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九年级数学练习单
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D. 2025
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了倒数，熟练掌握乘积等于1 的两个数互为倒数是解题的关键．
利用倒数的定义求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 的倒数是 ．
故选：A．
2. 据统计，某日某搜赏平台使用DeepSeek解决的问题超过 个．数字 用科学记数法表
示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，其表示形式为 ，其中 ， 为整数，正确确定 和
的值是解答本题的关键．
由 即可得到答案．
【详解】解： ，
故选：B．
3. 如图，这是将一个底面为等边三角形的三棱柱切去一个角后的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三视图；
俯视图是从上面看得到的图形，注意看得见的棱用实线表示．
【详解】解：由图得：该几何体的俯视图是 ，
故选：B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂相乘、同底数幂的除法，根据合并同类
项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂相乘、同底数幂的除法的运算法则逐项判断即可，熟练掌握运算法则
是解此题的关键．
【详解】解：A、 ，故原选项计算错误，不符合题意；
B、 ，故原选项计算错误，不符合题意；
C、 ，故原选项计算正确，符合题意；
D、 ，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
5. 如图，点 为某光源，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心 的光线相交于点 ，点F为焦点．若 ， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据平行线的性质求出 ，再由三角形内角和的性质即可求出．
【详解】解：根据题意得 ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
6. 一元二次方程 有两个实数根 ，那么一次函数 的图象一定不经
过的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一次函数经过的象限，由根与系数的关系得到
，则一次函数为 ，据此可得一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过
第三象限．
【详解】解：∵一元二次方程 有两个实数根 ，
∴ ，
∴一次函数 的解析式为 ，
∴一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．7. 如图，半径为5的 ，直径 垂直于 与 ， ，则图中阴影部分的
面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，矩形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，扇形面积公式等；由垂径
定理得 ，矩形的判定及性质， ，由平行四边形的判定及性质得 ，由扇
形的面积公式即可求解；掌握垂径定理及扇形的面积公式 是解题的关键．
【详解】解： 直径 垂直于 与 ，
， ， ，
，
，
四边形 是矩形，
，
四边形 是平行四边形，
，；
故选：A．
8. 如图，五一期间某景区有 三个入口， 两个出口，小红任选一个入口进入景区，游玩后
任选一个出口离开，则她选择从 或 入口进入，从 出口离开 的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到她
选择从 或 入口进入，从 出口离开的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
【详解】解：画树形图如图得：
由树形图可知所有可能的结果有6种，其中她选择从 或 入口进入，从 出口离开的结果数有2种，
∴她选择从 或 入口进入，从 出口离开的概率为 ，
故选：B．
9. 如图，在 中， ， 为 边上一动点（不与点 重合），
为等边三角形，过点 作 的垂线， 为垂线上任意一点，连接 ， 为 的中点，连接
，则 的最小值是（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了含 角的直角三角形，全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，
数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．
连接 ，设 相交于点 ，先判定 为线段 的垂直平分线，从而可判定
，然后由全等三角形的性质得到 ，根据勾股定理求出 ，即可得
到答案．
【详解】解：如图，连接 ，设 相交于点 ，
，
， 为 的中点，
，
点 在线段 的垂直平分线上，
是等边三角形，
，
点 在线段 的垂直平分线上，
为线段 的垂直平分线，， ，
点在射线 上，
当 时， 的值最小，
如图所示，设点 为垂足，
， ，
， ，
，
，
，
在 中 ， ，
， ，
，
，
，
故选：A．
10. 已知 ，抛物线 顶点在线段 上运动，形状保持不变，
轴交于 两点（ 在 的右侧），下列结论错误的是（ ）
A.
