文档内容
安徽省“C20”教育联盟 2025 年九年级第一次学业水平检测
数 学
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共2页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 将 中的绝对值符号化去后，下列结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查化简绝对值．根据绝对值的意义，负数的绝对值是它的相反数，进行求解即可．
【详解】解： ，
故选：D．
2. 今年春节电影《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《封神第二部：战火西岐》《蛟龙行动》《射雕英雄
传：侠之大者》和《熊出没·重启未来》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月5日发布数据，我国
2025年春节档电影票房达95.10亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据95.10亿用科学记数法表示
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为 的形式，
其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值
与小数点移动的位数相同，据此求解即可．【详解】数据95.10亿用科学记数法表示为 ．
故选：B．
3. 用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方
式摆放，则最后一个小正方体应放在（ ）
A. ①号位置 B. ②号位置 C. ③号位置 D. ④号位置
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由三视图判断几何体，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键．根据
题意主视图和左视图即可得到结论．
【详解】据主视图、左视图可知，最后一个小正方体应放在②号位置．
故选：B
的
4. 若 ，下列运算正确 是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法、二次根式的化简，熟练掌握运算性质和法则
是解题的关键．根据幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法、二次根式的化简，即可解答．
【详解】解：A、 ，故本选项错误；
B、 ，故本选项错误；
C、 ，故本选项正确；
D、 ，故本选项错误；
故选：C．5. 时钟分针长6厘米，从早上9点整到9点 分，分针针尖所走过的路程是（ ）
A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查弧长的计算，解题的关键是理解题意，记住弧长公式 ，利用弧长公式求解即可．
【详解】解： 从早上9点整到9点 分，分针转过的圆心角 ，
从早上9点整到9点 分，分针尖所走过的路程 (厘米)
故选∶C．
6. 某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣2分．在这次竞赛中，
小明被评为优秀（85分或85分以上），则小明至少答对了_______道题（ ）
A. 17 B. 18 C. 19 D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到不等关系是解题的关键．
设小明答对了x道题，则答错和不答的一共有 道题，再根据答对一题得5分，答错或不答一道题扣
2分列出不等式求解即可．
【详解】设小明答对了x道题，则答错和不答的一共有 道题，
由题意得：
解得： ，
∵x为正整数，
∴x的最小值为18，
∴小明至少答对了18道题，
故选B．7. 如图，四边形 中， ，则 的长为（ ）
A. 6 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，矩形 的判定与性质，掌握锐角三角函数是解题的关键．作
，垂足为点 ， 交 的延长线于点 ，则 ，求
出 ，再证明四边形 是矩形，得到 ，则 ．
【详解】解：如图，作 ，垂足为点 ， 交 的延长线于点 ，则
，
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，∴ ，
∴ ，
故选：D．
8. 如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ．则关于x的
不等式 的解集是（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图像与交点问题，主要考查数形结合的思想的应用．不等式
的解集，即为一次函数 的图象在反比例函数 的图象上方时的自变量的
取值范围．
【详解】解：∵一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ， ，
是 向下平移了 个单位长度得到的，∴一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ， ．
由图象可知，关于 的不等式 的解集是： 或 ，
故选：A．
9. 如图， 为等腰直角三角形， ， 是 上一点， 交直线
于点 ，且 ， ，点 为 的中点，连接 ，则 的长为（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质．过点 作
交 延长线于 ，可得是等腰直角三角形，即得 ，设 ，则 ，利用勾股定理可得 ，即得 ，进而得到 ，最后根
