文档内容
2025 届九年级第二次教学质量检测
数学 试题卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，其中“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个
选项，其中只有一个选项是符合题目要求的．
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相反数 的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，
的相反数是 ，负数的相反数是正数，据此求解即可．
【详解】解： 的相反数是 ，
故选：A．
2. 今年1月至2月，全省新能源汽车产量 万辆，其中 万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 为
整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．确定 的值时，整数位数减 1 即可．当原数绝对值
时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数．据此求解即可．
【详解】解： 万 ．
故选：B．
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是
站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是从左向右观察到的图形，掌握三视图的定义是解
题关键，根据三视图的定义即可解题．
【详解】解：根据三视图的位置判断，只有B选项符合题意，
故选：B．
4. 已知x为实数，且 ，下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】该题考查了幂的乘方、同底数幂的乘除法、立方根的性质，根据对应运算法则解答即可．
【详解】解：A． ，故该选项不符合题意；B． ，故该选项不符合题意；
C． ，故该选项不符合题意；
D． ，故该选项符合题意；
故选：D．
5. 在实数范围内，若二次根式 有意义，则x的取值范围是（ ）
.
A B. C. D. 全体实数
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式被开方数的非负性，不等式的解法．二次根式两个非负：被开方数非负，二
次根式本身非负，解题时要注意这两个非负性．根据二次根式的被开方数非负，解不等式即可完成．
【详解】解：由题意， ，解得：
故选：B．
6. 在正方形 中，E，F两点分别在 边上， 为 的中点，则 的值为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，解题
的 关 键 是 作 出 辅 助 线 ， 熟 练 掌 握 相 关 的 判 定 和 性 质 ． 根 据 正 方 形 的 性 质 2 求 出
，证明 ，得出 ， ，根据G为 的
中点，得出点 与点H重合，求出 ，即可得出结论．
【详解】解：连接 ，交 于点H，如图所示：∵四边形 为正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵G为 的中点，
∴点 与点H重合，
∴ ，
∴点G为 的中点，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
7. 下列一元二次方程有实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D【解析】
【分析】此题主要考查了根的判别式，分别利用一元二次方程根的判别式 判断方程的根的情
况即可．熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
【详解】解：A、 ，
一元二次方程没有实数根，不符合题意；
B、 ，
一元二次方程没有实数根，不符合题意；
C、 ，
一元二次方程没有实数根，不符合题意；
D、 ，
一元二次方程有实数根，符合题意；
故选：D．
8. 如图，在正六边形 和正六边形 中， ，记 ，
则 的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了求角的正切值，菱形的性质与判定，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定
等等，连接 ，先根据正多边形内角和计算公式得到 ，再证明四边形
是菱形，则 ，据此证明A、N、D三点共线， 同理可证明四边形 是菱形，得到 ， ，则可证明 ，可证明
，则 ，解 ，得到 ，则
，即 ．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵六边形 是正六边形，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
∵在正六边形 和正六边形 中， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴平行四边形 是菱形，
∴ ，
∴ 是等边三角形，四边形 是菱形，
∴ ，
