文档内容
数学
（试题卷）
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上
答题是无效的．
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 如果上升 记作 ，那么下降 记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键．直接根据正负数的意义进行
求解即可．
【详解】解：如果上升 记作 ，那么下降 记作 ．
故选：B．
2. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了整式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据单项式乘多项式运算法则、
同底数幂除法运算法则、合并同类项法则、完全平方公式，逐项分析判断即可．
【详解】解：A. ，运算正确，本选项符合题意；
B. ，原运算不正确，本选项不符合题意；C. 与 不是同类项，不能合并，原运算不正确，本选项不符合题意；
D. ，原运算不正确，本选项不符合题意．
故选：A．
3. 《安徽日报》是我省内部发行量最大的综合性对开日报，日发行量达71000份，这里“71000”用科学
记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法，确定 与 的值是解决问题的关键．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 为整数，按要求表示即可．
【详解】解： ，
故选：B．
4. 下列几何体的三视图中，不可能出现矩形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了几何体的三视图．根据三视图的定义逐项分析即可解答．
【详解】解：A、该几何体的主视图是矩形，本选项不符合题意；
B、该几何体的主视图和左视图是矩形，本选项不符合题意；
C、该几何体的俯视图是矩形，本选项不符合题意；
D、该几何体的主视图和左视图是三角形，俯视图是圆，本选项符合题意；
故选：D．
5. 把一副三角尺按如图所示摆放，两个三角尺有一个顶点重合， 角三角尺的直角顶点恰好在另一个三角尺的直角边上，若 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查与三角板有关的计算，等边对等角，三角形的外角，根据等边对等角求出 的度
数，进而求出 的度数，再利用外角的性质，求出 的度数即可．
【详解】解：由题意，得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选：C．
6. 若一次函数 的函数值 随 的增大而减小，则 的值可以是（ ）
A. 3 B. 1 C. 0 D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查根据一次函数的增减性求参数的值，根据题意，得到 ，求出 的范围，即可得
出结果．
【详解】解：∵一次函数 的函数值 随 的增大而减小，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值可以是3；故选A．
7. 如图，正五边形 内接于 ，连接 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正多边形与圆、正五边形的性质、正多边形的中心角等知识，根据多边形的内角和可以
求得 ，根据周角等于 ，可以求得 的度数，然后即可计算出
的度数．
【详解】解：∵五边形 是正五边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
8. 在某校举行的运动会上，参加八年级男子射箭比赛的20名运动员的成绩如下表所示：
成
1
绩/ 5 6 7 8 9
0
环
人
1 1 3 8 6 1
数
某同学分析上表后得出如下结论：
的
①这些运动员成绩 平均数是8环；②这些运动员成绩的中位数是7.5环；③这些运动员成绩的众数是8环；④这些运动员成绩的方差
上述结论中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差．根据平均数、中位数、众数、方差的意义求解即可．
【详解】解：①这些运动员成绩的平均数是 环，故①正确；
②把这20个数从小到大排列位于第10位和第11位的两个数分别为8，8，
∴这些运动员成绩的中位数是 环，故②错误；
③∵成绩为8环的8人，出现的次数最多，
∴这些运动员成绩的众数是8环，故③正确；
的
④这些运动员成绩 方差为
，故④正确；
故选：C．
9. 已知二次函数 （其中a，b，c是常数，且 ）的图象过点 ， ，
，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，以及通过不等式的性质确定式子的
范围，熟练掌握以上知识点是解题的关键．求出二次函数图象与y轴的交点为 ，可得抛物线的对称轴为直线为 ，从而得到
，进而得到 ，再逐项判断即可．
【详解】解：当 时， ，
∴二次函数图象与y轴的交点为 ，
∵图象过点 ，
∴抛物线的对称轴为直线为 ，
∴ ，
∴ ，
把点 ， ，代入得：
， ，
，
∵ ，
∴ ，故A选项错误，不符合题意；
若 ，
∴ ，
∴ ，故B选项错误，不符合题意；
若 ，则c−(a−b+c)=−a+2a=a>−1，
∴ ，
∴ ，故C错误，不符合题意；
若 ，则 ，
∴ ，故D正确，符合题意；故选：D．
10. 如图，在 中， ， ，点 在边 上， ，点 是边
上的动点（不与端点A，B重合），点 是边 上的动点（不与端点A，C重合），连接 ， ，
且 ，若 ， 的面积为 ，则 关于 的函数图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数的图象．先利用勾股定理求得 ，证
明 ， 求 出 ， ， 过 点 作 于 点 M ， 证 明
，得到 ，利用三角形的面积公式结合反比例函数的图象求解即可．
【详解】解： ， ，， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
∴ ， ，
过点 作 于点M，
，
，
，
，
，又当 时，即 ， ，
，
∴y关于 的函数的图象是将反比例函数 的图象向上平移12个单位长度得到的图象的一部分，只
有选项C符合条件．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 分式方程 的解是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验即可．
【详解】解： ，
去分母，得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
∴ ；
故答案为：
12. 因式分解： ．
【答案】
【解析】
【分析】首先提取公因式2x，再次运用完全平方公式进行二次分解即可.