B. 当 时， 随 的增大而增大
C. 当四边形 为平行四边形时，的
D. 若点 横坐标 最小值为 ，则点 横坐标的最大值为5
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了本题考查了抛物线与 轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，
二次函数的最值，平行四边形的性质，根据顶点在线段 上抛物线与 轴的交点坐标为 可以判断
出 的取值范围，得到A正确；当顶点运动到 轴右侧时，根据二次函数的增减性判断出B正确；令
，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出 的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行
且相等可得 ，然后列出方程求出 的值，判断出C正确；当顶点在 点时， 能取到最小值，
当顶点在 点时， 能取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点 的横坐标，即可判断D不正
确．
【详解】解： 点 ， 的坐标分别为 和 ，
的
线段 与 轴 交点坐标为 ，
又 抛物线的顶点在线段 上运动，抛物线与 轴的交点坐标为 ，
， 顶点在 轴上时取“ ” ，故A正确；
抛物线的顶点在线段 上运动，开口向上，
当 时，一定有 随 的增大而增大，故B正确；
令 ，则 ，，
根据顶点坐标公式，
，
，即 ，
，
四边形 为平行四边形，
，
，
解得 ，故C正确；
若点 的横坐标最小值为 ，则此时对称轴为直线 ， 点的横坐标为 ，则 ，
抛物线形状不变，当对称轴为直线 时， 点的横坐标为 ，
点 的横坐标最大值为 ，故D不正确；
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算： __________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，涉及零指数幂和算术平方根的知识，熟练掌握各知识点并灵活运用是解
题的关键．
分别计算零指数幂和求算术平方根，再进行加减计算即可．【详解】解： ，
故答案为： ．
12. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 _____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程 的根与
有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实
数根；当 时，方程无实数根．根据根的判别式的意义得到 ，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得 ，
解得 ．
故答案为： ．
13. 如图，在平面直角坐标系中，点 ，将 向右平移到 位置， 的对应点是
， 的对应点是 ．若函数 的图象经过点 和 的中点 ，则 的值是__________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，中位线的性质，平移的性质，熟练掌握反比例函数
图象上点的坐标特征是关键．过点D作 轴，过点F作 轴， 轴，由题意可知：，设 ，可以推出 ， ，列式计
算即可得到k值．
【详解】解：如图，过点D作 轴，过点F作 轴， 轴，
由题意可知： ，
设 ，
，
的中点F，
是 的中位线，
，
，
，
解得 ，
∵反比例函数图象在第一象限，
，
故答案为：3．
14. 如图，在矩形 中， ， 为 边上一点，将 沿 翻折到 处，
分别延长 、 ，交 、 边于点 、 ．（1）若 ，则 __________；
（2）连接 交 于点 ．若 ，则 __________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）已知矩形 ， ．根据 沿 翻折到 ，得
，进而解直角三角形即可得解．
（ 2 ） 如 图 ， 过 点 作 交 于 点 ， 连 接 ， 由 （ ） 得 ，
，利用勾股定理求得 ， ， ，证明
， ，利用相似三角形的性质即可得解．
【详解】解：（1）在矩形 中， ， 沿 翻折到 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ；（2）如图，过点 作 交 于点 ，连接 ，
由（1）得 ， ，
在矩形 中， ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵
∴ 即 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴
∴ ，解得， ，
∴ ，
∵
∴ ， ，
∴ 即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似
三角形的判定及性质是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查分式化简求值，熟练掌握同分母分式的加减运算法则是解题的关键．
根据同分母分式的减法法则计算即可化简，再把 代入化简式计算即可．
【详解】解：原式，
当 时，原式 ．
16. 如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中， 的顶点均在格点（网格线的交点）上，直
线 经过小正方形的边．
（1）画出 关于直线 成轴对称的 ；
（2）将（1）中的 绕点 逆时针旋转 得到 ，画出 ．
