文档内容
2025 年安徽省初中学业水平模拟测试（一）
数学
（试题卷）
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出 四个选
项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 的相反数是（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了有理数的减法，相反数的定义，先根据有理数的减法法则进行计算，再由相反数的定
义求解即可．
【详解】解： ，
故 的相反数是 ，
故选：D．
2. 合肥轨迹交通网显示，2024年五一劳动节期间，合肥轨道交通累计客运量约979.76万人次，其中
979.76万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，科学记数法的表示形式为 ，其中 ， 为整数，据此
解答即可．【详解】解：979.76万 ，
故选：B．
3. 如图，将一个长方体内部挖去一个圆柱，这个几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看易得主视图为长方形，中间有两条垂直地面的虚线．
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算和合并同类项，根据同底数幂乘除法计算法
则，幂的乘方和合并同类项等计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、 ，原式计算错误，不符合题意；
B、 ，原式计算错误，不符合题意；
C、 ，原式计算正确，符合题意；
D、 ，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．5. 用半径为30，圆心角为 的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A. 20 B. 15 C. 10 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，
理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
设圆锥 的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解．
【详解】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
，
解得 ．
故选：C．
6. 如图，正方形 的边长为5，点A的坐标为 ，点B在y轴上，若反比例函数 的
图像过点C，则k的值为（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，
反比例函数图象上的点的坐标特征，过点C作 轴于E，根据正方形的性质可得，再根据同角的余角相等求出 ，然后利用“角角边”证明
，根据全等三角形对应边相等可得 ，再求出 ，然后写出
点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．
【详解】解：如图，过点C作 轴于E，
在正方形 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点A的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴点C的坐标为 ，
∵反比例函数 的图象过点C，
∴ ，
故选：C．
7. 如图， 是 的斜边 上的高， ， ，那么 与 的面积之
比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用直角三角形的性质和余角的性质可证 ，然后利用相似三角形的性质求解即
可．
本题考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的性质．
【详解】解：∵ 是 斜边 上的高，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，∴ 与 的面积之比 ，
故选：D．
8. 已知， 的图象经过点 和点 ，且 ，则a的取值范围是（）
A. B. 或
C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质及不等式的求解。求出二次函数在给定两点处的函数值表达式，再
根据 建立不等式求解以及要是二次函数有意义 ，求解即可。
【详解】∵二次函数 的图象经过点 和点 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，∴a的取值范围是 或 ，
故选：D.
9. 如图， 的半径为 ，点 是半圆上的一个三等分点，点 是 的中点， 是直径 上的一个动
点，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 ， ，此时 是最小
值，证明 是等腰直角三角形，即可得到答案．
【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 ， ，
点 与 关于 对称，点 是半圆上的一个三等分点，
， ，
点 是弧 的中点，
，
，
又 ，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了结合图形的性质，考查了对称轴——最短路径问题，也考查了对称的性质，弧、弦、
圆心角的关系，勾股定理等知识，利用弧、弦、圆心角的关系证明 是解题关键．
10. 如图，菱形 中， ， 是 边上一点， 是 边上一点， ，连接
交 于点 ，若 ，则下列结论错误的是（ ）
A. 的最小值为 B. 的最大值为1
C. 面积的最大值是 D. 的最小值是3
【答案】D
【解析】
【分析】先证明 是等边三角形；得出 ，说明当 最小时， 最小，根据垂线段最短，
得出当 时， 最小，根据等边三角形性质和勾股定理求出最小值即可判断A选项；根据
， 为定值，得出当 最小时， 最大，根据 时， 最小，此时
最大，根据等边三角形性质和勾股定理求出结果，即可判断B选项；根据
，得出 ，说明当 最小时， 面积最大，
根据 为等边三角形，得出当边长 最小时， 面积最小，求出 的最小值为
，最后求出结果即可判断C选项；设 ， ，根据，根据二次函数性质，说明 有最大值，求出最大
值为3，即可判断D选项．
【详解】解：∵四边形 是菱形， ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形；
∴ ，
∴当 最小时， 最小，
∵垂线段最短，
∴当 时， 最小，
∵ 为等边三角形，∴此时 ，
根据勾股定理得： ，
∴ 的最小值为 ，故A正确，不符合题意；
∵ ， 为定值，
∴当 最小时， 最大，
当 时， 最小，此时 最大，
∵ 是等边三角形，
∴当 时， ， ，
∴ ，
∴此时 平分 ，
∵ 为等边三角形，
∴此时 ，
∴此时 ，
∴ ，
∴此时 ，
根据勾股定理得： ，
∴此时 ，
即 的最大值为1，故B正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 最小时， 面积最大，
∵ 为等边三角形，
∴当边长 最小时， 面积最小，
∵ 的最小值为 ，此时 上的高为3，
∴ 的最小值为 ，
∴ 面积的最大值为 ，故C正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ， ，
∴
，
∴当 时， 取最大值 ，
∴此时 ，∴此时 ，
∵ 为等边三角形，
∴此时 ， ，
∴此时 ，
∴ 平分 ，
∵ 为等边三角形，
∴此时 ，
∴此时 ，
∴ ，
∴ ，
即 的最大值为3，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，二次函数的最值，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和
性质，三角形面积计算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 因式分解： _______.
