文档内容
数学试题
注意事项：
1.你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个
选项，其中只有一个是正确的．
1. 的倒数是（ ）
A. B. 5 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 的倒数是 ，
故选：C．
2. 截至2025年2月底，我国非化石能源发电装机规模首次迈上20亿千瓦台阶，非化石能源发展呈现良好
态势，数据20亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为
整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数．
这里 ．【详解】解： ．
故选：B．
3. 如图是一个几何体（正方体挖去一个圆锥）的示意图，这个几何体的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】本题主要考查了简单组合体的三视图，从上面看到的图形即为俯视图，熟练掌握简单组合体的三
视图是解题的关键．
【点睛】解：这个几何体的俯视图为，
，
故选： ．
4. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的乘除法则，积的乘方，合并同类项进行运算即可判断，
熟练掌握以上运算规则是解题的关键．
【详解】解： 、 ，原选项计算正确，符合题意；
、 与 不是同类项，不可以合并，原选项计算正确，符合题意；
、 ，原选项计算正确，符合题意；
、 ，原选项计算正确，符合题意；故选： ．
5. 如图， 为 的直径， 为 的切线，连接 交 于点 ，连接 ，若 ，则
的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了切线 的定义，等边对等角，三角形的外角定理．
根据切线的定义得出 ，进而得出 ，最后根据三角形的外角定理，即可解
答．
【详解】解：∵ 为 的切线，
∴ ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
6. 为了保护学生视力，课桌高度 与凳子高度 按照 的关系配套设计，已知一张高
的课桌配高 的凳子，那么高 的凳子应配课桌的高度为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，把 ， 代入 求出 ，得出函数解析
式为 ，然后把 代入函数解析式，求出结果即可．
【详解】解：把 ， 代入 得：
，
解得： ，
∴ ，
把 代入 得： ，
即高 的凳子应配课桌的高度为 ，
故选：D．
7. 小明在商场消费获得两次转盘抽奖机会，如图三个扇形区域圆心角都是 .转动转盘（若指针落在分
界线上，则重新转动），则小明两次抽到的都是“神秘盲盒”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了利用列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之
比．熟练掌握概率公式是解题关键．画出树状图，得出总结果数和指针两次都落在“神秘盲盒”扇形的结果数，利用概率公式即可得答案．
【详解】解：“神秘盲盒”记为A，“打8折优惠”记为B，“代金券100元”记为C，画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果，其中指针两次都落在A扇形的结果有1种，
∴指针两次都落在A扇形的概率为 ．
故选：C．
8. 如图，在 中， ， ， ， 为 边上一点，延长 至点 ，
使 ，连接 交 于点 ，若 ，则 的长为（ ）
A. 2 B. C. 3 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行线比值问题，特殊角三角函数值，勾股定理，通过构造恰当的辅助线解决问题．作
辅助线 于点 ，作 交 于点 ，可求出 ，继而 ，再
在 中利用特殊角的三角函数值求出 的值，在 中由勾股定理即可求解．
【详解】作 于点 ，作 交 于点 ，∴
， ,
，
∴
，
∴
，
，
，
，
，
由勾股定理得 ，
，
．
故选A．
9. 在同一坐标系中，函数 与 的图象大致为（ ）A. B. C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】该题主要考查二次函数和反比例函数图象的有关性质．根据 的符号，对函数 的
图象位置和 的图象进行判断，逐一判断即可．
【详解】解：当 时，函数 的图象在一，三象限，此时 同号，
A．函数 的图象，开口向上 ，对称轴 ，故 ，该选项符合题意；
B．函数 的图象，开口向下 ，对称轴 ，故 ，该选项不符合题意；
C．函数 的图象，开口向上 ，对称轴 ，故 ，该选项不符合题意；
当 时，函数 的图象在二，四象限，此时 异号，
D．函数 的图象，开口向下 ，对称轴 ，故 ，该选项不符合题意；故选：A．
10. 如图，在 中， ， ， ， 交 于点 ， ，
