文档内容
2025 届九年级模拟试卷
数学试题卷
注意事项：
1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2.试卷包括“试题卷和“答题卷两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题
是无效的．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 若反比例函数 的图象在每个象限内函数值 随 的增大而减小，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数 当 时，函数图象在一、三
象限，并且在每个象限内都有 随 增大而减小；当 时，函数图象在二、四象限，并且在每个
象限内都有 随 增大而增大．根据反比例函数 的图象在每个象限内函数值 随 的增大而减小，
可得不等式 ，解不等式即可求出 的取值范围．
【详解】解： 反比例函数 的图象在每个象限内函数值 随 的增大而减小，
，
解得： ．
故选：C ．
2. 在 中， ， ，则 （ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
的
【分析】本题考查锐角三角函数以及勾股定理，根据锐角三角函数 定义以及勾股定理求出 ，再
由锐角三角函数的定义进行计算即可．
【详解】在 中， ，
可设 ，则
由勾股定理得，
故选：B．
3. 抛物线 先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的抛物线的表达式是
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根
据抛物线平移的规则，即可得到答案．
【详解】解：将抛物线 向左平移2个单位所得直线解析式为： ，再向下平移5个单位为： ，即 ．
故选：A．
4. 如图，四边形 的对角线 平分 ，补充下列条件后仍不能判定 和 相似的
是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三
角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似，
斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似．
已知 平分 ，即 ，然后根据各个选项所给条件，结合相似三角形的判定定理逐
一判断。
【详解】A、由 平分 ，得到 ，而 ，判定 和
相似，故A不符合题意；
B、由 平分 ，得到 ，而 ，判定 和 相似，故B
不符合题意；
C、由 平分 ，得到 ，由 ，得到 ，根据两边成比例
且夹角相等的两个三角形相似，可以判定 和 ，故C不符合题意；D、虽然 ，但夹角 与 不一定相等，不满足相似三角形的判定条件，所以不能判定
和 相似，故D符合题意．
故选：D．
5. 若 ， ， 三点在抛物线 上，则 ， ， 的大小关系是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是先求出抛物线的对
称轴，再根据点到对称轴的距离判断函数值的大小．
首先，我们需要找到二次函数 的对称轴，然后判断点 在抛
物线上的位置，最后根据二次函数的增减性来确定 的大小关系．
【详解】∵二次函数 中 ，
∴开口向上，对称轴为 ，
∵ 中 ，
最小，
又∵ 都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧， 随 的增大而减小，故 ．
故选：C．
6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 与正方形 是以原点 为位似中心的位似图形，且位似比为 ，点 在 轴上，若正方形 的边长为6，则 点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质， 首先直接利用位似图形的性质结合相似
比得出 的长； 然后根据相似三角形的判定定理得出 ，结合相似三角形的对应边成比
例得到比例式 ，进而得出 的长，由此即可得出 点坐标，掌握知识点的应用是解题的关
键；
【详解】解：∵正方形 与正方形 是以原点 为位似中心的位似图形，且相似比为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 点坐标为 ，
故选：D．
7. 已知函数 和 ，且 ， ， ，则这两个函数图象在同一坐标系内
的大致图象是( )
A. B. C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象问题，由函数解析式字母系数的正负，把一次函数与二次函
数的图象相比较看是否一致进行解答．
【详解】解：由解析式 可知， ，图象开口向上，其顶点坐标为 ，
又因为 ， ，；所以顶点坐标 在第四象限，排除A、D；
C中，由二次函数图象可知 ，而由一次函数的图象可知 ，两者相矛盾，排除C；选项B正确．
故选：B．
8. 如图，矩形 中，F 是上一点， ，垂足为E， ，则 长度是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】首先利用矩形的性质可以分别求出 ，然后利用面积公式可以求出 ，最后利用平行线
分线段成比例即可求解．
【详解】解：∵矩形 中， ，
∴ ，
∴根据勾股定理得 ，
∵ ，
∴ ，
根据勾股定理得 ，
∴ ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴
∴ ，∴ ．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质，同时也利用了相似三角形的性质与判定、三角形的面积公式、勾股
定理．
9. 如图，在等边 中， ，点 在边 上， ，则 长为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，关键是通过添加辅助线，构造直角三角形，过点