据直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 交 延长线于 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
设 ，则 ，
由勾股定理得， ， ，
，
∴ ，
整理得，
解得 ， （不合，舍去），
∴ ，
∴ ，
∵点 为 的中点，∴ ，
故选： ．
10. 如图1，在矩形ABCD的边AD上取一点E，连接BE．点M，N同时以1cm/s的速度从点B出发，分别
沿折线B-E-D-C和线段BC向点C匀速运动．连接MN，DN，设点M运动的时间为t s，△BMN的面积为
S cm2，两点运动过程中，S与t的函数关系如图2所示，则当点M在线段ED上，且ND平分∠MNC时，t
的值等于（ ）
A. 2+2 B. 4+2 C. 14﹣2 D. 12﹣2
【答案】D
【解析】
【分析】分析图像得出BE和BC，求出AB，作EH⊥BC于H，作EF∥MN，MN ∥EF，作DG⊥MN 于
1 2 1 2
点G，求出EF和MN ，在△DM N 中，利用面积法列出方程，求出t值即可．
1 2 1 2
【详解】解：由题意可得：点M与点E重合时，t=5，则BE=5，
当t=10时，点N与点C重合，则BC=10，
∵当t=5时，S=10，
∴ ，解得：AB=4，
作EH⊥BC于H，作EF∥MN，MN ∥EF，作DG⊥MN 于点G，
1 2 1 2则EH=AB=4，BE=BF=5，
∵∠EHB=90°，
∴BH= =3，
∴HF=2，
∴EF= ，
∴MN = ，
1 2
设当点M运动到M 时，N D平分∠MN C，
1 2 1 2
则DG=DC=4，MD=10-AE-EM=10-3-（t-5）=12-t，
1 1
在△DM N 中， ，
1 2
即 ，
解得： ，
故选D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，矩形的性质，勾股定理，面积法，解题的关键是读懂图象，了
解图象中每个点的实际含义．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若分式 有意义，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件．根据分式有意义分母不等于零，得出 ，求出
即可．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．12. 比较两数的大小： _______ ．（“>”“<”或“=”）
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，注意放缩法的应用．应用放缩法，判断出 ，
即可得出答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13. 如图，小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被
分成面积相等的几个扇形．游戏者同时转动两个转盘．若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，
则可配成紫色．此时，配成紫色的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】先列出表格得到所有等可能性的结果数， 再找到可配成紫色的结果数，最后依据概率计算公式求
解即可．
【详解】解：列表如下：
红 白
转盘2转盘1
黄 （红，黄） （白，黄）
绿 （红，绿） （白，绿）
蓝 （红，蓝） （白，蓝）
由表格可知一共有6种等可能性的结果数，其中可配成紫色的结果数有1种，
∴配成紫色的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
14. 如图，点D是等边 内一点，连接 ，延长 交 于点E．
（1）当点 为 中点时，则 _______；
（2）当 ，则 _______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得 垂直平分 ，从而可得 ， ，
，再根据等腰三角形的三线合一可得 ，然后解直角三角形可得
，则 ，由此即可得；（2）延长 ，交 于点 ，延长 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，先证出
，根据全等三角形的性质可得 ，再证出 ， ，根
据相似三角形的性质可得 ， ，从而可得 ，设
， ，则 ， ，然后解直角三
角形和勾股定理可得 的长，最后根据 计算即可得．
【详解】解：（1）如图，当点 为 中点时，
∵ 是等边三角形，且点 为 中点，
∴ 垂直平分 ，
∴ ， ， ，
∴ （等腰三角形的三线合一），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．（2）如图，延长 ，交 于点 ，延长 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ， ，则 ，
又∵ ，
∴ ，
整理得： ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的三线合一、解直角三角形、相似三角形的判定与性
质、三角形全等的判定与性质等知识，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形
是解题关键．
三、解答题（共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 用适当的方法解方程 ．
【答案】 ， ．
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分
