第34讲三角形中最值与范围_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第34讲 三角形中最值与范围 知识梳理 1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决 这类问题，通常有下列五种解题技巧： (1)利用基本不等式求范围或最值； (2)利用三角函数求范围或最值； (3)利用三角形中的不等关系求范围或最值； (4)根据三角形解的个数求范围或最值； (5)利用二次函数求范围或最值． 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作 为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围 限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避 免结果的范围过大． 2、解三角形中的范围与最值问题常见题型： (1)求角的最值； (2)求边和周长的最值及范围； (3)求面积的最值和范围． 必考题型全归纳 1 题型一：周长问题 1462 (2024·贵州贵阳·校联考模拟预测)记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 a2+b2-c2  acosB+bcosA  =abc． (1)求C； (2)若△ABC为锐角三角形，c=2，求△ABC周长范围． 1463 (2024·甘肃武威·高三武威第六中学校考阶段练习)在锐角△ABC中，a=2 3，(2b-c) cosA=acosC， (1)求角A； (2)求△ABC的周长l的范围.   B+C 1464 (2024·全国·高三专题练习)在①2S= 3AB⋅AC；②2cos2 =1+cos2A；③c= 2 3asinC-ccosA；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答． 在锐角△ABC中，内角A、B、C，的对边分别是a、b、c，且 (1)求角A的大小； (2)若a= 3，求△ABC周长的范围． 1465 (2024·全国·模拟预测)在锐角△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 c-b=acosB-bcosA. (1)求角A的大小； (2)若a=1，求△ABC周长的范围. 第 页 共 页 272 10431466 (2024·陕西西安·高三西安中学校考阶段练习)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a， b，c且满足a=2，acosB=2c-b  cosA． (1)求角A的大小； (2)求△ABC周长的范围． 2 题型二：面积问题 1467 (2024·全国·模拟预测)已知在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且  m=2sinx, 3   ，n=cosx,cos2x  ，fx    =m⋅n，fB+C  =0． (1)求角A的值； (2)若b=1，求△ABC面积的范围． 1468 (2024·江苏南通·统考模拟预测)如图，某植物园内有一块圆形区域，在其内接四边形 ABCD内种植了两种花卉，其中△ABD区域内种植兰花，△BCD区域内种植丁香花，对 角线BD是一条观赏小道．测量可知边界AB=60m，BC=20m，AD=CD=40m． (1)求观赏小道BD的长及种植区域ABCD的面积； (2)因地理条件限制，种植丁香花的边界BC，CD不能变更，而边界AB，AD可以调整， 使得种植兰花的面积有所增加，请在BAD上设计一点P，使得种植区域改造后的新区域 (四边形PBCD)的面积最大，并求出这个面积的最大值． 1469 (2024·山东青岛·高三青岛三十九中校考期中)在①a=2，②a=b=2，③b=c=2这三 个条件中任选一个，补充在下面问题中，求△ABC的面积的值(或最大值)．已知△ABC 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，三边a，b，c与面积S满足关系式：4S=b2+c2 -a2，且 ，求△ABC的面积的值(或最大值)． 1470 (2024·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习)如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形 空地ABO，其中OA=3km，OB=3 3km，∠AOB=90°．物业管理部门拟在中间开挖 一个三角形人工湖OMN，其中M，N都在边AB上(M，N均不与AB重合，M在A，N 之间)，且∠MON=30°． (1)若M在距离A点1km处，求点M，N之间的距离； (2)设∠BON=θ， ①求出△OMN的面积S关于θ的表达式； 第 页 共 页 273 1043②为节省投入资金，三角形人工湖OMN的面积要尽可能小，试确定θ的值，使△OMN得 面积最小，并求出这个最小面积．   3 1471 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，S = BA⋅BC,BC=3． △ABC 2 (1)D为线段BC上一点，且CD=2BD,AD=1，求AC长度； (2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的范围． 1472 (2024·河北·高三校联考阶段练习)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b， asinB c，且 = 3. bcosA (1)若a=2 5，b=2，求c的大小； (2)若b=2，且C是钝角，求△ABC面积的大小范围. 3 题型三：长度问题 1473 (2024·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末)已知锐角△ABC内角A，B，C的对 边分别为a，b，c.