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了因式分解，把 变形为 ，先利用立方和公式和提公因式法分解
因式，再提取公因式即可.
【详解】解：故答案为：
12. 现将背面完全一样，正面分别写有“新”、“年”、“快”、“乐”的四张卡片，洗匀后背面朝上放
在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“快乐”的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，根据题意，准确画出树状图或列出表格得到所有等
可能结果是解题的关键．
分别记“新”、“年”、“快”、“乐”为A，B，C，D，利用树状图的方法可得所有等可能结果；再找
恰好组成“快乐”字样的结果数，利用概率公式计算可得．
【详解】解：分别记“新”、“年”、“快”、“乐”为A，B，C，D，
画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，
其中恰好组成“快乐”字样的结果数有2种结果，
所以抽取的两张卡片上的文字恰好组成“快乐”字样的概率 ，
故答案为： ．
13. 如图，在矩形 中，对角线 相交于点 ， 的平分线分别交 于点
，若 ， ，则 ______．【答案】
【解析】
【分析】由矩形的性质得到 ，得到 ，再根据角平分线的定义可得
，即得 ，利用勾股定理求出 ，再根据 得到
，进而得到 ，据此解答即可求解．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，勾股定理，等角对等边，相似三角形的判定和性质，
熟练掌握以上知识是解题的关键．
14. 已知 是直线 上两点，分别过点 和点 作 轴， 和 分别交双曲线
于点 和点 ，连接 ．
（1）直线 和双曲线 的交点坐标为______；
（2）若 ，则 的值为______．
【答案】 ①. ②. 8
【解析】
【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的综合问题，几何与反比例函数综合问题，运用数形结合思想
解题是解题的关键．
（1）令 解得 ，舍去负值并计算出y值即可得解；
（2）延长 和 分别交 轴于点 和点 ，设 ， ．同理设
，则 ．利用 得出 ，运用勾股定理求出， ，从而代入 中整体代换消去字母得解．
【详解】解：（1）根据题意，得 ，
解得 或 (舍去)，
则 ，
直线 和双曲线 的交点坐标为 ．
（2）如图，延长 和 分别交 轴于点 和点 ．
则 ， ，即 和 都是等腰直角三角形．
设 ，则 ，
．
同理设 ，则 ，
．
又 ，，两边同时平方，得 ，
即 ．
在 中， ，
同理 ，
，
故答案为：（1） ；（2）8．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程：
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查利用直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程的步骤是解
题的关键．先把方程变为 的形式，若 则利用直接开平方法求解即可．
【详解】解： ，
移项，得： ，
两边同时除以 ，得： ，
直接开平方，得： ，
解得： ， ．
16. 2024年11月11日，重庆“梁平柚”被列入第二批国家农产品地理标志，是全国三大名柚之一，特点
是浓烈蜜香、纯甜嫩脆，深受消费者的喜爱．某超市按大小把“梁平柚”分成大果和小果出售．（1）某公司为员工发福利，预计花费3050元购买大果和小果共400千克，此时大果售价为每千克8元，
小果售价为每千克7元．求购买大果和小果各多少千克？
（2）由于春节临近，超市下调柚子价格，现该公司一次性购买大果、小果若干，其中大果共花费1920元，
小果花费720元，已知购买大果的数量是小果的2倍，下调价格后大果比小果每千克贵1.5元．分别求大
果和小果价格下调后每千克的售价？
【答案】（1）购买大果 千克，小果各 千克；
（2）小果价格下调后每千克的售价为 元，则大果价格下调后每千克的售价为 元．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用．
（1）设购买大果 千克，小果各 千克，利用总价=单价 数量，结合花费3050元购买大果和小果共400
千克，列出关于 和 的二元一次方程组，解之即可得到结论；
（2）设小果价格下调后每千克的售价为 元，则大果价格下调后每千克的售价为 元，利用数量
=总价 单价，结合购买大果的数量是小果的2倍，列出关于 的分式方程，据此求解即可得到结论．
【小问1详解】
解：设购买大果 千克，小果各 千克，
由题意得 ，
解得 ，
答：购买大果 千克，小果各 千克；
【小问2详解】
解：设小果价格下调后每千克的售价为 元，则大果价格下调后每千克的售价为 元，
由题意得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
，