作 点于H，利用等边三角形的性质得到 ， ，解直角三角形求出
， ，设 ，则 ，根据 求出 的值，
进而得到 ，即可解答．
【详解】解：如图，过点 作 ，则 ，
为等边三角形， ，
， ，
，
，
设 ，则 ，
， ，
，即 ，
，
解得： ，
则 ，
，
故选：B．
10. 如图，在矩形 中， ， ，E是矩形内部的一个动点，且 ，则线段
最小值为（ ）A. 8 B. 10 C. 12 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理的推论
及勾股定理是解题的关键．
由 ，得到 在以 为直径的 上，连接 交圆于 ，当 与 重合时，线段 的长
最小，由勾股定理求出 ，即可得到 ，于是得到线段 的最小值
为8．
【详解】解：如图，
，
，
，
在以 为直径的 上，
连接 交圆于 ，当 与 重合时，线段 的长最小，
，
，
，
，
，
线段 的最小值为8．故选答案为：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知点 ， 是反比例函数 图象上的两个点， ，则
______ （填“ ”“ ”或“ ”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图像上点的坐标特点，根据反比例函数的增减性即可判断结论．
【详解】解：因为 ，
所以函数图像在第一、三象限内，
且在每个象限内，y随x的增大而减小，
因为点 ， 两点在该双曲线上，且 ，
A，B两点在第三象限的曲线上，
．
故答案为： ．
12. 如图， 的顶点在正方形网格的格点上，则 的值为 _____．
【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】延长 至格点D，连接 ，根据勾股定理的逆定理先证明 是直角三角形，然后在
中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【详解】解：延长 至格点D，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形，以及勾股定理及其逆定理，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
13. 如图，在 中， ， ， ，O是斜边 的中点，以点O为圆心的
半圆O与 相切于点D，交 于点E，F，则阴影部分的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形的面积公式、圆的切线的性质、直角三角形的性质等知识．利用直角三角形的性
质结合勾股定理可得 ， ，再根据圆的切线的性质和切线长定理可得 ，， ，然后根据阴影部分的面积等于 求解即可得．
【详解】解：连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，O是斜边 的中点，
∴ ，
∵ 是半圆O的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴阴影部分的面积为
，
故答案为： ．14. 小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图 ，在 中， ， ， ．
小华在 边找一点 ，在 边找一点 ，以 为轴折叠 ，得到 ，点 的对应点为点
，小华变换 ， 的位置，始终让点 落在 上，则当 为直角三角形时， 的长为
______．
【答案】 或
【解析】
【分析】分 两种情况，根据 即可求解．
【详解】解：在 中， ， ， ．
∴ ，
当 时，
∵折叠，
∴∴四边形 是矩形，
∵
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴
设 ，
即
解得：
当 时，如图所示，
∵折叠，
∴
即
解得：
故答案为： 或 ．【点睛】本题考查了折叠问题，三角函数的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查实数混合运算，涉及零指数幂、化简绝对值、负整数指数幂及特殊角的三角函数值等知
识，先由零指数幂、化简绝对值、负整数指数幂及特殊角的三角函数值逐个计算，再由二次根式加减运算
法则求解即可得到答案，熟记实数相关运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：
．
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点坐标分别是 ， ， ．
（1）将 向左平移5个单位得到 ，则 的坐标为（ ， ）；
（2）将 绕点O顺时针旋转90°后得到 ，画出 ，并写出 的坐标为（ ，
）；
（3）若点P为y轴上一动点，求 的最小值．【答案】（1）图见解析； ，3
（2）图见解析；1，
（3）
【解析】
【分析】本题考查了作图﹣旋转变换，平移变换，勾股定理等知识，解决本题 的关键是掌握旋转的性
质．
（1）根据平移的性质即可将 向左平移5个单位得到 ，进而可得 的坐标；
（2）根据旋转的性质即可将 绕点O顺时针旋转 后得到 ，进而写出 的坐标；
（3）连接 交y轴于点P，根据网格和勾股定理即可求 的最小值．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求， 的坐标为 ；
故答案为： ，3；
【小问2详解】
解：如图， 即为所求；的坐标为 ；
故答案为：1， ；
【小问3详解】
如图，连接 交y轴于点P，则 ，
∴ 的最小值 ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）若方程有实数根，求m的取值范围；
（2）若方程的两实数根分别为 ，且满足 ．求 的值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根据方程有实数根，得到 ，进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系，利用整体思想代入求值即可.