若bsinB-csinC=b-a  sinA. (1)求C； (2)若c= 3，求a-b的范围. 1474 (2024·福建莆田·高三校考期中)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，b= 2 3，2c-a  sinC=b2+c2-a2  sinB b (1)求角B﹔ (2)求2a-c的范围． 1475 (2024·重庆江北·高三校考阶段练习)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c， C A 且acos2 +ccos2 2 2  3 (a+c-b)= ac. 2 (1)求角B的大小； (2)若b=2 3，c=x(x>0)，当△ABC仅有一解时，写出x的范围，并求a-c的取值范 围. 1476 (2024·全国·高三专题练习)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 条件；a=4，sin2A+sinBsinC=sin2B+sin2C． (I)求角A的值； (Ⅱ)求2b-c的范围． 1477 (2024·全国·高三专题练习)在ΔABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边(a+b+c)(a+ b-c)=3ab. (1)求角C的值； (2)若c=2，且ΔABC为锐角三角形，求2a-b的范围. 1478 (2024·山西运城·统考模拟预测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. sin(A-B) a-b (1)求证： = ； sinA+sinB c π (2)若△ABC是锐角三角形，A-B= ,a-b=2，求c的范围. 3 1479 (2024·安徽亳州·高三统考期末)在锐角ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已 π 知asinC=ccosA- 6  . 第 页 共 页 274 1043(1)求角A的大小； (2)设H为ΔABC的垂心，且AH=1，求BH+CH的范围. 4 题型四：转化为角范围问题 1480 (2024·全国·高三专题练习)在锐角ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a +b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC. (1)求A； (2)求cosB-cosC的取值范围. 1481 (2024·全国·高三专题练习)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a-b =ccosB-cosA  ． (1)判断△ABC的形状并给出证明； (2)若a≠b，求sinA+sinB+sinC的取值范围． 1482 (2024·河北保定·高一定州一中校考阶段练习)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a, 1-sinA 1-cos2B b,c，已知 = ． cosA sin2B (1)判断△ABC的形状(锐角、直角、钝角三角形)，并给出证明； 4a2+5b2 (2)求 的最小值． c2 1483 (2024·广东佛山·高一大沥高中校考阶段练习)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边       分别为a，b，c，且AB⋅AC+BA⋅BC=2CA⋅CB； cosA cosB (1)若 = ，判断△ABC的形状并说明理由； b a (2)若△ABC是锐角三角形，求cosC的取值范围. 1484 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a= 1,b= 2. π (1)若∠B= ，求角A的大小； 4 π (2)求cosAcosA+ 6  的取值范围. 1485 (2024·江西吉安·高二江西省峡江中学校考开学考试)在锐角△ABC中，角A，B，C所 π 对的边分别是a,b,c，b2+c2-a2=2bcsinA+ 6  ． (1)求角A的大小； (2)求sinB⋅sinC的取值范围． 1486 (2024·全国·高三专题练习)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若 c2+bc-a2=0，则4sinC+cosC  1 1 2+ - 的取值范围为 ( ) tanC tanA A. 4 2,9  B. 8,9  8 3 C.  +4,9 3  D. 2 3+4,9  5 题型五：倍角问题 1487 (2024·浙江绍兴·高一诸暨中学校考期中)在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分 别为a，b，c，已知b+c=2acosB． (1)证明：A=2B； (2)若b=1，求a的取值范围； 第 页 共 页 275 1043(3)若△ABC的三边边长为连续的正整数，求△ABC的面积． 1488 (2024·全国·高三专题练习)已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若A= c 1 2B，且A为锐角，则 + 的最小值为 ( ) b cosA A.2 2+1 B.3 C.2 2+2 D.4 1489 (2024·全国·高三专题练习)锐角△ABC的角A，B，C所对的边为a，b，c，A=2B，则 a 的范围是 ． b 1490 (2024·全国·高三专题练习)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC 的面积为5，若sinA+C  2S = ，则tanA的取值范围为 ． b2-a2 1491 (2024·全国·高三专题练习)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A= ac+2b2 2B，则 的取值范围为 ． ab 1492 (2024·全国·高三专题练习)在锐角△ABC中A=2B，B，C的对边长分别是b，c，则 b 的取值范围是 ( ) b+c 1 1 A.  , 4 3  1 1 B.  , 3 2  1 2 C.  , 2 3  2 3 D.  , 3 4  1493 (2024·福建三明·高一三明市第二中学校考阶段练习)在锐角△ABC中，∠A=2∠B， b+c ∠B，∠C的对边分别是b，c，则 的范围是 ( ) 2b 3 A. 1, 2  4 B. 1, 3  4 3 C.  , 3 2  1 D.  ,2 2  1494 (2024·江苏南京·高一金陵中学校考期中)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a， c 2b b，C，若A=2B，则 + b a  2 的最小值为 ( ) 7 10 A.-1 B. C.3 D. 3 3 6 题型六：角平分线问题 1495 (2024·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习)已知△ABC的内角A,B,C的对边 a sinB+ 3cosB 分别为a,b,c， = 且A≠B. b sinA+ 3cosA (1)求角C的大小； (2)若角C的平分线交AB于点D，且CD=2 3，求a+2b的最小值. 1496 (2024·江苏淮安·高一统考期中)如图，△ABC中，AB=2AC，∠BAC的平分线AD交 BC于D． (1)若AD=BC，求∠BAC的余弦值； (2)若AC=3，求AD的取值范围． 第 页 共 页 276 10431497 (2024·浙江杭州·高一校联考期中)在①a+acosC= 3csinA，②a+b+c  a+b-c  =3ab，③a-b  sinB+C  +bsinB=csinC．这三个条件中任选一个，补充在下面问题 中，并解答． 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c， ． (1)求角C的值； (2)若角C的平分线交AB于点D，且CD=2 3，求2a+b的最小值． 1498 (2024·河北沧州·校考模拟预测)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且 acosC+2b+c  cosA=0，角A的平分线与边BC交于点D. (1)求角A； (2)若AD=2，求b+4c的最小值. 1499 (2024·山东泰安·校考模拟预测)在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c， sinA sin2A-sin2C 满足 -1= ，且A≠C． sinC sin2B (1)求证：B=2C； (2)已知BD是∠ABC的平分线，若a=6，求线段BD长度的取值范围． 1500 (2024·全国·高一专题练习)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 2asinAcosB+bsin2A=2 3acosC． (1)求角C的大小； (2)若c=2 3，∠ABC与∠BAC的平分线交于点I，求△ABI周长的最大值． 1501 (2024·四川成都·石室中学校考模拟预测)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b, B+C c，且 3bsin =asinB，边BC上有一动点D. 2 (1)当D为边BC中点时，若AD= 3,b=2，求c的长度； (2)当AD为∠BAC的平分线时，若a=4，求AD的最大值. 7 题型七：中线问题 1502 (2024·湖南长沙·高一雅礼中学校考期中)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别是a， 2c-b cosB b，c，若 = a cosA (1)求角A的大小； (2)若a=2，求中线AD长的范围(点D是边BC中点). 1503 (2024·安徽·合肥一中校联考模拟预测)记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b， π c，已知sin +B 2  2c-b = ． 2a (1)求A； (2)若b+c=3，求BC边中线AM的取值范围． 1504 (2024·全国·高一专题练习)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 已知asinA+bsinB=csinC+ 2bsinA． (1)求角C的大小； (2)若c=2，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围． 1505 (2024·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b， 第 页 共 页 277 10432c-b cosB c，若 = a cosA (1)求角A的大小； (2)若a=2，求中线AD长的最大值(点D是边BC中点)． 1506 (2024·广东广州·高二广州六中校考期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a， b，c，已知 3acosC-asinC= 3b． (1)求角A的大小； (2)若a=2，求BC边上的中线AD长度的最小值． 8 题型八：四心问题 1507 (2024·四川凉山·校联考一模)设△ABO(O是坐标原点)的重心、内心分别是G,I，且   BO⎳GI，若B(0,4)，则cos∠OAB的最小值是 ． 1508 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且 acosC+ccosA  tanA= 3b. (1)求角A的大小； (2)若a= 3，O为△ABC的内心，求OB+OC的最大值. 1509 (2024·全国·模拟预测)已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且 c-b  sinC=acosC-b  sinB+acosBsinC. (1)求角A； (2)若H为△ABC的垂心，a=2，求△HBC面积的最大值. 