴设M点坐标为 ，则N点坐标为 ，
∴ ，
点B到 的距离为 ，点A到 的距离为 ，
∴
，
∴当 时， 的面积有最大值，最大值为 .
