文档内容
2024~2025 学年九年级第二次模拟考试
数学
注意事项：1、本试卷满分为150分，考试时间120分钟；
2、请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”答题是无效的；
3、考试结束后，请将“答题卷”交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. 2025 D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键．
只有符号不同的两个数互为相反数，由此即可求解．
【详解】解： 的相反数是 ，
故选：C ．
2. 2024年11月至12月，安徽财政提前下达2025年农业相关转移支付资金157.4亿元．其中， 中央财政
137.5亿元、省财政19.9亿元，用以支持江淮粮仓建设、农业产业发展、二轮延包及动物防疫等工作．数
据“157.4亿”可用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整
数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：数据“157.4亿”可用科学记数法表示为 ；
故选：C．
3. 如图，这是一个由两个等高的几何体组成的图形的三视图，则这个组合图形摆放正确的是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”是解题的关键．利用主视图、左视图、俯视图
是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，进而判断图形形状．
【详解】解：由三视图可知从前面看是两个正方形；从左面看是一个正方形；从上面看，左边是三角形，
右边是正方形，同时满足以上条件只有B选项．
故选：B．
4. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的加法、二次根式的除法、同底数幂的除法的运算法则和完全平方公式逐项判断即
可．
【详解】解：A、 和 不是同类二次根式，不能相加，故此选项计算错误，不符合题意；
B、 ，正确，符合题意；
C、 ，故此选项计算错误，不符合题意；
D、 ，故此选项计算错误，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的加法、二次根式的除法、同底数幂的除法、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键．
5. 已知反比例函数 与一次函数 的图象在第一象限交于点 ，一次函数 与 轴交
于点 ，若 ，则 的值为（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点、求反比例函数解析式等知识点，掌握求反比例函
数的方法是解题的关键．
由反比例函数 与一次函数 的交点在第一象限，即 ；再求得 ，即 ；设
，根据 可得 ，即可确定 ，最后求得k即可．
【详解】解：∵反比例函数 与一次函数 的图像在第一象限交于点A，
∴ ，
∵一次函数 与 y 轴交于点B，
∴ ，即 ，
设 ，
∵ ，
∴ ，即 ，解得： ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．6. 如图，在矩形 中， ， ，点 ， 分别在边 上， ，
、 交于点 ．若 ，则 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【
分析】根据题意得 ，由勾股定理得到 ，则
，再证明 ，由其性质即可求解．
【详解】解：∵四边形 是矩形， ，点 分别在 上，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 交于点 ，且 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，相似三角形的判定和性
质，掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
7. 如图，点A，B，C，D，E均为小正方形的顶点，先从A，B，C中任意取两点，再从D，E中任取一点
画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了树状图法与列表法求概率．列表得出所有等可能结果，从中找到所画三角形是等腰三
角形的情况，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：由表知，共有6种等可能结果，其中所画三角形是等腰三角形的有 、 这2种情况，
所以所画三角形是等腰三角形的概率是 ，
故选：A．
8. 若 ， ，则下列判断错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质．先求得 ，得到 ，解得 ，再分别求
得 、 和 的取值范围即可得解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 ；
∴ ，则 ，
即 ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
观察四个选项，选项D符合题意，
故选：D．
9. 在 中， ， ， ，D在 上， ，B关于 的对称点E，连接 交 于 ，则下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，轴对称的性质，平行线的判定，锐角三角函数，属于综合
题，先根据题意画出图形，利用勾股定理求出 的长，进而得出 的长从而判断选项 ；根据关于对
称轴对称的两个三角形全等得出 进而得出 ， ，利用
三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得出 ，进而得出 ，
再根据内错角相等两直线平行得出 ；利用 ，得出 ，
从而得出 ；分别表示出 ， ，从而判断选项 错误，据此解
答，解题的关键是根据题意画出图形．
【详解】解：根据题意作图，
， ， ，
，
，
，故A选项正确；
，
关于 的对称点 ，
，
， ，
， ，
，
，故B选项正确；， ，
，
，
，故C选项正确；
， ，
，
不一定成立，故D选项错误；
故选：D．
10. 如图，在四边形 中， ， ， ， ，三个动点 ，
， 同时分别沿 ， ， 的方向以 的速度匀速运动，运动过程中
的面积 与运动时间 的函数图象大致是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了动点函数图象，分别求出 和 时的函数解析式，进行判断即可.
