文档内容
专题21.2 解一元二次方程
（知识梳理+18个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题）
知识梳理 技巧点拨......................................................................1
知识点梳理01：直接开平方法解一元二次方程 ..........................................1
知识点梳理02：配方法解一元二次方程.................................................2
知识点梳理03：一元二次方程根的判别式...............................................3
知识点梳理04：公式法解一元二次方程.................................................3
知识点梳理05：因式分解法解一元二次方程.............................................4
优选题型 考点讲练......................................................................4
考点1：解—元二次方程-直接开平方法.................................................4
考点2：解—元二次方程-配方法.......................................................5
考点3：配方法的应用................................................................5
考点4：根据判别式判断一元二次方程根的情况..........................................6
考点5：根据一元二次方程根的情况求参数..............................................7
考点6：公式法解一元二次方程........................................................7
考点7：因式分解法解一元二次方程....................................................8
考点8：换元法解一元二次方程........................................................8
考点9：一元二次方程的根与系数的关系................................................9
中考真题 实战演练.....................................................................10
难度分层 拔尖冲刺.....................................................................10
基础夯实..........................................................................10
培优拔高..........................................................................12
知识点梳理01：直接开平方法解一元二次方程
1. 非负数a的算术平方根为❑√a，平方根为±❑√a．
例如：144的算术平方根为❑√144=12，平方根为±❑√144=±12．
2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法．例如x2=25，解得x=±5．
一般地，对于方程x2=p．
方程有两个不等的实数根x =❑√p，
p>0 1
x =−❑√p
2
p=0 方程有两个相等的实数根x =x =0
1 2
p<0 方程无实数根
3. 直接降次解一元二次方程的步骤
(1)将方程化为 p或 的形式；
x2= (mx+n) 2=p(p≥0,m≠0)
（2)直接开平方化为两个一元一次方程；
（3)解两个一元一次方程得到原方程的解．
知识点梳理02：配方法解一元二次方程
1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方
程化为 的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通
(x+a) 2=b
过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．
2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例)
一般步骤 方法 实例(9 y2−18 y−4=0)
将常数项移到方程的右边，
一移 移项 含未知数的项移到方程的左 9 y2−18 y=4
边
二化
二次项系数化为 方程左、右两边同时除以二 y2−2y= 4
1 次项系数 9
4
y2−2y+1= +1
9
方程左、右两边同时加上一
三配 配方
次项系数一半的平方
13
即(y−1) 2=
9
利用平方根的意义直接开平 ❑√13
四开 开平方 (y−1)=±
方 3
❑√13
y =1+ ，
1 3
五解 得出两个根 移项，合并同类项
❑√13
y =1−
2 3
归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这
个方程就没有实数根．
3. 解题依据： ，把公式中的 看作未知数 ，并用 代替，则
(a±b) 2=a2±2ab+b2 a x x
．
(x±b) 2=x2±2bx+b2
知识点梳理03：一元二次方程根的判别式
1. 对于一元二次方程 ，通过配方可得 b 2 b2−4ac，则方程根的情况由
ax2+bx+c=0(a≠0) (x+ ) =
