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九年级学科综合能力评估
数学
一、选择题：（本大题共10个小题，每题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
1. 的绝对值是（ ）
.
A 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的定义，解题关键是掌握负数的绝对值是它的相反数，正数和 0的绝对值是它
本身．根据绝对值的定义即可作答．
【详解】解： 的绝对值是 ，
故选：C．
2. 在2025中国国际半导体设备和材料展上国企新凯来工业发布全球首台 原子级薄膜设备（阿里山
），精度达0.1纳米，已知 ，则数据0.000000005用科学记数法表示为（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为
整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：0.000000005用科学记数法表示为 ，
故选：A．
3. 某积木配件如图所示，它的左视图是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据从左面看到的图形是左视图进行判断即可．
【详解】解：观察图形，从左面看到的图形如图所示：
故选：C．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握三视图的概念是解答的关键，注意：可见部分用实线，
不可见部分用虚线．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂除法等知识点，解题的关键是正确运用相关的运算
法则．根据合并同类项、积的乘方、同底数幂除法的相关法则逐项判断即可．
【详解】A、 与 不能合并，此选项错误；
B、 ，此选项错误；
C、 ，此选项正确；
D、 ，此选项错误．
故选：C．
5. 如图， 是⊙O的直径，点 是 的中点，弦 与 交于点 ．若 ，则
的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，弧、弦、圆心角之间的关系，等腰三角形的性质，三
角形的外角的性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
先根据直径所对的圆周角是直角得 ，再根据弧，弦之间的关系得 ，可得
，最后根据三角形外角的性质得出答案．
【详解】连接 ，∵ 是 的直径，
∴ ．
∵点C是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是 的外角，
∴ ．
故选：B．
6. 若一次函数 与反比例函数 的图象没有公共点，则 的值可以是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知函数图象的交点与方程组的解之间的关系是解
题的关键．两个函数图象没有交点，即两个图象的函数解析式组成的方程组无解．
【详解】解：因为一次函数 与反比例函数 的图象没有公共点，
所以方程 无解，原方程可整理为 ，
则 ，
即 ，
设 ，
结合函数图象得 ，
所以四个选项中的C选项符合题意．
故选：C．
7. 如图， 中 为 上的中线， ，垂足为 ， ， ， ，则
的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，能得出 是直角三角形是解此题的关键．
首先由勾股定理的逆定理可判定 是直角三角形，再根据勾股定理即可求得 的长，最后根据三角
形的面积公式即可求出．【详解】解：∵ ， 中 为 上的中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
，
，
∴ ，
故选：D．
8. 已知三个实数a、b、c，满足 ， ，且 、 、 ，则
的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由两个已知等式3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1．可用其中一个未知数表示另两个未知数，然后由条
件：a，b，c均是非负数，列出c的不等式组，可求出未知数c的取值范围，再把m＝3a+b﹣7c中a，b转
化为c，即可得解．
【详解】解：联立方程组 ，解得， ，
由题意知：a，b，c均是非负数，
则 ，
解得 ，
∴3a+b﹣7c
＝3（﹣3+7c）+（7﹣11c）﹣7c
＝﹣2+3c，
当c＝ 时，3a+b﹣7c有最小值，即3a+b﹣7c＝﹣2+3× ＝﹣ ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查代数式求值，考查的知识点相对较多，包括不等式的求解、求最大值最小值等，另
外还要求有充分利用已知条件的能力．
9. 如图， 为正方形 的中心， 分别为 的中点， ，点 从点 出发沿
方向匀速运动，同时点 从点 出发沿 方向匀速运动，两点运动速度相
等，当点 运动到点 时，两点同时停止运动．设点 运动的路程为 的面积为 ，则 随 变化
的函数图象大致是（ ）
A. B.C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】当 时，点 在 上，点 在 上，求得 ，故图象是正比例函数，当
时，点 在 上，点 在 上，求得 ，图象是开口向下的抛物线，当
时，点 在 上，点 在 上，求得 ，据此可求出答案．本题考查了动点问
