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2025 年安徽省六安市裕安区青山路中学中考数学二模试卷
一、选择题：本题共 10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 2025
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可．
【详解】解： 的相反数是 ．
故选A．
2. 计算（﹣2x2y）3的结果是（ ）
A. ﹣2x5y3 B. ﹣8x6y3 C. ﹣2x6y3 D. ﹣8x5y3
【答案】B
【解析】
【分析】根据积的乘方法则，即可求解．
【详解】解：（﹣2x2y）3＝（﹣2）3（x2）3y3
＝﹣8x6y3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查积的乘方法则，掌握积的乘方等于各个因式乘方的积，是解题的关键．
3. 2024安徽省民营企业百强发布会在合肥举行，会上发布了《2024安徽省民营企业社会责任报告》．该
报告显示，近年来，安徽省民营企业积极履行社会责任，营收百强民企纳税总额 亿元，同比增长
其中数据“ 亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时，n是正
数；当原数的绝对值 时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数，
表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解： 亿
故选： ．
4. 如图所示的是某工件的实物图，该工件的俯视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图．找到从上面看所得到的
图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：从上面看，可得 ．
故选：B
5. 已知点 都在正比例函数 的图象上，若 则 与 的大小关系是（
）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟知正比例函数的图象和性质是解题的关键．
根据正比例函数的图象和性质即可解决问题．
【详解】解：因为正比例函数 的比例系数是 ，
所以y随x的增大而减小．
又因为 ，
所以 ．
故选：B．
6. 如图，已知 ，将含 角的直角三角板放在直线a，b之间，若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，据此即可求出答案．
【详解】解：如图，
，，
，
，
故选：B．
7. 某校对班级考核打分方案为：卫生分数占 ，课间纪律分数占 ，课堂纪律分数占 九年级
班某学期这三部分的成绩依次为91分、95分、93分，则九年级 班某学期的考核分数为（ ）
A. 92 B. C. D. 93
【答案】C
【解析】
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
【 详 解 】 解 ： 九 年 级 班 某 学 期 的 考 核 分 数 为
分 ，
故选： ．
8. 现有 ， ， ， 四种液体，若从中任选两种混合在一起，能发生化学反应的概率为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及能发生化学反应的
结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：共有12种等可能的结果，其中能发生化学反应的结果有： ， ，共2种，
能发生化学反应的概率为
故选：C．
9. 已知反比例函数 的图象与一次函数 的图象的交点在第一、三象限，则二
次函数 的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质.
根据反比例函数 的图象与一次函数 的图象的交点在第一、三象限，可知， ，然后即可判断二次函数 的图象开口方向和对称轴所在的位置，从而可以
判断哪个选项符合题意．
【详解】解： 反比例函数 的图象与一次函数 的图象的交点在第一、三象
限，
， ，
二次函数 的图象开口向上，对称轴在y轴左侧，
故选：A
10. 如图，在菱形 中， ，对角线 ， 相交于点O，P是对角线 上一动点，
且 于点M， 于点 ，下列说法中错误的是（ ）
A. 为等边三角形 B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用菱形的性质可证得 ， ，从而可判定 为等边三角形，
可判断A；先求出 ，再根据含 度角的直角三角形的性质证得
，然后利用勾股定理证得 ，可判断C；先求得，再根据三角形的内角和定理，可判断B，先利用含 度角的直角
三角形的性质，证得 ， ，再相加进一步可判断D．
【详解】解：∵四边形 是菱形， ，
∴ ， ， ，
∴ 为等边三角形，故A正确；
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， 平分 和 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故C正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
，
故B正确；
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，故D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含 度角的直角三角形的性质、勾股定理、
三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
11. 计算： ＝_______
【答案】3
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义计算即可．
【详解】解： ．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的求法是解答本题的关键．
12. 分解因式： ＝________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式 再利用公式法即可得到答案．
【详解】解： ，
故答案为： ．
13. 如图，在 中，点B在x轴上，且 ， ， ，反比例函数 的图
象经过点A， 若点A的横坐标为2，则 ______．
【答案】6
【解析】
【分析】根据三角形全等，即可求出C点坐标，把C点坐标代入反比例函数中，即可求出k的值．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，求得E的坐标是解题的关键．
【详解】解：过点A和C点做作x轴的垂线，分别垂于D、E，如图所示：
，点A的横坐标为2，反比例函数 的图象经过点A，C，
， ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
点坐标为 ，，
．
故答案为： ．
14. 把函数 的图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，x轴上方部分的图象不变，得到函数
的图象．
（1）函数 的顶点为______．
（2）若函数 与函数 有3个交点，则b的值为______．
【答案】 ①. ②. 5或
【解析】
【分析】此题主要考查了抛物线与x轴 的交点，翻折的性质，二次函数的性质，一次函数图象上点的
坐标特征，一元二次方程根的判别式确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，
画出函数图象是解本题的难点．
（1）把解析式化成顶点式即可求解；
（2）先根据原抛物线的解析式得出翻折后得出新图象的解析式，进而画出图象，结合图形确定出直线的
位置即可求出b的值．
【详解】解：（1） 函数 ，
函数 的顶点为 ；
故答案为： ；
（2）当 时， ，解得 ， ，
则抛物线 与x轴的交点为 ， ，
把抛物线 图象x轴下方的部分沿 x轴翻折到x轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标 ，
如图，
当直线 过点B时，直线 与该新图象恰好有三个公共点，
，解得 ，
当直线 与抛物线 相切时，直线 与该新图象恰好有三个公
共点，
即 有相等的实数解，整理得 ，
则 ，
解得 ，
所以b的值为5或 ；
故答案为：5或 ．
三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 解方程： ．
【答案】 ，
【解析】【分析】利用配方法解该一元二次方程即可．
【详解】解：
，
，
，
，
，
∴ ， ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法．
.
