文档内容
2025 年 5 月九年级模拟考试
数学
（试题卷）
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上
答题是无效的．
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 在数 ， ， ， 中，比 小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，根据有理数大小比较的法则： 正数都大于 ； 负数都
小于 ； 正数大于一切负数； 两个负数，绝对值大的反而小，据此判断即可，熟练掌握相关方法是
解题的关键．
【详解】解：由有理数的大小比较方法可得， ，
∴比 小的数是 ，
故选： ．
2. 榫卯结构是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的
俯视图为（ ）
A. B.C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了物体的三视图，掌握物体三视图的画法（看不见的线条用虚线）是解题的关键．
根据从上面看到的图形即可求解解答．
【详解】解：榫的俯视图为 ．
故选C．
3. 据省文化和旅游厅发布的数据，春节假日（2025年1月28日至2月4日）期间，全省乡村旅游接待游
客 万人次，旅游花费138亿，这里“138亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为 的形式，其中 ，n为整数，
正确确定a、n的值是解题的关键．
将“138亿”写成 其中 ，n为整数的形式即可．
【详解】解：“138亿” ．
故选D．
4. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂除法、积的乘方、幂的乘方等知识点，灵活运用相关知识
成为解题的关键．根据合并同类项、同底数幂除法、积的乘方、幂的乘方逐项判断即可．【详解】解：A． 与 不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意；
B． ，故该选项正确，符合题意；
C． ，故该选项错误，不符合题意；
D． ，故该选项错误，不符合题意．
故选B．
5. 若一次函数 的函数值 随 的增大而减小，则 的值可以是（ ）
A. B. C. 0 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握在一次函数 中，当 时y随x的增大而减小成为
解题的关键．
根据一次项系数小于0时，一次函数的函数值y随x的增大而减小列出不等式求解即可．
【详解】解：∵一次函数 的函数值y随着x的增大而减小，
∴ ，解得 ，即A选项符合题意．
故选：A．
6. 已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，利用根的判别式的意义得到 ，然后解关于k的一
元二次方程即可．
【详解】解：根据题意得 ，
整理得 ，解得 ， ，
即k的值为1或9．
故选：C．
7. 已知点 ， 和 都在抛物线 （ 是常数，且 ）上，则
， ， 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据二次函数图象与性质即可判定，解题的关键掌握二次函数
图象与性质．
【详解】解：由二次函数 ，则它的对称轴为 ，开口向上，
则图象上的点离对称轴越远则 的值越大，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
8. 如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点 ，直线 过点 ，分别交 ， 于点
， ，一个小球在平行四边形 内自由滚动，它落在阴影部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，几何概率，三角形中线定义等知识，
掌握知识点的应用是解题的关键．
由平行四边形性质可得 ， ， ，则有 ，
，然后证明 ，则有
，故 ，然后用概率即可求
解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴它落在阴影部分 概率是 ，
的
故选： ．
9. 如图，已知 中，点 是 边上一动点，过点 作 交边 于点 ，且 平分
．在 边上取点 ，使 ，若 ， ，则 的长为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的
应用是解题的关键．
过 作 于点 ，则 ，得出 ，所以 ，根据角
平分线定义和平行线的性质得到 ，故有 ，由等腰三角形性质得
，则 ，最后通过勾股定理即可求解．
【详解】解：过 作 于点 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
10. 如图，线段 ，点 是线段 上一动点（不与点 ， 重合），以 为直径作 ，过点
作 的切线，切点为 ，若 ， ，则 关于 的函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查切线的性质，函数图象以及勾股定理，设半径为 ，连接 ，则，由 得 ，可求出 ，由勾股定理得 ，把