题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．
【详解】解： 两点运动速度相等，
两点的运动路程相等，
当 时，点 在 上，点 在 上，如图，
， ，
，故图象是正比例函数，
当 时，点 在 上，点 在 上，如图，此时 ，
为 中点，
，
，
点 到 的距离为 ，
，
图象是开口向下的抛物线，
当 时，点 在 上，点 在 上，如图，
此时 ，
，
，
， ，
，图象与前一段函数一样，
据此判断B正确，故选：B．
10. 如图， 是等腰直角三角形 的边 的中点， 是平面内一点，连接 ，将线段 以点 为
中心逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ．若 ，点 ， 之间的距离为1，则 的最小
值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 3 D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、圆
的有关定义以及和性质等知识．连接 ， ，将线段 绕着点A逆时针旋转 得到线段 ，
连接 ， ，由旋转性质可推导 ， 是等腰直角三角形，则
， ，根据圆的定义可得点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动，进而可知当
M、Q、H共线时， 最小，最小值为 ，根据等腰直角三角形的性质求得 值即可求解．
【详解】解：连接 ， ，将线段 绕着点A逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ，
由旋转性质得 ， ， ，即 ，
∴ ， 是等腰直角三角形，∴ ， ，
则点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动，
∵ ，
∴当M、Q、H共线时， 最小，最小值为 ，
∵点M是等腰直角三角形 边 的中点， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故选：C．
二、填空题：（本大题4个小题，每题5分，共20分）请将每小题的正确答案直接填在答题
卡中对应的横线上．
11. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________．
【答案】x>3
【解析】
【分析】根据分式有意义条件和二次根式有意义的条件得x-3>0，求解即可．
【详解】解：由题意，得
所以x-3>0，
解得：x>3，
故答案为：x>3．
【点睛】本题考查分式有意义条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义条件：分母不等于0，
二次根式有意义的条件：被开方数为非负数是解题的关键．
12. 比较大小 _____ ．（填“ ”“ ”或“ ”）【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较，先计算出 ，再估算出 ，得出
，即可得解．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13. 截至2025年2月27日，《哪吒之魔童闹海》成为全球动画电影票房冠军，该片还成为中国首部进入
全球影史票房榜前十的动画电影．1班同学利用班会准备从“ 哪吒、 敖丙、 太乙真人、 申公豹”
这四个人物中，各选一个进行人物分析，班长做了4张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了
这4个人物，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的3张
卡片中随机抽取一张，以所抽取卡片正面的人物进行讲解．则甲、乙两人抽取到哪吒和敖丙的概率是
_____．【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人抽取到
哪吒和敖丙的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
A B C D
A
B
C
D
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人抽取到哪吒和敖丙的结果有： ， ，共2种，
∴甲、乙两人抽取到哪吒和敖丙的概率为 ．
故答案为：
14. 如图，在正方形 中，点 是对角线 的中点，点 在线段 上，连接 并延长交 于
点 ，过点 作 交 于点 ，连接 交 于 ，
（1）则 _____°．
（2）若 ， ，则 _____．【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）作 的外接圆，由正方形性质得 ， ，则 为 外接圆
的直径，再根据 得点 在 的外接圆上，则 ， ，
据此可得答案；
（2）连接 ，过 作 于 ， 于 ，则四边形 为矩形，进而得 ，
证明 和 全等得 ，再证明 为等腰直角三角形，得 ，则
，由勾股定理得即 ， ，
，可得 ， ，再求解即可．
【详解】解：（1）作 的外接圆，如图1所示：
四边形 为正方形，
， ，
为 外接圆的直径，
，
，
点 在 的外接圆上，
，
，
故答案为： ；（2）连接 ，过点 作 于 ， 于 ，如图3所示：
则四边形 为矩形，
，
四边形 为正方形，
， ，
在 和 中，
，
，
，
， ，
为等腰直角三角形，
，
，
， ， ，
和 均为等腰直角三角形，
即 ， ，
，，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，等腰直角三角形的