【详解】原式=
= ．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般
来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在 轴上，边 在 轴上，点 的坐标为 ，
反比例函数 的图象与矩形 的边 ， 分别相交于点E，D，若点 为 的中点，
且 的面积为3，则 的值为_____．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数k的几何意义，连接 ，由矩形的性质可得
，根据 ，即可求解．
【详解】解：连接 ，
∵四边形 是矩形，点 的坐标为 ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ，即 ，
∵点E，D在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∵ 的面积为3，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
故答案为： ．
14. 如图，有一矩形纸片 ， ，点 为边 上一个动点，将纸片沿 折叠，点
的对应点为点 ．点 关于点 的对称点为 ，连接 交 于点 ，连接 并延长交 于点
．（1）若 ，则 _____ ；
（2）点 到 的距离最小值为_____．
【答案】 ①. 17 ②.
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，先证明
，得到 ，进而得到 ，角的和差关系求出
的度数，连接 ，推出 为等腰直角三角形，三线合一结合勾股定理求出 的长，折叠
得到点 在以点 为圆心，以 为半径的弧上运动，进而得到点 到 的距离最小值为 ，
即可．
【详解】解：（1）在矩形 中， ， ，
∵点 ， 关于点 对称，
， ，
，
，
，
，
；
（2）连接 ，如图．由（1）得
为等腰直角三角形，又由 知 ，
，
，
，
由折叠知 ，
∴点 在以点 为圆心，以 为半径的弧上运动，
点 到 的距离最小值为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，先计算特殊角三角函数值，乘方，化简绝对值，再进行加减运算．
【详解】解：
．16. 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系 ，已知格点（网格线的交
点） ．
（1）画出 关于 轴对称的 ；
（2）在所给的网格图中确定格点 ，使得点 ， ， 组成以 为直角边的直角三角形，并写出所
有点 的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）图见解析， 或
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形和等腰直角三角形；
（1）作点A，B，C关于y轴的对称点，然后依次连接得到 即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质作出点D，然后写出点D的坐标即可．
【小问1详解】
解：如图， 即为所作；
【小问2详解】解：如图，点D或 即为所作；
这时，点D的坐标为 或 ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. “砀山梨”是安徽名特产，果农为了便于销售，将采摘的砀山梨分装为大箱和小箱两种规格，已知2
个大箱和3个小箱能装16公斤砀山梨，4个大箱和1个小箱能装22公斤砀山梨，求每个大箱和小箱各装多
少公斤砀山梨．
【答案】大箱可装5公斤砀山梨，小箱可装2公斤砀山梨
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设大箱可装 公斤砀山梨，小箱可装 公斤砀山梨，根据所给
等量关系列方程组，解二元一次方程组即可．
【详解】解：设大箱可装 公斤砀山梨，小箱可装 公斤砀山梨，
根据题意得： ，
解得 ．
答：大箱可装5公斤砀山梨，小箱可装2公斤砀山梨．
18. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了“相邻两个奇数的平方差 是否能被8整除）”的问题．
（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下：
能否被8整除
能能
能
能
能
… …
按上表规律，完成下列问题：