解法、公式法、配方法．利用因式分解法求解可得．
【详解】解：∵ ，
即 ，
因式分解得 ，
∴ 或 ，
解得 ， ．
16. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ，格点D在 上，
点D的坐标为 ，按要求完成下列画图，并回答相关问题．（1）将 向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到 ，请画出 ，此
时点D的对应点 的坐标_______；
（2）请用无刻度的直尺画出 的角平分线 （保留作图痕迹）．
【答案】（1）图见解析，
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平移的性质，勾股定理的逆定理，熟练画出相应的图形是解题的
关键．
（1）根据平移的性质画出图形，写出点D的对应点 的坐标即可；
（2）利用等腰直角三角形的性质，即可解答．
【小问1详解】
为
解：如图， 即 所求，
根据 向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，
可得点D的对应点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【小问2详解】
解： ， ， ，
，为直角三角形， ，
如图， ， ，
，
为等腰直角三角形，
，
为 的平分线．
四、解答题（共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 为积极响应国家“双碳”战略，推进绿色发展，某县全力打造生态优先、绿色低碳的工业园区，经反
复研讨与周密规划，决定在园区内大规模安装光伏板和风力发电机组，以此构建稳定可靠的绿色能源供应
体系．
这两类设备的安装需求各有不同，具体如下表所示：
设备类 每台所需技术人 每台投入成本（万
型 员 元）
光伏板
风力机
组
园区共有技术人员 人，全部参与安装且每人只负责一种设备，总投入资金为 万元．问光伏板和风力
发电机组的安装数量各是多少台？
【答案】安装光伏板 台，安装风力发电机组 台．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设安装光伏板 台，安装风力发电机组 台，由题意可得，然后解方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键．
【详解】解：设安装光伏板 台，安装风力发电机组 台，
由题意可得， ，
解得 ，
答：安装光伏板 台，安装风力发电机组 台．
18. 在数学活动课上，某兴趣小组将轴对称与有理数乘法结合起来，得到如下等式：
，
，
，
，
，
…
请你根据上述等式的规律，完成下列任务：
（1）填空：① ；② ．
（2）有同学利用代数知识证明上述等式中的规律，在证明的过程中，发现等式两边的结果为11的倍数，
这名同学的证明过程如下：
设等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，则 的取值范围为_______，则等式左边的式子可
表示为 ，等式右边的式子可表示为 ，左
边 ，右边 ，左边=右边 ，为11的倍数．
阅读以上内容，并写出证明过程中横线上所缺的内容．
【答案】（1）① ， ；② ，
（2） ，【解析】
【分析】本题考查数字变化规律问题，能观察多组数据找出数字间的运算规律是解题关键，从特殊到一般
总结出普遍规律是解题难点．
（1）观察题中等式即可发现规律；
（2）根据整式的运算法则即可求解．
【小问1详解】
解：根据题中等式的规律可得，① ；② ，
为
故答案 ：① ， ；② ，
【小问2详解】
解：设等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，则 的取值范围为 ，则等式左边
的式子可表示为 ，等式右边的式子可表示为
，左边 ，右边 ，左边=
右边 ，为11的倍数．
五、解答题（共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 某校开展“数学实践周”活动，九年级（1）班的小磊和小豪组成测量小组，利用三角函数原理测算校
园旗杆高度．小磊在教学楼的观测点A处测得旗杆顶部C处的俯角是 ，小豪在教学楼的观测点B处测
得旗杆顶部C处的俯角是 ，已知 米， 米，求旗杆 的高度．（参考数据
）【答案】10米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．过点C作 ，
垂足为F．在 中，解直角三角形求出 ，在 中，解直角三角形求出
，根据 ，求出 ，即可解答．
【详解】解：如图所示，过点C作 ，垂足为F．
在 中， ，
，
，
在 中， ，
．．
，
∴ ，
．则 ，
∴在矩形 中， ，
答：旗杆 的高度为10米．
20. 如图，在 中，点C是直径 上方半圆上的一个点，直径 平分非直径弦 于点G，点E是
上一点（不与 重合），过点E作 ，垂足分别为 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查圆综合题、垂径定理、直角三角形的性质、四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常
用辅助线，利用圆的有关性质解决问题．
（1）由垂径定理可得 ，即 ，可得 ，再证明
，可得 ，再证明 ，可证得；
（2）连接 ，先证得 四点是在以 为直径的圆上，再由 ，可得
三点是在以 为直径的圆上，再由 ，可得以 为直径的圆和以 为直径的圆
是等圆，再得 ，可得结论．
【小问1详解】
解： 直径 平分非直径弦 ，
，即 ．
，
即 ，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，连接 ，