判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的
压轴题．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，涉及零指数幂、化简绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，
根据相关运算法则正确求解即可．
【详解】解：原式
．
16. 如图是边长为 的正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点， 的顶点都在格点上．仅用无刻度
的直尺，按要求画出下列图形．（1） 的周长为______；
（2）如图，点 、 分别是 与竖格线和横格线的交点，画出点 关于过点 竖格线的对称点 ；
（3）请在图中画出 的角平分线 ．
【答案】（1）
（2）图见解析 （3）图见解析
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求出 ， ，可得结论；
（2）根据对称性作出图形即可；
（3）利用等腰三角形 的三线合一的性质解决问题即可．
【小问1详解】
解：由题意 ， ， ，
的周长 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
如图，点 即为所求；
【小问3详解】
如图，线段 即为所求．
【点睛】本题考查作图 应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决
问题，属于中考常考题型．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 李师傅的厢式大卡车的自重为18吨，车厢的容积为 ，负责将 两种产品从甲地运往乙地，两种产品部分规格参数如下表：
每件产品的体积
每件产品的重量（吨）
1.2
1.5
（1）若满载，单独运输 产品的件数是 产品的1.5倍，求 的值；
（2）本月李师傅要将 两种产品共20件一次性运往乙地．在以往运输过程中，发现途中经过的某座跨
江大殜上有如图所示的限重标志牌，显示载重后总重量超过45吨的车辆禁止通行，通过计算，李师傅发现
这趟运输正好不超载，求这次运输各装载两种产品多少件？
【答案】（1）
（2）这次运输装载 产品10件， 产品10件
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次方程和分式方程的应用：
（1）根据“单独运输 产品的件数是 产品的1.5倍”列分式方程，求解并检验即可得解；
（2）设这次运输装载 产品 件，则这次运输装载 产品 件，根据载重后总重量45吨正好不超
载列出一元一次方程求解即可
【小问1详解】
解：由题意，得 ，
解得 ，
经检验， 为原分式方程的解且符合题意，
；
【小问2详解】
解：设这次运输装载 产品 件，则这次运输装载 产品 件，
由题意，得 ，解得 ，
，
答：这次运输装载 产品10件， 产品10件．
18. 如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为 ，第2幅图中
★的个数为 ，第3幅图中★的个数为 ， ，以此类推，第 幅图中★的个数为 ．则：
（1） _____， _____；
（2）求 的值．
【答案】（1）2，
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，能够根据题意找出规律是解题的关键．
（1）根据题意找到规律第n幅图有 个★；
（2）裂项后计算即可．
【小问1详解】
解：第1幅图有 个★，
第2幅图有 个★，
第3幅图有 个★，第4幅图有 个★，
……，
以此类推，第n幅图有 个★，
故答案为：2， ；
【小问2详解】
解：由（1）知，第 幅图中★的个数为 ，
，
，
，
，
以此类推，可知 ，
．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19. 在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把 称为折射率
（其中 代表入射角， 代表折射角）．
观察实验：为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔 发射一束红光，容器中不
装水时，光斑恰好落在 处，加水至 处，光斑左移至 处．图3是实验的示意图，四边形 为矩
形，测得 ， ．若光线从空气射入水中的折射率 ，求光斑移动的距离 ．
（参考数据： ， ， ）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据 ，再作 ，设 则
列出关于x的方程式，求得x的值，进而求得答案．
【详解】解：作 ，则 ，，
， ，
，
，
，
；
， ，
，
，
，
设 ， ，则 ，
，
解得： ，
，
，
答：光斑移动的距离是 ．20. 如图， 内接于 ，过点 作 的切线交 的延长线于点 ， 交 于 ，交
于 ，点 为 的中点．
（1）求证： ；
（2）若 的半径为5， ，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】酷暑主要考查切线的性质，解直角三角形以及相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线是解答
本题的关键．
（ 1 ） 连 接 、 ， 证 明 ， ， 由 得
，得出 ，再证明 即可得出结论；
（2）连接 ， ，过点 作 于 ． ， ， ，在 中，
求出 ，求得 ，证明 可得结论．
【小问1详解】