， 的延长线交 于点 ，连接 ，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】先证出 ，再证出 ，从而可得 ，根据
等腰三角形的判定可得 ，则 ，然后根据等腰三角形的性质可得 ，由
此即可判断选项A正确；设 ，先证出 ，根据相似三角形的性质可得 ，
从而可得 的长，再过点 作 于点 ，根据三角形的三线合一可得 ，然后在
中，根据余弦的定义即可判断选项B错误；延长 ，交于点 ，先证出 ，再
证出 ，根据全等三角形的性质可得 ，则 ，然后根据全等三角形的
性质可得 ，由此即可判断选项 C 正确；先根据全等三角形的性质可得 ，，从而可得 ，由此即可判断选项D正确．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，即 ，
解得 ，
∴ ，则选项A正确；
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
设 ，
∴ ，
解得 或 （不符合题意，舍去），
∴ ，
如图，过点 作 于点 ，
∴ ，∴ ，则选项B错误；
如图，延长 ，交于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ （等底同高），
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，则选项C正确；由上已证： ，
∴ ， ，
∴ （等底同高），
∴ ，则选项D正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一
元二次方程的应用、余弦等知识，综合性较强，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据算术平方根，零指数幂运算法则化简，然后合并即可，熟练
掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12. 因式分解： ____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可．
【详解】解：原式 ；
故答案为： ．
13. 如图，反比例函数 的图象经过 的顶点 ，与 相交于点 ， ， 垂直于轴，垂足分别为 ， ，若 ，且四边形 的面积为3，则 的值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，连接 交 于点 ， ，证明
，由相似三角形的性质得出 ，进而可得出 ，
，再得出 ， ，最后根据
，进而可求出k．
【详解】解：连接 交 于点 ，
则 ，
， ，
，∴ ，
，
， ，
，
，
．
14. 如图，在矩形 中（ ），把 沿着对角线 折叠，使点 落在 处，
与 相交于点 ，点 在 上，点 在 上， 与 交于点 ，把 沿着 折叠，
点 恰好和点 重合.
（1）若 ，则 ______（用含 的式子表示）；
（2）若 ， ，则 ______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质可得 ，由折叠的性质得 ，即
可求出 ；（2）根据折叠的性质，进一步得出 ，由 可得 ，设 ，
，由勾股定理和解直角三角形得出 ，即可求得结果．
【详解】（1） 矩形 中， ， ，
， ，
由折叠的性质得 ， ；
（2）由折叠的性质： ， ， ，
，
，
，即 ，
，
，
，
设 ， ，
在 中， ， ，解得 ，
，
， ，
， ，
， ，.
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知
识，理解举行的性质和折叠的性质是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式，根据不等式的性质取分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1
即可．
【
详解】解：去分母得 ，
移项得 ，
合并同类项得 ，
系数化为1得 ．
16. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点的坐标分别为 ， ， .
（1）画出 关于 轴对称所得的 ；
（2）在 边上确定一点 ，连接 ，使得 平分 的面积.
【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】
【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，坐标与图形，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
（1）利用轴对称变换的性质得出 、 、 的位置，再连线即可；
（2）取 与格线的交点 ，连接 即可．
【小问1详解】
解：如图所示， 即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示， 即为所求.
