文档内容
2025 年中考数学一模试卷
考试时间：120分钟；分数：150分
注意事项∶
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷
上无效．
3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共 10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1. 下列有理数中最小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟知正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值
越小是解题的关键．根据有理数比较大小的方法求解即可．
【详解】解： ，
∴ ，
∴四个数中最小的数为 ，
故选：D．
2. 2025年上映的国产动画电影《哪吒2》在全球范围内取得巨大成功，打破了好莱坞电影的垄断地位，展
示了中华传统文化的魅力．影片截至2025年3月2日票房达到144.17亿元，数据144.17亿用科学记数法
表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整数，
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：144.17亿 ，
故选：C．
3. 榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝” 如图是其
中一种卯，其主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握组合体的三视图是解题的关键．根据从正面看得到的
图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看，卯的主视图是
故选：A．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方、整式的加法、同底数幂除法，掌握其中的运算法则是解体
的关键．
根据同底数幂乘法、幂的乘方、整式的加法、同底数幂除法的运算法则，分别进行判断即可得到答案．
【详解】解：A． ，故原式计算错误，不符合题意；
B． ，故原式计算错误，不符合题意；C． ，故原式计算错误，不符合题意；
D． ，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
5. 如图，把一个长方形纸片沿 折叠后，点 ， 分别落在 ， 的位置．若 ，则
等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质．根据 ，得到 ，根据折
叠，即可得到 ，问题随之得解．
【详解】解：∵四边形 为长方形，
∴ ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
6. 每年4月23日是世界读书日，某市为深化全民阅读活动，发出阅读倡议，打卡“最美书店”．据统计，
某书店4月进店阅读达2800人次，进店人数逐月平均增加，6月进店阅读人数达4732人次，若设进店人次
的月平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A.B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用该书店6月进店阅读人次数=该书店4月进店阅读人次数 进店人次的月平均增长率 ，
即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：
故选：B．
7. 在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、氯化钠、稀盐
酸、碳酸钠四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）可以用来除铁锈，从中随机抽取两
瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与
总情况数之比．
根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、碳酸钠四种溶液分别用 表示，列表如下：
（ ， ） （ ， ） （ ， ）
（ ， ） （ ， ） （ ， ）（ ， ） （ ， ） （ ， ）
（ ， ） （ ， ） （ ， ）
由表可知共有12种可能的结果，其中抽到2个都是酸性溶液的情况有2种，
则抽到的2个都是酸性溶液的概率为 ．
故选D．
8. 如图，在 中， 是切线，切点是B，直线 交 于点D，A，点E为 上的一点，连接
， ．若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】考查切线的性质、直角三角形锐角互余、圆周角定理及推论，如图所示，连接 ，首先由切线
得到 ，然后求出 ，最后利用圆周角定理求解即可．
【详解】如图所示，连接 ，
是 的切线，切点是
在 中，圆周角 与圆心角 所对的弧是 ，
．
故选：B．
9. 已知函数 ，若 则下列说法正确的是（ ）
A. 当 时， 有最小值 B. 当 时， 无最大值
C. 当 时， 有最小值 D. 当 时， 有最大值
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，画出函数图象，利用数形结合和分类
讨论的思想进行求解即可．
【详解】解：画出函数图象如图：
