文档内容
2025 中考数学模拟试卷
一、选择题：本题共 10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1. 的相反数是（ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查相反数 的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，即可求解．
【详解】解： 的相反数是 ，
故选：C．
2. 2024年末，安徽省全省常住人口 万人， 万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 ，其中 ， 为
整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．科学记数法的表示形式为 ，其中 ，
为整数，确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数
相同．
【详解】 万 ．
故选：A．
3. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台
形，形似燕尾．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的俯视图是（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三视图，根据俯视图是从上往下看，得到的图形，看到的部分用实线表示，看不到的部
分用虚线表示进行判断即可．
【详解】解：由图可知：几何体的俯视图为：
，
故选：A
4. 如图，在菱形 中，对角线 相交于点 ，点 为 的中点．若 ，则菱形
的周长为（ ）
A. 4 B. 16 C. 12 D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理的运用，关键是掌握：菱形的四条边都相等，菱形
的两条对角线互相垂直平分．根据 是 的中位线，即可得到 的长，然后根据菱形的周长公
式计算即可得．
【详解】∵四边形 是菱形，∴ ，
又点E是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴菱形 的周长 ，
故答案选：B．
5. 中国——东盟博览会、商务与投资峰会期间，在某个商品交易会上，参加一次商品交易会的每两家公司
之间都签订了一份合同，所有公司共签订了450份合同．设共有x家公司参加商品交易会，根据题意，可
列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】每家公司都与其他公司鉴定了一份合同，设有x家公司参加，则每个公司要签(x－1) 份合同，然
后根据题意即可列出方程．
【详解】解：设有x家公司参加，
由题意得： ．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确甲、乙之间互签合同，只能算一
份，本题属于不重复记数问题，类似于若干个人，每两个人之间都握手，握手总次数；或者平面内，n个
点(没有三点共线)之间连线，所有线段的条数．
6. 甲、乙、丙三人做传球的游戏，开始时，球在甲手中，每次传球，持球的人将球任意传给其余两人中的
一人，如此传球两次，最后球在乙手上的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A【解析】
【分析】题目主要考查利用列举法求概率，求出所有的传球方法共有多少种，找出最后球在乙手上的的情
况，即可得最后球在乙手上的概率．
【详解】解：用甲→乙→丙表示一种传球方法，
所有传球方法共有：甲→乙→甲；
甲→乙→丙；
甲→丙→甲；
甲→丙→乙；
则共有4种传球方法，最后球在乙手上的有1种情况，
∴最后球在乙手上的概率为 ，
故选：A
7. 为增强学校之间的友谊，某市举办联合篮球比赛，下表是A校篮球队员的身高：
身高
176 178 180 181 182 185
人数 1 2 3 2 1 1
下列说法正确的是（ ）
A. 篮球队员身高的众数是 B. 篮球队员的平均身高是
C. 篮球队员身高的中位数是 D. 篮球队员身高的方差是
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差 的意义，根据平均数、中位数、众数、方差的计算
方法逐项分析即可．
【详解】A． ∵ 出现的次数最多，
∴众数是 ，故不正确；
B． 平均数 ，正确；
C． ∵从小到大排列后排在第5和第6位的是 ，∴中位数是 ，故不正确；
D．
故不正确．
故选B．
8. 如图， 是半圆O的直径，点C，D在半圆上，且 ，连接 ， 交于点E．若
，则 的直径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，根据 是半圆O的直径得到 ，再根据 得到
，推出 ，再根据圆周角定理得到 ，得到
，最后利用勾股定理求 即可．
【详解】解：如图，连接 ， ， ，
∵ ， ，∴ ，
∵ 是半圆O的直径，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
9. 如图，在 中， ， ，点D在 的延长线上，且 ，则
的值为（ ）
A. 20 B. 30 C. 40 D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】该题考查了勾股定理和相似三角形的性质和判定，根据勾股定理求出 ，再证明
，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵在 中， ， ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
两式相减得 ，
故选：B．
10. 在凸四边形 中，若对角线 ，且 ，则 的最小值为（
）
A. 5 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系的应用，过点C作 ，
过点D作 ，二线交于点E，则四边形 是平行四边形，得到 ， ，由
，推出 ，即 ，根据 ，当B，C，E三点共线时，
取得最小值，最小值为 的长，此时 计算即可．
【详解】解：过点C作 ，过点D作 ，二线交于点E，则四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
当B，C，E三点共线时，
∴ 取得最小值，
∴ 取得最小值，最小值为 的长，
∵ ，
此时 ，
故选：B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
11. 若分式 有意义，则 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为0求解即可得到答案．
【详解】解： 分式 有意义，，
解得 ，
故答案为： ．
12. 我国明朝数学著作《直指算法统宗》中有一道关于勾股定理的问题：如图，当秋千静止时，踏板 离
地的垂直高度 ，将它往前推 至 处时（即水平距离 ），踏板离地的垂直高度
，它的绳索始终拉直，则绳索 的长是________m．
【答案】3.25
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两个直角
边分别为 a、b，斜边为 c，那么 ，本题设 的长为 ，则 ，可得
，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：由题意可知， ， ，
，
设 的长为 ，则 ，
，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得 ，故答案为：3.25．
13. 若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则k的值为________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程 有两个不相等的
实 数 根 ， 则 ； 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 则 ； 没 有 实 数 根 ， 则
．据此即可求解．
【详解】解：由题意得： ，
解得：
故答案为：2
14. 已知： 中， ， ，点D为 外一点， ， 平
分 交 延长线于E，交斜边 于F， ．
（1） 的度数是___________；
（2） 的值为___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质、角平分线
的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由等边对等角结合角平分线的定义可得 ，设，由三角形内角和定理可得 ，表示出
， ，得出 ，求出 ，最后由三角形内角和定理
求解即可；
（2）证明 ，由相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵ 中， ， ，点D为 外一点， ，
∴ ， ，
由（1）可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 先化简 ，再求值，其中 ．【答案】 ，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，
最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系 ，格点（网格线的
交点） 的坐标分别为 ．
（1）将 绕点 顺时针旋转 得到 ，画出 ；（2）只用无刻度的直尺作出 的垂直平分线交 轴于点 ，并写出点 的坐标．
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析，
【解析】
【分析】（1）分别确定 绕点 顺时针旋转 的对应点 ，再顺次连接即可；
（2）如图，取格点 ，作直线 ，则直线 为 的垂直平分线，再结合图形求解 的坐标即可.