解：小果价格下调后每千克的售价为 元，则大果价格下调后每千克的售价为 元．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1， 的三个顶点 ， ， 都在格点上．
（1）在图中画出 ，使其与 关于直线l成轴对称；
（2）求 的面积；
（3）在直线l上找出一点 ，使得 的值最小．（在图上直接标记出点 的位置）
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了作图—轴对称变换，三角形面积公式，轴对称—最短路径问题，熟练掌握轴对称
的性质是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质即可画出与 关于直线成轴对称的 ；
（2）根据网格利用三角形面积公式即可求出 的面积；
（3）连接 交直线 于点 ，连接 ，此时 的值最小．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求，
【小问2详解】解： ，
【小问3详解】
解：如图，点 即为所求．
18. 如图，用同样规格 的黑白两色正方形瓷砖铺设长方形地面，观察下列图形，探究并解答问题：
（1）在第4个图中，共有白色瓷砖 块；在第n个图中，共有白色瓷砖 块；
（2）试用含n的代数式表示在第n个图中共有黑色瓷砖的块数；
（3）如果每块黑瓷砖20元，每块白瓷砖30元，当 时，求铺设长方形地面共需花多少钱购买瓷砖？
【答案】（1）24；
（2）
（3）4560元
【解析】
【分析】本题考查整式加减的应用，用代数式表示图形变化的规律，求代数式的值：
（1）观察前3个图形中白色瓷砖数量变化的规律，利用规律求解；
（2）观察前3个图形中黑色瓷砖数量变化的规律，利用规律求解；
（3）先根据（1）（2）结论得出需要瓷砖的数量，乘以单价可得答案
【小问1详解】
解：第1个图中，有白色瓷砖3块， ，
第2个图中，有白色瓷砖8块， ，
第3个图中，有白色瓷砖15块， ，
可得第4个图中，白色瓷砖的数量为： （块），第n个图中，白色瓷砖的数量为： （块），
故答案为：24， ；
【小问2详解】
解：第1个图中，有黑色瓷砖12块， ，
第2个图中，有黑色瓷砖16块， ，
第3个图中，有黑色瓷砖20块， ，
……
以此类推，第n个图中，黑瓷砖块数为： ；
【小问3详解】
解：当 时，
（元）
答：铺设长方形地面共需花4560元购买瓷砖．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 学完了三角函数知识后，我校“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量某塔的高度，他们把
“测量塔高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表：
课题 测量某塔的高 测量说明
说明： 是高为 米的测角
仪，在点C处测得塔顶A的仰角
，点E处测得此时塔
顶A的仰角 ，（B、
F、D三点在同一条直线上）
测量示意图
测量数据 ∠1的度数 ∠2的度数 的水平距离26米
请根据表中的测量数据，求塔高 （精确到 米，参考数据
， ）
【答案】 米
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，据此的性质与判定，设 为 米，则
米 ， 在 中 可 以 得 出 ， 在 中 ， 可 以 得 到
，再列方程即可求解．
【详解】解：由题意得， 米， ， ，四边形 ， ， 为矩
形，则 米，
设 为米，则 米，
在 中， ，即 ，解得 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ （米），答：白塔的高 约为 米．
20. 如图， 中，直径 于 ， 于 ，交 于N，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径；
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据圆周角定理得出 ，再由直角三角形的性质得出 ，
故可得出 ，由全等三角形的判定定理得出 ，故可得出结论．
（2）先根据 的长，设 ，则 ， ，连接
，则 ，在 中根据勾股定理可得出 的值，进而得出结论．
【
小问1详解】
证明：∵ 与 是同弧所对的圆周角，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴设 ，则 ，
连接 ，则 ，
∵ 是直角三角形， ， ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，垂径定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理，根据题意作出辅助
线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
六、（本大题满分12分）
21. “低碳生活，绿色出行”是我们倡导的一种生活方式，有关部门抽样调查了某单位员工上下班的交通