【详解】解：当 时，如图，
∵三个动点同速，
∴三个动点路程相同，
∴ ，
∵
∴ ，
∴
当 时，如图，
此时∴ ，
∴ ，
∴
∴结合两个函数判断B符合题意，
故选：B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 不等式 的解集是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：
12. 要使代数式 有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】﹣2≤x＜3且x＞3
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【详解】解：由代数式 有意义，得
．
解得﹣2≤x＜3且x＞3，
故答案为﹣2≤x＜3且x＞3．
【点睛】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考
虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代
数式是二次根式时，被开方数为非负数．
13. 如图，四边形 是菱形，点B在x轴负半轴上， 轴于点D，反比例函数 的图
象经过点C，若菱形 的面积为20， ，则k的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征及菱形的性质，
求得点C的坐标是解题的关键．
根据菱形 的面积为20， ，可求出 ，再结合菱形的性质得出点 ，利用
勾股定理求得 ，即可求得点C的坐标，利用待定系数法即可解决问题．
【详解】解： 四边形 是菱形，点B在x轴负半轴上， 轴于点D，菱形 的面积为
20， ，
，，
点C的坐标为 ，
反比例函数 的图象经过点C，
故答案为：
的
14. 如图，在矩形纸片中，点 在 上，将矩形 沿着 折叠，使得点 对应点落在
边上的点 处，连接 ， 为 的中点，连接 交 、 于点 、 两点．
（1）若 ，则 的度数为______．
（2）若 ，则 值为______．
【答案】 ①. ##30度 ②. ##
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，解直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定
等知识：
（1）由折叠得 根据 可得结论；
（2）设 分别表示出 证明 ，得出 根据得出 进而即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形 是正方形，
∴
由折叠得
∴在 中，
∴ ，
故答案为： ；
（2）设
∴
∴
∵G是 的中点，
∴ ，
如图，
∵
∴
∵∴
又
∴
∴ ，
由折叠得，
∴ ，
∴ ，
解得： （负值舍去），
∴ ，
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15. 计算： ．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加减，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义，先逐项化简，再算乘法，
后算加减．
【详解】解：
．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均在格点(网格线的交点)上．
（1）以点O 为旋转中心，将 旋转 得到 ，画 出 ．
（2）连接 ， 计算四边形 的面积．
（3）在图中利用无刻度的直尺画出点D，使 点D 是 的中点．
【答案】（1）见解析 （2）10
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图-中心对称变换、四边形的面积、矩形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题
的关键．
（1）先根据中心对称的性质找出各点的对应点，然后顺次连接即可；
（2）根据割补法求解即可；
（3）根据网格图及矩形的性质即可找出所求点．
【小问1详解】
解：如图： 即为所求．【小问2详解】
解：四边形 的面积为： ．
【小问3详解】
解：如图：点D即为所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 【观察思考】如图所示
【规律发现】
（1）第 个图案中，“▲”的个数为____________；
（2）第 个图案中，“★”的个数可表示为_________________；
【规律应用】（3）结合图案中的规律，求正整数 ，使得“▲”的个数的 倍比“★”的个数多 ．
【答案】 ；
；
当 或 时，“▲”的个数的 倍比“★”的个数多 ．
【解析】
【分析】本题主要考查了数字与图形的规律、解一元二次方程，解决本题的关键是根据数字与图形的规律
得到关于 的一元二次方程．
根据图案中“▲”的个数的变化规律得到第 个图案中“▲”的个数即可；根据图案中“★”的个数的变化规律得到第 个图案中“★”的个数即可；
根据图案中“▲”的个数的变化规律和“★”的个数的变化规律得到关于 的一元二次方程，解方程
求出 即可．
【详解】 解：第 个图案中，“▲”的个数为 ，
第 个图案中，“▲”的个数为 ，
第 个图案中，“▲”的个数为 ，
第 个图案中，“▲”的个数为 ，
第 个图案中，“▲”的个数为 ；
故答案为： ；
解：第 个图案中，“★”的个数为 ，
第 个图案中，“★”的个数为 ，
第 个图案中，“★”的个数为 ，
第 个图案中，“★”的个数为 ，
，
第 个图案中，“★”的个数为 ；
故答案为： ；
设第 个图案中“▲”的个数的 倍比“★”的个数多 ，
根据题意可得： ，
整理得： ，解得： 或 ，
当 或 时，“▲”的个数的 倍比“★”的个数多 ．
18. 2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校
篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，
采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别
是多少元？
【答案】A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元
【解析】
【分析】设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为 元，，再利用“采购相同数量的A，B
两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元”，列方程，解方程即可．
【详解】解：设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为 元，
根据题意，得 ．
解这个方程，得 ．
经检验， 是所列方程的根．
（元）．