2a 4a2
b2−4ac 的符号决定．
一般地，式子b2−4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“∆”表示它，
即∆=b2−4ac．
2. 根的判别式∆的符号与一元二次方程根的情况
（1）∆>0⟺一元二次方程有两个不相等的实数根；
（2）∆=0⟺一元二次方程有两个相等的实数根；
（3）∆<0⟺一元二次方程无实数根．
3. 应用
（1）不解方程判断一元二次方程根的情况；
（2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围．
知识点梳理04：公式法解一元二次方程
1. 当 时，方程 通过配方，其实数根可写为 −b±❑√b2−4ac的形式，这个
∆≥0 ax2+bx+c=0(a≠0) x=
2a
式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程
的方法叫做公式法．
方程有两个不相等的实数根
∆>0 −b±❑√b2−4ac
x=
2a
b
∆=0 方程有两个相等的实数根x =x =−
1 2 2a
∆<0 方程无实数根2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤
（1）把方程化为一般形式，确定 a ， b ， c 的值；
（2）求出∆=b2−4ac的值；
（3）若 ，则将a，b，c的值代人求根公式 −b±❑√b2−4ac求出方程的根，若 ，则方程无
∆≥0 x= ∆<0
2a
实数根．
知识点梳理05：因式分解法解一元二次方程
1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个 一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于
0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式
3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤
一移 使方程的右边为0
二分 将方程的左边因式分解
三化 将方程化为两个一元一次方程
四解 写出方程的两个解考点1：解—元二次方程-直接开平方法
【典例精讲】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）方程 的根是（ ）
(x+3) 2=4
A．x =−1，x =−5 B．x =1，x =−5
1 2 1 2
C．x =x =−1 D．x =−1，x =5
1 2 1 2
【变式训练】（24-25九年级上·云南昆明·期中）解方程：
(1) (2)（配方法）
(x+1) 2−4=0 y2−6 y−112=0
考点2：解—元二次方程-配方法
【典例精讲】（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程：
(1) x2+6x−11=0； (2)2x2+6=7x；
(2) x2−10x+25=7； (4)3x2+8x−3=0； (5)(x−1)(x−2)=12．
(3)
【变式训练】（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程：
(1) ； (2) ； (3) ．
2x2−5x−7=0 ❑√3 y2−y−❑√3=0 (x+1)(x−1)=2x2−4x−6考点3：配方法的应用
【典例精讲】（2025·安徽池州·模拟预测）已知实数a，b满足a+2b=4,a>0，则下列判断正确的是
（ ）
A．a+b>2,a2+5a+2b<4 B．a+b<2,a2+5a+2b<4
C．a+b>2,a2+5a+2b>4 D．a+b<2,a2+5a+2b>4
【变式训练】（24-25八年级下·安徽宣城·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配
方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式x2+4x+5最小值．
解： ，
x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2) 2+1
，
∵(x+2) 2≥0,(x+2) 2+1≥1
∴x2+4x+5≥1，即x2+4x+5的最小值是1．
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)已知代数式−2x2+4x−5，求它的最大值．
(2)比较代数式2x2+3x−5与3x2−x+1的大小，并说明理由．
(3)知识迁移：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm，点P在AC边上以2cm/s的速度从点A向C移
动，点Q在CB边上以1cm/s的速度从点C向点B移动．若点P,Q同时出发，且当一点移动到终点时，另
一点也随之停止，设四边形APQB的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最小值．
考点4：根据判别式判断一元二次方程根的情况
【典例精讲】（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知关于x的方程 ，下列说
kx2+(1−k)x−1=0法中正确的是（ ）
A．当k=0时，方程无实数根 B．当k=−1时，方程有两个不相等的实数根
C．当k=1时，方程有两个相等的实数根 D．当k≠0时，方程有两个实数根
【变式训练】（2025·河南·模拟预测）规定：对于任意实数a，b，c，d，有
[a c)=ab+cd，其中等
b d
式右边是通常的加法和乘法运算．如：
[2 −1)=2×3+(−1)×4=2，则关于x的方程
3 4
[ x −k )=k+1的根的情况，下列说法正确的是（
）
x+2k x−1
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
