文档内容
2025 年安徽省第二次联考试卷
数学
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. 1.4 D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值等于它的相反数，进行作答即可．
【详解】解： 的绝对值是1.4，
故选：C
2. 六通鲁班锁是广泛流传于中国民间的智力玩具，图1是其中的一种，图2是拆解后的六通鲁班锁中的一
块，则图2中木块的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查主视图，根据主视图是从正面看到的图形直接判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，图2中木块的主视图如下：
，故选：B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法运算，同底数幂的除法运算，平方差公式，根据各
自的运算法则一一计算并判断即可．
【详解】解： ． 和 不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
． ，原计算错误，故该选项不符合题意；
． ，原计算错误，故该选项不符合题意；
． ，原计算正确，故该选项不符合题意；
故选：D．
4. 水是由氢、氧两种元素组成的无机物，在常温常压下为无色无味的透明液体，被称为人类生命的源泉．
把 亿个水分子排成一列，长度约为 ．将数据 亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式，确定 的值是关键．
科学记数法的表示形式为 ，确定n值的方法，当原数的绝对值大于等于10时，把原数
变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移
动位数的相反数即为n的值，由此即可求解．
【详解】解： 亿 ，
故选：C ．
5. 关于 的一元二次方程 的根的情况是（ ）A. 必有两个相等的实数根 B. 必有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 必有实数根
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别
式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．
根据判别式 ，直接得到没有实数根，即可求解本题．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴该方程没有实数根，
故选：C．
6. 如图，在菱形 中，点 在 的延长线上，连接 交 于点 ．若 ，
则 的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，根据四边形 是菱形，得
证明 结合 ，得 ，解得 ，即
可作答．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ，∴ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
7. 如图， ， 是两块平面镜，一束光线 照射到平面镜 上，反射光线为 ，点 在平面镜
上，再次反射后反射光线为 ．若 ， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【 分 析 】 本 题 考 查 轴 对 称 ， 三 角 形 的 内 角 和 定 理 ， 由 反 射 可 知 ，
，再结合三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：根据题意： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
8. 已知抛物线 ，当 时，函数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，首先把二次函数的解析式整理成顶点坐标式，从而可得抛物
线开口向上，对称轴是 ，根据二次函数的性质可知当 时，函数的最大值为 .
【
详解】解：整理： ，
可得： ，
抛物线开口向上，对称轴是 ，
当 时， 随 的增大而减小，
当 时， 随 的增大而增大，
当 时， ，
当 时， ，
当 时，函数的最大值为 .
故选：A．
9. 如图，边长为4的等边 的中心与半径为6的 的圆心重合，点 ， 分别是 ， 的延长线与 的交点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】延长 交 于点 ，根据图形得到三个不规则图形面积相等，结合等边三角形性质求出面积
即可得到答案．
【详解】解：延长 交 于点 ，
等边 的边长为4， 的半径为6，
∴ ， ，
∴ ，
由旋转对称知：图中阴影部分的面积 ，
故选D．
【点睛】本题考查圆的对称性，等边三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是延长 交 于点 ，
结合三角函数求出三角形面积．10. 如图， 是 的角平分线， 平分 交 于点 ， 是 的外角平分线，交
的延长线于点 ，且 ，连接 ．下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线得到角度关系结合平角即可判断A，根据平行及角平分线得到相应的角度关系得到
即可判断B，再证明 是平行四边形即可判断C，最后证明 垂直平分 即可判断D，
即可得到答案．
【详解】解 平分 ， 平分 ，
， ，
，选项A正
确，不符合题意；
， 平分 ，
，
，
平分 ，
，