同理可得 ，∴ ，
∴ ，
∴A、N、D三点共线，
同理可证明四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
∵在正六边形 和正六边形 中， ，
∴这两个正六边形是全等的
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
中， ，
∴ ，
故选：A．
9. 在平面直角坐标系 中，一次函数 和 的图象可能是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象的综合判断，当 时，两个函数的函数值都为 ，则两直线
的交点必定在y轴右侧（或在y轴上），据此可判断B、D；当 ，两个函数与y轴都交于正半
轴，据此可判断A；当 时，两个函数图象一个经过第一、二、四，一个经过第一、三、
四，据此可判断C．
【详解】解：∵当 时，两个函数的函数值都为 ，
∴直线 和直线 的交点为 ，故 、D均错误；
当 ，两个函数与y轴都交于正半轴，故A错误；
当 时，两个函数图象一个经过第一、二、四，一个经过第一、三、四，即如C所示，
故选：C．
10. 的两条角平分线 相交于 交 于F．则下列结论错误
的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查三角形角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及线段长度关系分析．熟练掌
握角平分线的性质，通过构造等腰三角形和利用角度关系进行线段等量代换是解题的关键，根据角平分线
定义及三角形外角性质得出 即可证明D；取 中点M，连接 ，证明 即可
证明C；在 上截取 ，连接 ，证明 从而证明 即
可证明B正确 ．【详解】解：如图， 平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
，
，
即D正确；
如图，取 中点M，连接 ，在直角 中，
即C正确；
如图，在 上截取 ，连接 ，
平分 ，
，
，，
，
，
，
，
，
即B正确；
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 化简： ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了约分，先把分子因式分解，然后由分式的性质进行约分即可，掌握分式的性质是解题
的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12. 生物兴趣小组在学校植物园里种植了甲、乙两个品种的西红柿，并统计相关数据如下：
总产量
西红柿品种 株数 方差
甲 10 12
乙 10 12
产量较稳定的西红柿品种是__________（填“甲”或“乙”）
【答案】乙
【解析】【分析】本题主要考查了方差的实际应用，熟练掌握方差的意义是解题的关键；
一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波
动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程
度越小，稳定性越好，据此解答即可
【详解】解：∵甲、乙两个品种株数都是10，总产量都为
∴甲、乙两个品种的西红柿的平均产量相同，，
∵ ，
∴乙的方程小于甲的方程，
∴产量较稳定的西红柿品种是乙．
故答案为：乙．
13. 如图，在平面直角坐标系 中，正比例函数 与反比例函数 的图象相交于
A，B两点，点C在y轴上，若 的面积等于4，则k的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】该题考查了一次函数和反比例函数综合，由正比例函数与反比例函数图象的对称性可得 O为
的中点，且 ，根据 的面积得出 的面积，联立两个函数解析式求出 B点坐标
，表示 的面积，即可求出k的值．
【详解】解：由正比例函数与反比例函数图象的对称性可得O为 的中点，且 ．
的面积等于4，的面积等于2．
将 联立可得B点坐标为 ．
，
∴ ，
，
∴ ．
，
，
故答案为： ．
14. 如图，折叠矩形纸片 ，使得A与C重合，得到折痕 ，然后还原．再沿 折叠，使得B落
在
处，已知 ．
（1） 边的长为__________；
（2）连接 ，则 的值为__________．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】本题考查了矩形与折叠 的性质，勾股定理，解直角三角形．
（1）连接 ，由作图知 垂直平分 ，设 ，在直角 中，利用勾股定理列式计算即可
求解；（2）过 作 于M，设 ，在直角 中，利用勾股定理求得 ，在直角
中，利用勾股定理求得 ，再在直角 中，利用余弦函数的定义求解即可．
【详解】解：（1）如图，连接 ，
由题意得 垂直平分 ，
∴ ，
设 ，
在直角 中， ，即 ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）过 作 于M，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在直角 中， ，
∴ ，∴ ，
在直角 中， ，