考点5：根据一元二次方程根的情况求参数
【典例精讲】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于 的方程： ．
x x2+kx−(k+3)=0
(1)若该方程有一个根是2，求k的值；
(2)证明：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【变式训练】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知：一元二次方程x2+2x+k−1=0
(1)当方程的一个根为1时，求出k的值；
(2)k取什么值时，此方程有两个不相等实数根．
考点6：公式法解一元二次方程
【典例精讲】（24-25八年级下·山东泰安·期中）解下列方程：
(1) x(x−4)=2−8x； (2)3x2−2x−1=0．【变式训练】（24-25九年级上·河南鹤壁·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 其
(x−1)(x−4)=p2
中p为常数．
(1)判断方程实数根的情况，并说明理由；
(2)试写出三个p 的值，使该方程有整数解，并简要说明理由．
考点7：因式分解法解一元二次方程
【典例精讲】（24-25九年级上·全国·随堂练习）用因式分解法解下列方程：
(1) ． (2) ．
2(x−1) 2=x−1 (3x−2) 2=(4−x) 2
【变式训练】（24-25九年级上·重庆开州·阶段练习）计算：
(1) 解方程： ． (2)化简：( 7 ) a2−6a+9．
x2−4x−5=0 1− ÷
a+4 a+4
考点8：换元法解一元二次方程
【典例精讲】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）对于问题：关于 的方程 的解是
x a(x+m) 2+b=0
， 、 、 均为常数， ，求方程 的解．
x =1 x =−2(a m b a≠0) a(x+m+2) 2+b=0
1 2(1)小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题：
小明的思路
第1步 把1，−2代入到第1个方程中求出m的值；
b
第2步 把m的值代入到第1个方程中求出− 的
a
值；
第3步 解第2个方程．
(2)小红仔细观察两个方程，她把第2个方程 中的“ ”看作第1个方程中的“ ”，
a(x+m+2) 2+b=0 x+2 x
则“x+2”的值为 ，从而更简单地解决了问题．
【变式训练】（2025九年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程：
(1) ； (2) ．
x2=❑√2|x| x2−6x−3|x−3|−1=0
考点9：一元二次方程的根与系数的关系
【典例精讲】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知关于x的一元二次方程
有实数根．
x2−2(m+1)x+m2+5=0
(1)求m的取值范围；
(2)方程的两个实数根 、 满足 ，求实数 的值．
x x (x −1)(x −1)=3m m
1 2 1 2【变式训练】（24-25九年级上·广东惠州·期中）已知关于 的一元二次方程
x x2−(2k+1)x+k2+2k=0
的两个实数根为x ，x ．
1 2
(1)求k的取值范围．
(2)是否存在实数 ，使得 成立？若存在，请求出 值，若不存在，请说明理由．
k x2+x2−x ⋅x ≤0 k
1 2 1 2
1．（2025·北京·中考真题）若关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根，则实数a的
值为（ ）
A．−4 B．−1 C．1 D．4
2．（2025·四川眉山·中考真题）已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为
x2−2x−5=0 x x (x +1)(x +1)
1 2 1 2
．
3．（2025·江苏苏州·中考真题）已知x ,x 是关于x的一元二次方程x2+2x−m=0的两个实数根，其中
1 2
x =1，则x = ．
1 2
4．（2025·新疆·中考真题）若关于x的一元二次方程x2−2x+a=0无实数根，则实数a的取值范围是
（ ）
A．a<1 B．a>1 C．a≤1 D．a≥1
5．（2025·山东·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+4x−m=0有两个不相等的实数根，则实数m
的取值范围是 ．基础夯实
1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）用配方法解一元二次方程x2−8x+10=0配方后得到的方程是
（ ）
A． B． C． D．
(x+8) 2=54 (x−8) 2=54 (x+4) 2=6 (x−4) 2=6
2．（24-25九年级上·海南·期末）一元二次方程 x2−6x−2=0配方后化为（ ）
A． B．
(x−3) 2=11 (x−3) 2=2
C． D．
(x+3) 2=11 (x+3) 2=2
3．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）若关于x的方程x2−x−m=0有两个不相等的实数根，则实
数m的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A．m<− B．m≤− C．m>− D．m≥−
4 4 4 4
4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）关于x的一元二次方程x2−4x−2k=0有两个不相等的实数根，
则k的取值范围为 ．
5．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）定义新运算“*”：对于实数x和y，有x* y=x2−xy+2，
例如： ，若关于 的方程 有两个实数根，则 的取值范围是 ．
