文档内容
2025 年中考模拟考试九年级数学试卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 的绝对值为（ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的绝对值，正确记忆相关知识点是解题关键．根据一个负数的绝对值是它的
相反数作答即可．
【详解】解： 的绝对值是 ．
故选：B．
2. 据统计，2024年安徽省城镇新增就业75.95万人，创历年新高．其中 万用科学记数法表示为 （
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．
确定n的值时，要看把原来的数，变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数，确定 ， 即可．
【详解】解： 万 ，
故选C．
3. 如图所示的几何体由一个圆锥和一个半球组成，则该几何体的三视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三视图：正对着我们的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右边的叫做侧面；在正面
内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视
图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图；掌握常见几何体的三视图是解题关键．
根据三视图的定义判断即可．
【详解】解：根据三视图的定义，只有A选项符合题意；
故选：A．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的
结果即可得到答案．
【详解】解：A、 ，原式计算错误，不符合题意；
B、 ，原式计算错误，不符合题意；C、 ，原式计算正确，符合题意；
D、 ，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
5. 不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式解集．熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤
和在数轴上表示不等式解集的方法是解题的关键．
首先按去分母、移项、合并同类项、化系数为1的步骤求出不等式的解集，然后把解集在数轴上表示出来
即可求解．
【详解】解：去分母，得
移项，得
合并同类项，得 ，
为
化系数 1，得 ，
解集在数轴上表示为：
故选：A．
的
6. 已知菱形 边长是一元二次方程 的一个根，且两条对角线长的和为 ，
则菱形 的边长为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，三角形的三边关系，能熟记菱形的性质和解一元二次
方程是解此题的关键．先根据菱形的性质得出 ，求出方程的解，利用三角
形的三边关系确定解即可．
【详解】解：如图，
由题意得 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
解 ，
解得： 或 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
7. 我国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似
计算圆的面积．设 的半径为1，若用如图所示的 的内接正十二边形的面积来近似估计 的面积，
则产生的正误差为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了正多边形与圆，含 角直角三角形的性质等知识．根据正多边形的性质和含 角
直角三角形的性质求出 的内接正十二边形的面积为 ，即可求出答案．
【详解】解：如图，在 中， ，作 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的内接正十二边形的面积 ，
∴产生的正误差为 ，
故选：D
8. 如图，抛物线 （m为常数）与x轴交于点 ，与y轴负半轴交于点C，若当时， ，那么关于x的一次函数 的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数与二次函数综合，掌握一次函数和二次函数的图象及性质是解题的关键．
根据题意分析出 的正负，然后根据当 时， ，求出 的正负，即可得出答案．
【详解】解：由二次函数图像可知 ，对称轴 ，
∴ ，
∵抛物线 （m为常数）与x轴交于点 ，
∴点B的横坐标大于-1，小于0；
∵点 关于 对称，
∴点A的横坐标大于-2，小于-1．
∵当 时， ，
∴ ．
即 ．
∴一次函数 图像经过一、二、四象限．
∴C符合题意．．
故选C．9. 规定： 是关于x的多项式．例：当 时， ，
．若 （a，b，c，d均为常数），且对任意的x都有
， ，则 的值为（ ）
A. B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了代数式求值，整式混合运算的应用，根据 ，得出
， 整 理 得 出 ， 根 据 对 任 意 的 x 都 有
，得出 ， ，根据 ，得出 ，代入求出结
果即可．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵对任意的x都有 ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
10. 在 中， 边上的中线 与 边上的高 相交于点D．已知 ，则下列
结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三角形的内角和定义，中位线的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形．
根据题意，逐项分析，即可解答．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴ ．
故A正确．
的
作 中点E，连接 ，如图
∴ ，∵点M是 ，
∴ 是 的中位线，
∴
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故B正确，D错误．
设 ，则
， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
整理，得 ，
∴ ，
∴ ．
故C正确．
故选D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算： ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用零指数幂，立方根的定义计算
后再算加法即可．
【详解】解：原式 ，
故答案为： ．