【小问1详解】
解：如图， 即为所求；
【小问2详解】
解：如图，取格点 ，作直线 ，则直线 为 的垂直平分线；理由：由勾股定理可得：
， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴直线 为 的垂直平分线，
∴直线 与 轴的交点 与 重合，
∴ .
【点睛】本题考查的是旋转的性质，坐标与图形，线段的垂直平分线的判定，正方形的判定与性质，勾股
定理与勾股定理的逆定理的应用，熟练的画图是解本题的关键.
17. 数学兴趣小组在探究连续正整数相加时得到如下结论： ，为此，他们继续
探究3的倍数的和问题，得到如下等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
……
根据以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：____________________；
（2）用含 的等式表示第 个等式，并验证；
（3）记第 个等式的和为 ，数学兴趣小组发现 ，求 的值．
【答案】（1）（2） ，证明见解析
（3）674
【解析】
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．
（1）仿照题意写出第5个等式即可；
（2）根据题意可得，第 个等式可以表示为 ，再根据题中的结论即可得到结论，再
证明结论即可；
（3） ，再根据 建立
方程求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，第5个等式为 ；
【小问2详解】
解：根据题意可知第 个等式为 ，证明如下：
∵ ，
∴
，
；
【小问3详解】
解：∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
18. 今年2月17日，习近平总书记在京出席民营企业座谈会时指出：“新时代新征程民营经济发展前景广
阔、大有可为，广大民营企业和民营企业家大显身手正当其时．”总书记的讲话给民营企业打了强心针，
某企业信心百倍，年初提出目标：今年总产值比去年增加20%，总支出比去年减少20%，力争实现利润翻
一番．已知该工厂去年的利润（总产值－总支出）为2亿元，求今年的总产值将达到多少亿元？
【答案】今年的总产值将达到7.2亿元
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则今年的
总产值为 万元，总支出 万元，根据题意列方程组求解即可．
【详解】解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则今年的总产值为 万元，总支出
万元，
根据题意得 ，
解得 ，
∴今年的总产值为 亿元，
答：今年的总产值将达到7.2亿元．
19. 已知图1中有1个等边三角形，记作 ；分别连接这个等边三角形三边中点得到图2，有5个等边
三角形，记作 ；再分别连接图2中间的小等边三角形三边中点得到图3，有9个等边三角形，记作
；…….按照此规律解答下列问题：（1）图4中有_______个等边三角形，记作 _________；
（2）图 中有_______个等边三角形，记作 _________；（结果用含 的代数式表示，不用说理）
（3）在求 的值时，可令 ，则 ，∴
，∴ ，按此方法计
算 ；（结果用含 的代数式表示）
【答案】（1） ，
（2） ，
（3）
【解析】
【分析】本题考查了图形变化的一般规律问题，整式的乘法，能够通过观察，掌握其内在规律是解题的关
键．
（1）由第一个图中 个三角形，第二个图中 个三角形，第三个图中 个三角形，每次递增 个，即可得
出第 个图形中有 个三角形；
（2）根据（1）中的规律即可得出第 个图形中有 个三角形；
（3）根据题意得到 ，然后整理求解即可．
【小问1详解】
解：∵第一个图中 个三角形，
第二个图中 个三角形，
第三个图中 个三角形，
每次递增 个；
∴图4中有 个三角形，记作 ；
故答案为： ，【小问2详解】
解：由（1）可得，
图 中有 个三角形，记作 ；
故答案为： ；
【小问3详解】
解：
；
20. 综合与实践：为了提高学生的防溺水意识，某校举行了“珍爱生命，远离溺水”安全知识竞赛，并对
收集到的数据进行了整理、描述和分析．
【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩（满分 分，所有竞赛成绩均不低于 分）组成一个样本．
【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成 ， ， ， 四组进行整理，如下表．
组别
成绩 /分
人数
【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图．其中 组具体成绩的样本数据分别为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空： ______， ______．补全条形统计图．
（2） 组成绩的样本数据的众数是______，样本数据的中位数是______．
（3）若竞赛成绩 分以上（含 分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的 名学生中成绩为优秀的人