在直角 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在直角 中， ．
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及负整数指数幂和二次根式的化简等知识，熟练掌握相关运算法
则是解题的关键；
先计算负整数指数幂、有理数的乘方、化简二次根式，再计算乘法，去绝对值，最后计算加减法即可．
【详解】解：原式
．16. 学校组织20名新团员观看爱国主义影片，甲、乙两种电影票价格如下表：
电影票 票价（元/场）
甲 80
乙 40
若总费用不超过1100元，并尽可能多地购买甲种电影票，购买两种电影票各多少张？
【答案】购买甲种电影票7张，乙种电影票13张
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设购买甲种电影票x张，则乙种电影票 张，根据题
意列出不等式，正确理解题意，找到不等关系是解题的关键．
【详解】解：设购买甲种电影票x张，则乙种电影票 张，
由题意得 ，
解得： ，
为正整数，
，
答：购买甲种电影票7张，乙种电影票13张．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交
点）A，B，C的坐标分别为 ， ， ．（1）将线段 先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到线段 ，画出线段 ；
（2）将线段 绕B顺时针旋转 ，得到线段 ，画出线段 ；
（3）在所给网格图中确定一个格点D，描出线段 ，使得 ，写出点D的坐标．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了平移作图，旋转 ，根据题意结合网格特点画出图形是解此题的关键．
（1）根据所给平移方向作图即可；
（2）根据所给旋转方式作图即可；
（3）观察网格特点即可求解．
【小问1详解】
解：如图，线段 即为所求；
【小问2详解】
解：如图，线段 即为所求；
【小问3详解】
解：如图，线段 即为所求， ．
18. 数学兴趣小组运用数形结合的思想研究出结论： ．他们继续研究下面用
“※”和“ ”组成的图案中“※”和“ ”的个数问题：【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中“※”的个数为__________；
（2）第n个图案中“ ”的个数为__________；
【规律应用】
（3）结合图案中“※”和“ ”的排列方式及上述规律，求第几个图案中“ ”的个数比“※”的
个数多77．
【答案】（1）
（2）
（3）第10个图案中“ ”的个数比“※”的个数多77
【解析】
【分析】本题主要考查图形的变化规律，一元二次方程的应用，解答的关键是由所给的图形总结出存在的
规律．
（1）根据前四个图形中所求图案的个数总结规律即可；
（2）根据前四个图形中所求图案的个数总结规律即可；
（3）根据题意列出一元二次方程即可解答．
【详解】解：（1）由图得第1个图案中“※”的个数为 个，
第2个图案中“※”的个数为 个，
第3个图案中“※”的个数为 个，
第 个图案中“※”的个数为 个；
故答案为：
（2）由图得第1个图案中“ ”的个数为 个，第2个图案中“ ”的个数为 个，
第3个图案中“ ”的个数为 个，
第 个图案中“ ”的个数为 个；
故答案为： ；
（3）由题意可得 ，
解得 （舍去），
故第10个图案中“ ”的个数比“※”的个数多77．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 班级同学到工厂劳动实践，学习制作机械零件．如图，要在一块凸四边形的铝板中裁剪出一个矩形
，矩形的一个顶点E在 边上，另两个顶点F，G均在 边上，量得
，已知 ， ，求矩形 的长和宽（精确到
0.01）．参考数据： ．
【答案】矩形 的长和宽分别约为
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
作 于H，解直角 求出 ，解直角 求出 ， ，解直角 求出 ，
得出 ，即可解答．【详解】解：作 于H，则 ，
在直角 中， ，
，
．
在直角 中， ，
，
，
∵ ，
．
在直角 中， ，
， ．
即矩形 的长和宽分别约为 ．
20. 如图， 内接于 于D，连接 ．（1）求证： ；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，锐角三角函数解三角形，掌握相关知识是解题的关键．
（1）连接 ，过点O作 于E，则 ，又 ，得到 ，
根据等角的余角相等得到 ，即可得证；
（2）由垂径定理得到 ，从而根据勾股定理在 中，求得 ，进而
．
【小问1详解】
证明：连接 ，过点O作 于E，∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵
∴ ，
∴在 中， ，
∵ ，∴ ．
六、（本题满分12分）
21. 综合与实践
【项目背景】
小麦是我省北部农村主要农作物，在小麦丰收季节，班级同学前往某乡开展综合实践活动，为助力乡村振