12. 砀山梨以其皮薄酥脆、汁水丰富而闻名．某超市计划采购一批砀山梨进行销售，在采购过程中，分别
从甲、乙两个经销商处随机挑选了20个砀山梨进行称重，发现甲、乙两个样本重量的平均数均为500g，
方差分别为560，212，则________（填“甲”或“乙”）经销商的砀山梨大小更均匀．
【答案】乙
【解析】
【分析】本题考查方差的意义，解题的关键是理解方差越小，数据越稳定、均匀．
根据方差的意义，比较甲、乙方差大小，判断数据的均匀程度．
【详解】已知甲经销商样本方差为560，乙经销商样本方差为212，因为 ，即乙的方差更小．
所以乙经销商的砀山梨大小更均匀．
故答案为：乙．
13. 某试管中液体发生化学反应后，温度 是时间 的反比例函数，其图象如图所示，则该试管中液体的温度从 降到 ，要经过________ ．
【答案】2
【解析】
【分析】该题考查了反比例函数的应用，根据题意求出 ，再代入 和 求解即可．
【详解】解：设该函数的表达式为 ，
将 代入上式，得 ，
，
，
当 时， ，
当 时， ，
则则该试管中液体的温度从 降到 ，要经过 ．
故答案为：2．
14. 如图，现有两张大小不同的正方形纸片 和 ，它们的顶点A重合，连接 并延长，交
于点H．（1） ________ ；
（2）连接 ，若 ， ，则 的长为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】此题考查了正方形背景下的全等三角形的判定和相似三角形的判定及性质应用、解三角形等知识
点，找到相似三角形列出比例关系以及借助特殊角度为解题关键．
（1）通过证明 ，可得 ，进而根据
，得出结论 ．
（2）通过证明 ，得到 ，设 ，则 ，根据
在 中， ，求出即 ， ，再利用解三角形求解
即可．．
【详解】解：（1）∵四边形 和四边形 都是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ．
（2）如图：过点 作 ，垂足为 ， 、 交点为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵在 中， ，
∴ ，
解得： ， （不合题意舍去），即 ，
∴ ， ，∴ ， ，
由（1）得 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：（1） ，（2） ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值．先通分，再进行同分母的减法运算，接着约分得到最简分式，然后
把 代入计算即可．
【详解】解：，
当 时，
原式 ．
16. 安徽历史悠久，山川秀美．某校以“大美安徽”为主题举办征文比赛，其中七年级和八年级共收到征
文118篇，且七年级收到的征文篇数比八年级的一半少2篇，求七年级和八年级分别收到多少篇征文．
【答案】七年级收到的征文有38篇，八年级收到的征文有80篇
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设七年级收到的征文有x篇，八年级收到的征文有y篇，根
据题意，列出方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：设七年级收到的征文有x篇，八年级收到的征文有y篇，
由题意可得： ，
解得 ，
答：七年级收到的征文有38篇，八年级收到的征文有80篇．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）将 先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到 ，画出 ；（2）画出 关于点 成中心对称的 ；
（3）描出格点P，使得 ，则d的值为________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析；
【解析】
【分析】本题主要考查平移，对称性作图，勾股定理；准确作出图形是解题关键．
（1）根据平移性质画出点 、 、 ，然后顺次连接即可；
（2）根据对称性质画出点 、 、 ，然后顺次连接即可；
（3）根据网格特点，结合勾股定理找出点P的位置，求出d的值即可．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求．
【小问2详解】
解：如图， 即为所求．
【小问3详解】
解：如图，点P即为所求 的点．．
18. 某数学兴趣小组运用数形结合的思想研究出结论： 他们继续研究下列用白
色圆点和黑色圆点组成的图案中两种圆点的个数问题．
将以上图案中两种圆点的个数统计如下表：
第1个图 第2个图 第3个图 第4个图 第5个图
……
案 案 案 案 案
黑色圆点的个数 …
白色圆点的个数 …
根据以上信息，完成下列问题：
（1）第6个图案中，白色圆点的个数为________，黑色圆点的个数为________．
（2）请用含n的式子填空：第n个图案中，白色圆点的个数为________，黑色圆点的个数为________．
（3）第几个图案中白色圆点的个数与黑色圆点的个数之比为6∶5？
【答案】（1） ，
（2） ，
（3）9【解析】
【分析】本题主要考查图形的变化规律，一元二次方程的应用，解答的关键是由所给的图形总结出存在的
规律．
（1）根据前五个图形中所求图案的个数进行解答即可；
（2）根据前六个图形中所求图案的个数总结规律即可；
（3）根据题意列出一元二次方程即可解答．
【小问1详解】
解：第6个图案中，白色圆点的个数为 ，黑色圆点的个数为 ，
故答案为： ，
【小问2详解】
第n个图案中，白色圆点的个数为 ，
黑色圆点的个数为 ，
故答案为： ，
【小问3详解】
由题意可得， ，
解得 ，
解得 或 （不合题意，舍去）
答：第 个图案中白色圆点的个数与黑色圆点的个数之比为6∶5．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 综合与实践
【活动主题】为支持美丽乡村建设，某数学小组前往某乡开展综合实践活动，帮助村民测算新建公路的长
度．
【问题背景】如图，一条笔直的高速公路l经过两个村庄M，N，为进一步方便出行，现计划分别从A村，
B村新建两条乡村公路 ， ，直达高速公路l，且 ， ．
【测量工具】测距仪、测角仪、计算器等．【测量数据】测得 ， ， ，测得A，N，B在同一
条直线上．
【数据信息】用计算器计算得： ， ，
．
【解决问题】请你根据以上数据，分别求新建公路 ， 的长．（结果均精确到 ）
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解 即可求出 的长；证明 ，
则可解直角三角形得到 ，再解 得到 ，设
，解 得到 ，则 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：在 中， ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，在 中， ，