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 观察下列关于自然数的等式：
第 个等式： ；第 个等式： ；
第 个等式： ；第 个等式： ； ；
利用等式的规律，解答下列问题：（1）写出第 个等式：______；
（2）写出你猜想的第 个等式（用含 的式子表示），并证明．
【答案】（1）
（2） ，见解析
【解析】
【分析】本题考查了数字变化规律，整式的运算，读懂题意，找出规律是解题的关键．
（ ）根据自然数的等式规律即可求解；
（ ）根据自然数的等式规律即可求解，然后通过整式乘法法则进行验证即可．
【小问1详解】
解：∵第 个等式： ；
第 个等式： ；
第 个等式： ；
第 个等式： ；
第 个等式： ；
故答案为： ；
【小问2详解】
解：∵第 个等式： ；
第 个等式： ；
第 个等式： ；
第 个等式： ；
；
∴第 个等式为： ，证明：左边 ，
右边 ，
∴左边 右边．
18. “一纸书来只为墙，让他三尺又何妨．”闻名遐迩的桐城六尺巷承载着谦逊礼让的深厚文化内涵．吸
引着八方游客纷至沓来．六尺巷景区有一家文创小店，小店购进了两种爆款文创产品．一种是带有六尺巷
精美壁画图案的折扇，另一种是印着“六尺巷”故事简介与经典诗句的帆布袋，进价与售价如下表：
文创产品 进价 售价
折扇 10 15
帆布袋 16 25
某天，小店卖出的折扇数量比帆布袋数量的2倍还多3个．经计算这两种文创产品销售的总利润刚好达到
了585元，请问这天卖出帆布袋和折扇各多少个？
【答案】卖出帆布袋30个，卖出折扇63个
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，
设卖出帆布袋 个，则卖出折扇 个，根据两种文创产品销售的总利润刚好达到了585元，列方程
求解即可．
【详解】解：设卖出帆布袋 个，则卖出折扇 个，
由题意得： ，
解得： ，则 ，
答：卖出帆布袋30个，卖出折扇63个．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 在学习了平面反射的知识后，某班科学社团利用平面镜反射光线测量班级智慧黑板的宽度.如图在地面
水平放置一块平面镜，一束光线从点 发出，测得入射角 时，反射光线恰好到达黑板上端
处，将一束光从点 发出，测得入射角 时，反射光线恰好到达黑板下端 处.经测量
，已知点 ， ， 在同一竖直直线上，点 ， 在同一水平线上，求智慧黑板宽 的长（结果精确到 ，入射角等于反射角，参考数据： ， ， ，
）
【答案】智慧黑板的宽 约为
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，解决本题的关键是根据入射角等于反射角，求出 和
中 和 的度数，再根据这两个角的正切分别求出 和 的长度，再利用线段的和
与差求出 的长．
【详解】解：由题意得： ， ，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
，
，
，答：智慧黑板的宽 约为
20. 如图， 经过平行四边形 的三个顶点 ， ， ， 为直径，延长 交 于点 ，连
接 .
（1）求证：点 是 的中点；
（2）连接 ，作 于点 ，若 ， ，求平行四边形 的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，熟练
掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）连接 ，由四边形 是平行四边形可得 ， ，由圆周角定理可得
，则 ，从而可证 是 直径，然后根据等腰三角形三线合一定理即可
求证；
（ ）由 是 直径， ，则 ，证明 ，故有
，设 ，则 ， ，即 ，求出 的值，最后通过
勾股定理和平行四边形面积公式即可求解．
【小问1详解】
证明：连接 ，∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 是 直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即点 是 的中点；
【小问2详解】
解：∵ 是 直径， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∵ ，即 ，解得 ， （舍去），
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ .
六、（本题满分12分）
21. 综合与实践
【项目背景】
某学校积极开展各项安全培训，并对教育前后全校学生掌握安全知识情况进行测试.某班实践小组随机抽取
部分学生成绩进行统计分析，了解安全教育效果，为学校加强安全教育提供参考.
【数据收集与整理】
从全校随机调取了200个学生接受教育前和教育后的测试成绩，学生得分用 （单位：分）表示分组如下.