代入得 ，结合 可得函数图象．
【详解】解：连接 ，如图，
∵ 是 的切线，
∴
设 则
∵ ，
∴ ，
∴ ；
在 中，由勾股定理得， ，
∵ ，
∴ ，
整理得， ，
把 代入，整理得 ，
又
∴函数图象如图，故选：C．
二、填空题（本大题共4小题、每小题5分，满分20分）
11. 因式分解： =______．
【答案】2（x+3）（x﹣3）
【解析】
【分析】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可．
【详解】 =2（x2-9）=2（x+3）（x-3）．
故答案为：2（x+3）（x﹣3）
【点睛】考点：因式分解．
12. 一元一次不等式 的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照
移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集即可．
【详解】解： ，
，
，
解得： ，
∴原不等式的解集为： ，故答案为： ．
13. 如图，已知矩形 的顶点 ， 都在直线 上，边 轴，反比例函数 （
，且 ）的图象经过点 和点 ，若点 的横坐标为1，且矩形 的面积为 ，则 的
值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要查了矩形的性质，反比例函数的图象和性质，解一元二次方程，利用数形结合思想解答
是解题的关键．
根据矩形的性质可得 轴， 轴，再由点 的横坐标为1，可得点 的纵坐标为 ，点D的纵
坐标为 ，点B的横坐标为 ，从而得到 ，然后根据矩形 的面积为
，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ 轴，
∴ 轴， 轴，
∵点 的横坐标为1，
∴点D的横坐标为1，
∵点 在直线 上，∴点 的纵坐标为 ，
∴点B的纵坐标为 ，
∵反比例函数 （ ，且 ）的图象经过点 和点 ，
∴点D的纵坐标为 ，点B的横坐标为 ，
∴ ，
∵矩形 的面积为 ，
∴ ，
解得： 或4，
∵ ，
∴ 的值为4．
故答案为：4
14. 如图，已知矩形 与矩形 ，矩形 的顶点 ， 分别在矩形 的边 ，
上，点 与点 重合．
（1）若 ，则 ______；
（2）若矩形 与矩形 的面积之差为 ，点 是 的中点，则阴影部分的面积为
______ ．【答案】 ①. ②. 7
【解析】
【分析】本题主要考查垂直的性质和矩形的性质，设 与 相交于点 ，由矩形的性质得
， ，可得出 ，由 可得
结 论 ； 连 接 , 可 得 ， 由 点 是 的 中 点 得
．
【详解】解：设 与 相交于点 ，连接 ,
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴
又 ，
∴ ，
∴ ；
由等底等高得：∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，即阴影部分的面积为 ．
故答案为： ；7．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数，绝对值的意义，二次根
式的运算法则等计算即可．
【详解】解：原式
．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点 （格点是网格线的交点）．
（1）将 向右平移5个单位长度得到 ，画出 ；
（2）将 绕点 逆时针方向旋转 得到 ，画出 ；
（3）直接写出点 经过上述两种变化过程中所经过的路径的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析（3）
【解析】
【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，弧长公式 的应用，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的
关键．
（1）将点 分别向右平移5个单位长度，得到点 ，再顺次连接即可；
（2）将点 分别绕点 逆时针方向旋转 ，得到点 ，再顺次连接即可；
（3）分别求出平移的路径和旋转的路径，对于旋转的路径先由勾股定理求出半径，再由弧长公式即可求．
【小问1详解】
解：如图， 即为所作，
【小问2详解】
解：如上图， 即为所作；
【小问3详解】
解：平移时，点 经过的路径长为5；
∵ ，
旋转时， ，∴点 经过上述两种变化过程中所经过的路径的长为 ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某校组织师生到金寨县红色革命教育基地开展研学活动，他们租住了一个民宿，若每个房间住 人，
则有 人无房可住；若每个房间住 人，则会空出 个房间，求这个民宿的房间数和参加这次研学活动的
师生人数．
【答案】这个民宿的房间数有 间，参加这次研学活动的师生人数有 人．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这个民宿的房间数有 间，参加这次研学活动的师生人数