数．
【答案】（1） ； ，图见解析．
（2） ； ．
（3）估计该校参加竞赛的 名学生中成绩为优秀的人数为 ．
【解析】
【分析】（1）由条形统计图和扇形统计图信息关联，计算出抽取的学生人数以及 、 的值；
（2）根据众数、中位数定义求解即可；
（3）根据题意，用样本估计整体进行计算即可．
【小问1详解】
解：由题意得，共抽取学生 人，
组人数为 人，
组人数为 人，
即 ， ，
补全条形统计图如下：故答案为： ； ．
【小问2详解】
解： 组数据中 出现的次数最多，
组成绩的样本数据的众数是 ，
共抽取学生 人，即样本数据共 个，取中间两个数据的平均数为这组数据的中位数，
应取样本数据从小到大排列后的第 、 个数据计算平均数，
又 组 人， 组 人， 组 人，
第 、 个数据分别是 ， ，
中位数是 ，
故答案为： ； ．
【小问3详解】
解：所抽取学生中成绩为优秀的概率是 ，
该校参加竞赛的 名学生中成绩为优秀的人数为 人．
【点睛】本题考查的知识点是条形统计图和扇形统计图信息关联、求众数、求中位数、由样本所占百分比
估计总体的数量，解题关键是熟练掌握由样本所占百分比估计总体的数量．
21. 如图1，在矩形 中，点E为 边上不与端点重合的一动点，点F是对角线 上一点，连接
交于点O，且 ．（1）求证： ；
（2）若 ， ， ，求 的长；
（3）如图2，若矩形 是正方形， ，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形相似的性质，解题的关键在于熟练掌
握相关性质定理和找准相似三角形．
（1）利用矩形的性质和三角形内角和定理，求出 ，通过等量代换即可求出
的度数，从而证明 ；
（2）延长 交 于点G，根据矩形的性质和平行线的性质定理，利用两个角相等，两个三角形相似证
明 ，得到 ，求出 长度，再证明 ，即可求出 的
长；
（3）设正方形 的边长为 ，延长 交 于点G，根据正方的性质和平行线的性质定理，利用
两个角相等，两个三角形相似证明 ，得到 ，用a表示 长度，
再根据勾股定理求出 长度，即可求出 的长，从而求出 的值．
【小问1详解】
证明： 矩形 ，，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，延长 交 于点G，
矩形 ，
， ，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
，；
【小问3详解】
解：设正方形 的边长为 ，则 ，
如图，延长 交 于点G，
正方形 ，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
．
22. 随着时代的发展和人们生活水平的提高，私家车越来越多，停车越来越难，停车场的建造就成为解决
问题的途径之一．如图是一个新建的地下停车场的设计示意图，已知坡道 的坡比 ，的长为8.4米， 的长为0.9米．按规定，停车场坡道口上方需张贴限高标
志，以便告知停车人其车辆能否安全驶入，请根据所给数据，确定该停车场入口的限高，即 的长为多
少？
【答案】2.4米
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，掌
握坡度是坡角的正切值．
延长 交 于点E，根据坡道 的坡比 ，可得 ，即可求出 米，
进而得出 米，再证明 ，则 ，设 ，
，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：延长 交 于点E，
，
，
，
，
，
．，
．
∴ ，
设 ， ，
根据勾股定理可得： ，
即 ，
解得： ，
∴ 米．
答：点D到 的距离 的长为2.4米．
23. 若抛物线 （ 为常数）的顶点横坐标比抛物线 的顶点横坐标大
1．
（1）求 的值．
（2）若点 在抛物线 上，点 在抛物线 上．
①若 ，求 的最大值．
②若 ，且 时，始终有 ，直接写出 的值．
【答案】（1）
（2）① 有最大值 ；②
【解析】
【分析】本题考查了把二次函数的解析式化为顶点式、二次函数的图象与性质、解一元二次方程，熟练掌
握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）将二次函数的解析式化为顶点式可得二次函数 的顶点横坐标为 ，二次函数 的顶点横坐标为 ，结合题意得出 ，计算即可得解；
（2）①由题意可得 ， ，结合 ，得出
，最后由二次函数 性质即可得解；②由题意可得 ，从而可得
的
，整理可得 ，解得 ， ，结合
时，始终有 ，即可得解．
【小问1详解】
解：∵二次函数 ， ，
∴二次函数 的顶点横坐标为 ，二次函数 的顶点横坐标为 ，
∵二次函数 （ ， 为常数）图象的顶点横坐标比二次函数 图象的顶点
横坐标大1，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：①点 在二次函数 的图象上，点 在二次函数 的
图象上，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴当 时， 有最大值为 ；
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
整理可得： ，
解得： ， ，
∵ 时，始终有 ，
∴ 的值不会随 的变化而变化，
∴ ．