整理数据，将教育前和教育后测试成绩绘制成频数直方图，部分信息如图：
组别
【数据分析与运用】
任务1 求样本中教育前学生成绩在 组的人数，并补全频数直方图；
任务2 样本数据中教育前中位数在______组，教育后中位数在______组；
任务3 教育后这五组的组中值分别是55，65，75，85，95，我们可以把组中值作为各组测试成绩的平均分，现已算得教育前成绩平均分是 分，计算教育后平均成绩比教育前提高了多少分？
【答案】任务一： （人），图见解析；任务二： ， ；任务三：教育后平均成绩比教育前提高了
分
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图，加权平均数，中位数等知识点，解题的关键是通过统计图获取信息．
任务一：利用总数减去其它组的人数求出 组的人数，补全条形统计图即可；
任务二：根中位数的定义进行求解即可；
任务三：利用加权平均数即可求解．
【详解】解：任务一： 组的人数为 （人）
任务二：因为总数据个数是200个，所以中位数在排序后的第100位和101位的平均数，
因为教育前 组人数为50人， 组人数为85人，所以第100位和101位在 组，在 组；
为
因 教育后 组人数为50人， 组人数为80人，所以第100位和101位在 组，在 组；
故答案为： ， ；
任务三：教育后成绩平均分是：
（分），
（分），
∴教育后平均成绩比教育前提高了 分．
七、（本题满分12分）22. 如图1，点 ， 分别是菱形 的边 ， 上的点， .
（1）求证： ；
（2）如图2，连接 与 相交于点 ，连接 ， ．
（i）当 时，求证：四边形 是平行四边形；
（ii）如图3， 的延长线交 于点 ，若 ， ，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，
作出正确的辅助线是解题的关键．
（1）证明 即可解答；
（2）（i）根据题意可得 ，则 ，推出 ，再证明
且 ，即可解答；
（ii）证明 ，得到 ，即可证明 ，最后利用解直角三角形即可
解答．
【小问1详解】
证明： 四边形 是菱形，
， ，
，，
在 与 中，
，
，
；
【小问2详解】
（i）证明：由（1）知， ，
，
，
，
，
，即 ，
，
，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形；
（ii）解： 在菱形 中， ，
，，
，
，
，
点 为 中点，
，
，
，
，
，
如图，作 ，
，
，
，
，
．
八、（本题满分14分）
23. 已知直线 与抛物线 的一个交点坐标为 ，抛物线对称轴是直线
．（1）填空： ______， ______， ______；
（2）将 向下平移 个单位后，所得直线与抛物线 有两个交点 ， ，且
，求 的值；
（3）平移抛物线 得到新抛物线 ，若直线
与抛物线 仅有一个交点，且当 时， 有最小值 ，求 的值．
【答案】（1）1，5，2
（2）
（3） 的值 或7
【解析】
【分析】（1）将 代入 ， ，结合对称轴是直线 ，利用待定系
数法即可求解；
（2）由（1）可知 ，则向下平移 个单位后，解析式为 ，设直线与抛物线
有两个交点 ， 的坐标分别为 ， 则 ， 是方程
的两个根，即 ，得 ， ，由
，列方程即可求解；
（3）由题意可知方程 只有一个根，即
只有一个根，得 ，即 ，当 时， 随 增大而增大，当 时， 随 增大而减小，由当 时， 有最小值 ，分两
种情况：若 时，若 时，即可求解．
【小问1详解】
解：将 代入 得： ，
解得： ，
∵点 在抛物线 上，对称轴是直线 ，
∴ ，解得 ，
故答案为：1，5，2；
【小问2详解】
由（1）可知 ，则向下平移 个单位后，解析式为 ，
设直线与抛物线 有两个交点 ， 的坐标分别为 ，
则 ， 是方程 的两个根，即 ，
∴ ， ，
∵
即： ，
∴ ；
【小问3详解】∵直线 与抛物线 仅有一个交点，
∴方程 只有一个根，
即 只有一个根，
∴ ，
∴ ，
当 时， 随 增大而增大，当 时， 随 增大而减小，
∵当 时， 有最小值 ，
∴若 时，当 ， 有最小值，即 ，解得 ；
若 时，当 ， 有最小值，即 ，解得 （ 舍去）；
综上， 或7．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数表达式、二次函数的图象与性质、
求二次函数的最值问题、两个函数图象的交点问题、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真分析题意，
找寻知识之间的关联点，利用待定系数法、分类讨论和数形结合思想进行推理、探究和计算．