（ⅰ） ____；
（ⅱ）若 是正整数，请用含 的式子描述你能得出的一般性结论，并证明你的结论；
（2）兴趣小组还猜测：相邻两个偶数的平方差 不能被8整除．师生一起研讨，分析过程如下：
假设相邻两个偶数的平方差 能被8整除．令一个偶数为 （ 为正整数），则相邻
的一个偶数可表示为 ，则 （ 为正整数）．因为
_____，所以 _____，这与 为正整数相矛盾，故相邻两个偶数
的平方差 不能被8整除．
阅读以上内容，请在横线上填写所缺内容．
【答案】（1）（ⅰ）48；（ⅱ） 能被8整除，证明见解析
（2） （或 ），
【解析】
【分析】本题考查了数字类规律探索，因式分解的应用，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）（ⅰ）根据表中规律作答即可；
（ⅱ）根据表中规律即可得出 能被8整除；根据平方差公式化简 ，
即可得解；
（2）根据题中方法利用平方差公式化简 即可求解．
【小问1详解】
解：（ⅰ） ；（ⅱ） 能被8整除；
证明：
，
又 是正整数，
能被8整除，结论成立；
【小问2详解】
解：
，
．
故答案为： （或 ）， ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物 的高度，在建筑物旁边有一高度为12米的小楼房 ，
小李同学在小楼房楼底 处测得 处的仰角为 ，在小楼房楼顶 处测得 处的仰角为 （ ，
在同一平面内，B，D在同一水平面上），求建筑物 的高．（精确到1米）（参考数据：
， ， ， ， ， ）【答案】建筑物 的高约为16米
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义，是解题的关键．设过点 的水
平线交 于点 ，根据矩形的性质得出 米， ，解直角三角形得出
， ，根据 ，得出 ，求出
即可．
【详解】解：设过点 的水平线交 于点 ，如图所示，
由题意知四边形 是矩形，
米， ，
在 中，
，
；
在 中，
，；
，
，
解得 （米）．
答：建筑物 的高约为16米．
20. 如图，四边形 内接于 ，对角线 是 的直径， 平分 ，连接 并延长交
于点 ，连接 并延长交 延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角，角平分线定义，圆内接四边形性质判断相关角度关系，由
得到 ，再由两个三角形全等的判定与性质即可得证；
（2）连接 ，如图所示，由（1）知 ， ，进而确定 ，得到
，再由直径所对的圆周角是直角，在Rt 中，由勾股定理求解即可得到答案．
【小问1详解】证明： 是 的直径，
，
又 平分 ，
，
，
，
是 的直径，
，
，
四边形 内接于 ，
，
，
；
【小问2详解】
解：连接 ，如图所示：
由（1）知 ， ，
，则 ，
是 的直径，
，在Rt 中，由勾股定理得 ．
【点睛】本题考查圆综合，涉及直径所对的圆周角是直角、圆周角定理、弦与弧的关系、角平分线定义、
圆内接四边形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识．熟练掌握相关几何性质与判定，熟记圆
的相关性质是解决问题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 小明在探究杠杆平衡条件的实验中，使用了一个长度为6米的杠杆，支点位于中点．杠杆左侧有A，
B，C三个挂钩点，距离支点分别为1米，2米，3米；右侧有D，E，F三个挂钩点，距离支点同样为1米，
2米，3米．实验中，小明在挂钩点放置物体后，杠杆可能在支点保持平衡．请回答以下问题．（杠杆定理
公式：动力 动力臂 阻力 阻力臂）
（1）小明在左侧随机选择一个挂钩点挂 的物体，在右侧也随机选择一个挂钩点挂 的物体．请用树
状图或列表法求此时杠杆恰好平衡的概率；
（2）小明改为在左侧随机选择一个挂钩点挂两个 的物体（总重力 ），右侧随机选择一个挂钩点挂
重力为 的物体．若此时杠杆平衡的概率为 ，请求出 的值．
【答案】（1）
（2）要使平衡情况有3种， 的值为
【解析】
【分析】本题考查的是利用列表法或画树状图法求解随机事件的概率；
（1）先画树状图，得到所有的等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可；
（2）设左侧力臂为 ，取值为1米，2米，3米；右侧力臂为 ，取值为1米，2米，3米，根据杠杆定
理公式可得 ，即 ．结合杠杆平衡的概率为 ，再分类讨论即可.