16 观察以下等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
……
按照以上规律，解决下列问题．
（1）写出第4个等式：______；
（2）写出你猜想的第n个等式 用含n的等式表示 ，并证明其正确性．
【答案】（1）（2）第n个等式： ，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查规律型：数字的变化规律，列代数式，解题的关键是找到规律，正确计算．
观察已知等式结构，发现左边分数相乘等于右边的差；分子、分母的变化规律，确定分子为奇数序列，
分母为等差数列；
归纳通项公式，通过代数推导验证猜想．
【小问1详解】
根据规律，第n个等式左边为 ，
右边为 ，
当 时：左边分子： ，分母分别为4和 ，即 ，
右边为 ，
第4个等式为： ；
故答案为： ；
【小问2详解】
第n个等式为： ，
验证：左边： ，
右边： ，两边相等，猜想成立．
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 的端点都在格点 网格线的交点
上．
（1）以点O为位似中心，将 在点O的另一侧放大2倍得到 ，画出 ，连接 ，
，判定 的形状．
（2）计算 的面积．
【答案】（1）见解析， 为直角三角形
（2）2
【解析】
【分析】本题考查作图-位似变换、勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积，熟练掌握位似图形的性
质是解答本题的关键．
（1）根据位似的性质作图即可；利用勾股定理、勾股定理的逆定理可得结论．
（2）利用网格，根据三角形的面积公式计算即可．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求．由勾股定理得， ， ， ，
，
，
为直角三角形．
【小问2详解】
解：由图可知， 的面积为 ．
18. 某班班主任为了表扬表现优秀的学生，在文具店购买了A，B两类笔记本，A类笔记本比B类笔记本每
本贵3元，且用60元购买的A类笔记本与用48元购买的B类笔记本数量相同，求A，B两类笔记本的单价．
【答案】A类笔记本的单价是15元，B类笔记本的单价是12元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，设A类笔记本的单价是x元，则B类笔记本的单价是 元，根
据用60元购买的A类笔记本与用48元购买的B类笔记本数量相同，列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设A类笔记本 的单价是x元，则B类笔记本的单价是 元，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
答：A类笔记本的单价是15元，B类笔记本的单价是12元．19. 东汉建安二十年（公元215年），孙权和曹操为争夺合肥，爆发逍遥津之战．如图所示的是逍遥津公
园里张辽的塑像．周末，小蕊和父母去逍遥津公园游玩，当小蕊在A点时，观察到塑像M在其北偏东
方向，继续向前走140m到达点B处，此时塑像M在其北偏东 方向，小蕊最后的停留点B与塑像M之
间的距离BM的长．（结果精确到 ，参考数据： ， ， ，
， ， ）
【答案】小蕊最后的停留点B与塑像M之间的距离 的长为 米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．根据题意，结合图形，在 中表示出 ，在
中表示出 ，得到方程，解方程求出x的值，在 中求出 即可．
【详解】解：过M点作 ，交BA的延长线于C点，设 米，
在 中， ，
（米），
米，在 中， ， （米），
（米），
，
解得 ，
米，
在 中， （米），
答：小蕊最后的停留点B与塑像M之间的距离 的长为 米．
20. 如图，点 A，B，C 在 上， 平分 交 于点 D，点 E 在 的延长线上，连接
（1）求证： 是 的切线．
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2） 的是
【解析】
【分析】 连接 ，则 ，所以 ，推导出 ，
由 ， ， 得 ， 则，即可证明 是 的切线；
由 ， ， ，证明 ，则 ，由
， 得 ， 则 ， 所 以 ， 而 ， 可 证 明
，则 ．
【小问1详解】
证明：连接OD、OC，则 ，
，
，
，
平分 交 于点D，
，
，
，
，
是 的半径，且 于点D，
是 的切线．【小问2详解】
解： ， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的是6．
【点睛】此题重点考查圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、切线的判定等知识，
正确地添加辅助线是解题的关键．
21. 某梨园工作人员为了了解新培育的梨树长势情况，随机从新苗中选取部分梨树苗测得高度，并将测量
的结果整理绘制了如下所示的不完整的统计图表．
高 度
组别 频数 株数
A 10
B 26
C a
D 30E 12
（1）计算a，m的值，并补全频数分布直方图．
（2）若该梨园有新培育的梨树苗2000株，试估计梨树苗的高度不低 有多少株？
（3）根据题中上述统计图表可得该梨园梨树苗高度的中位数在______组 填A，B，C，D，
的
（4）如果每一组梨树苗 平均高度均以该组的组中值 如A组的组中值为 计算，请你估计样本中
梨树苗高度的平均数．
【答案】（1） ， ，补全频数分布直方图见解析