1510 (2024·江苏无锡·高一锡东高中校考期中)在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边， 2acosA=bcosC+ccosB． (1)求角A的大小； 3 (2)若△ABC为锐角三角形，且其面积为 ，点G为△ABC重心，点M为线段AC的中 2  点，点N在线段AB上，且AN=2NB，线段BM与线段CN相交于点P，求GP  的取值范 围. 1511 (2024·河北邢台·高一统考期末)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 2 3(cos2C-cos2A)=(a-b)sinB，且△ABC外接圆的半径为 3． (1)求C的大小； (2)若G是△ABC的重心，求△ACG面积的最大值． 1512 (2024·辽宁抚顺·高一抚顺一中校考阶段练习)如图，记锐角△ABC的内角A，B，C的对 边分别为a，b，c，c=2b=4，A的角平分线交BC于点D，O为△ABC的重心，过O作 OP∥BC，交AD于点P，过P作PE⊥AB于点E. (1)求a的取值范围； (2)若四边形BDPE与△ABC的面积之比为λ，求λ的取值范围. 第 页 共 页 278 1043 AC2   1513 (2024·浙江·高一路桥中学校联考期中)若O是△ABC的外心，且  ⋅AB⋅AO AB2  +  AB2    ⋅AC⋅AO AC2   5 = AO2，则sinB+2sinC的最大值是 ( ) 2 2 3 5 A. 3+ B. + 2 C. D.2 2 2 2 2    AC AB 1514 (2024·全国·高三专题练习)已知O是三角形ABC的外心，若 AB⋅AO+ AC⋅ AB AC   AO=mAO  2，且sinB+sinC= 3，则实数m的最大值为 ( ) 6 14 A.6 B. C. D.3 5 5 9 题型九：坐标法 π 1515 (2024·全国·高三专题练习)在Rt△ABC中，∠BAC= ，AB=AC=2，点M在 2 3 △ABC内部，cos∠AMC=- ，则MB2-MA2的最小值为 ． 5 1516 (2024·全国·高一专题练习)在△ABC中，AB=2，AC=3 2，∠BAC=135°，M是       △ABC所在平面上的动点，则w=MA⋅MB+MB⋅MC+MC⋅MA的最小值为 ． 1517 (2024·湖北武汉·高二武汉市第三中学校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，已知 B，C为圆x2+y2=9上两点，点A(1,1)，且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围是 . 1518 (2024·全国·高三专题练习)在ΔABC中，AB=AC= 3，且ΔABC所在平面内存在一 点P使得PB2+PC2=3PA2=3，则ΔABC面积的最大值为 ( ) 2 23 5 23 35 3 35 A. B. C. D. 3 16 4 16 1519 (2024·全国·高三专题练习)在等边△ABC中，M为△ABC内一动点，∠BMC=120°， MA 则 的最小值是 ( ) MC 3 3 3 A.1 B. C. D. 4 2 3 1520 (2024·江西·高三校联考开学考试)费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最 小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所 在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则F(x,y) = (x-2 3)2+y2+ (x+1- 3)2+(y-1+ 3)2+ x2+(y-2)2的最小值为 ( ) A.4 B.2+2 3 C.3+2 3 D.4+2 3 10 题型十：隐圆问题 1521 (2024·全国·高三专题练习)在平面四边形ABCD中，连接对角线BD，已知CD=9，BD 4 =16，∠BDC=90°，sinA= ，则对角线AC的最大值为 ( ) 5 A.27 B.16 C.10 D.25 第 页 共 页 279 10431522 (2024·江苏泰州·高三阶段练习)已知△ABC中，BC=2，G为△ABC的重心，且满足 AG⊥BG，则△ABC的面积的最大值为 . 1523 (2024·湖北武汉·高二武汉市洪山高级中学校考开学考试)已知等边△ABC的边长为2，     点G是△ABC内的一点，且AG+BG+CG=0，点P在△ABC所在的平面内且满足  PG   =1，则PA  的最大值为 . 1524 (2024·全国·高三专题练习)在平面四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=2，AD=1．       4 1 若AB⋅AC+BA⋅BC= CA⋅CB，则CB+ CD的最小值为 ． 3 2 1525 (2024·全国·高三专题练习)若△ABC满足条件AB=4，AC= 2BC，则△ABC面积的 最大值为 .   1526 (2024·江苏·高三专题练习)在△ABC中，BC为定长，AB+2AC   =3BC  ，若△ABC 的面积的最大值为2，则边BC的长为 ． 1527 (2024·全国·高三专题练习)△ABC中AB=AC=2，△ABC所在平面内存在点P使得 PB2+PC2=4，PA2=1，则△ABC的面积最大值为 ． 1528 (2024·全国·高三专题练习)已知ΔABC中，AB=AC= 3，ΔABC所在平面内存在点 P使得PB2+PC2=3PA2=3，则ΔABC面积的最大值为 ． 11 题型十一：两边夹问题 cosA cosB π 1529 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，若 + =2,A,B∈0, sinB sinA 2  ，且 △ABC的周长为12． (1)求证：△ABC为直角三角形； (2)求△ABC面积的最大值． 