由图可知：当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大，
当 时， ，
当 时，即： ，
∴ ，
∴ ，当 的值越小， 越小，无限接近0，但不等于0，即 没有最小值，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
时， ，当 ， 时， 的值最大，为 ，
综上：当 时， 有最大值，无最小值，
故选项A，B错误；
当 时， ，
当 时，即： ，
∴当 越小时， 的值越大，即 没有最大值，
当 时， ，
当 时， ；
当 时， ，
当 时， 和 的函数值相同时， 的值最小，
综上：当 ， 有最小值，无最大值；
故选项C正确，D错误．
故选C．
10. 如图1，在 中，连接 ， ， ．动点 从点 出发，沿 边
匀速运动．运动到点 停止．过点 作 交 边于点 ，连接 ， ．设 ，
， 与 的函数图象如图2所示，函数图象最低点坐标为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】延长 至 ，使 ，连接 ，连接 交 于 ， 当 、 、 三点共线
时， 最小，即 最小，当 运动到 时， 最小，由图 得当 时，
，此时 与 重合， 与 重合，结合平行四边形的判定方法及性质和勾股定理，即可求解．
【详解】解：延长 至 ，使 ，连接 ，连接 交 于 ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
当 、 、 三点共线时， 最小，
即 最小，
当 运动到 时， 最小，
由图 得：当 时， ，
此时 与 重合， 与 重合，
，
，
，
，
，
，
， ，，
，
当 时，
，
函数图象最低点坐标为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，线段和最小值的典型问题，平行四边形的判定及性质，矩形的判定
及性质，勾股定理，正切函数等；掌握平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，能熟练利用勾股定
理求解及找到取得最小值的条件是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，共20分．
11. 计算： ________．
【答案】4
【解析】
【分析】由 ，从而可得答案．
【
详解】解： ，
故答案为：4
【点睛】本题考查的是求解一个数的立方根，理解立方根的含义是解本题的关键．
12. 若抛物线 与 轴有交点，则 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查方程与二次函数的关系，根的判别式，数形结合思想是解这类题的关键．根据抛物线与x轴有交点， 的方程就有两个的实数根，根的判别式 ．据此列不等式
求解即可中．
【详解】解：∵抛物线 与 轴有交点，
∴方程 有两个的实数根，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
的
13. 如图，D，E分别是 边 ， 上的点，且 ．如果 ， ，
，那么 的长等于_________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共
角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相
似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．先证明
，然后利用相似比计算 的长．
【详解】解： ． ，
，
，即 ，
．故答案为2．
14. 如图，点 是坐标原点， 的直角顶点 在 轴的正半轴上， ， ，反比例
函数 的图象经过斜边 的中点 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求反比例函数解析式，中点坐标公式，勾股定理等知识．由勾股定理求出 ，
得出 ，进而求出 ，然后可求k的值．
【详解】解：∵ 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵反比例函数 的图象经过斜边 的中点 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】先计算分式的乘法运算，再计算减法运算，再把 代入化简后的代数式进行计算即可．
【详解】解：
；
∵ ，
∴原式 ．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的混合运算的运算顺序是解本题的关键．
.
16 用围棋棋子摆出下列一组图形，按照这种规律摆下去．
（1）第5个图形用的棋子的个数为______，第n个图形用的棋子个数为______；
（2）若第m个图形用的棋子个数超过57个，求m的最小值．
【答案】（1）14， ；
（2）27
【解析】
【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现棋子的个数依次增加2是解题的关键．（1）依次求出图形中棋子的个数，发现规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
【小问1详解】
解：由所给图形可知，
第1个图形所用棋子的个数为： ；
第2个图形所用棋子的个数为： ；
第3个图形所用棋子的个数为： ；
第4个图形所用棋子的个数为： ；
，
所以第 个图形所用棋子的个数为 个，
当 时，
（个 ，
即第5个图形所用棋子的个数为14个．
故答案为：14， ．
【小问2详解】
解：由（1）知， ，解得 ，