【小问1详解】
解：画树状图如下：从树状图中可以看到，总共有9种等可能的结果．
根据杠杆定理公式“动力 动力臂 阻力 阻力臂”，当左右两侧力都为 时，只有左右两侧力臂相等，
杠杆才能平衡．
所以杠杆平衡的情况有：左侧 点，右侧 点；左侧 点，右侧 点；左侧 点，右侧 点，共3种．此
时杠杆恰好平衡的概率 ；
【小问2详解】
解：左侧随机选一个挂钩点挂 物体，右侧随机选一个挂钩点挂重力为 的物体，同样有9种等可能的
结果．设左侧力臂为 ，取值为1米，2米，3米；右侧力臂为 ，取值为1米，2米，3米，根据杠杆定
理公式可得 ，即 ．
∵杠杆平衡的概率为 ，
由概率公式可知平衡的情况数为 种．
分情况讨论求出 的值：
当 米， 米时， ；
当 米， 米时， ；当 米， 米时， ；
当 米， 米时， ；
当 米， 米时， ；
当 米， 米时， ；
当 米， 米时， ；
当 米， 米时， ；
当 米， 米时， ．
要使平衡情况有3种， 的值为 ．
七、（本题满分12分）
22. 在综合实践活动课上，数学兴趣小组以折叠正方形纸片展开数学探究活动，
操作一：如图1，对折正方形纸片 ，得到折痕 ，把纸片展平；
操作二：如图2，再次对折正方形纸片 ，得到折痕 ，把纸片展平；
操作三：如图3，将边 和边 对折后在 上重合，得到折痕 和折痕 ；
把正方形纸片展平，得图4，折痕 ， 与 的交点分别为 ， ．连接 ，得图5（1） 根据以上操作，得 _____ ， 的形状是_____；
（2）如图6，连接 ，过点 作 的垂线，分别交 ， 于点M，N，IP．求证：四边形
是菱形；
（3）如图6，请求出 的值．
【答案】（1）45，等腰直角三角形
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质与折叠的性质即可求出 ；证明 ，推出
，再证明 ，推出 ，进而得到 ，
即可证明 是等腰直角三角形；（2）由翻折知， ， ，
，结合四边形 为正方形，易证 ，再证明 ，
结合 是等腰直角三角形，易证四边形 是平行四边形，由翻折易证 ，即可得出结论；
（3）设 ， ，则 ，由翻折可得 ，利用平行线的性质结
合 等 角 对 等 边 得 到 ， 再 求 出 ， 进 而 得 到 ． 即
，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形；
【小问2详解】
证明：由翻折知， ， ，
，
，
四边形 为正方形，
， ，
，
，
又 ，
，
又 ，
，
又 是等腰直角三角形，
，
，，
∴四边形 是平行四边形，
，
，
由翻折知 ，
，
，
∴四边形 是菱形；
【小问3详解】
解：设 ， ，
在 中，根据 ，
∴ ，
由翻折可得 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
又 ，，
，
由 ，得 ，
．
是等腰直角三形，
，
．
【点睛】本题考查了正方形背景下的折叠问题，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，折叠的性质，
等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
23. 如图，抛物线 与 轴交于A，B两点（点 在点 右侧），与 轴交于点 ，且经过
点 ，抛物线的对称轴为直线 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将线段 先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段 ．若抛物线
关于 轴对称得到抛物线 ，将 平移后与线段 有两个交点，且这两个交点恰好将
线段 三等分，求抛物线 平移的方式和距离；
（3）已知点 ， ，线段 以每秒1个单位长度的速度向左平移，同时抛物线以每秒1个单位长度的速度向下平移， 秒后，若抛物线与线段 有两个交点，求 的
取值范围．
【答案】（1）
（2）将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移 个单位长度
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出 ， ，由平移的性质求出 ， ，再求出线段 的三等分点
的坐标为 ， ，结合题意求出 关于 轴对称得到抛物线 ，设
平移后的抛物线表达式为 ，将 代入，求出 ，即可求解；
（3）求出抛物线的表达式为 ，分 恰好在抛物线 上时， 恰好在抛物线 上
时，两种情况讨论即可．
【小问1详解】
解：根据题意可得 ，
解得 ，
的
抛物线 表达式为 ；
【小问2详解】
解：令 ，解得 ， ，， ，
平移后的 ， ，
线段 的三等分点的坐标为 ， ，
关于 轴对称得到抛物线 ，
则设平移后的抛物线表达式为 ，
将 代入，得 ，
，
， ，
将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移 个单位长度；
【小问3详解】
解： 秒后，点 ， ，
抛物线的表达式为 ，
令 时，得 ，则 与抛物线所截线段长小于6．
如图1，当 恰好在抛物线 上时，
则 ，化简得 ，解得 ， （舍去），
如图2，当 恰好在抛物线 上时，
则 ，化简得 ，解得 ， （舍去），
的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了二次函数 的综合题，相关知识点有：待定系数法求函数表达式、求最大距离、图
像的平移等，熟悉二次函数的知识点是解题关键．