1530 (2024·全国·高三专题练习)设ΔABC的内角A，B，C的对边长a，b，c成等比数列， cosA-C  1 -cosB= ，延长BC至D，若BD=2，则ΔACD面积的最大值为 . 2 1531 (2024·全国·高三专题练习)设ΔABC的内角A，B，C的对边为a，b，c．已知a，b，c依 次成等比数列，且cosA-C  1 -cosB= ，延长边BC到D，若BD=4，则ΔACD面积的 2 最大值为 ． 12 题型十二：与正切有关的最值问题 1532 (2024·全国·高一专题练习)在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 1 1 满足b2-a2=ac，则 - 的取值范围为 . tanA tanB 1533 (2024·全国·高一阶段练习)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 B+C bsin =asinB. 2 (1)求A角的值； a-c (2)若△ABC为锐角三角形，利用(1)所求的A角值求 的取值范围. b 1534 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 第 页 共 页 280 1043B+C bsin =asinB．求： 2 (1)A； a-c (2) 的取值范围． b 1535 (2024·全国·高三专题练习)锐角△ABC是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分 ac 别为a，b，c，且a2+b2-c2=4a2cosA-2accosB，则 的取值范围是 ( ) b 3 A.(2 3,3 3) B.( 3,3 3) C.  ,2 3 2  3 D.  , 3 2  1536 (2024·安徽合肥·高一合肥市第七中学校考期中)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边 分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且2S=a2-b-c  b 2，则 的取值范围为 ( ) c 1 A.  ,2 2  2 3 B.  , 3 2  3 4 C.  , 4 3  3 5 D.  , 5 3  1537 (2024·全国·高三专题练习)在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若a2 1 1 -c2=bc，则 - +3sinA的取值范围为 ( ) tanC tanA 13 3 A.(2 3,+∞) B.(2 3,4) C.  ,4 6  13 3 D. 2 3, 6  13 题型十三：最大角问题 1538 (2024·全国·高三专题练习)几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角 ∠AQB的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得∠MPN最大．”如图，其结论 是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆与射线QB的切点．根据以上结论解决 以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(-1,2)，N(1,4)，点P在x轴上移动，当 ∠MPN取最大值时，点P的横坐标是 ( ) A.1 B.-7 C.1或-7 D.2或-7 1539 (2024·全国·高三专题练习)设△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 3 acosB-bcosA= c，则tan(A-B)的最大值为 ( ) 5 3 1 3 3 A. B. C. D. 5 3 8 4 1540 (2024·江西上饶·高三上饶中学校考期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为 1 a，b，c，且acosB-bcosA= c，当tan(A-B)取最大值时，角C的值为 2 π π π π A. B. C. D. 2 6 3 4 1541 (2024·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习)最大视角问题是1471年德国数学家米勒 第 页 共 页 281 1043提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶A离地面12米， 树上另一点B离地面8米，若在离地面2米的C处看此树，则tan∠ACB的最大值为 ( ) 5 10 15 20 A. B. C. D. 5 10 15 20 21 1542 (2024·江苏扬州·高一统考期中)如图：已知树顶A离地面 米，树上另一点B离地面 2 11 3 米，某人在离地面 米的C处看此树，则该人离此树( )米时，看A、B的视角最 2 2 大. A.4 B.5 C.6 D.7 14 题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题 1543 (2024·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考阶段练习)△ABC内一点O，满足∠OAC= ∠OBA=∠OCB，则点O称为三角形的布洛卡点．王聪同学对布洛卡点产生兴趣，对其 进行探索得到许多正确结论，比如∠BOC=π-∠ABC=∠BAC+∠ACB，请你和他一 起解决如下问题： (1)若a，b，c分别是A，B，C的对边，∠CAO=∠BAO=∠OBA=∠OCB，证明：a2= bc；    (2)在(1)的条件下，若△ABC的周长为4，试把AB⋅AC表示为a的函数f(a)，并求AB⋅  AC的取值范围． 