，，
，
，
，
，选项B正确，不符合题意；
， ，
四边形 是平行四边形．
， ，
由上面知： ，
， 均为等边三角形，
由三线合一易知 ， ，
在 中，由角平分线定义知 ， ，
，
易知 ，
，选项C错误，符合题意；
， 平分 ，
结合 易证 全等于 ，
易知 垂直平分 ，
，
又 ，
，选项D正确，不符合题意；
综上，故选C．
【点睛】本题考查角平分线，平行四边形判定与性质，等边三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角
形性质和判定，解题的关键是从选项出发，找相应条件．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11. 若 ，且 为两个连续的正整数，则 _____．
【答案】11
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
先估算出 的取值范围，得出a，b的值，再代入计算，即可得到答案．
【详解】解： ，
，
∵ ，且a，b为两个连续的正整数，
， ，
，
故答案为：11．
12. 五一期间，某商场举行一场游戏活动，有一种游戏的规则是：在一个装有8个红球和 个白球（每个
球除颜色外，其他都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个泰迪熊玩具．已知参加该游
戏的人有 人，商场发放泰迪熊玩具 个．若要使摸到一个红球的概率和得到泰迪熊玩具的概率相
同，则 的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查概率的公式，根据 直接列式求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，
解得： ，
故答案为： ．
13. 如图，在平面直角坐标系中，点 为第一象限内一点， 轴于点 ，点 为 轴正半轴上一点，反比例函数 的图象经过 的中点 ，交 于点 ．若四边形 的面积为 ，
则 的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】如图，分别过点 ， 作 轴， 轴，垂足分别为点 ， ．根据平行线分线段
成比例定理得 ，推出点 为 的中点，继而得到 是 的中位线，则
．证明四边形 为矩形， ， ， ，可得点 ，
， ，则有 ，
，代入并整理后可得答案．
【详解】解：如图，分别过点 ， 作 轴， 轴，垂足分别为点 ， ，
∴ ， ，∴ ，
∵点 为 的中点，即 ，
∴ ，
∴ ，即点 为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
∵ 轴， ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
设 ， ， ，
∴点 ， ， ，
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∵四边形 的面积为 ，即 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，确定反比例函数解析式，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，矩形的判定和性质，梯形的面积等知识点．确定 是解题的关键．
14. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角
形和中间的小正方形 拼成的一个大正方形 ．直线 交正方形 的两边于点 ．
（1）若 ，则 _____°．
（2）若 ，则 的值是_____．
【答案】 ①. 75 ②.
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外角性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与
性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据正方形的性质得 ，运用外角性质列式计算，即可作答．
（ 2 ） 根 据 正 方 形 的 性 质 得 ， 证 明
再结合 ，故 ，证明 ，把数值
代入 ，即 ，进行化简，即可作答．
【详解】解：（1）∵四边形 是正方形，
∴
即 ，
．故答案为：75；
（2）如下图，过点 作 于点 ．
．
四边形 为正方形，
．
，
∴ 与 均为等腰直角三角形．
．
．
设 ，
．
由题意，知 ，
．
，
∴ ，
∴ ，
．
，解得 （负值舍去）．
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式组： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，涉及解一元一次不等式及不等式组解决的求法，先分别解不等式
组中的一元一次不等式，再由“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”求不等式组的解
集即可得到答案，熟练掌握一元一次不等式组解集的求法步骤是解决问题的关键．
【详解】解： ，
解不等式①，得 ；
解不等式②，得 ；
原不等式组的解集为 ．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交
点） ， ， 的坐标分别为 ， ， ．（1）在网格中，画出将 以点 为位似中心，位似比为2的 ，并直接写出点 的坐标：
_____；
（2）利用所给的网格图，求 的值，画出所构造的图形；其中 _____．
【答案】（1）图见详解，
（2）图见详解，
【解析】
【分析】（1）根据位似和纵坐标都扩大位似倍数直接作图，再根据图找坐标即可得到答案；