【小问1详解】
由题意得， ．
解得： ；
【小问2详解】
解：由一元二次方程根与系数关系可得 ．
∵ ，
∴ ．
解得： ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数关系，解决问题的关键是掌握一元二次方程判别式
与方程根的情况的对应以及一元二次方程根与系数关系．
18. 如图，反比例函数 与一次函数 的图象交于点 ， 轴于点D，分别
交反比例函数与一次函数图象于点B，C．连接 ．（1）求反比例函数 与一次函数 的表达式；
（2）当 时，求 的面积．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题及三角形的面积，熟知反比例函数及一次函数
的图象与性质是解题的关键．
（1）将点A坐标分别代入反比例函数及一次函数的解析式即可解决问题．
（2）根据 求出点B和点C的坐标，再结合三角形的面积公式即可解决问题．
【小问1详解】
解：由题知，将点A坐标代入 得， ，
所以反比例函数的解析式为 ．
将点A坐标代入 得， ，
所以一次函数的解析式为 ．
【小问2详解】因为 ，且 轴于点D，
则将 代入 得， ，
所以点B的坐标为 ．
同理可得，点C的坐标为 ．
又因为点A坐标为 ，
所以 ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，在平面直角坐标系中， 是直角三角形， ，点 在 轴上， ，
．
（1）求点 的坐标；
（2）求 的正切值；
（3）延长 ，交 轴于点 ，求点 的坐标．
【答案】（1）
（2）（3）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，点的坐标，解题的关键是掌握解直角三角形．
（1）过点 作 于点 ，由 ，则 ，即可求解；
（2）根据勾股定理求出 ，即可求解；
（3）由 ，即可求解．
【小问1详解】
解：过点 作 于点 ，
则 ，
，
，
；
【小问2详解】
∵
∴
∵ ，
∴
；
【小问3详解】如下图，延长 ，交 轴于点 ，
由（2）知， ，
在 中， ，
，
，
解得： ，
点 ．
20. 如图，在 ABC中， ，以 为直径作 交 于点 ，过点 作 的垂线交 于
点 ，交 的延长线于点 ．
（1）求证： 与 相切；
（2）若 ， ，求 的长．【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（ ）利用等腰三角形的性质得到 ，进而得到 ，可得 ，然后
根据切线的判定定理可得结论；
（ ）先根据圆周角定理得到 ，再根据等腰三角形的性质得到 ，进而利用三角形
的外角性质求得 , 进而得 ，即得 ，然后解直角三角形求得 即可．
【小问1详解】
证明：连接 ，如图，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 为 的半径，
∴ 与 相切；
【小问2详解】
解：∵ 为 直径，
∴ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，平行线的判定与性质，三角形
的外角性质，解直角三角形等知识，能够熟练运用相关知识求解是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 如图，在四边形 中， ， ， ， ， 是线段 上一动点（点
不与 、 重合）， ， 交直线 于点 ．
的
（1）设 ，求 与 之间 函数关系式，并写出 的取值范围；
（2）请你探索在点 运动的过程中，四边形 能否构成矩形？如果能，求出 的长；如果不能，
请说明理由．【答案】（1） ，
（2）能，当 时，四边形 能构成矩形
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据同角的余角相等得到 ，可证 ，得到 ，即可得到
，令 ，得到 ，可得 ；
（2）根据矩形的性质，结合一元二次方程计算即可．
【小问1详解】
解：：∵ ，
，
，
，
，
， ，
，
；
设 ，
∴ ，
， ，
设 ，
，；
令 ，则 ，
的取值范围为 ；
【小问2详解】
解：当四边形 为矩形时， ，即 ，
则 ，
解得， (舍)， ，
∴当 时，四边形 能构成矩形．
七、（本题满分12分）
22. 综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片
绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片 和 中， ，
， ．
【初步感知】
（1）如图1，连接 、 ，在纸片 绕点 旋转过程中，求 的值．
【尝试证明】
（2）如图2，在纸片 绕点 旋转过程中，当点 恰好落在 的中线 的延长线上时，求证：
．【深入探究】
（3）如图3，在（2）的条件下，延长 交 于点 ，求 ．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理求出 ，然后证明出 ，
，然后证明出 ，得到 ；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质得到 ，得到 ，然后结合等边对等
角和全等三角形的性质得到 ，即可得到 ；
（3）首先证明出 ，得到 ，代数求出 ，然后求出
，然后证明出 ，得到 ，然后代数求解即可．
【详解】解：（1）∵ ， ， ．
∴
∴
∴
∴
又∵
∴∴ ；
（2）∵ ， 是 的中线
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴ ，
∴ ；
（3）由（2）得， ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴
∵
∴ ，
∴∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，直角
三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
八、（本题满分14分）
23. 在直角坐标系中，设函数 （m，n是实数）．
（1）当 时，若该函数的图象经过点 ，求函数的表达式．
（2）若 ，且当 时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．
（3）若该函数的图象经过 ， 两点（a，b是实数）．当 时，求证： ．
【答案】（1）
（2）
（3）见详解
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）求得抛物线与 的交点坐标，即可求得抛物线的对称轴为直线 ，根据二次函数的性质即可
得出 ，即可求解；
（3）把 ， 两点代入 ，表示出 和 ，然后将 配方可得．
【小问1详解】
解：当 时，则 ，把点 代入 得， ，
∴ ，
∴ ，即 ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴抛物线与 轴的交点为 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴对称轴为直线 ，
∵抛物线开口向上且当 时， 随 的增大而减小，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
证明：∵函数的图象经过 ， 两点（ 是实数），
∴ ， ，
∴
，∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，
解决问题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