第 页 共 页 282 10431544 (2024·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末)十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的 一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离 之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中 心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120° 时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点，已知在△ABC 2 中，已知C= π，AC=1，BC=2，且点M在AB线段上，且满足CM=BM，若点P为 3       △AMC的费马点，则PA⋅PM+PM⋅PC+PA⋅PC= ( ) 4 3 2 A.-1 B.- C.- D.- 5 5 5 1545 (2024·全国·高三专题练习)点P在△ABC所在平面内一点，当PA+PB+PC取到最小 值时，则称该点为△ABC的“费马点”.当△ABC的三个内角均小于120o时，费马点满足 如下特征：∠APB=∠BPC=∠CPA=120o.如图，在△ABC中，AB=AC= 7，BC= 3，则其费马点到A,B,C三点的距离之和为 ( ) A.4 B.2 C.2-2 3 D.2+ 3 1546 (2024·湖南邵阳·统考三模)拿破仑·波拿巴最早提出了一个几何定理：“以任意三角形的 三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等 边三角形(此等边三角形称为拿破仑三角形)的顶点”.在△ABC中，已知∠ACB=30°， 且AC= 3，BC=3，现以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依 次记为A，B，C，则△ABC的边长为 ( ) A.3 B.2 C. 3 D. 2 1547 (2024·河南·高一校联考期末)几何定理：以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等 边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形(称为拿破仑三角 π 形)的顶点．在△ABC中，已知C= ，AC= 3，外接圆的半径为 3，现以其三边向外 6 作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A′，B′，C′，则△A′B′C′的面积为 ( ) A.3 B.2 C. 3 D. 2 15 题型十五：托勒密定理及旋转相似 1548 (2024·江苏淮安·高一校联考期中)托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密 定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边 形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式 及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形 第 页 共 页 283 1043ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，BD=4 3，且 △ACD为正三角形，则四边形ABCD的面积为 ( ) A.16 3 B.16 C.12 3 D.12 1549 (2024·全国·高三专题练习)托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就 是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对 边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两 对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及 一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，BD=4 2，且△ACD为正 三角形，则四边形ABCD的面积为 ( ) A.8 B.16 C.8 3 D.16 3 1550 (2024·全国·高三专题练习)克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学 家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中， 两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等 号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为2 3的圆，∠A= 120°，∠B=45°，AB=AD，则四边形ABCD的周长为 ( ) A.4 3+6 2 B.10 3 C.4 3+4 2 D.4 3+5 2 1551 (2024·江苏·高一专题练习)凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形，把四边形任何 一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如 图，在凸四边形ABCD中，AB=1，BC= 3，AC⊥CD，AD=2AC，当∠ABC变化 时，对角线BD的最大值为 ( ) 第 页 共 页 284 1043A.4 B. 13 C.3 3 D. 7+2 3 1552 (2024·江苏无锡·高一江苏省江阴市第一中学校考阶段练习)在△ABC中，BC= 2， AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD(B为直角顶点，C，D两点在直线AB的两 侧).