，
即 ，
四点是在以 为直径的圆上，
，
三点是在以 为直径的圆上，
，以 为直径 的圆和以 为直径的圆是等圆，
，即 ，
．
六、解答题（本题满分12分）
21. 综合与实践
【项目背景】
无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前
往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对
两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考．
【数据收集与整理】
从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．
柑橘直径用x（单位： ）表示．
将所收集的样本数据进行如下分组：
组别 A B C D E
x
整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下：
任务1 求图1中a的值．
【数据分析与运用】
任务2 A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数．
任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）．
①两园样本数据的中位数均在C组；
②两园样本数据的众数均在C组；
③两园样本数据的最大数与最小数的差相等．
任务4 结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由．
根据所给信息，请完成以上所有任务．
【答案】任务1：40；任务2：6；任务3：①；任务4：乙园的柑橘品质更优，理由见解析
【解析】
【分析】题目主要考查统计表及频数分布直方图，平均数、中位数及众数的求法，根据图标获取相关信息
是解题关键．
任务1：直接根据总数减去各部分的数据即可；
任务2：根据加权平均数的计算方法求解即可；
任务3：根据中位数、众数的定义及样本中的数据求解即可；
任务4：分别计算甲和乙的一级率，比较即可．
【详解】解：任务1： ；
任务2： ，
乙园样本数据的平均数为6；
任务3：①∵ ，
∴甲园样本数据的中位数在C组，
∵ ，
∴乙园样本数据的中位数在C组，故①正确；
②由样本数据频数直方图得，甲园样本数据的众数均在B组，乙园样本数据的众数均在C组，故②错误；
③无法判断两园样本数据的最大数与最小数的差是否相等，故③错误；
故答案为：①；
任务4：甲园样本数据的一级率为： ，
乙园样本数据的一级率为： ，
∵乙园样本数据的一级率高于甲园样本数据的一级率，
∴乙园的柑橘品质更优．
七、解答题（本题满分12分）
22. 在 中， 为直线 上一点， 为直线 上异于点 的一点，连接 ，使 ．
（1）如图1，若点 在线段 上， ，求证： ；
（2）如图2，若点 在线段 上， ，求 的长；
（3）如图3，若点 在线段 的延长线上，点 在线段 上， 交 于点 ，
，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角的和差运算可求得 ，即可求证；
（2）过点 作 的垂线，交 延长线于点 ，可求得 ，进而求得
，根据解直角三角形得出 的长；
（3）过点 作 的平行线，交 延长线于点 ，过点 作 的垂线，交 于点 ，根据等边三
角形的性质和判定与平行线的性质可求出 ，设 ，根
据等腰三角形的性质和线段的关系可求得 ，根据解直角三角形可求得 ，再根据勾股定理求得 ，进而求得 ，即可求解．
【小问1详解】
证明： ，
，即 ，
，
，
．
【小问2详解】
解：如图过点 作 的垂线，交 延长线于点 ，
，
，
由（1）可知 ，
，
，
，
，
，
．
【小问3详解】解：如图过点 作 的平行线，交 延长线于点 ，过点 作 的垂线，交 于点 ，
，
为等边三角形，
，
，
为等边三角形，即 ，
又 ，
，
∴设 ，则 ，
，
，
，
，即 ，
，
在 中， ，
，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角
形的判定，勾股定理等，熟练掌握以上知识，合理做出辅助线是解题的关键．
八、解答题（本题满分14分）
23. 已知二次函数 （ 为常数，且 ）．
（1）若 ，请求出此时函数图象的顶点坐标；
（2）二次函数的图象与 轴交于 两点（点 在点 左侧），与 轴交于点 ，当点 的纵坐标取到
最大值时，求出此时 的面积；
（3）当 时， 在 处取得最小值，请直接写出 的范围．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） ．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（ ）由 ，则二次函数 ，然后配成顶点式即可求解；
（ ）令 ，则 ，则 ， ，故 ，当
时， ，当 时， 有最大值 ，然后利用面积公式即可求解；
（ ）分 当 时，当 时两种情况，然后根据二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴二次函数 ，∴ ，
∴此时函数图象的顶点坐标 ；
【小问2详解】
解：令 ，则 ，
解得： ， ，
∴ ，
当 时， ，
∴当 时， 有最大值 ，
∴ ，
∴此时 的面积为 ；
【小问3详解】
解：由 得，则与 轴交点为 ， ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
当 时，开口向上，则 ，
∴当 离对称轴越远， 的值越大，
∵ ，
当 时， 时 的值比 时 的值大，
∴不符合题意；当 时，开口向下，则 ，
∴当 离对称轴越远， 的值越小，
∵当 时， 在 处取得最小值，
∴ ，解得： ，
∴ 的取值范围为 ．