有 人，由题意得 ，然后解方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关
键．
【详解】解：设这个民宿的房间数有 间，参加这次研学活动的师生人数有 人，
由题意得， ，
解得： ，
答：这个民宿的房间数有 间，参加这次研学活动的师生人数有 人．
18. 观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
……根据上述规律，解答下面的问题：
（1）直接写出第5个等式______；
（2）猜想第 个等式（用含 的式子表示），并给出证明．
【答案】（1）
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查的知识点是数字类规律探索、整式四则混合运算、完全平方公式，解题关键是能正确总
结概括出规律．
（1）根据前 个等式所总结的规律即可写出第 个等式；
（2）根据规律猜想出第 个等式，证明方法：计算出左边的结果看是否等于1，即是否左、右相等．
【小问1详解】
解： 第 个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
故答案为： ．
【小问2详解】
解：猜想第 个等式为 ，
证明： 左边
，
又 右边 ，
左边 右边，即 ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，在同一水平地面上竖直地立有两个高度相同的路灯，已知两路灯之间的水平距离是24米，路灯
灯光正好照在地面上的 处和 处，且 ， 与 相交于点 ．
的
（1）若 ，求路灯 高度；
（2）连接 ，若 米，求 的值．
【答案】（1）16米 （2）
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的应用，勾股定理，解直角三角形．
（ 1 ） 根 据 题 意 得 到 米 ， 米 ， 证 明 ，
得 ， ，进而得 ，进而可得答案；
（2）过点 O 作 于点 H，则 ，证明 ， ，得
， ， 进 而 得 ， 进 而 可 求 得 米 ，
（米）， ，再由勾股定理求得
（米），再根据正弦函数的定义求解即可．【小问1详解】
解：由题意知： 米，
∵ ，
∴ 米， 米，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ 米，
答：路灯 的高为16米；
【小问2详解】
解：由题意得 米， 米， 米，
过点O作 于点H，
∴ ，
∴ ， ，∴ ， ，
∴ ，
∴ 米， （米），
∴ （米），
∴在 中， （米），
∴ ．
20. 如图， 内接于 ．
（1）按照下列作法作出图形：①以点 为圆心，以任意长为半径作弧分别交 ， 于点 ， ；②
分别以点 ， 为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧交于点 ；③连接 并延长交 于点 ；
④连接 交 于点 ；
（2）若 ， ，求 的直径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）根据作图要求结合已知图形作图即可；
（2）如图，连接 ，由作图可知 平分 ，则 ，根据圆周角定理得到
，易证 是等腰三角形，推出 是 垂直平分线（三线合一），设 的半径
为 ，则 ，利用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示为所求：
【小问2详解】
解：如图，连接 ，
由作图可知 平分 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰三角形，∴ 是 垂直平分线（三线合一），
∴ ， ，
设 的半径为 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的直径为 ．
【点睛】本题主要考查作图-基本作图-角平分线，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知
识点，熟练掌握角平分线的尺规作图和等腰三角形的性质解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 我省某市中考体育特长生主要考 、 、跳高、跳远、铅球、篮球共六项（每项满分10分），
红星初中有小李、小王、小赵三名同学报名参加了今年该市体育特长生的考试报名，已知该市分配给红星
初中体育特长生1个招生名额，三位同学参加体育特长生考试的成绩如下表所示：
跳高 跳远 铅球 篮球
小李 8 9 9 8 7 7
小王 5 9 8 9 9 5
小赵 7 8 7 8 8 9
（1）如果六项同等重要，则哪位同学会被录取为体育特长生？
（2）若 、 、跳高、跳远、铅球、篮球所占的百分比分别为 、 、 、 、、 ，则哪位同学会被录取为体育特长生？
（3）如果只考虑这三位同学各项成绩的中位数，则哪位同学会被录取为体育特长生？
【答案】（1）小李同学会被录取为体育特长生
（2）小赵同学会被录取为体育特长生
（3）小王同学会被录取为体育特长生
【解析】