兴做贡献．其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部条件基本一致的条件下，对两个村同一优良
品种（代号u）小麦的亩产量进行调查统计，为乡村振兴发展规划提供参考．
【数据收集与整理】
该乡从几十个村中随机选取4个村作为样本供调查，班级同学将这4个村编号为A，B，C，D，随机选取
A，B两村做浅层次调查，C，D两村做深层次调查．
在A，B两村中，共随机选取了20个种粮大户种植u品种小麦的平均亩产量（单位：吨），进行整理、分
析，下面给出部分信息．
①A，B两村20个种粮大户u品种小麦的平均亩产量的频数分布直方图如下（数据分成4组：
）；
②A，B两村20个种粮大户u品种小麦的平均亩产量如下表：
组别
平均亩产量/吨
在C，D两村中，共随机选取了10个种粮大户，对该品种小麦的平均亩产量（单位：吨）进行问卷调查，
并求出调查数据的平均数为0．68吨．
调查问卷
1您家今年共种植u品种小麦__________亩，平均亩产量__________吨．
2．影响您家今年u品种小麦产量的主要原因是__________（单选）．
A．施肥 B．除草 C．病虫害 D．其他
任务1 从A，B，C，D四个村中恰好选取是A，B两村做浅层次调研，C，D两村做深层次调研的概率是
__________；
任务2 频数分布直方图中a的值为__________；
【数据分析与运用】
任务3 从A，B两村随机选取的20个种粮大户中，u品种小麦的平均亩产量的中位数的范围是
__________；
任务4 求A，B，C，D四个村中随机选取的30个种粮大户u品种小麦的平均亩产量．
【答案】任务1：
任务2：6
任务3：
任务4：A，B，C，D四个村30个种粮大户u品种小麦的平均亩产量为 吨
【解析】
【分析】该题考查了频数分布直方图，列树状图求概率，中位数和平均数的定义，掌握相关定义是解题的
关键．
任务1：列树状图求解即可；
任务2：用总数减去其他几部分的频数即可；
任务3：根据中位数的定义求解即可；
任务4：根据平均数的定义求解即可；
【详解】解：任务1：列树状图如下：
共有12种情况，其中恰好选取是A，B两村做浅层次调研，C，D两村做深层次调研的情况有2种情况，
故恰好选取是A，B两村做浅层次调研，C，D两村做深层次调研的概率是 ；任务2： ；
任务3：共有20个数，中位数是第10和11个数的平均数，故u品种小麦的平均亩产量的中位数的范围是
；
任务4：选取的30个种粮大户u品种小麦的平均亩产量为
．
七、（本题满分12分）
22. 在 中， ， 是 边上的一点， 是 边的延长线上一点，分别连接 ， ，
．
（1）如图 ，若 平分 ．
求证： ；
当 时，求 的值．
（2）如图 ，若 ， ， ， 分别为 ， 的中点，求 的长．
【答案】（1） 详见解析；
；
（2） ．
【解析】
【分析】 根据等腰三角形的性质可证 ， ，根据角平分线的性质可证，所以可证 ，根据等角对等边可证结论成立；
作 ，交 于 ，利用 可证 ，根据全等三角形的性质可得 ，
设 ，则 ， ，由 可知： ，可证
，根据相似三角形的性质可得： ，从而可求 的值；
取 的中点 ，分别连接 ， ，根据等边三角形的性质可得： ，
， ，根据平行线的性质可得 ，根据中位线的性质可得 ，
，再利用含 角的直角三角形的性质可得 ，从而可得 、 ，利用勾股定
理可以求出 的长度．
【小问1详解】
证明： ，
，
，
，
，
平分 ，
，
，
，；
解：如下图所示，作 ，交 于 ，
，
，
在 和 中， ，
，
，
，
，
设 ，
则 ，
，
由 可知： ，
，
，
，
，；
【小问2详解】
解：如下图所示，取 的中点 ，分别连接 ， ，
过 作 交 延长线于 ，
， ，
， ，
， ，
， ，
，
，
又 ，
，
，
，
，
在直角 中，
，， ，
，
在直角 中， ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、
相似三角形的 判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形．
八、（本题满分14分）
的
23. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，开口向下 抛物线 （a，b，c为常数）与x
轴交于 点，与y轴交于 点．
（1）求 的值；
（2）当 时，若函数值y随x的增大而增大，求a的取值范围；
（3）若 ，点P在第一象限的抛物线上， 与y轴交于C，分别记 和 的面积为
，求 的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数最值等知识，熟练掌握二次函数的性质是关键．
（1）代入点的坐标进行解答即可；
（2）求出 根据 即可的答案；
（3）求出直线 的函数表达式为 ，得到 ，
得到 则 即可求出答案.
【小问1详解】
解：把 代入 ，得到
∴抛物线为 ，
∵抛物线经过 ，
；
∴
【小问2详解】
∵抛物线开口向下，
，抛物线的对称轴为 ，
∵当 时，函数值y随x的增大而增大，
，
，解得
的取值范围是 ；
【小问3详解】
∵ ，
∴抛物线为 ，
如图，设 ，直线 的函数表达式为 ，
∵直线 经过 ，
在第一象限的抛物线上，，
∴直线 的函数表达式为 ，
，
的最小值为