（2）1280株 （3）C
（4）
【解析】
【分析】（1）由B组的频数和所占百分比求出抽取的总数，求出C组的频数，补全频数分布直方图即可；
（2）根据样本估计总体即可求解；
（3）由中位数的定义求出中位数落在C组；
（4）由加权平均数的计算方法即可求解．
本题考查了频数分布直方图和扇形统计图，频数分布表，中位数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、
样本估计总体的方法是正确求解的前提．
【小问1详解】
解：抽取的总数为： 株 ，组的频数 人 ， ，
补全频数分布直方图如下：
【小问2详解】
解： 株 ，
答：估计梨树苗的高度不低于 的有1280株；
【小问3详解】
解：把100株树苗的高度按照从低到高的顺序排列，中位数为第50名和第51名的高度的平均高度 ，
∵
∴根据题中上述统计图表可得该梨园梨树苗高度的中位数在C组，
故答案为：C；
【小问4详解】
，
答：估计样本中梨树苗高度的平均数为
22. 周末，玲玲与姐姐完成作业后去羽毛球馆进行羽毛球训练，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物
线的一部分．以姐姐所站的位置作为坐标原点O，建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从姐姐站立点
O的正上方发出，飞行过程中羽毛球距离地面的高度 单位： 与水平距离 单位： 之间近似满足
函数关系 ，（1）姐姐在一次发球时，发现羽毛球的发球点距离地面的距离 ，当羽毛球距离发球点的水平距
离为 时羽毛球距离地面最高，为 ，根据上述数据解答下列问题：
①求姐姐在这一次发球时羽毛球与地面的高度 单位： 与水平距离 单位： 的函数关系式；
②在距离发球点水平距离 处，放置一个高 的球网 ，求羽毛球在发出后与 的竖直距离的
最大值；
（2）姐姐再次发球时，羽毛球的竖直高度y与水平距离x之间近似满足函数关系 ，
玲玲在两次接球的过程中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度 时刚好接到球，若玲玲第一次接
球的起跳点与发球点之间的水平距离为 ，第二次接球的起跳点与发球点之间的水平距离为高度 ，计
算 的值．
【答案】（1）① ；②
（2）1
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数在实际生活中的应用．解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标
特征，用待定系数法求出函数解析式．
（1）①依据题意，可得顶点坐标为 ，从而可设抛物线为 ，又抛物线过 ，则
，可得 ，进而可以得解；②依据题意， ，又 ，则直线 为
，又设抛物线 上点 P 为 ，则羽毛球在发出后与
的竖直距离为： ，进而可以判断得解；
（2）依据题意，把 分别代入（1）解析式和 ，求出 和 即可．
【小问1详解】
解：①由题意，顶点坐标为 ，
可设抛物线为 ，
又 抛物线过 ，
，
，
抛物线的函数关系式为 ；
②由题意， ，
又 ，
直线 为 ，
设抛物线 上点P为 ，
羽毛球在发出后与 的竖直距离为：
，
∵ ，
∴当 时，与 的竖直距离取得最大值3.61，
羽毛球在发出后与 的竖直距离的最大值为
【小问2详解】解：在第一次接球中，当 时，
则 ，
解得 ， ，
接球时球越过球网，
，
在第二次接球中，当 时，
则 ，
解得 ， ，
接球时球越过球网，
，
．
23. 点E是正方形 的对角线 上一点，过点E作 交 于点F，连接 交 于点 ．
（1）如图1，延长 交 D于点G，若 ， ，求 的长．
（2）如图2， ．
①证明： ；
②证明： ．
【答案】（1）
（2）①见解析；②见解析【解析】
【分析】（1）如图1，过点E作 于点P，作 于点Q，得四边形 是矩形，
， 是等腰直角三角形，则 ， ，设 ，则 ，
，根据 ，列方程可得a的值，证明 ，列比例式即可解答；
（2）①如图2，过点E作 于点P，交 于H，连接 ，证明 ，则
，证明 ，可得结论；
②如图3，将 绕点A顺时針旋转 得 ，连接 ，证明 ，可得
结论．
【小问1详解】
解：如图1，过点E作 于点P，作 于点Q，
，
四边形 是正方形，
， ，
四边形 是矩形， ， 是等腰直角三角形，
， ，
设 ，则 ， ，，
，
，
，
，
∵ ，
，
，
设 ，则 ，
，
，
，
；
【小问2详解】
证明：①如图2，过点E作 于点P，交 于H，连接 ，
四边形 是正方形，∴ ， ， ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
， ， ，
，
， ，
∵ ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如图3， ，
将 绕点A顺时针旋转 得 ，连接 ，， ， ， ，
，
，
，
，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
即 ，
，
，
，
．
【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查了全等和相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三
角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确作辅助线构建全等三角形是解本题的关键．