3*(−2)=32−3×(−2)+2=17 x x*3=m m
6．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知一元二次方程x2+x−2=0的两根分别为x ,x ，则
1 2
1 1
+ 的值为 ．
x x
1 2
7．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于x的一元二次方程kx2−6x+1=0．
(1)若方程的其中一个根是1，求k的值及方程的另一个根；
(2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．8．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）计算题
(1) ； (2) ． (3)
2x2−4x−3=0 4(x−3) 2−x(x−3)=0 (2y−1) 2=3(1−2y)
9．（24-25九年级上·全国·随堂练习）解下列一元二次方程．
(1)0.3x2+x=0.2（公式法）． (2)−2x2−3x+3=0（配方法）．
(3)5 y(y−1)=3−3 y． (4)(x−3)(x+1)=5+2x．
10．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 ．
x x2−(m+2)x+2m=0
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根都是正数，求m的取值范围．
培优拔高
11．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）一元二次方程 有实数根，则k的取值
(k−1)x2−3x+1=0
范围（ ）5 5 13 13
A．k≥ B．k> 且k≠1 C．k< D．k≤ 且k≠1
4 4 4 4
12．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）方程2x2+3x−2=0的两个根为（ ）
1 1
A．x =−2，x = B．x =2，x =
1 2 2 1 2 2
1 1
C．x =−2，x =− D．x =2，x =−
1 2 2 1 2 2
13．（24-25九年级上·全国·随堂练习）下列一元二次方程的根是 −5±❑√52+4×3×1的是（ ）
x=
2×3
A．3x2+5x+1=0 B．3x2−5x+1=0 C．3x2−5x−1=0 D．
3x2+5x−1=0
14．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）在平面直角坐标系中，A(−1,0)，B(3,0)，P为y轴上一点，
连接PA，PB，当∠APB=135°，则P点坐标为 ．
15．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）关于 的一元二次方程 的两根记为
x x2+(m+4)x+m2−3=0
x ，x ．若x ⋅x =6，则x +x = ．
1 2 1 2 1 2
16．（24-25九年级上·广东江门·期末）若关于x的一元二次方程kx2−2x−1=0有两个不相等的实数
根，则k的取值范围是 ．
17．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）解下列一元二次方程：
(1) (2)
4(x−3) 2=x(3−x) x(x−4)=12
18．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）我们给出定义：若关于x的一元二次方程
的两个实数根为 ，分别以 为横坐标和纵坐标得到点 ，
ax2+bx+c=0(a≠0) x ,x (x ≤x ) x , x M(x , x )
1 2 1 2 1 2 1 2则称点M为该一元二次方程的衍生点．
(1)若方程为x2−3x+2=0，该方程的衍生点M为________．
(2)若关于 的一元二次方程 的衍生点为 ，过点 向 轴和 轴作垂线，两条垂线
x x2−(5m+1)x+5m=0 M M x y
与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
(3)是否存在b, c，使得不论n(n≠0)为何值，关于x的方程x2+bx+c=0的衍生点M始终在直线
y=nx+2n+1的图象上，若有请求出b,c的值，若没有说明理由．
19．（25-26九年级上·全国·课后作业）阅读材料：已知实数m,n满足m2−m−1=0,n2−n−1=0，且
n m
m≠n，求 + 的值．
m n
解：由题意知m,n是方程x2−x−1=0的两个不相等的实数根，
n m n2+m2
∴m+n=1,mn=−1,∴ + =
m n mn
(m+n) 2−2mn 1+2
= = =−3
mn −1
根据上述材料解决以下问题：
(1)已知实数m,n满足7m2−7m−1=0，7n2−7n−1=0，且m≠n，求m2n+mn2的值．
2st+7s+2
(2)已知实数s,t分别满足7s2+7s+1=0，t2+7t+7=0，且st≠1．求 的值．
t
20．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=6cm．点P从
点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、
Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．(1)当t=______时，四边形ABQP是矩形；
(2)当t=______时，四边形AQCP是菱形；
(3)是否存在某一时刻t使得PQ⊥PC，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由；
(4)在运动过程中，沿着AQ把△ABQ翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点B′恰好落在PQ边上．