∴ ，
设 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
20. 如图，在 中， ， ，过A，C两点的 交 于点D，过点D作
的切线交 于点E，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）连接 ，根据题意求出 ，由等边对等角得到
，利用三角形内角和定理求出
，根据 ，求出 ，再结合切线的
性质得到 ，根据 ，即可证明 ；
（2）延长 交 于点F，分别过点 作 的垂线，垂足分别为 ，由（1）知 ，
得到 ，即 ，求出 ， ，
，再根据 ，推出 ，设 ，则 ，
由 ，即可解答 ．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：如图，延长 交 于点F，分别过点 作 的垂线，垂足分别为 ，
由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ， 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，三角形内角和定
理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 黄梅戏是“中国五大戏曲剧种”之一，也是安徽省的主要地方戏曲剧种．为激发学生对黄梅戏的热爱，
某校举行黄梅戏演唱比赛，将全部参赛选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组：A： ，B： ，C： ，D： ，E：
，并绘制了如下频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：频数分布直方图中， ________，扇形统计图中，圆心角 ________ ；
（2）A，B，C，D，E这五组数据的平均数分别为77，82，87，92，97，计算全部参赛选手成绩的平均分；
（3）在E组的选手中有男生1名，女生3名，学校打算从这4名选手中随机选取2名参加市级比赛，求恰
好选中一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1） ；
（2） 分
（3）
【解析】
【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联、加权平均数、用列表法和画画树状图法求概率，
能从统计图中获取信息，掌握用列表法活画树状图法求概率的方法是解此题的关键．
（1）用E组的人数除以其人数占比求出参与比赛的人数，再用参与调查的人数乘以 C组的人数占比即可
求出m；用360度乘以D组的人数占比即可求出对应的圆心角度数；
（2）分别求出每一组的总得分，进而求出所有参赛选手的总得分，再除以参与人数即可得到答案；
（3）用列表法或画树状图法即可求出恰好是一名男生和一名女生的概率．
【小问1详解】
解： 人，
∴参与比赛的人数为40人，
∴ ， ；
【小问2详解】解： 分；
答：全部参赛选手成绩的平均分为 分；
【小问3详解】
解；画树状图如下：
由树状图可知任选两人共有12种等可能结果，其中是一名男生和一名女生的情况共有6种，
∴恰好是一名男生和一名女生的概率为
七、（本题满分12分）
22. 为四边形 内一点， ， ， ．
（1）如图1， ，求证： ．
（2）如图2， 为 的中点，且 ．
（i）求 的值；
（ii）求证： ．
【答案】（1）证明见解析（2）（i） ，（ii）证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，
熟练掌握相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定是解题的关键．
（1） 根据角的和差可得 ，进而可证得 ，根据全等三角形的性质
可得结论；
（2）（i）先由已知条件可得 ，进而可证得 ，再根据相似比可得结论；
（ii）延长 至点 ，使 ，可得四边形 是平行四边形，由平行四边形的性质
， ，进而可求得 ，继而证得 ，
求得 ，进一步证得 ，根据相似比和线段的等量转换得出结论．
【小问1详解】
证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
（i）解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即 ，又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ， ，
∴ ．
（ii）证明：延长 至点 ，使 ，
∵ 为 的中点，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
又∵ ， ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
又∵ ， ， ， ，
∴ ，即 ，
∴ ．
八、（本题满分14分）
23. 已知抛物线 ．
（1）请用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含b，c的代数式表示）．
（2）已知点M，N是该抛物线上的两个不同的点．
（i）如果点M的坐标为 ，点N的坐标为 ，且 ，求b的取值范围；
（ii）如果点M的坐标为 ，点N的坐标为 ，当 时，y的最大值为11，最小值
为2，请求出 的取值范围．
【答案】（1）抛物线的对称轴为 ，顶点坐标为
（2）（i） ；（ii）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）利用配方法将抛物线 变形为 ，即可解答；
（2）（i）由（1）知抛物线对称轴为 ，结合抛物线开口方向，只需令得 ，建立不等式组，求解即可；（ii）根据题意 ，求出 ，代入解析式令
，由题意得方程 的解为 ，求出 ，
，得到抛物线解析式为 ，再利用抛物线性质结合题意即可解答．
【小问1详解】
解： ，
则抛物线的对称轴为 ，顶点坐标为 ；
【小问2详解】
解：（i）由（1）知抛物线对称轴为 ，
∵抛物线 中， ，
∴抛物线开口向下，
∵点M的坐标为 ，点N的坐标为 ，且 ，
∴ ，
当 时，解得： ，
此时， ，解得： ，
∴ ；当 时，不等式组无解；
当 时，解得： ，
此时， ，解得： ，
∴不存在此种情况；
当 时，解得： ，
此时， ，解得： ，
∴ ；
综上，b的取值范围为 ；
（ii）根据题意 ，
∴ ，
∴ ，
令 ，则 ，
由题意得方程 的解为 ，
∴ ， ，∴ ， ，
两式相减： ，解得 ，
则 ， ，
∴抛物线解析式为 ，
∵ ，
∴当 时，抛物线 有最大值 ，
∵当 时，y的最大值为11，最小值为2，
令 ，则 ，
解得： 或 ，
∴当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
综上， 的取值范围为 ．