又m是正整数，所以m的最小值为27．
17. 三角形 如图所示，将三角形 水平向左平移3个单位，再竖直向下平移2个单位可以得到三
角形 ．（1）画出平移后的三角形 ；
（2）直接写出三角形 三个顶点的坐标；
（3）求三角形 的面积．
【答案】（1）见详解 （2） ， ，
（3）
【解析】
【分析】本题考查了平移作图，写出点的坐标．
（1）根据平移的性质，将三角形 水平向左平移3个单位，再竖直向下平移2个单位，得到三角形
；
（2）根据点在坐标系的位置写出点的坐标即可；
（3）采用割补法即可求解．
【小问1详解】
解： 如图所示，；
【小问2详解】
解：由图形得 ， ，
【小问3详解】
三角形 的面积为： ．
18. 二 次 根 式 中 有 这 样 一 些 相 铺 相 成 的 “ 对 子 ” ： ，
，它们的积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式．于是，二次根
式的除法可以这样解：例如 ， ，像这样通过
分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去叫做分母有理化．分母有理化除了可以进行运算，还有其它
一些用处．
（1）计算： ；
（2）比较： 与 的大小；（3）化简： ．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质、二次根式加减乘除运算及二次根式分母有理化
等知识，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键．
（1）读懂题意，按照题中分母有理化方法计算即可得到答案；
（2）采用作差法，利用分母有理化，结合二次根式性质比较大小即可得到答案；
（3）利用分母有理化先化简，再根据二次根式加减运算法则求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：，
，
，即 ，
；
【小问3详解】
解：
．
19. 图 是一款可调节椅背的办公室沙发椅，它可以减轻使用者的脊椎压力，图 是它的侧面示意图 已知
椅背 ，现将椅背角度从 调节到 （即 ， ），过点 ，
作 ， ，分别交直线 于点 ， ．
（1）求水平方向增加的距离 长．（结果精确到 ；参考数据： ，
， ）（2）求调节过程中椅背 扫过的面积 结果保留
【答案】（1）水平方向增加的距离 长约为
（2）调节过程中椅背 扫过的面积为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用及扇形的面积．
（1）由题意得 ，求出 ， ，解直角三角形求出 ，
，即可求解；
（2）先求出 ，再根据扇形的面积公式计算即可．
【小问1详解】
解：由题意得 ，
， ，
， ，
， ，
，
，
，
，
答：水平方向增加的距离 长约为 ；
【小问2详解】
解：由题意得 ，；
答：调节过程中椅背 扫过的面积为 ．
20. 如图，D 是 的边 上一点， ，以 为直径的 交 于点 E，若
．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径为3， ，求 、 的长．
【答案】（1）见解析 （2） ，
【解析】
【分析】（1）根据等边对等角得出 ，根据三角形内角和定理并结合已知可求出
，然后根据切线的判定即可得证；
（2）连接 ，根据直径所对的圆周角是直角得出 ，结合 ，得出 ，
设 ，则 ，在 中，根据勾股定理求出 ，证明 ，同理求出，证明 ，根据相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
解：连接 ，过D作 于F，
∵ 是 的直径， 的半径为3，
∴ ， ，
∵
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，解得 （负值舍去），
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得 （负值舍去），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
经检验， 符合题意．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，正切的定义，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，明确题意，添加合适的辅助线，构造相似三角形是解题的关键．
21. 某校举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游
戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计
（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
选 占调查人数的百分
项 比
A
B
C
D
E
解决问题：请根据图表提供的信息，完成下列任务．
（1）本次一共调查了_____名学生，统计表中， ______， _____；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校有1000名学生，请估计该校参加“数字华容道”游戏的学生人数；
（4）小军要从以上五个数学游戏中任意选两个，请用列表或画树状图的方法求小军恰好选中B和E的概
率．
【答案】（1）400，7.5，15
（2）见解析 （3）估计该校参加“数字华容道”游戏的学生人数150人
（4）小军恰好选中B和E的概率为
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、统计表、用样本估计总体、概率公式，能够读懂统计