（2）根据格点及勾股定理找到直角求解即可得到答案；
【小问1详解】
解：由题意可得，
连接 ， ， 并延长扩大两倍找到对应点 ， ， ， 如图所示，，
∴ ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：如图所示由勾股定理得，
， ， ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了作位似图形，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是作出图形．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 为切实落实初中信息技术新课程标准，某校准备购买 两种型号的配套器材．已知 型器材的单价
比 型器材的单价多500元，用8000元购买 型器材和用6000元购买 型器材的数量相同．求 两种
型号器材的单价．
【答案】 型器材的单价为2000元， 型器材的单价为1500元
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设 型器材的单价为 元，则 型器材的单价为
元．根据题意列出关于x的分式方程，解分式方程求解即可得出答案．
【详解】解：设 型器材的单价为 元，则 型器材的单价为 元．
根据题意，得 ．
解得 ．
经检验， 是原方程的解，且符合题意．
．
答： 型器材的单价为2000元， 型器材的单价为1500元．
18. 阅读与思考：
站队问题
问题提出：即将离开生活了3年的母校，几位同学站在一排在教学楼前合影．他们共有
多少种站法？
问题探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从
中找出解决问题的方法．
探究一：
当只有 、 两人时，此时站法有： 、 两种．
探究二：
当有 三人时，我们把位置命名为第1位、第3位．
进行如下分析：此时站法有6种．
探究三：
当有 三人时，我们把位置命名为第1位、第2位、第3位；当安排第1位同
学时，我们有3种选择；第1位同学安排好后，再来安排第2位同学，此时我们有2种
选择；剩下 的一位同学只有一种选择，故站法共有 （种）．
任务：
（1）探究二中问题的分析方法为_____；
（2）按照上面的分析方法，若四位同学站在一排照相，则共有_____种站法；
（3）现有四位男同学和一名女同学共五位同学站在一排照相，其中这名女生必须站在第1位或者最后一位，
求他们共有多少种站法？
【答案】（1）树状图分析法
（2）24 （3）48种
【解析】
【分析】本题主要考查了排列问题，掌握分布乘法原理是解题的关键．
（1）根据题中的图即可解答；
（2）根据探究三中的分布乘法原理解答即可；
（3）结合第二小问，分析当女生站在第1位时和最后一位时的站法，相加即可．
【小问1详解】
解：由题意可知探究二中问题的分析方法为树状图分析法，
故答案为：树状图分析法．
【小问2详解】
解：安排第1位同学有四种选择，安排第2位同学有三种选择，安排第3位同学有2种选择，安排第4位
同学有1种选择，因此共有 （种）站法．
故答案为：24．
【小问3详解】
解：当女生站在第1位时，其余四位男生站4个位置共有24种站法；同理当女生站在最后一位时，其余四
位男生站4个位置共有24种站法，因此共有 （种）站法，即共有48种站法．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，交 于点 ，过点 作
，垂足为点 ，连接 ．
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查切线的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，添加辅助线是解题的
关键．
（1）连接 ，根据等边对等角及切线的判定定理即可得证；
（2）证明 ，依据相似三角形的性质列式计算可得结论．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ．
，
．
，．
．
．
，
．
点 在 上，
直线 是 的切线．
【小问2详解】
解： 四边形 是 的内接四边形，
．
，
．
．
由（1）知： ，
．
又 ，
，解得 （负值舍去）．
20. 为倡导健康绿色出行，市道路运输管理局向市民提供一种公共自行车作为代步工具，如图1是该自行
车的实物图，图2是主体车架结构示意图，车架座管 的长为 ，上管 与 垂直，
，后上叉 ，且 ，试求上管 和后下叉 的长（结果精确到 ．参考数据： ；
）．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，理解题意，过点 作 于点 ，设 ．
算出 ，结合勾股定理得 ，则
代入数值得 ，在 中， ，结合 ，
解得 ．则 ，即可作答．
【详解】解：如下图，过点 作 于点 ，
设 ．
在 中， ，
．
．，
．
在 中， ，
，
即 ．
在 中， ，
．
，
，
即 ．
，
，
解得 ．
，
．
六、（本题满分12分）
21. 某中学准备从七年级演唱非常好的甲、乙两位同学中选出一位参加区教体局举办的“庆六一”晚会．
为此邀请五位评委进行现场打分，将甲、乙两位选手的得分数据整理成下列统计图与统计表．平均 中位 方
数 数 差
0.5
甲 8.8
6
乙 9
根据以上信息，解决下列问题：
（1）表格中的 _____， _____， _____；
（2）你认为选谁更合适？请说明理由；
（3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数
的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后，选谁更合适，请说明理由．