【分析】本题考查平均数，加权平均数，中位数，正确理解定义并计算是解题的关键．
（1）先求出三位同学六项成绩的平均数，比较即可得出结论；
（2）先求出三位同学成绩的加权平均数，比较即可得出结论；
（3）根据中位数定义求出三位同学成绩的中位数，比较即可得出结论．
【小问1详解】
解：小李的平均成绩为： ，
小王的平均成绩为： ，
小赵的平均成绩为： ，
，
∴小李同学会被录取为体育特长生；
【小问2详解】
解：小李的成绩为： ，
小王的成绩为： ，
小赵的成绩为： ，
，
∴小赵同学会被录取为体育特长生；
【小问3详解】解：小李的成绩从低到高排列为： ，则中位数为： ，
小王的成绩从低到高排列为： ，则中位数为： ，
小赵的成绩从低到高排列为： ，则中位数为： ，
，
∴小王同学会被录取为体育特长生．
七、（本题满分12分）
22. 【知识技能】如图1，在矩形 中 ，将 沿对角线 翻折，点 落在点 处，
交 于点 ．求证： ；
【数学思考】如图2，正方形 中，点 ， 分别为边 ， 上的动点，将正方形沿 折叠，
使点 落在 处，点 落在点 处， 交 于点 ，若点 恰好在边 上，求证：
；
【拓展探究】如图3，在 中， ， ， ，将 沿边 翻折，点 落
在点 处，求点 到 的距离．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】
【分析】（1）根据折叠的性质可得到 ，再由平行线的性质可得 ，继而可得 ，继而可得出结论；
（2）过点 A 作 ，垂足为 H，连接 ，先证 ，可得 ，
，再证 ，可得 ，从而可得结论；
（3）连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，运用等积法
求出 的长，再运用相似三角形 的性质可得结论．
【详解】解：（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
由折叠得， ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图，过点A作 ，垂足为H，连接 ，则 ，
根据折叠得， ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴
（3）连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，如图，
由折叠得， 关于 对称，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
又 ,
∴ ；
∴同理得， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
八、（本题满分14分）
23. 如图1，抛物线 与直线 交于点 和点 ，点 为该抛物线的顶
点，已知抛物线 经过点 ．
（1）求该抛物线与直线的函数表达式；
（2）若抛物线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ．
（i）以 为直角边，点 为直角顶点，在直线 的右侧作等腰直角 ，请在图2上画出符合条
件的图形，并判断点 是否在抛物线 上；
（ii）如图3，连接 ，在直线 上是否存在点 ，使 ？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为 ，直线的函数表达式为 ；（2）（i）图见解析，点 在抛物线 上；（ii）点 的坐标为 ．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）（i）根据题意作出图形，分别过点 和点 作 轴的垂线，垂足分别为 ， ，证明
，求得 ，据此求解即可判定；
（ii）分两种情况讨论，当 时， ，求得直线 的解析式为 ，得到
直线 的解析式为 ，联立即可求得点 的坐标；当 时，设点 的坐标为 ，
利用两点之间的距离公式列式计算 的坐标，从而确定射线QB上不存在满足条件的点．
【小问1详解】
解：将 和点 代入 ，得
，
解得 ，
∴抛物线的函数表达式为 ，
∵ ，
∴抛物线的顶点 ，
∵直线 过点 和 ，
∴ ，
解得 ，∴直线 的函数表达式为 ；
【小问2详解】
解：当 时， ， ，
∴ ， ，
（i）由题意画出图形，如图，
分别过点 和点 作 轴的垂线，垂足分别为 ， ，
由题意得 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴点 在抛物线 上；
（ii）如图，当 时， ，∵ ， ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴直线 的解析式为 ，
联立得 ，
解得 ，
∴点 的坐标为 ；
当 时，∵ ，∴ ，
设点 的坐标为 ，
由题意得 ，
解得 或 ，
当 时， ，
∴点 的坐标为 ,且在第三象限，
此时， ，
故在射线 上的任一点Q，得到的
综上，点 的坐标为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，平行线的性质，等腰
三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