证明：如图，连接 、 ，为 切线， 为 半径，
，
，
点 为 的中点， 为 半径，
，
，
又 ，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图所示，连接 ， ，过点 作 于 ．
的
为 直径， 的半径是5，
， ，
在 中， ，
， ，
，
，，
，
又 ， ，
，
．
六、（本题满分12分）
21. 2025年是中国 时代元年， 技术已渗透至社会各领域，重塑职业结构、生活方式与个人发展路径．
综合实践小组开展了对代表性的两种AI软件“ ”、“ ”进行使用满意度调查，并从中
各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，单位：分，满分100分，分为四个等级：
A： ，B： ，C： ，D： ），下面给出了部分信息：
抽取的对“ ”的评分数据中B等级的数据：89，89，88，87，86，86，84；
抽取的对“ ”的评分数据：100，99，98，98，97，97，97，95，89，88，87，87，86，86，85，
84，78，72，69，68．
抽取的对“Deepseek”、“Mauns”的评分统计表
品牌 平均数 中位数 众数 A等级所占百分比
88 b 98
88 87.5 c
抽取的对“ ”评分的扇形统计图根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 _______， _______， ______；
（2）根据以上数据，你认为哪个 软件更受用户的喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）此次测验中，有300人对“ ”进行评分，260人对“ ”进行评分，估计此次测验
中对“ ”，“ ”两种 软件评分为A等级的共有多少人？
【答案】（1）15，89，97
（2）“ ”软件更受用户的喜爱，理由见解析
（3）239人
【解析】
【分析】本题考查调查与统计，利用样本估计总体，掌握中位数、众数的定义是解题的关键．
（1）用1减去A，B，D所占百分数，即可得到 ；根据中位数定义可求b；根据众数的定义可求c；
（2）比较A等级所占百分比或中位数即可；
（3）用总人数乘以A等级所占百分比，然后相加即可．
【小问1详解】
解：“ ”的评分数据中B等级数据有7份，占： ，
；
“ ”的评分数据中A等级数据份数为： ，
B等级数据按从大到小顺序排列为：89，89，88，87，86，86，84，
可知“ ”的评分数据中从大到小排序，第10，11位数据均为89，
；“ ”的评分数据中97出现了3次，出现的次数最多，
；
故答案为：15，89，97；
【小问2详解】
解：“ ”软件更受用户的喜爱，
理由：“ ”评分数据中A等级所占百分比比“ ”高；（答案不唯一）
【
小问3详解】
解： （人）
答：估计此次测验中对“ ”，“ ”两种 软件评分为A等级的共有239人．
七、（本题满分12分）
22. 如图，将直角 以点 为中心逆时针旋转到 处， 的对应点为 点，点
的对应点为 点，连 使得 ，作 交 的延长线于点 ，连接 ， 分别交
于点 点， 点．
（1）若 ，求 的度数；
（2）求证： 为 的中点；
（3）若 ，求直角 的面积．
【答案】（1）（2）见解析 （3）
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 证 明 四 边 形 为 矩 形 ， 得 ， 由 旋 转 得 得
，从而得出 ；
（2）过 点作 于点 ，证明 ，得出 ，即可得出结论；
（3）证明 、 为等腰三角形，可得 ，得出 ，由
得 ，设 ，则 ， ，代入计算得
，即 ，在 中由勾股定理得 ，再根据三角形面积公式求解即可．
【小问1详解】
解： ， ， ，
四边形 为矩形，
∴ ，
，
， ，
是由 旋转所得，
，
，
；
【小问2详解】
证明：过 点作 于点 ，如图，由（1）知 ，
又
∴ ，
又 ，
，
在 和 中，
，
，
，
即 为 的中点；
【小问3详解】
解： ， 为 的中点，
，
为等腰三角形，
又 ，
为等腰三角形，
两个等腰三角形有公共底角，
，
由（2）知 ，
，设 ，则 ， ，
，
解得 ，
， ，
，
在 中， ， ，
，
，
直角 的面积为 ．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与
性质，证明 是解答本题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 已知二次函数 （常数 ）
（1）求该函数图象与 轴的交点坐标及对称轴；
（2）若 ．
①当 时，该函数的最小值为 ，求 的值；
②当 分别取 ， 时，两个函数的最小值相等，求 ， 的数量关系．
【答案】（1）与 轴的交点坐标为 ， ，对称轴为：直线
（2）① ，②
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要会求抛物线与x轴的交点坐标，熟记抛物线的对
称轴的公式，增减性等基本性质．
（1）令 ，得 ，求出方程的解即可得函数图象与 轴的交点坐标，再根据对称轴公式求解即可；
（2）对 ， 分类，得 ， ，再进行分类讨论即可得到结论．
【小问1详解】
解：令 ，得：
化简得：
解得： ， ，
的
与 轴 交点坐标为 ， ，
对称轴为：直线 ；
【小问2详解】
解：① 时， 当 时，该函数最小值为
，
，
解得： ．
② 抛物线对称轴在直线 与 之间，且两个函数的最小值相等，
当 或 时，则两条抛物线的顶点相同，即 （不合题意）
， ，
当 取 时函数在对称轴处取最小值为 ，
，
当 取 时函数在 时取最小值为 ．
，即 ．