【答案】（1）9 ；8.8 ；0.96
（2）选甲更合适，理由见解析
（3）选乙更合适，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了中位数，平均数，方差，熟练掌握相关定义与意义是解题关键．
（1）分别根据中位数、平均数、方差 的定义进行计算，即可得到答案；
（2）根据表格中数据，结合平均数和方差的意义进行分析，即可得到答案；
（3）根据方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况进行分析，即可得到答案．
【小问1详解】
解：甲得分的排序为10，9，9，8，8，故甲得分的中位数为9，即 ．
由统计图知 ，
∶
【小问2详解】解：选甲更合适，理由如下：
因为甲、乙两人平均成绩一样，中位数相同，但是甲的方差较小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲．
【小问3详解】
解：去掉一个最高分和一个最低分之后，选乙更合适，理由如下：
因为去掉一个最高分和一个最低分之后，甲的平均数为 ，中位数为9，
而乙的平均数为9，中位数为9，且方差为0．
故选乙更合适．
七、（本题满分12分）
22. 已知点 ， 分别在矩形 的边 ， 上，以 为折痕，将四边形 翻折，点
的对应点为点 ，点 的对应点为点 ， ， ．
（1）如图 ，当点 在 上， 与 交于点 时，
若点 为 的中点，求 的长；
若 与 全等，求 和 的长；
（2）如图 ， 的对应边 恰好经过点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，连接
，若 ，求 的长．
【答案】（1） ； ， ；
（2） ．
【解析】【分析】（ ） 由折叠性质可知， ， ，设 ，则 ，
，再由勾股定理得 ，即 ，求出 的值即
可；
由四边形 是矩形，得 ，所以 ，则 与
全等的情况只能为 ，设 ，则 ， ，由勾
股定理，得 ，即 ，求出 的值即可，再证明 ，
所以 ，即 ，求出 ，再由折叠性质即可求解；
（ ） 连 接 ， ， ， 由 点 ， 关 于 直 线 对 称 ， 则 ， 证 明
， ， 设 ， 则 ， 在
中， ，在 中，
求出 的值即可．
【小问1详解】
解： 由折叠性质可知， ， ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
设 ，则 ， ，
由勾股定理，得 ，即 ，
解得∴ 的长为 ；
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 全等的情况只能为 ，
∴ ， ，
设 ，则 ， ，
由勾股定理，得 ，即 ，
解得 或 （舍去），
∴ 的长为 ，
∴ ， ，
．
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，由折叠性质可知， ，
∴ ，
【小问2详解】
如图，连接 ， ， ，
∵点 ， 关于直线 对称，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，解得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解一
元二次方程，轴对称性质，垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 随着高产农田项目的推进，新型灌溉方式——喷灌逐步推广，如图1，它比传统的渠道灌溉节省了土
地，减少了水资源的浪费．为此，学校数学兴趣小组开展数学项目式实践活动，对某种喷灌系统建立数学
模型．如图2，以喷水管 所在直线为 轴，地面为 轴，喷水管的底部为原点 建立平面直角坐标系，
喷出的水柱最外层的形状为抛物线， 轴上的点 为水柱的最外落水点．经测量：以点 为喷水口，水管
高度 ，喷水管底部点 与点 的距离为 ， ，在 点用标杆测得 ．
（1）求最外层水柱所在抛物线的函数表达式；
（2）观察到该喷灌系统可顺、逆时针往返喷洒，但平面旋转角度不超过 ，且喷出的水可渗透到
外，这个喷头最多可灌溉多少平方米土地?
（3）同学们把喷水管换成了不同的长度，水压不变，观察到：水柱的最外落水点 与 点的距离也不同，
测量数据如下：喷水管长度 1.0m
的距离
若 与 成二次函数关系，求：
①当喷水管长度为_____ 时，水柱的最外落水点 与 点的距离最大；
②最大距离为多少米?
【答案】（1）
（2）
（3）①0.8；②
【解析】
【分析】（1）根据抛物线过交y轴于0.6m，可设抛物线的表达式为 ，再将B、D两点
的坐标代入，求出抛物线的表达式；
（2）根据这个喷灌系统最多可灌溉的半径和扇形的圆心角，利用扇形面积公式求解；
（3）①根据测量数据，得到的一对对称点，求出对称轴；
②设 与 的关系式为 ，将测量数据的三对值代入 与 的关系式中，得到关于待定系数的
方程组求解，求出 与 的关系式．
【小问1详解】
解：∵抛物线过点 ， ， ．
∴设抛物线的表达式为 ．
解得：
最外层水柱所在抛物线的函数表达式为 ．
【小问2详解】∵这个喷灌系统最多可灌溉的半径为 ，
这个喷灌系统最多可灌溉的面积为 ．
答：这个喷灌系统最多可灌溉 的土地．
【小问3详解】
①∵点 ， 关于 与 所成的二次函数的图象的对称轴对称，
该二次函数的对称轴为直线 ．
故答案为： ．
②设 与 的关系式为 ，把 ， ， 代入，得
解得
与 的关系式为 ．
当 时， ．
最大距离为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，利用待定系数法求二次函数解析式，求二次函数
的最值，求扇形面积等知识，解题的关键是根据题意利用待定系数法求出函数表达式．