方式，绘制了两幅统计图：（1）样本中的总人数为_______人；扇形统计图中“骑车”所在扇形的圆心角为________度；
（2）补全条形统计图；
（3）该单位共有1000人，积极践行这种生活方式，越来越多的人上下班由开小车改为骑车．若步行和坐
公交车上下班的人数都保持不变，问原来开小车的人中有多少人改为骑车，才能使骑车的人数等于开小车
的人数？
【答案】（1） ，
（2）见解析 （3）原来开小车的人中有 人改为骑车，才能使骑车的人数等于开小车的人数
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、由样本估计总体、补全条形统计图、一元一次方
程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）用步行的人数除以所占的比例即可得出样本中的总人数，用 乘以“骑车”所占的比例即可得出
圆心角的度数；
（2）先求出“骑车”的人数，再补全条形统计图即可；
（3）设原来开小车的人中有 人改为骑车，才能使骑车的人数等于开小车的人数，根据题意列出一元一次
方程，解方程即可得解．
【小问1详解】
解：样本中的总人数为 （人），
扇形统计图中“骑车”所在扇形的圆心角为 ；
【小问2详解】
解：“骑车”的人数为： （人），
补全条形统计图如图：【小问3详解】
解：设原来开小车的人中有 人改为骑车，才能使骑车的人数等于开小车的人数，
，
解得： ，
故原来开小车的人中有 人改为骑车，才能使骑车的人数等于开小车的人数．
七、（本大题满分12分）
22. 【问题呈现】
如图1， 和 都是等边三角形，连接 ．求证： ．
【类比探究】
如图2， 和 都是等腰直角三角形， ．连接 ．请直接写出
的值．
【拓展提升】
如图3， 和 都是直角三角形， ，且 ．连接 ．
延长 交 于点F，交 于点G．求 的值．【答案】【问题呈现】见详解；【类比探究】 ；【拓展提升】
【解析】
【分析】［问题呈现］
通过证 ，即可得证；
［类比探究］
先求出 ，再证明 ，根据相似三角形的性质即可求出 ；
［拓展提升］
先证明 ， ，再证 ， ，最后求出
即可求解；
【详解】［问题呈现］证明： 和 都是等边三角形，
， ，
，即
［类比探究］
解： 和 都是等腰直角三角形， ，
， ，
，
，即
，；
［拓展提升］
解： 和 都是直角三角形， ，且 ，
，
，
，即 ，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
【点睛】本题考查了三角形的全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定
理，锐角三角函数，正确理解全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解本题的关键 ．
八、（本大题满分12分）
23. 定义：若函数 在 上的最大值记为 ，最小值记为 且满足 ，
则称函数 是在 上的“极差函数”，已知函数 ： ．
（1）求证：函数 与 轴有两个不同的交点；
（2）当 时，函数 是在 （ 为整数）上的“极差函数”，求 的值；（3）若函数 是在 上的“极差函数”，且存在整数 ， ，使得 ，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2） 或
（3）
【解析】
【分析】（1）求出 ，即可得证；
（2）当 时，函数 为 ，求出抛物线的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，再
分三种情况：当 时；当 时；当 时，分别根据二次函数的性质求解即可；
（3）由题意可得抛物线的对称轴为直线 ，结合 ，可得 ，从而可得当
时， 随着 的增大而增大，推出当 时，取得最大值，当 时，取
得最小值，根据 ，求出 ，再由 ，
得出 ，计算即可得解．
【小问1详解】
证明：∵函数 ： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故函数 与 轴有两个不同的交点；
【小问2详解】
解：当 时，函数 为 ，∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
∵函数 是在 （ 为整数）上的“极差函数”，
∴当 时，抛物线在 上单调递增， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为整数，
∴ ， ；
当 时，抛物线在 上单调递减， ， ，
∴ ，
∴ ；
∵ 为整数，
∴ ， ，
当 时， ， ，最大值 出现在端点 或 ，此时符合条件的整数
为 或 ；
综上所述， 或 ；
【小问3详解】
解： ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 随着 的增大而增大，∴当 时，取得最大值，当 时，取得最小值，
∴ ，
∵ ， 为整数， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程、二次函数的性质、二次函数的最值，采用分类讨论的思想
是解此题的关键．