（3）仅用无刻度直尺作 高 ．
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析 （3）画图见解析
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质画出点A、B、C的对应点分别为 、 、 ，即可画出 ；
（2）根据旋转的性质 绕点 逆时针旋转 得到 ；
（3）在图中找到格点E，连接 ，有图可知 ，则 为等腰三角形，然
后画出 的中点H，根据等腰三角形的三线合一的性质，连接 即为所求；
【小问1详解】
解：如图所示， 即为所作；【小问2详解】
解：如图所示， 即为所作；
【小问3详解】
解：如图所示，线段 即为所作；
．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两
年 型汽车年销售总量增加了 ，年销售单价下降了 ．
（1）设2023年销售 型汽车总量为 万辆，销售单价为 万元，请用代数式填表：
年份 年销售 型汽车总量/万 年销售 型汽车单价/万 年销售 型汽车总额/亿辆 元 元
2023 ____________
2025 ____________
（2）该汽车企业 型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率．
【答案】（1）
（2）该汽车企业 型汽车这两年销售总额的年增长率为
【解析】
【分析】本题考查了代数式的应用，一元二次方程的应用，根据题意正确列出代数式和方程是解题的关键．
（1）根据题意列代数式即可；
（2）设该汽车企业 型汽车这两年销售总额的年增长率为 ，根据题意，得 ，解方
程即可．
【小问1详解】
解：根据题意得，2023年销售 型汽车总额为 亿元，
2025年销售 型汽车总额为 亿元，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：设该汽车企业 型汽车这两年销售总额的年增长率为 ，
根据题意，得 ，
解得 （舍去），
答：该汽车企业 型汽车这两年销售总额的年增长率为 ．
18. 某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规
律．下面是他的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
特例1： ，特例2： ，
特例3： ，
特例4： ____________．
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果 为正整数，按此规律第 个式子可以表示为：____________．
（3）应用运算规律：
①化简： ____________．
②若 （ 均为正整数），则 ____________．
【答案】（1）
（2） （ 为正整数）
（3）① ；②22
【解析】
【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键．
（1）观察特例可得结论；
（2）观察特例与结果间及数字间关系得结论；
（3）①先计算 ，再算二次根式的乘法得结论；
②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果．
【小问1详解】
解： ．故答案为： ；
【小问2详解】
解: 当 为正整数，按此规律第 个式子可以表示为 ，
【小问3详解】
解: ①
；
②∵ (a，b均为正整数)，
∴ ， ，
解得 ， ，
∴ ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 在学习过“解直角三角形”一章的知识后，九年级某班的同学们为了巩固学习成果，就地取材，利用
所学的数学知识解决身边问题．如图1所示是教室内一只酒精消毒用的喷雾瓶的实物图，其示意图如图2
所示， ．求按压柄下端 到导管 的距离．（结
果保留一位小数，参考数据： ， ）【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关
键．过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，过点 作 ，
交 的延长线于点 ，则四边形 是矩形．根据题先利用平角定义求出 ，然后在
中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，再利用平角定义求出 ，最后在 中，利用
锐角三角函数的定义求出 的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，过点 作
，交 的延长线于点 ，则四边形 是矩形．
由题意得， ．
在Rt 中， ，∴ ．
∵ ，
∴ ．
在Rt 中， ，
∴ ．
∴ ．
答：按压柄下端 到导管 的距离约为 ．
20. 如图， 是 的直径， 于点 ，连接 交 于点 ．
（1）求证： ．
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）证明见详解
（2）16
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．注意数形结合思想
与方程思想的应用．
（1）要证明 ，可以证明 ； 是 的直径，则 ，又知
，则 ，则 ， ，则 ；
（2）连接 ，交 于点 ，先求出圆的半径，再利用勾股定理列方程求出 的长，进而求得
的长和 的长．【小问1详解】
证明： 是 的直径，
，
．
，
，
，
．