所以，A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，设出恰当的未知数，确定相等关系是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡
度 的山坡 上发现有一棵古树 ．测得古树底端C到山脚点A的距离 ，在距山
脚点A水平距离 的E处，测得古树顶端D的仰角 ，（古树 与山坡 的剖面、点E
在同一平面上，古树 与直线 垂直），求古树 的高度．（结果保留整数，参考数据：
， ， ．）【答案】古树 的高度约为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解法是解题的关键．延长 交 的延长线于点F，则
，可求 ，设 ，则 ，可求 ，从而可求 ，
， ，由 ，求出 ，即可求解．
【详解】解：如图，延长 交 的延长线于点F，则 ，
山坡 上坡度 ，
，
，
设 ，则 ，
在 中，
，
，解得： ，
， ，
，
在 中， ，
答：古树 的高度约为 ．
20. 如图， 是 的直径， 是 的切线，C为切点， 于点O，与 交于点E．
（1）求证： ；
（2）连接 与 相交于点F，若 的半径为3， ，求点O到 的距离．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 连 接 ， 则 ， 由 切 线 的 性 质 得 ， 则
，而 ，所以 ，则
；（ 2 ） 作 于 点 ， 由 ， 且 ， ， 得
，求得 ，则 ， ，由 ，得
，所以点 到 的距离为 ．
【小问1详解】
证明：连接 ，
则 ，
，
与 相切于点 ，
，
，
于点 ， ，
，
，
∵ ，
，
．
【小问2详解】
解：作 于点 ，则 ，
的半径为3， ，
，
，且 ， ，
，
解得 ，
，
，
，
，
点 到 的距离为 ．
【点睛】此题重点考查切线的性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、勾股定理、锐角三角函数与解
直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
21. 为庆祝中华人民共和国成立 周年，某中学开展“祖国在我心中”征文比赛，随机调查了 名学生的
比赛成绩作为样本进行整理、并绘制统计图表，部分信息如下：
被抽查学生的比窦成绩统计表
组别 分数 人数请根据以上信息，完成下列问题
（1）填空： ______， 组所在扇形的圆心角为______ ；
（2）该校共有 名学生参赛、若 分以上为优秀，估计参赛学生的优秀人数；
（3）已知 组中有 名女生和 名男生获得满分、从中任意抽取两人代表学校参加市级比赛，求抽取的两
人恰好是一男一女的概率．
【答案】（1） ，
（2） 人
（3）
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法，用样本估计总体，扇形统计图，熟练掌握概率的求法是解题的关
键．
（1）用 组人数除以它所占的百分比得到本次共调查的总人数；用 乘以 组人数所占的百分比得到
组的圆心角的度数；
（2）先计算出 组的人数，然后用 乘以样本中 组和 组人数所占的百分比即可；（3）画树状图展示所有 种等可能的结果，找出恰好抽到一男一女的结果数 ，然后根据概率公式求解．
【小问1详解】
解：本次共调查的学生人数为 （人）；
组的圆心角为 ，
故答案为： ， ．
【小问2详解】
解： 组的人数为 （人），
组的人数为 （人），
则估计优秀的人数为 （人）．
【小问3详解】
解：画树状图为：
共有 种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女的结果数为 ，
恰好抽到一男一女 概率为
的
七、（本题满分12分）
22. 如图，已知 和 都是等腰直角三角形， ，点 在 内部，连
接 、 ．
（1）求证： ；（2）延长 交 于点 ，连接 ．
①求证： ；
②求 的值．
【答案】（1）详见解析
（2）①详见解析；②
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 等 腰 直 角 三 角 形 性 质 可 得 、
， ，推得 即可证明 ，
再由相似三角形性质即可证明 ；
（2）①证明 后可得 ，又 可证 ，再由相似三
角形性质可证 ；
②在 上取点 ，使 ，连接 ，记 与 交点为 ，据①可得 ，推得
可证 ，根据全等三角形性质可得 是等腰直角三角形，求得
后即可求得 的值．
【小问1详解】
证明： 、 是等腰直角三角形，
，，
，
又 等腰直角三角形 、 中， ，
，
．
【小问2详解】
①证明：记 与 的交点为 ，
由（1）知， ， ，
，
又 ，
，
，
．
② 解：在 上取点 ，使 ，连接 ，记 与 的交点为 ，
，
又 ，
，
等腰直角三角形 中， ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
故 是等腰直角三角形，
，
．
【点睛】本题考查的知识点是等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判
定与性质，解题关键是利用截长补短的方法作辅助线，构造全等三角形求解．
八、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 和 ，其顶点的横坐标为 ．（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线 与 轴交于点 ，在第一象限内与抛物线交于点 ，当 取何值时，使得
有最大值，并求出最大值．
（3）若点 为抛物线 的对称轴上一动点，将抛物线向左平移 个单位长度后，
为平移后抛物线上一动点．在（ ）的条件下求得的点 ，是否能与 、 、 构成平行四边形？若能构
成，求出 点坐标；若不能构成，请说明理由．
【答案】（1）
（2）当 时， 有最大值
为
（3）能，
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）设 ，进而分别表示出 ，得出关于 的二次函数，根据二次函数的性
质， ，即可求得最大值；
（3）由（1）知， 向左平移后的抛物线为 ，由（2）知 ，
设 ，假设存在以 、 、 、 为顶点的平行四边形．根据中点坐标公式，分类讨论即可求解，①当以 为对角线时，②当以 为对角线时，③当以 为对角线时．
【小问1详解】
解： 抛物线的顶点横坐标为
对称轴为
与x轴另一交点为
∴设抛物线为
∴抛物线的表达式为
【小问2详解】
在抛物线上
∴设
在第一象限
∴当 时， 有最大值为
【小问3详解】
由（1）知， 向左平移后的抛物线为
由（2）知设 ，假设存在以 、 、 、 为顶点的平行四边形．
①当以 为对角线时，
平行四边形对角线互相平分
，即
在抛物线 上
的坐标为
②当以 为对角线时
同理可得 ，即
则
的坐标为
③当以 为对角线时
，即则
的坐标为
综上所述：存在以 、 、 、 为顶点的平行四边形．
的坐标为
【点睛】本题考查了二次函数综合，二次函数的平移，待定系数法求解析式，线段最值问题，平行四边形
的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