图表，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键．（1）用条形统计图中 的人数除以表格中 的百分比可得共调查的学生人数；用 的人数除以共调查的
学生人数再乘以 可得 ，用1分别减去 ， ， ， 的百分比可得 ，进而可得 ， 的
值．
（2）分别求出 ， 选项的人数，补全条形统计图即可．
（3）根据用样本估计总体，用1000乘以 ，即可得出答案．
（4）列表可得出所有等可能的结果数以及小军恰好选中 和 的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：本次一共调查了 （名 学生．
， ，
， ．
故答案为：400；7.5；15．
【小问2详解】
解： 选项的人数为 （人 ， 选项的人数为 （人 ，
补全条形统计图如图所示．
；
【小问3详解】
解： （人 ，
估计该校参加“数字华容道”游戏的学生人数约150人．
【小问4详解】
解：列表如下：共有20种等可能的结果，其中小军恰好选中 和 的结果有： ， ，共2种，
小军恰好选中 和 的概率为 ．
22. 如图 1 所示，在矩形 中， 是边 上一动点，将 沿 翻折得
．
（1）如图2所示，当点 在 上时，求 的长；
的
（2）如图3所示， 平分线分别交 ， 于点 ， ．
①当 为 中点时，求 的长；
②请直接写出当点 从A运动到 的过程中， 的最大值．
【答案】（1）
（2）【解析】
【分析】（1）根据勾股定理得 ，得 ，根据 ，得 ；
（2）①根据 ，得 ，根据直角三角形斜边中线性质得 ，可
得 ，得 ，得 ，即得 ；②当点 在 上时， 的值
最大，根据 ，得 ，得 ，得 ，为 的最大值．
【小问1详解】
解：∵矩形 ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ．
∵将 沿 翻折得 ，
∴ ， ， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴
【小问2详解】
∵ ， ，
∴ ．∴ ．
∵ 为 中点时，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
当点 在 上时， ， 最小， 的值最大．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ 的最大值为 ．【点睛】本题主要考查了矩形折叠．熟练掌握矩形性质，折叠性质，勾股定理，角平分线计算，直角三角
形斜边中线性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形判定，是解题的关键．
23. 【问题背景】
如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ，于 轴交于 点，以 为
直角顶点， 为腰作等腰直角三角形 ，恰好 点落在抛物线上．
（1）直接写出点 坐标，并求抛物线的函数表达式；
【初步探索】
（2）如图2所示，点 为线段 的中点，点 为线段 上一动点（点 不与点 ， 重合），连
接 ，以 为旋转中心将线段 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，求 的最小值；
【深度探究】
（3）如图2所示，连接 交 于点 ，在满足（2）最值 条件下，求 ．
的
【答案】
（1） ，抛物线解析式为（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）令 ，则 ，得到 ，如图所示，过点 作 轴于点 ，证明
，得到 ， ，则 ，把
代入抛物线 中，运用待定系数法即可求解；
（2）如图所示，连接 ，过点 作 于点 ，当点 在线段 （不含端点）上运动时，当
，即点 与点 重合时， 的值最小，根据等腰直角三角形，旋转的性质证明
，得 ， ，则
，由此即可求解；
（3）由（2）可得， 是等腰直角三角形， ，则 ，如图
所示，过点 作 于点 ，作 于点 ，由 ，得 是正方
形， ， ， ，， ，
， ，由此即可求解．
【详解】解：（1）抛物线 与 轴交于 ，于 轴交于 点，
令 ，则 ，
∴ ，
∵以 为直角顶点， 为腰作等腰直角三角形 ，
∴ ，
∴ ，
如图所示，过点 作 轴于点 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
把 代入抛物线 中得，
，
解得， ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）如图所示，连接 ，过点 作 于点 ，当点 在线段 （不含端点）上运动时，当
，即点 与点 重合时， 的值最小，
∵ 是等腰直角三角形， 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ，
∴当点 在线段 （不含端点）上运动时，点 在 上与运动，
∴当 时， 的值最小，
∵ ，点 是 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴当点 于点 重合时， 的值最小，最小值为 ；
（3）根据上述计算可得， ，
由（2）可得， 是等腰直角三角形， ，则 ，
∴ ，
如图所示，过点 作 于点 ，作 于点 ，由 ，得 是
正方形，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的定
义，全等三角形的判定和性质，垂线段最短 ，相似三角形的判定和性质等综合，数形结合分析思想是解
题的关键．