又 ，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：连接 ，交 于点 ，
，
， ，
， ， ，
，
的半径为10，
设 ，则 ，由勾股定理，得 ，
即 ，
解得 ，
，
．
六、（本题满分12分）
21. 某校开展综合实践知识竞赛活动，从八、九年级参加竞赛的同学中各随机抽取了20名同学，将他们的
竞赛成绩由高到低分为 5个等级，并绘制成不完整的频数分布表和扇形统计图，部分信
息如下：
八年级同学成绩频数分布表
成绩等级
人数 5 4 1
已知在两个年级被抽取的问学的成续中， 等级的人数相等，请根据以上信息，完成下列问题：
（1） ____________， ____________；
（2）在九年级被抽取同学的成绩中， 等级所对应的扇形的圆心角的度数是____________；九年级被抽
取同学的成绩的中位数落在____________等级；
（3）如果八、九年级参加竞赛的同学分别有200人、185人，请估计九年级竞赛成绩达到良好的人数比八
年级多多少人．（ 等级及以上为良好）
【答案】（1）6，4 （2） ，
（3）估计九年级竞赛成绩达到良好的人数比八年级多1人
【解析】
【分析】本题考查的是扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
（1）九年级人数乘以 等级对应百分比可得 的值，再根据五个等级人数之和等于总人数可求得 的值；
（2）用 乘以 等级人数所占百分比可得其圆心角度数，再根据中位数的定义可得答案；
（3）分别用各年级人数乘以样本中良好等级人数所占比例，再相减即可得出答案．
【小问1详解】
由题意知， （人 ，
则 ；
故答案为：6，4；
【小问2详解】
等级所对应 的扇形的圆心角的度数是 ，
九年级 、 等级人数所占比例和为 ，
九年级被抽取同学的成绩的中位数落在 等级，
故答案为： ， ；
【小问3详解】
（人 ，
答：估计九年级竞赛成绩达到良好的人数比八年级多1人．
七、（本题满分12分）
22. 在菱形 中， 是对角线 上一点，连接 ．
（1）如图1，延长 交 与点 ， ，求证： ；
（2）如图2， ，点 在边 上，连接 ， 与 交于点 ， ．①求证： ；
②如图3，作 ，垂足为点 ，连接 ，若 ， ，求 的值．
【答案】（1）详见解析
（2）①详见解析；②
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，
角平分线的性质，全等三角形的性质与判定等待，熟知菱形的性质，全等三角形的性质与判定定理是解题
的关键。
（1）证明 ，得到 ，设 ，则 ，
由平行线的性质得到 ，则由三角形外角的性质可得 ，则
；
（2）①证明 是等边三角形，得到 ，证明
，得到 ， ，再证明 ∽ ．可得
，进而得到 ；②将 绕点 顺时针旋转 交 的延长线于 ，连
接 ，证明 是等边三角形，得到 ,证明 ，得到
， 可求出 ，进而得到 ，则
由勾股定理得： ．证明 ，得到
，则 .
【小问1详解】
证明：∵四边形 为菱形，∴ ， ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵
∴可设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ．
∴
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：①∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ∽ ．
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ；
②将 绕点 顺时针旋转 交 的延长线于 ，连接 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
由旋转的性质可得 ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ,
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
在 中，由勾股定理得： ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
八、（本题满分14分）
23. 已知抛物线 与抛物线 相交于点 ．
（1）求出p的值；
（2）设点 在抛物线 上，点 在抛物线 上．
当 时，求n的取值范围；
①当M，A，N三点共线时，求m的值．
②
【答案】（1）
（2）① ；②【解析】
【分析】题目主要考查二次函数的性质，待定系数法确定函数解析式，理解题意，综合运用这些知识点是
解题关键．
（1）根据待定系数法代入即可得出结果；
（2）由（1）得 ，将点 M 代入得 ，且 ；①根据题意得出
，然后代入函数解析式确定 ，再由二次函数的性质即可得出n的取
值范围；②根据题意得出 ，再利用一次函数的待定系数法及三点共
线得出方程求解即可．
【小问1详解】
解：将点 代入 ，
得 ，
解得： ；
【小问2详解】
由（1）得 ，
∵点 在抛物线 上，
∴ ，
∴ ；
①∵ ， ，
∴ ，
∵点 在抛物线 上，
∴ ，整理得： ，
当 时， 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
∵ ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴设直线 的函数解析式为： ，
代入得： ，解得 ，∵ ，
∴ ；
设直线 的函数解析式为： ，
代入得： ，解得 ，
即 ，
∵M，A，N三点共线，
∴ ，
解得： ．