当角C变化时，线段CD长度的最大值是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.9 1553 (2024·全国·高一专题练习)在△ABC中，BC= 2，AC=1，以AB为边作等腰直角三 角形ABD(B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧).当∠C变化时，线段CD长的 最大值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 1554 (2024·全国·高三专题练习)如图所示，在平面四边形ABCD中，AB=1，BC=2， △ACD为正三角形，则△BCD面积的最大值为 ( ) 3+1 3 A.2 3+2 B. C. +2 D. 3+1 2 2 16 题型十六：三角形中的平方问题 1555 (2024·全国·高三专题练习)已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a2+b2+2c2=8， 则△ABC面积的最大值为 ( ) 5 2 5 3 5 5 A. B. C. D. 5 5 5 3 1556 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 5a2+3b2=3c2，则sinA的取值范围是 . 1557 (2024·湖南常德·常德市一中校考模拟预测)秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作 《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自 乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从阳，开平方得积．”如果把以上这段 1 a2+c2-b2 文字写成公式就是S= a2c2- 4 2   2    ，其中a，b，c是△ABC的内角A，B， C的对边，若sinC=2sinAcosB，且b2+c2=4，则△ABC面积S的最大值为 ( ) 5 2 5 3 5 4 5 A. B. C. D. 5 5 5 5 1558 (2024·河南洛阳·高三校考阶段练习)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 2π a2+b2+c2=12，A= ，则△ABC面积的最大值为 ( ) 3 2 3 3 3 4 3 A. B. C. D. 3 5 5 5 第 页 共 页 285 10431559 (2024·云南·统考一模)已知△ABC的三个内角分别为A、B、C.若sin2C=2sin2A- 3sin2B，则tanB的最大值为 ( ) 5 5 11 5 3 5 A. B. C. D. 3 2 20 5 1560 (2024·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习)设△ABC的内角A，B，C所对的边a， sinA+cosAtanC b，c满足b2=ac，则 的取值范围 ( ) sinB+cosBtanC 5-1 5+1 A.  , 2 2  3- 5 3+ 5 B.  , 2 2  5-1 5+3 C.  , 2 2  3- 5 1+ 5 D.  , 2 2  1561 (2024·全国·高三专题练习)在锐角三角形ABC中，已知2sin2A+sin2B=2sin2C，则 1 1 1 + + 的最小值为 ( ) tanA tanB tanC 13 13 A.2 13 B. 13 C. D. 2 4 17 题型十七：等面积法、张角定理 1562 (2024·全国·高三专题练习)已知△ABC的内角A,B,C对应的边分别是a,b,c，内角A 的角平分线交边BC于D点，且AD=4．若(2b+c)cosA+acosC=0，则△ABC面积 的最小值是 ( ) A.16 B.16 3 C.64 D.64 3 1563 (2024·湖北武汉·高一校联考期中)已知△ABC的面积为S,∠BAC=2α,AD是△ABC 的角平分线,则AD长度的最大值为 ( ) S S A. S⋅sinα B. C. S⋅tanα D. sinα tanα 1564 (2024·上海宝山·高三上海市吴淞中学校考期中)给定平面上四点O,A,B,C满足OA=   4,OB=3,OC=2,OB⋅OC=3，则ΔABC面积的最大值为 . π 1565 (2024·安徽·高一安徽省太和中学校联考阶段练习)在△ABC中，∠BAC= ，AM是 3 ∠BAC的角平分线，且交BC于点M.若△ABC的面积为 3，则AM的最大值为 . 1566 (2024·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习)已知△ABC的内角A,B,C对应的 边分别是a,b,c，内角A的角平分线交边BC于D点，且AD=4.若(2b+c)cosA+ acosC=0，则△ABC面积的最小值是 . 1567 (2024·江西九江·高一德安县第一中学校考期中)△ABC中，∠ABC的角平分线BD交 2π AC于D点，若BD=1且∠ABC= ，则S 面积的最小值为 . 3 △ABC 1568 (2024·湖北武汉·高一华中科技大学附属中学校联考期中)已知△ABC中，角A、B、C π 所对的边分别为a、b、c，∠ABC= ，∠ABC的角平分线交AC于点D，且BD= 3，则 3 a+c的最小值为 ． 1569 (2024·全国·高一专题练习)已知△ABC，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，c=1,∠C 第 页 共 页 286 1043的角平分线交AB于点D．若sinA+sinB=2sin∠ACB，则CD的取值范围是 ． 1570 (2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习)已知△ABC，∠BAC=120°，D为BC上 AB+9AC 一点，且AD为∠BAC的角平分线，则 的最小值为 . AD 第 页 共 页 287 1043